商不变的规律——吴正宪.PPT课件
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吴正宪儿童数学教育思想 ppt课件
亲切表扬，学 生高兴！
马斯洛需求理论的七个层次
“以数学知识的魅力，萌发学生的好奇心”， “以新颖有趣的设计，激发学生学习的欲望”， “ 以数学知识的价值，增进对应用数学的信心”， “以制造悬念设疑问，调动学生的思考兴趣”。
在错误中增长智慧
点燃深度思考的激情 在对比交流中学会反思 错误有可能成为成功的向导
❖片段3：有哪些估算方法呢？
六次称石头的质量如下（单位：千克） 次数 1 2 3 4 5 6 质量 328 346 307 377 398 352
你能估计出这头大象多重吗？
方法1：300X6=1800（小估） 方法2：400X6=2400（大估） 方法3：350X6=2100（中间估——中间数法） 方法4：300X3+400X3=2100
教师板书总结：为什么？怎么样？发明？在什么 时候？有什么作用？
Hale Waihona Puke 案例 估算教学片段实录❖片段2：什么时候需要估算呢？
48元 16元
23元
59元 31元
我带了200元钱， 够不够呢？
在下列哪种情况下使用估算比精确计算 有意义？ A.当青青想确认200元钱是不是够用时；
B.当青青被告知应付多少钱时。
几个小组发表了类似的意见：被除数乘（除以） 某数，除数乘（除以）某数，商没变。
将算式分成两类。
案例:给学生的思维碰撞搭台
4.表达规律，澄清思维
谁能把这些算式用比较简练的语言表达出来。
——被除数变大（小），除数跟着变大（小），商不 变。（？）
真是这样吗？
——进行实验：被除数和除数同时加一个数或减一个 数，商变了。
330+350+310+380+400+350 方法5：300X7=2100，看成300后，舍去的差不多又是一个
《商不变的规律》公开课教学PPT课件(四年级数学上册)(精)
教学目标与要求
80%
知识与技能
使学生掌握商不变规律的基本原 理和应用方法，能够运用该规律 进行数学运算和问题解决。
100%
过程与方法
通过讲解、示范、练习等多种教 学方法，引导学生积极参与课堂 活动，培养其数学思维和解决问 题的能力。
80%
情感态度与价值观
培养学生的数学兴趣和探究精神 ，使其感受到数学学习的乐趣和 价值。
在某些化学反应中，反应速率与反应物浓度的比值（即商）保持不变，这是商 不变规律在化学动力学中的应用。
沉淀溶解平衡
在一定条件下，难溶电解质的沉淀溶解平衡状态中，各离子浓度的乘积（即商 ）保持不变，这是商不变规律在化学平衡中的应用。
商不变规律在经济学中的应用
供需平衡
在市场经济中，商品的价格由供给和需求决定。当供给与需求的比值（即商）保 持不变时，市场达到供需平衡状态。
06
拓展延伸：商不变规律在其他领域的应用
商不变规律在物理学中的应用
杠杆原理
在杠杆平衡时，动力臂与阻力臂 的比值（即商）保持不变，这是 商不变规律在物理学中的一个典 型应用。
欧姆定律
在电路中，电压与电流的比值（ 即电阻）保持不变，这也是商不 变规律在电学中的应用。
商不变规律在化学中的应用
化学反应速率
典型例题分析与解答
例题1
分析
例题2
分析
计算 (200 ÷ 4) ÷ (50 ÷ ____) = 5。
根据商不变规律，被除数和除 数同时除以一个相同的数，商 不变。因此，可以将原式转化 为 (200 ÷ 50) ÷ (4 ÷ ____) = 5，进一步得到 4 ÷ ____ = 1 ，解得 ____ = 4。
学生成果展示与交流评价
《商不变的规律》ppt
同学们发现的这个规律是否具 有普遍性呢？请你们接下来再举几 个例子，看被除数和除数同时乘或 除以相同的数，商变不变？
（80×100）÷（20×100）＝4
小芳
（80 ÷ 20）÷（20 ÷ 20）＝ 4
小刚
（80×0）÷（20×0）＝4
小红
（80×0）÷（20×0）＝4
讨论：看看小红说 的这个算式是等于 4吗？
从上往下 看，这三 组算式你 发现了什 么？
6 ÷ 3＝ 2 60÷30＝ 2
600÷300＝ 2
从下往上 看，这三 组算式你 又发现了 什么？
被除数和除数同时乘相同的数，
商不变。
被除数和除数同时除以相同的数， 商不变。
你能尝试把这两种情况 用一句话概括出来吗？
被除数和除数同时乘或除以 相同的数，商不变。
下面是淘气计算“400÷25”的过 程，仔细观察计算的每一步，你受到 什么启发？ 400÷25 =（400 × 4）÷（25 × 4） =1600 ÷100 =16
你能用这个方法计 算下面各题吗？ 150÷25 =(150 ×4 )÷(25 ×4) =600 ÷100 =6
古时候，有一个贪财的地主到了给长工 们发工钱的时候，他对长工们说:“你们的工 钱一共是170两银子，60个长工平均分，每 人应得2两，还余下5两。就请大家喝杯茶吧！
执教：项秋云探索与发现 Nhomakorabea 悟空戏八戒
