MATLAB的根轨迹分析
基于MA TLAB 的根轨迹分析
一．实验目的：
1.学习利用MATLAB 的语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2.学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二．实验内容：
1.应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。
2.求出系统稳定时，增益k 的范围。
3.分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三．实验步骤
1.给定某系统的开环传递函数G(s)H(s)=k/s(s*s+4s+16),用MATLAB 与语言绘出该系统的根轨迹。
程序如下：
num=[1];
den=[1,4,16,0];
G=tf(num,den)
G1=zpk(G)
Z=tzero(G)
P=pole(G)
pzmap(num,den);
title('pole-zero Map')
rlocus(num,den)
根轨迹如图
-12-10-8-6-4
-2024-10-8
-6
-4
-2
024
6
8
10
Root Locus
Real Axis I m a g i n a r y A x i s
结论：由上图可知增益k 的取值范围：0<k<64
2.将系统的开环传递函数改为：G(s)H(s)=k/s(s*s+4s+5),绘出该系统根轨迹图，观察增加了开环零点后根轨迹图的变化情况。
程序如下：
num=[1,1];
den=[1,4,5,0];
G=tf(num,den)
G1=zpk(G)
Z=tzero(G)
P=pole(G)
pzmap(num,den);
title('pole-zero Map')
rlocus(num,den)
根轨迹如图
-2.5-2-1.5
-1-0.50-5-4
-3
-2
-1
012
3
4
5
Root Locus
Real Axis I m a g i n a r y A x i s
结论：增加了开环零点后根轨迹的变化
3.将系统的开环传递函数改为：G(s)H(s)=k/s(s-1)(s*s+4s+5),绘出该系统的根轨迹图，观察增加了开环零点后根轨迹的变化情况。
程序如下：
num=[1];
den=[1,3,5,-5,0];
G=tf(num,den)
G1=zpk(G)
Z=tzero(G)
P=pole(G)
pzmap(num,den);
title('pole-zero Map')
rlocus(num,den)
-5-4-3-2-1
0123-4-3
-2
-1
01
2
3
4
Root Locus
Real Axis I m a g i n a r y A x i s
1、实验前利用图解法画出系统的根轨迹（2()()(416)K
G s H s s s s =++），
算出系统稳定的增益范围，与仿真界面所得的值相比较
2、利用图解法绘制根轨迹的8个规则是什么?
3.闭环极点为实根时响应曲线的形状如何？有共轭复根时响应曲线的形状如何？。
利用MATLAB进行根轨迹分析
利用MATLAB进行根轨迹分析根轨迹分析是一种用于研究系统稳定性和动态特性的方法，通过研究系统的传递函数来绘制系统极点随参数变化的轨迹。
MATLAB提供了强大的工具和函数来进行根轨迹分析。
根轨迹是由系统的极点随参数变化所形成的轨迹，它可以反映系统的稳定性、阻尼比、上升时间、超调量等动态性能指标。
根轨迹的绘制通常包括以下步骤：1.定义系统传递函数：首先，需要根据具体的控制系统问题定义系统的传递函数。
传递函数是描述输入与输出间关系的数学模型，通常用分子多项式和分母多项式的比值来表示。
2. 极点位置确定：根据系统传递函数的分母多项式，可以求解系统的极点位置。
MATLAB提供了roots函数来计算多项式的根。
3. 绘制根轨迹：通过参数变化，将系统的极点位置代入传递函数的分子多项式中，可以计算得出系统的零点。
然后，使用MATLAB的plot函数将所有极点和零点绘制在复平面上。
4.判断稳定性：通过观察根轨迹的形状，可以判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于左半平面，系统是稳定的。
如果存在极点位于右半平面，系统是不稳定的。
5.分析动态特性：根轨迹的形状可以提供许多关于系统动态特性的信息。
例如，阻尼比可以通过根轨迹上极点到原点的距离和纵坐标之比来估计；超调量可以通过根轨迹的形状和最大振幅来估计。
MATLAB提供了许多用于根轨迹分析的函数和工具箱，包括rlocus函数、nyquist函数和bode函数等。
这些函数可以方便地绘制根轨迹、Nyquist图和Bode图，从而帮助工程师分析系统稳定性以及设计和调整控制器。
根轨迹分析在控制系统设计和调优中具有重要作用。
通过根轨迹的绘制和分析，工程师可以深入了解控制系统的动态特性，并根据需要调整系统参数来达到设计要求。
同时，根轨迹分析也是控制系统教学和研究中常用的方法和工具。
总之，MATLAB是进行根轨迹分析的强大工具，通过绘制根轨迹和分析根轨迹的形状和特性，可以帮助工程师深入了解控制系统的稳定性和动态特性，从而有效地设计和调整控制器。
用MATLAB绘制根轨迹
国防工业出版社
.
