高等数学第七章向量
第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 空间直角坐标系§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法一、判断题。
1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。
（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。
（ ） 3． 任二向量,=则=同向。
( ) 4． 若二向量,,则,同向。
（ ）5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b，则b a ,反向。
（ ）6． 若+=+,则=( ) 7． 向量,满足=，则,同向。
（ ） 二、填空题。
1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。
4． 设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。
6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。
三、选择题。
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为（A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+2．已知梯形OABC 、CB //OA 且=21a ，OC =b ，则AB = （A ）21- （B ）21- （C ）-21 （D ）21-3．设有非零向量,，若a ⊥ b ，则必有（A+（B+（C<-（D+>三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。
四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。
六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
§7.3 向量的坐标一、判断题1．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。
( ） 2．零向量在任一轴上投影为零。
（ ） 3．设向量a 的方向角α=0,则a 必垂直于yoz 面。
（ ） 4．若α、β、γ是向量的方向角，则{cos α,cos β,cos γ}是单位向量。
（ ） 5．若={z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为x ，a z 。
（ ）二、填空题1=4，a 与轴l 的夹角为6π，则al prj =2.已知向量={4，-4，7}的终点坐标为（2，-1，7），则的始点坐标为 3．设三角形的三个顶点A （2，-1，4）、B （3，2，-6）、C （-5，0，2），则AB 边的中点坐标为 ，∆ABC 的重心坐标为 。
4．已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。
以及它的对角线交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。
5．设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =60，β=120。
则γ=6．设a 的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，a 垂直于 坐标面。
三、设A （4，2 ，1）、B （3，0，2），求的方向余弦及与反向的单位向量。
五、已知OA ={2，-3，6}，OB ={-1，2，-2}。
OD 为AOB ∠的平分线，在OD 上求一长度为342的向量。
五、设1F ={2，3，-5}2F ={-5，1，3}3F ={1，-2，4}。
这三个力作用于点P （1，1，1），它们的合力为=，求：（1）点Q 的坐标。
（2）的大小。
（3）的方向余弦。
§ 7.4 数量积 向量积 混合积一、判断题1．222)(⋅=⋅ （ ）2．a（b a ⋅）=2a b⋅ （ ） 3．若a ⨯b=c a ⨯且0≠a ，则c b=。
（ ）4．若b a ==1，则b a⨯=1 （ ）5+=222b b a a +⋅+（ ） 6．a b b a⨯=⨯ （ ）7．[c b a⋅⋅]=][a c b ⋅⋅ （ ）8．当a =3时，[b a ⋅⋅]=0 （ ）9．若c b a 、、满足a c b c b a⨯=⨯=,，则c b a 、、两两垂直。
（ ）10．设非零向量b a,的方向角分别为111,,γβα和222,,γβα则cos b a ,(∠=212121cos cos cos cos cos cos γγββαα++ （ ） 二、填空题1．设)(b a ∧=3π，,8,5==b a 则b a-= 。
2．若24,19,13=+==b a b a 。
则b a-= 。
3．若32)(π=∧b ，且2,1==b a 。
则b a⨯= 。
4．已知72,26,3=⨯==b a b a ，则b a⋅= 。
5．三向量c b a ,,的混合积],,[c b a的几何意义是 。
6．设}1,2,2{},4,3,4{=-=b a，则Prj a = 。
7．设}4,6,4{},2,3,2{--=-=b a，则)(b ∧= 。
8．设b a ,为不共线向量，则当λ= 时。
b a P 5+=λ与b a Q-=3共线。
三、选择题1．设空间三点的坐标分别为M （1，-3，4）、N （-2，1，-1）、P （-3，-1，1）。
则MNP ∠=（A ）、π （B ）、43π （C ）、2π （D ）、4π2．下列结论正确的是（A ）、2= （B ）、若0=⋅b a 则必0 =a 或0=b（C ）、c a b a c b a -=-)( （D ）、若0 ≠a ，且c a b a =则c b =3．设}.4,4,1{},2,3,{-==b x a若b a //，则（A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=-6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3四、设}1,3,1{1},1,1,2{-=-=b a，求与b a 、均垂直的单位向量。
