狼追击兔子问题
狼追击兔子问题
已知条件：兔子位于兔子窝正南方60米处，狼位于兔子正东方80米处，狼的速度是兔子速度的二倍。
狼发现兔子时兔子也发现狼，这时二者一起起跑，并且狼始终盯着兔子跑。
问题：狼是否能追击到兔子？
在分析问题时我们先对理想条件进行判断，狼足够聪明以至于直接就看到了兔子窝，所以狼只需要直接跑直线就可以了，设兔子的速度为u ，那么狼的速度为u 2，狼距离兔子窝为1008060d 22=+=米，那么浪跑到兔子窝的时间为u /60u 2/100u 2/d t 〈==，由此可知狼先于兔子跑到窝边，狼只需要守窝待兔就可以吃到兔子。
但是在现实的大自然中，我们都知道兔子不吃窝边草因此狼在机智也不可能直接发现兔子窝，兔子窝通常有两个入口，两个入口距离10米左右。
我们现在对其进行实际分析需作如下假设
（1）兔子与狼速度恒定即兔子速度为1v ，狼的速度为2v ，并且21v v 2=。
（2）离兔子最近的窝的入口位于兔子正北60米。
（3）兔子再回窝的过程中始终沿直线运动。
建立二维坐标系，取兔子初始时刻的位置上为坐标原点（0,0），兔子窝坐标为（0,60），狼的坐标为（80,0）；那么兔子的坐标位置与时间的关系为（0，t v 1）；设狼的坐标位置为（x,y ）. 由于狼始终盯着兔子跑，那么狼运动轨迹的切向方程为
）（x dx
dy y -=-X Y ……（1）（（X,Y ）为切线上的点） 那么兔子的坐标一定在切向方程上将（0，t v 1）带入（1）得到
dx
dy -x y -t v 1= ……（2） 狼的速度在水平方向的分量为
dt
dx v =- ……（3） 狼速度在垂直方向的分量为 dt dy v =
⊥ ……（4） 由速度合成与分解得
222dt
dx dt dy v ）（）（+= ……（5） 将（2）式两边同时关于t 求导得
）（x *dt
dx *dx y d v 221-= (6)
由（5）知2
222v }dt dx dt dy
{1dt dx =+）（）（则22dx
dy 1v -dt dx ）（+=将此式带入（6）中得到 2/dx
dy 1x *dx y d 222））（（）（+=……（7） 编写MATLAB 程序
>> y=dsolve('x*D2y-sqrt(1+Dy^2)/2','y(80)=0','Dy(80)=0','x')
得到方程y =
(8*5^(1/2)*80^(1/2))/3 + (4*5^(1/2)*x^(1/2)*(x/80 - 3))/3
- (8*5^(1/2)*80^(1/2))/3 - (4*5^(1/2)*x^(1/2)*(x/80 - 3))/3
进行取舍得到狼的运动轨迹方程为
3
160)380)(*5(*34y +-=x x sqrt 得到函数图像
clear all ;
clc;
x=80:-1:0
y = 160/3 + 4*sqrt(5*x).*(x/80 - 3)/3
plot(0,y,'y',x,y,'r');
title('狼的追击曲线')
运行得
狼的追击曲线
根据已知条件知兔子的窝在（0,60）处，然而兔子在（53.333,0）处已经被狼捕获，所以我们知道兔子有一次被吃掉了，这就是血淋林的事实。
通过这个模型其实还可以引申出好多其他的追击问题，如导弹轨迹方程等。
但是此模型仍有许多因素是难以确定的并且没有考虑的，也是在一定的优化条件的基础上，现实的大自然中猎物与猎手始终是在相互进化的，不同的狼拥有不同的捕猎技巧，很难通过一个固定的模型来说明，但在可以很大程度地符合曲线。
算法分析与设计狼找兔子
链表法的具体实现
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <windows.h> typedef struct shandong { int num; int state; struct shandong *next; }cave;
