相似理论与相似设计方法分解

5. 相似指标
已知系统的速度 相似系统的速度
dl w d li 由相似常数可知： Cl li
dl w d wi i Cw C wi i
CwC 1 Cl
dl Cl dl Cl w Cw w w d C d C
二. 相似定理
1. 相似的第一定理（相似正定理） 相似第一定理是说明相似现象的性质的，所 以又称为相似性质，主要有以下内容： 1）相似现象具有相同形式的方程组； 2）相似现象的各对应量具有相似常数性质 的数学表达式； 3）相似现象的相似指标等于1； 4）相似现象必定具有数值相同的相似准则。
2. 相似第二定理（ 定理）
n
三. 相似准则的确定法
积分类比法 方程分析法 相似准则 确定法 量纲分析法 相似定数法 相似变换法
1. 积分类比法

写出相应的微分方程式和单值条件； 用方程式中的任一项去遍除其它各项； 进行各有关量的积分类比替代，得出相 应的相似法则。
2. 相似定数法

写出微分方程和单值条件； 选择所有变量的测量单位； 方程中各物理量都用其无量纲来代替； 用方程中任一个幂次组合量除方程中的 各项，求得相似准则。
1. 相似的分类



几何相似 时间相似 运动相似 动力相似 其他物理现象相似
1）几何相似（空间相似）

l1
l1

l2
l2

l3
l3
Cl
A A, B B, C C
相似流体
定义： 两流动的对应边长成同一比例，对应 角相等。 尺度比例系数
例1
试用瑞利法分析溢
流堰过流时单宽流量q
的表达式。已知q 与堰
H q
顶水头H、水的密度ρ 和
重力加速度g 有关。
解答
1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶水 头H、水的密度ρ 和重力加速度g 有关，用函数关系 式表示为
q f (H , , g )
2. 将q写成H，ρ ，g的指数乘积形式，即



3）对生产和销售企业来说，系列化产品便于存库 管理；对用户而言，系列化产品的使用规定和方法相 同，方便使用。 产品系列化设计时，首先选定某一中档的产品为 基型，对它进行最佳方案的设计，定出其材料、参数 和尺寸。然后再按系列设计原理，及通过相似原理求 出系列中其他产品的参数和尺寸。前者称为基型产品， 后者称为扩展型产品。 在产品系列化设计中，一般采用两种造型原理： 几何相似产品系列化设计和几何半相似产品系列化设 计。
• 描述某个现象的各种物理之间的关系， 可表示成相似准则 1 , 2 , n 之间的函 数关系。这种关系式称为准则关系式或准 则方程式。
F (1 , 2 , n ) 0
i ：已定准则；
在实际试验中，取
：待定准则；
A1 2 3
4. 相似常数和相似定数的区别
1）数学表达式不同 相似常数 相似定数
ui ui1 Cu ui ui1
2）物理意义不同
ui ui iu ui1 ui1
• 相似常数是两个相似系统在对应点上各对应量之 间的比值。对于两个已定的相似系统是定值。 • 相似定数是同一系统内同类物理量之间的比值。 对于两个相似的系统，对应的比值不变。
4）动力相似
是指力场的几何相似。
F1

F1

F2

F2

F3

F3
CF
5）其他物理现象相似


前提：时间相似和空间相似。 例如：温度，浓度，密度，黏度等等。 相似是指：表述该现象的所有量，在空 间中相对应各点和在时间上相对应的各 瞬间，各自互成一定的比例关系，并且 被约束在一定的数学关系之中。 相似系统中，物理量的比例常数称为相 似常数，它是物理量相似的数学表达式。
3. 量纲分析法

量纲就是采用基本度量单位表示导出单 位的表达式。在国际SI单位制中，把长 度L(m)，质量M(kg)，时间T(s)和温度t(k) 定为基本量。
量纲与单位的区别
• 量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各
种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度
量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度 的性质。
lm kl C lp
Am kA kl2 Ap
面积比例系数
体积比例系数
Vm kV kl3 Vp
2）时间相似
是指对应的时间间隔互成比例。
1