五、设向量}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=c b a 、、,向量d 与b a,均垂直，且在向量.14d c，求向量上的投影是六、应用向量证明：当、332211b a b a b a ==时，2332211232221232221)())((b a b a b a b b b a a a ++=++++七、设AD 为∆ABC 中BC 边上的高，记..a C B c A B==证明：c a c a SABD⨯⋅=∆§7.5 曲面及其方程一、填空题1．设点P （1，-1，a ）在曲面x 2+y 2+z 2-2x+4y=0上，则a= .2．以原点为球心，且过点Ｐ（１，１，１）的球面方程是 。
３．设球面的方程为x 2+y 2+z 2-2x-4y+2z=0，则该球面的球心坐标是 ，球面的 半径 为 。
４．将zox 面上的抛物线z 2=5x,绕ox 轴旋转而成的曲面方程是 。
５．圆锥为x 2+y 2=3z 2的半顶角α＝ 。
６．方程y 2=z 表示的曲面是曲线平行与 轴的 柱面。
７．方程y=x+1在平面解析几何中表示 。
而在空间解析几何中表示 。
二、选择题１．设球面的方程是x 2+y 2+z 2+Ｄx+Ey+Fz+G=0,若该球面与三个坐标系都相切，则方程 的系数应满足条件 。
（Ａ）、Ｄ＝Ｅ＝Ｆ＝０ （Ｂ）、Ｄ２+Ｅ２+Ｆ２＝６Ｇ（Ｃ）、Ｄ２+Ｅ２+Ｆ２+６Ｇ＝０ （Ｄ）Ｇ＝０２．XOZ 坐标面上的直线x=z-1 绕oz 轴旋转而成的圆锥面的方程是 。
（Ａ）x 2+y 2＝z-1 （Ｂ）2z ＝x 2+y 2+１ (Ｃ）2)1(-z = x 2+y 2 ( D )2)1(+x =y 2+z 2 3．方程x=2在空间表示 。
（Ａ）、ＹＯＺ坐标面。
（Ｂ）、一个点。
（Ｃ）、一条直线。
（Ｄ）、与ＹＯＺ面平行的平面。
4．下列方程中 表示母线平行与oy 轴的双曲柱面。
（Ａ） x 2－y 2＝１ （Ｂ） x 2 +z 2＝１ （Ｃ） x 2+z=1 (D) xz=1二、已知两点Ａ（５，４，０）、Ｂ（－４，３，４）=，求点Ｐ的轨迹方程。
四、说明下列旋转曲面是怎样形成的。
１．Ｚ＝２（ x 2+y 2） 2. 4x 2+9y 2+9z 2=36五．画出下列各曲面的图形。
１． Y 2=2px (p>0) 2．由 x+y=1 x 2+y 2=1和z=0所围立体的表面。
§７.６ 空间曲线及其方程一、填空题 １．方程组{1532+=-=x y x y 在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何表示 。
２．曲面x 2+y 2-92z =0与平面z=3的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 。
３．曲线{1122222)1()1(=+=++--y x z y x 在ＹＯＺ面上的投影曲线为 。
４．螺旋线x=acos θ,y=asin θ,z=b θ在ＹＯＺ面上的投影曲线为 。
５．上半锥面Ｚ＝22y x +（０1≤≤z ）在ＸＯＹ面上的投影为 ，在ＸＯＺ面上的投影为 ，在ＹＯＺ面上的投影为 。
6．曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==+=1212t z t y t x 的一般式方程为 。
二、选择题 １．方程{19422=+=yx zy 在空间解析几何中表示 。
（Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线 ２．已知曲线{2222=++=++z y x az y x 在ＹＯＺ坐标面上的投影曲线为{122=++=zyyz x ，则a ＝ 。
（Ａ）、－１ （Ｂ）、０ （Ｃ）、１ （Ｄ）、２ ４．参数方程⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 的一般方程是 。
（Ａ）、x 2+y 2=a 2(B)、x=acos b z (C)、y=asin b z (D)、{cos sin b za x bz a y == 三、化曲线{9222=++=z y x xy 为参数方程。
五．画出下列曲线在第一卦限内的图形。
１．{12==x y ２。
{222222ay x az x =+=+§７.７ 平面及其方程一、填空题１．过点Ｍ（３，０，１）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程 。
２．三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点坐标是 。
３．过点（２，－５，３）且平行与ＸＯＺ平面的平面方程是 。
４．过点Ｍ１（４，０，－２）和Ｍ２（５，１，７）且平行于ＯＸ轴的平面方程是 。
５．点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 。
６．当l = ,及m= 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。
二、选择题１．平面x -2z = 0的位置是 。
（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。
（Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 ２．下列平面中通过坐标原点的平面是 。
高等数学第七章 习题答案
习题7-11. 下列向量的终点各构成什么图形？（1）空间中一切单位向量归结为共同的始点；（2）平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点；（3）平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点；（4）平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。
答：（1）单位球面 （2）单位圆 （3）两个点 （4）直线。
2． 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量,,,,,,,,OA OB OC OD OE OF AB BC ,,,CD DE EF FA 中，哪些向量是相等的？ 答：,OA EF =,OB FA =,OC AB =,OD BC =,OE CD =.OF DE =3.平面四边形,ABCD 点,,,K L M N 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，证明：.KL NM =当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式是否仍然成立？证明：连结AC, 则在∆BAC 中，21AC. 与方向相同；在∆DAC 中，21AC. NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式仍然成立。