void createlist(cave *head,int n) {//创建链表并初始化， p->state =0代表狼未进山洞 cave *p,*q; int i; p=head; for(i=0;i<n-1;i++) { p->num=i; p->state=0; q=(cave *)malloc(sizeof(cave)); p->next=q; p=q; } p->num=n-1; p->state =0; p->next=head; }
公约数法
#include <stdio.h> int check(int n,int m) { int i,temp,k; k=m<n?m:n; for(i=1;i<=k;i++) { if(m%i==0&&n%i==0) { temp=i; } } return temp; }
void main() { int n,m,result; scanf("%d",&n); scanf("%d",&m); result=check(n,m); if(result==1) printf(“该兔子死定了！\n"); else printf(“有安全山洞！\n"); }
饿狼追兔问题数学建模
饿狼追兔问题数学建模数学建模饿狼追兔问题摘要本文研究饿狼追兔问题，是在给定狼兔相对位置，以及兔子巢穴位置的情况下求解的，狼的速度是兔子速度两倍，在不考虑其他任何因素的情况下研究狼能否追上兔子的问题。
首先，我们对问题进行了适当的分析，然后根据已知条件建立了狼的运动轨迹微分模型。
其次，根据建好的模型，运用MATLAB编程，然后仿真画出了饿狼和野兔的运动轨迹图。
再次，用解析方法将建立的模型求解，并给出该问题的结论，准确的回答题目。
最后，用数值方法求解，将所求与前面所求进行对比，也给出结论，回答题目。
并将两种方法做相应比较。
结论：野兔可以安全回巢关键词：算法高阶常微分方程§1.1问题的提出在自然界中，各种生物都有它的生活规律，它们钩心斗角，各项神通，在饿狼追野兔的工程中，饿狼的速度是野兔的二倍，但是野兔有自己的洞穴，野兔在跑到自己洞穴之前被狼捉住，野兔就将会成为饿狼的囊中之物；如果野兔在饿狼捉住自己之前跑回到自己的洞穴，那么野兔就保住小命，得以生还。
图1-1-1为饿狼追野兔的两条曲线，其中绿线表示野兔，图中的箭头表示的是野兔的奔跑方向，野兔从远点开始沿y轴正方向运动，其洞穴在坐标为（0，60）的位置；红线为饿狼的运动轨迹，，图中的剪头表示饿狼追逐野兔的方向，饿狼从坐标为（100，0）的方向追逐野兔，饿狼的速度是野兔速度的二倍。
建立数学模型需研究一下几个问题：（1）设野兔的速度我v0，饿狼的速度为v1，野兔的奔跑方向是沿y轴正方向奔跑，而饿狼的方向是一直指向野兔的方向，即饿狼的运动的轨迹某一时候的切线指向同一时刻的野兔的位置。
建立饿狼追野兔的运动轨迹微分模型。
（2）根据建立的饿狼运动轨迹得微分模型，作出饿狼与野兔的运动轨迹图形。
（3）用解析方法求解，即根据第二步作出的饿狼渔业突地运动轨迹图形，分析兔子能否安全回到巢穴，即野兔的运动曲线与饿狼的运动曲线的交点是在点（0，60）-野兔巢穴的上面还是下面。
数学模型--狼追击兔子的问题
数学模型--狼追击兔子的问题一、问题重述与分析（一）问题描述神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。
狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达•芬奇提出的一个数学问题。
当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。
当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。
狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。
狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。
（二）问题分析1、本题目是在限定条件下求极值的问题，可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。