太 少 了 ！
那我就给 你140块饼, 平均分20天 吃完。 我给你14块饼， 平均分2天吃完， 怎么样？
太好了！太 好了！这回每 天我可以多吃 些了！
同学们，谁的笑是聪明的一笑，为什么？
第一次：6 第二次：60 第三次：600 3 30 300
四年级上册数学课件ppt商不变的规律(完美版)
和除数同时乘10,商就扩大到 原来的100倍。 ( × )
错在没有理解商不变的规律, 在除法中,被除数与除数同 时乘10,商不变,而不是扩大 到原来的100倍。
返回
商不变的规律
填一填。 18÷2=（18×3） ÷（2 × 3 ） 80÷16＝（80 ÷ 2 ）÷（16÷2） 48÷12＝（48×5）÷（12 × 5 ）
返回
商不变的规律
(3)计算并观察下面的题。
6 ÷3 60 ÷ 30
2
从
2
下 往
600 ÷ 300
2
上 观
6000 ÷ 3000 2
察
从下往上观察：
被除数和除数都除以一个相同的数，商不变。
返回
商不变的规律
同乘或同除以的这 个数不能是0。
你能举例证明这些 规律吗？
返回
商不变的规律
除数不变，被除数乘几或除以几， 商就乘几或除以几。
人教版 数学 四年级 上册
6 除数是两位数的除法
商不变的规律
课前导入
探究新知
课堂练习
课堂小结
课后作业
商不变的规律
课前导入
计算下面两组题，你能发现什么？
（1）
16
2
160 ÷8＝ 20
320
40
（2）
2 100 200÷ 20 10
40
5
返回
商不变的规律
探究新知
（1）
×10 ×2
16
2
160 ÷8＝ 20
400 ÷ 4 ＝ 100
÷5
×5
÷5
×5
80 ÷ 4 ＝
20
返回
商不变的规律
被除数不变，除数除以几，商就 乘几。
错在没有理解商不变的规律, 在除法中,被除数与除数同 时乘10,商不变,而不是扩大 到原来的100倍。
返回
商不变的规律
填一填。 18÷2=（18×3） ÷（2 × 3 ） 80÷16＝（80 ÷ 2 ）÷（16÷2） 48÷12＝（48×5）÷（12 × 5 ）
返回
商不变的规律
(3)计算并观察下面的题。
6 ÷3 60 ÷ 30
2
从
2
下 往
600 ÷ 300
2
上 观
6000 ÷ 3000 2
察
从下往上观察：
被除数和除数都除以一个相同的数，商不变。
返回
商不变的规律
同乘或同除以的这 个数不能是0。
你能举例证明这些 规律吗？
返回
商不变的规律
除数不变，被除数乘几或除以几， 商就乘几或除以几。
人教版 数学 四年级 上册
6 除数是两位数的除法
商不变的规律
课前导入
探究新知
课堂练习
课堂小结
课后作业
商不变的规律
课前导入
计算下面两组题，你能发现什么？
（1）
16
2
160 ÷8＝ 20
320
40
（2）
2 100 200÷ 20 10
40
5
返回
商不变的规律
探究新知
（1）
×10 ×2
16
2
160 ÷8＝ 20
400 ÷ 4 ＝ 100
÷5
×5
÷5
×5
80 ÷ 4 ＝
20
返回
商不变的规律
被除数不变，除数除以几，商就 乘几。
《商不变的规律》PPT课件
探究新知
交流：计算并观察下面的题。你发现了什么规律？
6 ÷ 3=
2
60 ÷ 30 = 2
600 ÷ 300 = 2
6000 ÷ 3000 = 2
探究新知
从上往下进行观察：
×10 6 ×100 60
÷ ÷
330==××10100
2 2
×1000 600 ÷ 300 = ×1000 2
商 不 变
6000 ÷ 3000 =
任何数乘以0都得0。 0不可以做除数。 所以，同乘或同除以的这个数不能是0。
探究新知 交流：你能举例验证这些规律吗？
除数不变，被除数乘几(除几)，商也乘几(除几)。
400 ÷ 4 ＝ 100
÷5
×5
÷5
×5
80 ÷ 4 ＝
20
探究新知 交流：你能举例验证这些规律吗？
被除数不变，除数除以几(乘几)，商反而乘几(除以几)。
课堂练习 下面（ A ）里哪个算式的结果与32÷16的商相等。
A.（32÷4）÷（16÷4） B.（32×5）÷（ 16÷5） C.（32×3）÷（ 16÷3） D.（32÷4）÷（ 16÷3）
课堂练习 填写下表。
被除数和除数依次同时乘2
被除数 56 112 224 672 1344
除数
4
8 16 48 96
40
5
探究新知 从上往下进行观察：
（1） ×10 ×20 ×2
16
2
160 ÷8＝ 20
320
40
不变
×10 ×20 ×2
除数不变，被除数乘几，商也乘几。
探究新知
从下往上进行观察：
（1） ÷10 ÷20 ÷2
【课件】小学数学四年年级上册《商不变的规律》课件PPT
练习 根据每组题中第1题的商，写出下面两题的商
45÷9= 450÷90= 4500÷900=
72÷6= 720÷60= 7200÷600=
课堂检测 根据每组题中第1题的商，写出下面两题的商
72÷9= 720÷90= 7200÷9=