16
[M例a子tla]b系画统出的系开统环的传根递轨函迹数。为：Gk(s)s(s11)(s2) ，试利用 [解]打开Matlab,创建一个m文件，输入下列程序片段：
num=[0 0 0 1];%开环传递函数分子系数，降幂排列 den=[1 3 2 0]; %开环传递函数分母系数，降幂排列 r=rlocus(num,den);
(s)
|sd
可以求得分离点。
近似求法：分离点在[-4，0]之间。
s0
-0.5 -1 -1.5 -2.0 -2.5 -3 -3.5 -4
k gd 0
1.628 3
5.971 8.80 9.375 7.457 3.949
k gd 的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。
.
4
➢ 入射角：2 103 ➢ 与虚轴的交点（略）。这时的增益值：kgp14,64,195
解得：kg 44
k ( i s 1)
开环传递函数以G k (s)
i 1 n
的形式表示时，k称为开环放
大系数。
(T j s 1)
j 1
显然 k与 k g 的关系为：k kg
zi ，式中 p j 不计0极点。 pj
所以，开环放大系数：k 44 1.83
46
由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点
n2 2nsn2
(s)
n2 s(s2)
共轭极点为：s1,2 nj 12n
在s平面上的分布如右图： 闭环极点的张角 为：
n
j 1 2n
co s(12 n)n 2 (n )2, co 1s
控制系统MATLAB仿真2-根轨迹仿真
Gk ( s)
k g ( s 0.5) s( s 1)( s 2)( s 5)
绘制系统的根轨迹，确定当系统稳定时，参数kg 的取值范围。 num=[1 0.5]; den=conv([1 3 2],[1 5 0]); G=tf(num,den); K=0:0.05:200; rlocus(G,K) [K,POLES]= rlocfind(G) figure(2) Kg=95; t=0:0.05:10; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0,t)
Root Locus 8
8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -8 x x x
6
4
2
Imaginary Axis
0
-2
-4
-6
-8 -8
-6
-4
-2
0 Real Axis
2
4
6
8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
(a) 直接绘制根轨迹
(b) 返回参数间接绘制根轨迹
图1 例1系统根轨迹
二、MATLAB根轨迹分析实例
用户可以通过Control Architecture窗口进行系 统模型的修改，如图9。
图9 rltool工具Control Architecture窗口
也可通过System Data窗口为不同环节导入已 有模型，如图10。
图10 rltool工具System Data窗口
可以通过Compensator Editor的快捷菜单进行 校正环节参数的修改，如增加或删除零极点、 增加超前或滞后校正环节等，如图11。
Step Response 2 1.8 1.6 1.4 1.2
Matlab实验三 绘制根轨迹
for
Principles of Automatic Control
实验三 绘制根轨迹 1: 绘制根轨迹 2: 参量分析
① 绘制根轨迹 rlocus(sys)
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
rlocus(num, den)
rlocus(sys,k)
②参量分析（根轨迹图上一顿乱点即可）
K1
(s a )nm
1
根轨迹渐进线的方程是新的根轨迹方程。
Байду номын сангаас
• 例: 绘制根轨迹及其渐近线
G(s)
K1
s(s 1)(s 2)
⑥讨论增加零点对根轨迹的影响 试试-2至-4之间的零点
G(s)
K1
s(s 1)(s 2)
r=rlocus(sys)
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
r=rlocus(num, den)
[r,k]=rlocus(sys)
[r,k]=rlocus(num, den)
③测量出根轨迹增益和对应闭环极点坐标,
在窗口显示
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
[k,poles] = rlocfind(sys)
[k,poles] = rlocfind(sys,p) P为已知的要研究的闭环极点。
④绘制零、极点以及在窗口显示零极点
pzmap(sys)
Gk
(s)
K *(s 1) (s 2)(s 3)
[p,z]=pzmap(sys) 求解零极点的好方法
⑤绘制根轨迹渐近线
一般人我不告诉他:
当根轨迹渐进线与实轴的交点已求出后， 可得到方程，这是根轨迹渐进线的方程。
控制系统的根轨迹分析(matlab)
用户可以 通过 Control Architec ture窗口 进行系统 模型的修 改，如图 13.10。
图13.10 rltool工具Control Architecture窗口
也可通过 System Data窗口 为不同环 节导入已 有模型， 如图 13.11。
图13.11 rltool工具System Data窗口
1
0.8
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
图13.8 例4当时系统的单位阶跃响应曲 线
13.2图形化根轨迹法分析与设计
图形化根轨迹法分析与设计工 具rltool
• MATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltool 是对SISO系统进行分析设计的。既可以分析 系统根轨迹，又能对系统进行设计。其方便 性在于设计零极点过程中，能够不断观察系 统的响应曲线，看其是否满足控制性能要求， 以此来达到提高系统控制性能的目的。
%鼠标确定文本的左下角位置
gtext('x')
Imaginary Axis
Root Locus
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
x
xx
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
(a) 直接绘制根轨迹
实验六 用MATLAB进行根轨迹分析
rlocus(G);
axis([-8 5 -5 5])
hold on
disp(‘press any key to continue.’)