1

2

2

3

3
C
3）运动相似
是指速度场或加速度场的几何相似。
w1

w1
w2 w2源自w3 w3
F CF F , m Cmm, C
Cv dv CmCv dv dv m Cm m m d C d C d
（接上页）
CF C dv F m C m Cv d CF C 1 CmCv
相似指 标
a=3/2 b=0 c=1/2
6. 代入指数乘积式，得
q kH g
3/ 2 0
1/ 2
k gH
3/ 2
即
q k1 gH 3/ 2 m 2gH 3/ 2
其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验来 确定。
相似设计方法
相似理论在产品系列中的应用又称相似性设计。 为了满足使用者的不同要求，工厂常设计和生参系列 产品。系列产品是指具有相同功能、相同结构方案、相同 或相似的加工工艺，且各产品相应的尺寸参数及性能指标
l1 l1 il l2 l2
w1 w1 iw w2 w2
变换为：
u1 u1 iu u2 u2
1 1 i 2 2
F1 F1 iF F2 F2
推论




一个已知系统任何物理量的比值等于 与之相似的系统中相对应量的比值。 i F 等称为相似定数。 il， i ，iw ， 相似定数是同一系列内同类物理量间 的比例。 对该系统各个不同的点，相似定数的 值则不同。
Cw
流体的速度
定义：两流动的对应点上的流体速度 成同一比例。 vm 引入速度比例系数 kv C vp 由于 vm lm / tm vp lp / tp 因此 k lm tm kl k tm
v
lp tp
kt
t
tp
运动相似建立在几何相似基础上，那么 运动相似只需确定时间比例系数 kt 就可以 了。运动相似也被称之为时间相似。
4. 相似准则的组合与变换

对于复杂现象，可能存在几个相似 准则；相似现象可以根据需要写成 不同的形式，也可以和常数值或其 他的相似准则进行不同的组合或变 换，所得的新的相似准则具有新的 物理意义。
1）常见的组合与变换



相似准则的指数幂，即 仍是相似准则； n m s , , 相似准则的指数积，即 1 2 n 仍是相似 准则； 相似准则与任何常数的和或差仍是相似准则； n m s 相似准则间的和或差，即 1 2 n仍 是相似准则； 相似准则中任一物理量用其差值代替仍是相似 准则。
(1, 2 , n )
3. 相似第三定理（相似逆定理）

相似第三定理规定了相似的必要条件， 它又称为模型化规则。
相似的必要条件： 1）相似的现象都应由文字完全相同的方程组所 描述；
2）相似现象的单值条件也应相似；
3）由单值条件的物理量所组成的相似准则在数 值上应相等，即相似指标应等于1。
F m v 1 F m v
相似准 则
F F F idem mv mv mv
相似准则的含义



表明了在已知系统和相似系统中，不同 类物理量之间的乘积必须在数值上相等。 相似准则是一个无量纲的数。 相似准则使用无量纲，能体现较深入的 内容。 相似准则使用无量纲，更准确地表达自 然规律。
相似理论与相 似设计方法
学习内容



基本内容：掌握相似变换、相似定数、 相似常数、相似指标、相似准则等相似 概念；掌握相似第一定理；了解相似准 则的方程式分析法；掌握量纲分析法。 重要内容：相似第一定理，相似的基本 概念，量纲分析法。 难点内容：量纲分析法。
一. 基本概念




相似理论是研究相似现象的性质及其规律的理论。 （相似条件、相似准则和相似定理） 研究目的是应用相似理论，把个别现象的实验结果推 广应用到与之相似的所有现象上去。 相似理论综合了数学分析和实验研究的特点，其优点 是大大减少实验工作设置和费用，而且扩大了实验结 果的使用范围。 相似理论是一种完整的研究、整理和综合实验数据的 方法论。 相似理论应用广泛，在机械领域的应用方法学统称为 相似设计法。
2. 相似变换


把一个已知系统的每一个量的大小都用 相似常数的倍数来进行变换，所得到的 新系统就和原来的已知系统相似。 相似常数也可称为相似变换时的相似比 例。
相似变换的推论 u2 u u1 Cu 如果 u2 u u1
那么
u2 u2 Cu u1 u u1 Cu u2 u2 u u1 u1

相似常数与相似定数只是规定单值条件 的相似，当考虑到一个物理现象的时候， 不能只局限于相似常数和相似定数，需 要从描述该现象的多个物理量方程式出 发，对其相似条件进行分析。
6. 相似准则