高等固体物理
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高等固体物理(基泰尔)Su9
（x a) i cos
3 ( x a) 3x ika e i cos a a
a
eika 1
电子在此状态中的简约波矢为
Reduced Zone Scheme
(1) (2)
(3)
(4)
All the energy bands in the first Brillouin zone; An energy band is a single branch of energy vs k surface; Two wavefunctions at the same k but of different energies will be independent of each other; The wavefunctions will be made up of different combinations of the plane wave components
Example
一维周期场中电子波函数k(x)应当满足布洛赫 定理，若晶格常数为a，电子波函数为 ， 3 x k x i cos
a
试求电子在此状态中的简约波矢。 ik Rn （r Rn ) e (r )
（x a) eika ( x)
n,k=GCn(k+G)exp[i(k+G)· r],
Periodic Zone Scheme
repeat a given Brillouin zone periodically through all of wavevector space The engery of a band is a periodic function in the reciprocal lattice
3 ( x a) 3x ika e i cos a a
a
eika 1
电子在此状态中的简约波矢为
Reduced Zone Scheme
(1) (2)
(3)
(4)
All the energy bands in the first Brillouin zone; An energy band is a single branch of energy vs k surface; Two wavefunctions at the same k but of different energies will be independent of each other; The wavefunctions will be made up of different combinations of the plane wave components
Example
一维周期场中电子波函数k(x)应当满足布洛赫 定理，若晶格常数为a，电子波函数为 ， 3 x k x i cos
a
试求电子在此状态中的简约波矢。 ik Rn （r Rn ) e (r )
（x a) eika ( x)
n,k=GCn(k+G)exp[i(k+G)· r],
Periodic Zone Scheme
repeat a given Brillouin zone periodically through all of wavevector space The engery of a band is a periodic function in the reciprocal lattice
高等固体物理学
高等固体物理学
高等固体物理学是研究物质的结构和性质的分支学科。
在这一领
域中，研究的对象是材料的晶体结构、电子结构以及它们在宏观和微
观层面上的物理性质。
在高等固体物理学中，晶体结构是一个非常重要的概念。
晶体是
由原子、分子或离子在周期性排列的模式中组成的。
这种排列方式决
定了晶体的物理性质。
晶体的晶格参数、晶体的空间群、晶体的空间
分组、晶体的晶格动力学，这些都是从晶体结构中获得的信息。
电子结构是高等固体物理学的另一个重要的研究领域。
电子结构
描述了电子在晶体中的分布方式。
通过研究电子结构，可以确定材料
的电导率、磁性以及光学性质。
一般来说，具有多余电子的物质是导体；带有缺电子的是半导体，而没有多余电子或缺电子的是绝缘体。
因此，研究电子结构可以为材料在各种应用中提供指导意义。
在高等固体物理学中还有一个非常重要的课题，那就是物理性质。
各种物理性质，如热容、热导率、电阻率、电荷输运，都取决于材料
的电子结构和晶体结构。
通过对这些性质的研究，可以理解材料在各
种条件下的行为，这对于研究材料的应用具有重要的意义。
总之，高等固体物理学在研究物质的结构和性质方面具有非常重
要的地位。
它为我们提供了深入了解和利用材料的基础平台。
只有深
入地了解物质的基本特性，才能更好地从中挖掘出各种实际应用。
高等固体物理第五章晶格振动与晶体热学性质
为了避免这种仅因少数原子而引起耦合方程组的歧化，而使 方程的解复杂化，引入波恩—卡门模型，它含N个原胞的环状链 作为一个有限链的模型，然而保持所有原胞完全等价。