pause
end
clear
clc
Wn=2;
Xita=.5;
b=[1,3,5];
主导极点法：在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环极点作为主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距离远6倍以上（在许多实际运用中，常取2～3倍）的闭环零极点。选留的主导零点数不要超过主导极点数。
主导极点法常用于估算高阶系统的性能。用主导极点代替全部闭环极点绘制系统时间响应曲线时，形状误差仅出现在曲线的起始段，而主要决定性能指标的曲线中、后段，其形状基本不变。
for i=1:3
G=tf(Wn^2*[1,b(i)]/b(i),[1,2*xita*Wn,0]);
rlocus(G);
disp(‘press any key to continue.’)
pause
hold on
end
四、实验方法、步骤：
1）MATLAB参考程序(1)如下：
2）MATLAB参考程序(2)如下：
五、实验现象、实验数据记录：
六、实验现象、实验数据的分析：
七、实验结论：
指导教师评语和成绩评定：
实验报告成绩：
指导教师签字：
年 月 日
clear
clc
Wn=2;
xita=0.5;
a=[1,3,5];
for i=1:length(a)
闭环实数主导极点对系统性能的影响：相当于增大系统的阻尼，使峰值时间滞后，超调量下降。如果实数极点比复数极点更接近坐标原点，动态过程可以变成非振荡过程。
利用MATLAB进行根轨迹分析
实验二 利用MATLAB 进行根轨迹分析一 实验目的1 掌握利用MA TLAB 绘制控制系统根轨迹图形等方法。
2 掌握利用绘制的根轨迹图形进行线性系统分析的方法二 实验内容1 初步掌握MA TLAB 根轨迹绘制以及分析中的基本命令；2 绘制系统的根轨迹图并进行性能分析三 实验步骤1 初步掌握MA TLAB 根轨迹绘制中的基本命令；可利用pzmap 函数绘制连续系统的零、极点图，也可以利用tf2zp 函数求出系统的零、极点。
如考虑函数432543232546()34276s s s s G s s s s s s ++++=+++++ 的零、极点及增益，并绘制其零、极点图。
执行如下程序：num=[3 2 5 4 6];den=[1 3 4 2 7 2];[Z,P,K]=tf2zp(num,den)pzmap(num,den)Title(‘Pole-Zore Map ’)或者num=[3 2 5 4 6];den=[1 3 4 2 7 2];sys1=tf(num,den)pzmap(sys1)Title(‘Pole-Zore Map ’)绘制结果如下：2 绘制系统的根轨迹考虑如下开环传递函数*2()()(3)(22)K G s H s s s s s =+++ 试绘制根轨迹执行如下命令：num=[0 0 0 0 1];den=[1 5 8 6 0];rlocus(num,den)grid绘制结果如下：四 作业1 设单位反馈系统的开环传递函数为(0.011)(0.021)K s s s ++，要求：（1）画出根轨迹；（2）从图中确定系统的临界稳定开环增益c K ；（3）从图中确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K 。
2 设单位负反馈系统的开环传递函数(4)()(2)K s G s s s +=+，试绘制根轨迹图，并从图中找出系统具有最小阻尼比时的闭环极点和对应的增益K 。
实验五根轨迹分析
|实验四 用MATLAB 绘制根轨迹图 （The Root Locus Using MATLAB ）一、绘制系统的根轨迹在绘制根轨迹之前，先把系统的特征方程整理成标准根轨迹方程r num(s)1+G(s)H(s)=1+K =0den(s)⋅其中：rK为根轨迹增益；num(s)为系统开环传递函数的分子多项式；den(s)为系统开环传递函数的分母多项式。
绘制根轨迹的调用格式有以下三：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定； rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定； [K,p]=rlocfind(G ) 确定所选定处的增益和对应的特征根。
例4.1 已知某系统的开环传递函数为s s s s K s r 424)(23+++⋅=G试绘制该系统的根轨迹。
解： 在Matlab 命令窗口键入 num=[1 4];den=[1 2 4 0]; rlocus(num,den)可得如图4-1的结果。
-5-4-3-2-11-10-8-6-4-20246810Real AxisI m a g i n a r y A x i sRoot Locus图4-1由于采用rlocus()函数绘制根轨迹时，不同的根轨迹分支之间只区分颜色而不区分线形，所以打印时是不容易分辨各个分支的，需要在运行Matlab 程序时注意观察曲线的颜色。