4． 解下列各题：（1）化简()()()()2332;x y x y -+-+-a b a b（2）已知12312323,322,=+-=-+a e e e b e e e 求,,32+--a b a b a b.解：（1）()()()()2332x y x y -+-+-a b a b()()()()23322332x y x y x y x y =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b()()55x y x y --+-=a b;（2）()()123123123233225;+=+-+-+=++a b e e e e e e e e e()()12312312323322;-=+---+=-+a b e e e e e e e +e e()()()()123123123123323232322693644-=+---+=+---+a b e e e e e e e e e e e e 235.=+e e5．四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-a c a b c,对角线,AC BD 的中点分别是,,E F 求.EF 解：()()111156823352222EF CD AB =+=+-+-=+-a b c a c a b c.6． 设ABC ∆的三条边,,AB BC CA 的中点分别为,,,L M N 另O 为任意一点，证明： .OA OB OC OL OM ON ++=++证明：（1）如果O 在ABC ∆内部（如图1），则O 把ABC ∆分成三个三角形OAB,OAC,OBC 。
高等数学教材向量
高等数学教材向量高等数学教材——向量一、向量的概念及基本性质在高等数学中，向量是一种具有大小和方向的几何量。
它是由起点和终点确定的有向线段，通常用有字母上方带箭头表示，如⃗AB。
1. 向量的定义向量的定义是：若平面上两个点A和B确定了有向线段⃗AB，则称⃗AB为向量。
向量既有大小也有方向，是一个有序数对。
2. 向量的基本性质（1）向量的模长向量的模长代表向量的大小，用两点之间的距离表示。
若有向线段⃗AB，则向量⃗AB的模长记作|⃗AB|或AB，表示点A和点B之间的距离。
（2）向量的方向角向量的方向角是与x轴正向所成的角度，一般用α或θ表示。
方向角的范围在0到360度之间，且相同向量的方向角可以有多个。
（3）向量的相等对于两个向量⃗AB和⃗CD，若所夹角度相同且模长相等，即|⃗AB|=|⃗CD|且⃗⃗AB=⃗⃗CD，则称两个向量相等。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的起点连接起来，然后连接两个终点，构成一个新的向量。
向量的加法满足平行四边形法则，即⃗⃗ABD=⃗⃗CAB，⃗AD=⃗AB+⃗BD。
2. 向量的减法向量的减法是将减去的向量的起点与被减去的向量的终点连接起来，构成一个新的向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即⃗AB-⃗⃗CD=⃗AB+(-⃗CD)。
3. 向量的数乘向量的数乘是将向量的模长与标量做乘法，得到一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正）或相反（若标量为负）。
即k⃗AB=(|k|)⃗AB。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积向量的数量积是将两个向量的模长与夹角进行乘法运算，得到一个标量。
向量的数量积的计算公式为：⃗AB·⃗CD=|⃗AB||⃗CD|cos⃗⃗A B⃗CD。
2. 向量的向量积向量的向量积是用来求两个向量所确定的平行四边形的面积，也是一个向量。
向量的向量积的计算公式为：⃗AB×⃗CD=|⃗AB||⃗CD|sin⃗⃗A B⃗CDn，其中n为垂直于⃗AB和⃗CD所在平面的单位法向量。
高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
向量高数知识点总结
向量高数知识点总结一、向量的概念向量是指既有大小又有方向的量。
在数学上，向量可以用有序数对表示，这个有序数对就是向量的坐标表示。
例如，一个二维向量可以表示为(a,b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量；一个三维向量可以表示为(a,b,c)，类似地，a、b、c分别代表向量在x、y、z轴上的分量。
在物理学中，向量的概念也是非常重要的，比如力、速度等都是向量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加的运算。
如果有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为a+b，即将a和b的对应分量相加得到新的向量。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个标量相乘的运算。
如果有一个向量a和一个实数k，它们的数乘运算可以表示为ka，即将a的每个分量都乘以k得到新的向量。
3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即a-b = a+(-1)*b。
三、线性相关与线性无关1. 线性相关如果存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得向量组中的向量v1、v2、...、vn满足关系式k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性相关的。
这就意味着向量组中的某一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
2. 线性无关如果向量组中的向量v1、v2、...、vn不是线性相关的，即不存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性无关的。
线性相关与线性无关是线性代数中非常重要的概念，它和矩阵的秩有关系，而矩阵的秩又在模型拟合、降维处理等领域有着重要的应用。
四、向量的线性组合和向量空间1. 向量的线性组合如果有向量组v1、v2、...、vn和实数k1、k2、...、kn，那么k1*v1+k2*v2+...+kn*vn就是向量v1、v2、...、vn的线性组合。
线性组合可以用来表示向量的线性关系，它在数学建模中有着重要的应用。
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
[高等教育]高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第六节 空间直线及其方程.