2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理，结合高等数学的有关知识，对微分方程进行求解。
3、将数学求解用Matlab程序语言进行实现得出方程的近似解。
4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。
二、变量说明V1 :兔子的速度（单位：码/秒）r :狼与兔子速度的倍数；V2：狼的速度（单位：码/秒），显然有v rv it:狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻）◎:在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码），$ s（t）S2 ：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码），S2 S2（t）Q（x i,yj :表示在时刻t时，兔子的坐标P（x,y）:表示在时刻t时，狼子的坐标三、模型假设1、狼在追击过程中始终朝向兔子；2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P（x, y）的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为y y（x）。
3、当猎狗与兔子之间的距离相当小时认为猎狗已经追上了兔子。
四、模型建立（一）建模准备以t = 0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x轴正向；则显然有兔子位置的横坐标x i 0。
对狼来说，当x = 100 , y= 0,即y x 1000在t = 0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向, 则有y xi00 0（二）建立模型1、追击方向的讨论由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P（x,y）点过狼的轨迹处的切线方向在y轴上的截距为y i。
小班游戏活动教案《小兔和狼》4篇
小班游戏活动教案《小兔和狼》小班游戏活动教案《小兔和狼》精选4篇（一）游戏名称：小兔和狼游戏目标：通过团队合作和沟通，帮助小兔子逃离狼的追捕。
游戏材料：1. 寻找场地：户外草坪、室内教室等。
2. 标记物：绳子、彩带或者地面标记等。
3. 彩色小球：代表小兔子。
4. 纸牌：代表狼，每位学生手中各持有一张。
5. 辅助道具：发令牌、计时器、提醒卡。
游戏流程：1. 游戏人数为一个狼和多个小兔子，人数比例可根据实际情况调整。
2. 在游戏场地中，设置一个安全区域（小兔子的家），并在场地的其他区域设置障碍物（代表森林、山脉）。
3. 将小兔子们随机分散在场地中，并要求他们站在标记物上。
4. 狼站在场地中央，并持有一张纸牌，其他学生不能看到纸牌的内容。
5. 游戏开始，狼开始逐个追捕小兔子。
6. 被追捕的小兔子们必须从一个标记物跳到另一个标记物上，以避免被狼追上。
标记物之间的距离可以根据实际情况设置。
7. 当小兔子成功跳到另一个标记物上时，他们获得一颗彩色小球。
8. 小兔子在安全区域中可以存储获得的彩色小球，以备后续使用。
9. 游戏时间结束后，整个团队汇总所有小兔子获得的小球数量。
10. 如果小兔子们在指定时间内成功躲避狼的追捕并获得足够的小球，团队胜利；否则狼胜利。
11. 游戏结束后，组织团队反思游戏过程中的团队合作、沟通等方面的问题，并给予适当的表扬和建议。
游戏提示：1. 安全第一，确保游戏场地的安全性，避免发生意外伤害。
2. 游戏时限可根据实际情况进行调整，确保游戏足够刺激而又不至于太长。
3. 强调团队合作、沟通和策略性思考的重要性，鼓励学生们互相帮助和提出建议。
4. 督促学生们遵守游戏规则，充分发挥小组合作和竞争的精神。
扩展活动：1. 可以根据实际情况调整游戏规则和场地设置，使游戏更加适合小班的年龄和兴趣。
2. 可以将游戏进行多轮，逐渐增加难度，例如增加狼的数量或增加障碍物的数量和复杂度。