3600÷300= 8000÷400=
（2） 8 ÷ 4 = 2
（3） 12 ÷ 6 = 2
（4） 24 ÷ 12 = 2
被除数和除数同时除以一个相同的数，商不变
商不变的规律
在除法里，被除数和除数同时乘或 除以一个相同的数（0除外），商不 变。
根据36÷12=3来判断下面算式正确吗？
（1）（36×2）÷（12÷2） =3 （× ） （2）（36×5）÷（12×10）=3 （× ） （3）（36÷4）÷（12÷2） =3 （× ） （4）（36＋10）÷（12＋10）=3 （× ）
抢答：
（ 1 ）在一道除法算式里，如果被除数除以 5 ， 除数也除以 5 ，商（ ）。
（ 2 ）在一道除法算式里，如果被除数乘 10 ， 要使商不变，除数（ ）。
（ 3 ）在一道除法算式里，如果除数除以 100 ， 要使商不变，被除数（ ）。
根据每组第一个算式的结果，直接写出第二、第三个 算式的得数。 （ 1 ） 18 ÷6=3
（2） 8 ÷ 4 = 2 ×3 ×3 不变
（3） 12 ÷ 6 = 2
（4） 24 ÷ 12 = 2
被除数 除数 商
（1） 4 ÷ 2 = 2
（2） 8 ÷ 4 = 2
（3） 12 ÷ 6 = 2 ×6 ×6 不变
（4） 24 ÷ 12 = 2
被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变
被除数 除数 商
《商不变的规律》ppt
的商相同。
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质
01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质
01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。
《商不变的规律》ppt课件
复习导入 口算。
15×2＝30 15×8＝120 15×16＝ 240 一个因数不变，另一个因数扩大若干倍， 积就扩大若干倍。
80÷20= 4 720÷80= 9 350÷50= 7
8÷2= 4
72÷8=9
35÷5=7
商不变的规律
探索新知
先按要求算一算、填一填，再比较算出的结果。
被除数
除数
除法算式
学以致用
1.根据每组第1题的商，直接写出下面两题的商。
42÷3=14 84÷6= 14 420÷30=14
250÷50=5 420÷20=12 50÷10=5 840÷40=12 25÷5= 5 42÷2= 12
被除数、除数同时除以一个相同的数 （0除外），商不变。
学以致用
2.口算下面各题，并说说是怎样算的。
5
100÷4
20÷4
25÷5
5
被除数
除数
除法算式
商
90
30
90÷30
3
90×2
30×2
180÷60
3
90÷3
30÷3
30÷10
3
被除数和除数同时乘或除以一个相同 的数（0除外），商不变。
乘0或除以0，都会出现 除数是0，这样的算式 没有意义。
同时乘或除以一个数， 这个数为什么不包括0？
典题精讲
6
答：他们购买的计算器价格相同。
课堂小结
大家想一想， 今天学习了什 么内容？
商不变的规律是 什么？
1.今天学习了商不变的规律。
2. 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（ 0除外），商不变。
80÷20= 4 8÷2
140÷70= 2 14÷7
15×2＝30 15×8＝120 15×16＝ 240 一个因数不变，另一个因数扩大若干倍， 积就扩大若干倍。
80÷20= 4 720÷80= 9 350÷50= 7
8÷2= 4
72÷8=9
35÷5=7
商不变的规律
探索新知
先按要求算一算、填一填，再比较算出的结果。
被除数
除数
除法算式
学以致用
1.根据每组第1题的商，直接写出下面两题的商。
42÷3=14 84÷6= 14 420÷30=14
250÷50=5 420÷20=12 50÷10=5 840÷40=12 25÷5= 5 42÷2= 12
被除数、除数同时除以一个相同的数 （0除外），商不变。
学以致用
2.口算下面各题，并说说是怎样算的。
5
100÷4
20÷4
25÷5
5
被除数
除数
除法算式
商
90
30
90÷30
3
90×2
30×2
180÷60
3
90÷3
30÷3
30÷10
3
被除数和除数同时乘或除以一个相同 的数（0除外），商不变。
乘0或除以0，都会出现 除数是0，这样的算式 没有意义。
同时乘或除以一个数， 这个数为什么不包括0？
典题精讲
6
答：他们购买的计算器价格相同。
课堂小结
大家想一想， 今天学习了什 么内容？
商不变的规律是 什么？
1.今天学习了商不变的规律。
2. 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（ 0除外），商不变。
80÷20= 4 8÷2
140÷70= 2 14÷7