■例4-2 若要求例4-1中的r K 在1到10之间变化，绘制相应的根轨迹。
解 在MATLAB 命令窗口键入 num=[1 4];den=[1 2 4 0];k=[1:0.5:10]; rlocus(num,den,k)可得如图4-2.的结果。
-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s图4-2例4-3 设系统的开环传递函数为)22)(3(()(2+++=s s s K s s rs H G ）试绘制其闭环系统的根轨迹图并在图上找出几点的相关数据。
MATLAB的根轨迹分析
基于MATLAB 的根轨迹分析一．实验目的：1.学习利用MATLAB 的语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2.学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二．实验内容：1.应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。
2.求出系统稳定时，增益k 的范围。
3.分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三．实验步骤1.给定某系统的开环传递函数G(s)H(s)=k/s(s*s+4s+16),用MATLAB 与语言绘出该系统的根轨迹。
程序如下：num=[1];den=[1,4,16,0];G=tf(num,den)G1=zpk(G)Z=tzero(G)P=pole(G)pzmap(num,den);title('pole-zero Map')rlocus(num,den)根轨迹如图-12-10-8-6-4-2024-10-8-6-4-20246810Root LocusReal Axis I m a g i n a r y A x i s结论：由上图可知增益k 的取值范围：0<k<642.将系统的开环传递函数改为：G(s)H(s)=k/s(s*s+4s+5),绘出该系统根轨迹图，观察增加了开环零点后根轨迹图的变化情况。
程序如下：num=[1,1];den=[1,4,5,0];G=tf(num,den)G1=zpk(G)Z=tzero(G)P=pole(G)pzmap(num,den);title('pole-zero Map')rlocus(num,den)根轨迹如图-2.5-2-1.5-1-0.50-5-4-3-2-1012345Root LocusReal Axis I m a g i n a r y A x i s结论：增加了开环零点后根轨迹的变化3.将系统的开环传递函数改为：G(s)H(s)=k/s(s-1)(s*s+4s+5),绘出该系统的根轨迹图，观察增加了开环零点后根轨迹的变化情况。
第14讲应用MATLAB的根轨迹分析
第四章 根轨迹分析法 解: 1）创建MATLAB环境。 (1)在MATLAB环境下输入如下文本程序 g=tf(1，conv([1,1,0],[1,3])); rlocus(g) (2)在根轨迹图上找到 s 3 3 .2 5 实部比为
ts 3 n
3 .2 5 0 .3 7 2 8 .7 3 ~ 5
3 2
T (s )
在MATLAB环境下输入如下文本程序： g=tf(1.81,[1,4,3,1.81]) step(g)
% 1 6 % , t p 5 .1 7 s, t s 7 .5 9s
自动控制原理
12
第四章 根轨迹分析法 2）单位斜坡函数输入时，
e ss e ss lim s
自动控制原理
13
第四章 根轨迹分析法
总 结
1. 根轨迹法是一种图解方法。它不用求解高次代数方程 即可将系统闭环特征方程的根解出来。
2. 根轨迹是以开环传递函数中的某个参数为参变量而画 出的闭环特征方程式的根轨迹图。 3. 根轨迹图不仅能直观地表示出参数的变化对系统性能 的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼比 相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭环 零点，就能计算出系统的输出响应及其性能指标，从而 避免了求解高阶微分方程 的麻烦。
g 2
Imaginary Axis
0.88
1
(s 1) s (s 4 s 8 )(s 3)
2
1 K
g
0 0.88 1 2 3 0.38 -2 0.27 -1.5 Real Axis 0.19 0.12 0.06 -1 -0.5 4 5 0
MATLAB程序为 0.68 num=[1,1]； 0.5 -5 den=conv([1,4,8,0],[1,3])； -3 -2.5 g=tf(num,den) 图4-25 rlocus(g)