3. 可以根据游戏进程给予奖励或者给予小兔子们额外的能力道具，增加游戏的趣味性和挑战性。
幼儿园小班游戏教案《狼和小兔》
幼儿园小班游戏教案《狼和小兔》教学目标：1. 帮助幼儿了解和认知故事中的角色：狼和小兔。
2. 培养幼儿的合作意识和团队精神。
3. 提高幼儿的动手能力和观察力。
4. 培养幼儿的想象力和创造力。
教学准备：1. 故事《狼和小兔》。
2. 纸和笔。
3. 卡片，上面画有狼和小兔的形象。
教学过程：1. 教师先给幼儿讲述故事《狼和小兔》，并用简单的语言解释主要情节。
引发幼儿的兴趣和注意力。
2. 激发幼儿的思考和表达能力：a. 让幼儿自由发表对于故事的感受和想法。
b. 引导幼儿思考，为什么狼要吃掉小兔？小兔如何逃脱？鼓励幼儿提出自己的解决方案。
3. 分组游戏：a. 将幼儿分成两组，一组扮演狼，一组扮演小兔。
b. 教师为每个小组发放狼和小兔的卡片。
c. 定义一个规则，比如狼要追逐小兔，小兔要逃离狼的追击。
d. 小兔可以在场地中任意奔跑，而狼必须带着牙齿夹住自己的手臂来模仿狼的形象。
e. 当狼追到小兔并抓住小兔的时候，此局游戏结束。
f. 接下来，可以让两组换位继续游戏，展示幼儿们的团队合作和角色转换能力。
4. 制作绘本：a. 教师发放纸和笔给幼儿们。
b. 引导幼儿们绘制故事中的场景与角色：狼和小兔。
c. 鼓励幼儿们根据自己的理解和想象，为故事编写一个简单的文字描述。
d. 教师可以帮助幼儿们挑选合适的词汇和句式。
e. 鼓励幼儿们在绘本中展示自己的创造力和想象力。
5. 游戏总结：a. 教师带领幼儿们回顾整个游戏过程，重点强调团队合作和角色转换的重要性。
b. 引导幼儿们思考，小兔最后是如何逃脱狼的追击的？c. 引导幼儿们总结游戏中的收获和体会，分享自己的思考和解决问题的经验。
教学延伸：1. 可以将故事《狼和小兔》和其他动物的故事进行对比，比较不同动物之间的行为和习性。
2. 可以组织幼儿们进行角色扮演，扮演不同动物并创造自己的故事情节。
3. 可以通过手工制作狼和小兔的面具，让幼儿们在游戏中扮演不同的角色。
追击问题解析解方法
两式消去 h，可得：
b
x
1 [ f ' (t )]2 dt 2[ y xf ' ( x)]
2 两边对 x 求导： 1 [ f ' ( x)] 2 xf ' ' ( x)
所以可得 y=f(x)满足下面的微x )]2 2 xf ' ' ( x ) f ' ( x ) | x b 0 f ( x ) | x b 0
基本假设： 狼跑动的方向应该是始终正对着兔子的， 所以狼的运动路线是一条曲线， 如下图：
y A(0,a) y=f(x) H(0,h) C(x,y) O(0,0) B(b,0) x
狼能追上兔子的条件：？ 解决问题的关键：求出狼的运动轨迹为 y=f(x) 由于初始时刻兔子位于原点处，狼的运动方向应该是正对原点，所以有：
y'| x b 0, y | xb 0
设兔子跑到 H(0,h)处时，狼跑到 C(x,y)处，则（注意狼的速度是兔子的两倍， 狼跑的方向应该正对兔子，狼跑的距离是由弧长公式计算出来的） ：
h y f ' ( x) 0 x b 1 [ f ' (t )]2 dt 2h x
用 matlab 解上面的微分方程可得：
y
1 2 1/ 2 ( 3 b x ) x b 3b1/ 2 3
2 2 所以当 x 0时, y b ,也就是说当 b a ，狼可以追上兔子。 3 3 附：求解微分方程的 matlab 代码： y=dsolve('2*x*D2y=(1+(Dy)^2)^(1/2)','y(b)=0','Dy(b)=0','x')
小学奥数猎追兔问题及解析
小学奥数猎*追兔问题及解析
猎*追赶前方30米处的野兔.猎*步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎*跑3步的时间兔子能跑4步。
*至少跑出多远才能追上野兔?(思考：此时兔子跑了多少米?)
【解析一】猎*跑12步的路程兔子要跑21步，猎*跑12步的时间兔子要跑16步，在猎*跑12步这个单位时间内，两者的速度差为兔子的5步，所以猎*追击距离为：30÷5×21=126(米).