一维单原子链模型的振动既简单可解，又能较全面说明晶格振
动的特点。二维、三维振动的特点由一维结论推广得到。 一个
一维单原子链可以看作一个一维简单晶格。并满足三个假设，
（1）假定原子质量为m；
（2）原子限定在原子链方向运动, 偏离格点的位移用μn, μn+1…
表示；
（3）假定只考虑最近邻原子的相互作用。
。分别把上述两微分方程相加和相减，得:
d2(xdat2
xb)
k m(xa
xb
)
d2(xa dt2
xb
)
( k m
2K m )(xa
xb
)
Beihang University
2021/3/9
* 简正坐标和简正频率
d 2 q1 dt 2
k m
q1
d
2
q
2
dt 2
( k m
2K m
)q2
qq12
在理想情况下，不能脱离晶体格点平衡位置，晶格振动是在平衡位 置附近的微小振动。
Beihang University
2021/3/9
§5。2 一维单原子链
前面给出的简正坐标和简谐近似仅仅是解决问题的总的思 路，但真正求解晶格的振动模是很复杂的事。比如：要了解晶 格振动的物理模型、特征等。真正从微观结构导出力常数是固 体理论的内容，现在我们给出一种最简单的情况来讨论：一维 单原子链模型。
2021/3/9
原子的运动方程
只考虑相邻原子的作用，第n 个原子受到的作用力
一维单原子链模型的振动既简单可解，又能较全面说明晶格振
动的特点。二维、三维振动的特点由一维结论推广得到。 一个
一维单原子链可以看作一个一维简单晶格。并满足三个假设，
（1）假定原子质量为m；
（2）原子限定在原子链方向运动, 偏离格点的位移用μn, μn+1…
表示；
（3）假定只考虑最近邻原子的相互作用。
。分别把上述两微分方程相加和相减，得:
d2(xdat2
xb)
k m(xa
xb
)
d2(xa dt2
xb
)
( k m
2K m )(xa
xb
)
Beihang University
2021/3/9
* 简正坐标和简正频率
d 2 q1 dt 2
k m
q1
d
2
q
2
dt 2
( k m
2K m
)q2
qq12
在理想情况下，不能脱离晶体格点平衡位置，晶格振动是在平衡位 置附近的微小振动。
Beihang University
2021/3/9
§5。2 一维单原子链
前面给出的简正坐标和简谐近似仅仅是解决问题的总的思 路，但真正求解晶格的振动模是很复杂的事。比如：要了解晶 格振动的物理模型、特征等。真正从微观结构导出力常数是固 体理论的内容，现在我们给出一种最简单的情况来讨论：一维 单原子链模型。
2021/3/9
原子的运动方程
只考虑相邻原子的作用，第n 个原子受到的作用力
高等固体物理-第三章
School of Materials Science and Engineering / WHUT
一维晶格的振动
晶格振动谱的推导
向下的箭头代表原子沿X轴向左振动 向上的箭头代表原子沿X轴向右振动 格波方程 格波波长
一 维 单 原 子 晶 格
xn Aei ( qnat )
格波波矢 格波相速度
2
2 1 cos qa m
2
qa sin m 2
这种 ω与q的关系称为一维单原子晶格（或布喇菲格子）中格 波的色散关系，或称振动频谱，注意ω为正。
School of Materials Science and Engineering / WHUT
晶格振动谱的推导
设由相同原子组成的一维无限 长晶格，如图示： 原子质量： m 平衡原子间距（晶格常数）：a 离开平衡位臵距离：xi 设平衡时，两个原子间相互作用势能为U(a),令相对位移量 δ=xn-xn+1，则产生相对位移后，相互作用势能变成U(a+δ)，则将 U(a+δ)在平衡位臵附近用Tailor级数展开，得到：
School of Materials Science and Engineering / WHUT
一维晶格的振动
晶格振动谱的推导
则第n个原子的运动方程可写成： F ma m d xn x x 2 x n 1 n 1 n dt 2 mxn xn1 xn1 2xn 即：
一 维 单 原 子 晶 格
可见在这种条件下第n’个原子与第n个原子具有相同的位相。进 而可看出，晶格中各个原子的振动存在固定的位相关系（原子振动相 互作用，相互联系）。这时可认为晶格中存在着角频率为ω的平面波，
一维晶格的振动
晶格振动谱的推导
向下的箭头代表原子沿X轴向左振动 向上的箭头代表原子沿X轴向右振动 格波方程 格波波长
一 维 单 原 子 晶 格
xn Aei ( qnat )
格波波矢 格波相速度
2
2 1 cos qa m
2
qa sin m 2
这种 ω与q的关系称为一维单原子晶格（或布喇菲格子）中格 波的色散关系，或称振动频谱，注意ω为正。
School of Materials Science and Engineering / WHUT
晶格振动谱的推导
设由相同原子组成的一维无限 长晶格，如图示： 原子质量： m 平衡原子间距（晶格常数）：a 离开平衡位臵距离：xi 设平衡时，两个原子间相互作用势能为U(a),令相对位移量 δ=xn-xn+1，则产生相对位移后，相互作用势能变成U(a+δ)，则将 U(a+δ)在平衡位臵附近用Tailor级数展开，得到：
