13_2一致收敛函数列与函数项级数的性质习题课

数学分析2课件：13-1函数项级数及其一致收敛性

x(1,1) 1 x n 1
n1
而右端极限为，
故原级数在(-1,1)不一致收敛。
但限制x [a,a],a 1,则
sup
x(a,a )
|
sn( x)
s( x) |
sup
x(a,a )
| 1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | an , x(a,a) 1 x 1 a
[( xn ) 0,单调增] 1 x
故 un( x)在数集D上一致收敛。
n1
证毕。
注1 在这个定理的条件下，可得| un( x) | 也一致收敛。
n1
注2 不是每个收敛级数都有优级数。
例8
sin n
nx
p
,
cos n
nx
p
,(
p
1)在(,)一致收
敛。
优级数均为
1 np
.
(1)n sin nx的优级数为 np
1， np
一致收敛。
xn在[a,a](a 1)的优级数为 an，一致收敛。
an为绝对收敛级数，则 an sin nx, an cos nx
n1
n1
n1
在(,)一致收敛，且| an | 就是其优级数。
n1
全体收敛点的集合称为收敛域。
un( x) s( x)
n1
——和函数。
例5
xn 1 x x2 x3
n0
lim
n
sn( x)
lim
n
1 xn 1 x
1 , 1 x 发散，
| x | 1 | x | 1
xn在（ 1，1）内收敛于s( x)
1
.
n0

数学分析 101102一致收敛

有公共的N ( ),与x无关.
2 一致收敛
定义：
设 f n 在点集I上逐点收敛于f ,
若 0, 与x无关N ( ), s.t 当n N时, 对一切x I ,
都有 f n ( x ) f ( x ) ,
称 f n 在I上一致收敛于f .
几何意义: …….
2 一致收敛

例7. (1 x ) x , x [0, a ], (a 1).
n n1
n u ( x ) a , 解： n

一致收敛
例8. ne 在[ , )一致收敛
nx n 1

但是在[ ,)上, un ( x ) ne
n
1 2，一致收敛 n
说明：
一、函数项级数的定义
u1 ( x ), u2 ( x ),, un ( x ),定义于[a, b]上的函数列,

u ( x ) 称为[a, b]上函数项级数.
n 1 n
二、函数项级数的敛散性
在[a, b]上任取一点x0 , un ( x0 )是数项级数。
若给定x0 [a , b], un ( x0 )收敛,
fn ( x) f ( x)

2
n sup f n ( x ) f ( x )
xI

2

lim n 0.
n
证明：
若 lim n 0, 0, N ( ) 0, n N ( )时
n
n ,
x I , f n ( x ) f ( x ) n .
k k 1
n
n p
n
n p k 1

一致收敛函数列与函数项级数的性质

1 n 1
12n
2
(2n 2n2x)dx
而
1
lim
0 n
1
1 0dx
n
fn (x)dx
1 2
0
不相等
(2) 定理的条件是充分的, 但不必要
例3 fn (x) nxenx n 1, 2,... 在区间[0,1]上讨论.
f
(x)
lim
n
fn (x)
lim nxenx
n
0
x [0,1]
但在[0,1]上, fn(x) nxenx n 1, 2,...不一致收敛. 事实上,
{ fn(x)}的每一项在[a,b]上有连续的导数, 且{ fn(x)}在[a,b]上一致收敛,
则
d dx
f
(x)
d (lim dx n
fn (x))
lim n
d dx
fn (x)
3. 可微性
定理13.10 设{ fn (x)}为定义在[a,b]上的函数列, x0 [a,b]为{ fn(x)}的收敛点,
f (x)
f (x0 )
lim lim
xx0 n
fn (x)
f (x0 )
又 lim n
fn (x0 )
f (x0 )
lim
x x0
fn (x)
fn (x0 )
lim lim
n xx0
fn (x)
f (x0 )
所以
lim lim
xx0 n
fn
(x)
lim
n
lim
x x0
fn (x)
★ 在一致收敛条件下, 关于x与n极限可以交换极限顺序
fn (x) nxenx 在[0,1]的最大值为:

13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质

因为函数列 { fn } 在 [a , b]上一致收敛于 f ，所以
对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对一切
x ∈ [a , b]，
都有
| fn ( x ) － f ( x ) | < ε
b
于是当 n > N 时有
| f n ( x ) dx f ( x ) dx |
由柯西准则知数列 { an } 收敛．
设
lim a n A ,
n
x x0
下面证明： lim f ( x ) A . 因为{ fn } 一致收敛于 f ，数列 { an } 收敛于 A ，因此对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3 同时成立．特别取 n = N +1，有 | fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3
n
( iii ) lim f n ( a ) 不存在，
n
则{ f n ( x )} 在 ( a , b )内不一致收敛
定理 13.9（连续性）设函数列 { fn } 在区间 I 上一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上连续，则 f在 I 上也连续．
证要证：对任何 x0 ∈I , lim f ( x ) f ( x 0 ) .
x x0
由定理 13.8， lim lim lim f ( x ) x x lim f n ( x ) lim x x f n ( x ) n n

函数列与函数项级数一致收敛性解析

第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。

3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。

(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。

使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（注意定义域与收敛域的区别）。

若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。

数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质

详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在每个点的某个邻域内，函数列或级数的每一项都是有界的。这意味着在每个点的附近，函数列或级数的变化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函数项级数在每个点的邻域内都是连续的。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在每个点的某个邻域内，函数列或级数的每一项都是连续的。这意味着在每个点的附近，函数列或级数的值是平滑变化的，没有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中，一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表明实数具有某些理想的完备性。利用一致收敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套定理等。这些定理在实数理论中起着至关重要的作用，为实数性质的研究提供了重要的理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。

03第三讲余项准则,一致收敛的例

| fn( x) f ( x) | , x D.
由上确界的定义, 对所有 n N , 也有
sup | fn( x) f ( x) | .
xD
这就得到了(6)式.
数学分析第十三章函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其一致收敛性
函数项级数的一致收敛性判别法
定理13.2（余项准则）
函数列{ fn }在区间 D上一致收敛于 f 的充分必要条
件是:
lim sup |
n xD
fn( x)
f ( x) |
0.
(6)
充分性由假设, 对任给 >0, 存在正整数N, 使得
当n N 时,有 sup | fn( x) f ( x) | .
(7)
xD
因为对一切 x D, 总有
1 ]上有
f
(x)
lim
n
fn(
x)
0.
数学分析第十三章函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其一致收敛性
函数项级数的一致收敛fn ( x) 2n 2n2 x,
1 x 1,
2n
n
0,
1 x 1, n
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其一致收敛性
函数项级数的一致收敛性判别法
第三讲
余项准则一致收敛函数列的例
数学分析第十三章函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其一致收敛性
函数项级数的一致收敛性判别法

一致收敛函数列与函数项级数级数的性质.ppt

又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |

? lim
x x0
n1
un ( x)

n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)

lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|