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定义 空间直线可看成两平面的交线．
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
例如， 直线 L1 : s1 = (1,−4, 0), 直线 L2 : s2 = (0,0,1),
∵ s1 ⋅ s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥ L2 .
例4
求过点 ( −3, 2, 5) 且与两平面 x − 4 z = 3 和
2 x − y − 5 z = 1的交线平行的直线方程.
x
s = ( m , n, p ), M 0 M = { x − x0 , y − y0 , z − z0 }
x − x0 y − y0 z − z0 直线的对称式方程 = = m n p （点向式方程）
注 : 当方向向量的某个坐标 为零时，比如 m = 0 ,n ≠ 0 ,p ≠ 0时，方程仍然写为 x − x 0 y − y0 z − z 0 , = = n p 0 ⎧ x − x0 = 0 ⎪ 此时理解为二平面的交 线⎨ y − y0 z − z0 ⎪ n = p ⎩
x −1 y +1 z − 3 L: = = , 相交的直线方程. −5 3 2 L
分析: 关键是求得直线上另外 M • P1 一个点 M1. M1在过M且平行 于 平面 P 的一个平面P1上, 待求直线又与已知直线相交, 交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点. 解 过M作平行于 平面 P 的一个平P1
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第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 空间直角坐标系§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法一、判断题。
1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。
（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。
（ ） 3． 任二向量b a ,=.则a =b 同向。
( ) 4． 若二向量b a ,+,则b a ,同向。
（ ）5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b，则b a ,反向。
（ ）6． 若ca b a +=+,则c b =( ) 7． 向量ba ,满足=，则ba ,同向。
（ ） 二、填空题。
1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。
4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。
6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。
三、选择题。
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //OA 且21a ，OC =b ，则AB = （A ）21b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有（A+（B+-（C+<-（D+>-三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。
四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。
六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
第七章第三节空间平面与直线及其方程
A 4C 0 , 即 A 4C ,
代入所设方程并消去C (C 0) , 得所求的平面方程为
4x z 0 .
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
三、空间直线的方程
1.空间直线的点向式方程与参数方程 (1) 直线的方向向量的定义 与直线平行的非零向量， 称为这条直线的一个方向向量． 直线的方向向量有无数多个.
i 1 0 j 1 1 k 0 1
n
M1
M3 M2
(1 , 1 , 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程为：
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.1 求过三点
的平面 的方程.
解: 平面 的法向量垂直于该平面内任一向量， 于是可取平面 的法向量为：
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.2 设一平面与
轴的交点分别为
R(0,0, c ) （其中 a 0，b 0，c 0 )， 求该平面的方程.
分析： 可用平面的一般方程做 或平面的点法式方程做. 解： 设平面的方程为
Ax By Cz D 0,
x x0 y y0 n m 得 y y0 z z0 p n
法2： 先找直线上两点A, B; AB 就是直线的方向向量.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.5 用点向式方程及参数方程表示直线
分析： 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 解: 先在直线上找一点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) . y0 z 0 1 0 , 令 x0 0 , 代入原方程组得 2 y0 z 0 1 0 ,
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
《高等数学》课件第7章 空间解析几何与向量代数
2 轴的正向.
Ⅲ
yOz面
Ⅳ
xOy面
x
Ⅶ Ⅷ
z zOx面
Ⅱ
Ⅰ
•O
y
Ⅵ Ⅴ
二、空间两点间的距离公式
空间两点间的距离：P1( x1, y1, z1 )、P2( x2 , y2 , z2 )
z
P2
P1
ki j,
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k ) i j jk ki 0
(2) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
向量积的坐标表达式
设
a
axi
ay j
azk,
b bxi by j bzk
ab
(a
x
i
a
y
j
az k
)
(bxi
by
j
bzk )
i i j j k k 0,
i j k,
jk i,
第 七 章 向空 量间 代解 数析 几 何 与
目录
第一节 空间直角坐标系 第二节 向量及其线性运算 第三节 向量的坐标 第四节 向量的数量积与向量积 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 第七节 常见曲面的方程及图形
第一节 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系简介
三条垂直相交且具有相同长度单位的数轴,构成一 个空间直角坐标系,交点O称为坐标原点,这三条轴分别 叫做z 轴(横轴)、y 轴(纵轴)和x轴(竖轴).