【解析二，推荐】此处求*跑了多少米，所以统一兔子。
题目条件统一兔子
距离兔7步，*4步兔28步，*16步
时间兔4步，*3步兔28步，*21步
所以兔子跑28步时间内，*比兔子多跑*步长的21-16=5步。
*要跑30÷5×21=126米才能追上兔子。
思考：如果要求兔子跑了多少米，就得统一*。
题目条件统一兔子
距离兔7步，*4步兔21步，*12步
时间兔4步，*3步兔16步，*12步
所以*跑12步时间内，*比兔子多跑兔步长的21-16=5步。
兔要跑30÷5×16=96米才能追上兔子。
当然也可以用126米-30米=96米。
狼追兔-数量关系常考点
狼追兔，也是数量关系常考的追及问题；与普通的行程问 题，最大的差距就是需要寻找狼与兔子步数的最小公倍数
狼追兔经典例题
• 一只兔逃出80步后，狼才追它。野兔跑8步的行程，狼只需跑3步；而狼
跑4部的时间，兔子可跑9步，那么狼至少跑（432 • D.512
解析
• 一只兔逃出80步后，狼才追它。野兔跑8步的行程，狼只需跑3步；而狼
跑4部的时间，兔子可跑9步，那么狼至少跑（）步才能追上兔。
• 首先找到狼与兔步数与时间的连接点：32步（兔）= 12步（狼）；12步
狼= 27步（兔）；也就是说，狼每跑12步，则可以追击5兔步
• 其次：80兔步差=16*5兔步差=16*12狼步=192狼步
谢谢
三只小兔子和狼的故事原文
三只小兔子和狼的故事原文三只小兔子和狼的故事原文
从前，有三只小兔子，他们住在一片茂密的森林里。
小兔子们都很聪明，喜欢玩耍和探险，他们每天都会到森林里去寻找新奇的事物。
小兔子们的父母总是提醒他们要小心森林里的危险，但是小兔子们总觉得自己能够应对任何情况。
有一天，小兔子们在森林里玩耍的时候，发现了一只凶猛的狼。
狼看见小兔子们，张开了血盆大口，准备把他们当成自己的晚餐。
小兔子们被吓坏了，他们想要逃跑，但是发现狼跑得比他们快。
小兔子们不知道该怎么办，他们开始寻找安全的地方躲避狼的追击。
他们找到了一座石头桥，小兔子们横跨着桥，想要躲避狼。
但是，狼却已经发现了小兔子们躲在石头桥下面的洞穴里。
狼大声咆哮说：“小兔子们，你们别以为躲在洞穴里我
就找不到你们了，我还会等待你们的出现。
”
小兔子们非常担心自己的安全，他们想尽办法寻找逃跑的路线。
小兔子们想到了一个聪明的主意，他们用大石头堵住了洞口。
狼发现小兔子们已经躲走了，他跑到石头桥上，尝试找到小兔子们的踪迹。
但是，他却被小兔子们的聪明行为吓到了，狼不知道该怎么办，直到天黑了，他才离开了石头桥。
小兔子们终于逃脱了狼的追击，他们感到非常高兴和自豪。
他们知道自己的聪明行为救了自己的命，他们决定以后要更加小心，避免任何危险的情况发生。
这个故事告诉我们，即使在遇到危险的时候，我们也要保持冷静和清醒的头脑。
只有通过聪明的行动，我们才能够摆脱危险，保护自己的生命安全。
小兔子们的故事让我们明白了怎样在面对困难和危险时，保持冷静并采取聪明合理的行动。
一阶常微分方程-高阶常微分方程-方程组-差分方程-偏微分方程模型
计可以通过
dN / dt r sN , s r
N
进行线性拟合。其中
Nm
dN / dt N / t
。而
模型的检验也可以通过这两个参数的估计
量与一个实际的人口数量之间进行比较加
以检验。
（5） 阻滞增长模型不仅能够大体上描述人 口及许多物种的变化规律，而且在社会经
济领域中有广泛的应用，如耐用消费品的 销售量也可以用此模型来描述。
新技术推广模型
一项新技术如何在有关企业中推广,是 人们最为关心的问题,也就是说,一旦一家企 业采用了一项新技术,那么行业中的其他企 业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素 将影响到技术的推广？下面我们在适当的 条件下讨论此问题。
记p(t)为t 时刻采用该技术的企业数。并
设 p(t)连续可微。假设未采用该技术者之所 以决定采用该技术，是因为其已知有的企 业采用了该技术并具有成效。即是以“眼 见为实”作为决策依据的,亦即“示范效应” 在起作用。
增长率递增的现象），但是随着人口数的 增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的 现象。再考虑到环境适应程度的制约，想 象人口的增长不可能超过某个度。
（2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用 拟合或者参数估计的方法得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散的近似 表达式 N (t) N0 (1 r)t 作为人口的预测表 达式。
在式 (1) 中，设
A A0ert ( A0 , r 0)
即自发支出有一个常数增长率r ，则式 (2) 的
解为
Y (t)
(
A0
r)
e t
Y0
(
A0
r)
e
t
由此可见：
(1)当
r