School of Materials Science and Engineering / WHUT
一维晶格的振动
晶格振动谱的推导
则第n个原子的运动方程可写成： F ma m d xn x x 2 x n 1 n 1 n dt 2 mxn xn1 xn1 2xn 即：
一 维 单 原 子 晶 格
可见在这种条件下第n’个原子与第n个原子具有相同的位相。进 而可看出，晶格中各个原子的振动存在固定的位相关系（原子振动相 互作用，相互联系）。这时可认为晶格中存在着角频率为ω的平面波，
高等固体物理学
高等固体物理学固体物理作为凝聚态物理学中最大的分支，以固体特别是原子排列具有周期性结构的晶体为对象，基本任务是从微观上解释固体物质的宏观物理性质、构成物质的各种粒子的运动形态及其相互关系，是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支学科。
最近几十年来，由于新的实验条件和技术以前所未有的速度发展和进步，新材料不断涌现，因此不断开拓出固体物理新的研究领域。
同时，固体物理学的成就和实验手段对电子技术、计算技术以至整个信息产业、化学物理、催化学科、生命科学、地学等的影响日益增长，正在形成许多新的交叉学科。
对于经济和社会乃至人类日常生活具有革命性的影响。
本书对固体物理前沿的许多重要课题给出了简明的介绍，以清晰的教学方式提供了该领域已经得到很好确立的基础的背景材料。
把导论性的介绍与不断更新的高等论题成功地整合在一起，相关领域的研究生与高水平的研究人员将会从中受益并引起广泛的兴趣。
而对于希望对当代固体物理巨大的挑战得到一些概览的其他领域的学者也很有价值。
全书内容共分16章：1.导言；2.无相互作用电子气；3.BornOppenheimer近似；4.二次量子化；5.HatreeFock近似；6.相互作用电子气；7.金属中的局域磁矩；8.局域磁矩的淬火：近藤问题；9.屏蔽与等离子体激元；10.玻色化；11.电子-晶格相互作用；12.金属中的超导电性；13.无序：定域与例外；14.量子相变；15.量子Hall效应及其它拓扑态；16.强耦合电子：莫特性（Mottness）。
本书把传统主题与现代进展有机地结合在一起的写作风格是其它书籍很少见到的。
它的内容清新、广泛，行文清晰，且容易理解，是高等固体物理学的一部很有价值的参考书。
高等固体物理(基泰尔)su7
Since the symmetry of the ring, we look for solutions of the wave equation such that
(x+a)=C(x).
Where C is a constant. Then, on going once around the ring,
Energy Bands－Core ideas
Electrons in crystals are arranged in energy bands separated by regions in energy for which no wavelike electron orbitals exist; Band gaps result from the interaction of the conduction electron waves with the ion cores of the crystal.
The existence of a band gap is the most important and new property of crystals.
Nearly Free Electron Model
We must extend the free electron model to consider the periodic lattice of the solid.
Bloch Functions
(x+Na) =(x)=CN(x),
because (x) must be single-valued. It follows that C is one of the N roots of unity, or
高等固体物理(基泰尔)例题
i 0
U G1 G0 E E1(0) U G1 G2 U G1 G3 0 (0) U G2 G0 U G2 G1 E E2 U G2 G3 U G3 G0 U G3 G1 U G3 G2 E E3(0)
O O nmax (max ) 0.222
E
O min
3.94 10 eV
2
n (
O min
O min
) 0.278
声学波频率的声子数目
A Emax 1.97 102 eV
A A nmax (max ) 0.876
二维正方格子
单原子晶体 德拜近似（连续弹性介质声学波近似）： 二维：两支声学格波（一纵、一横） 两种极化方式 色散关系：线性 ＝vk 总模式数：2N 对于倒空间，k值密度：（L/2）2 对每种偏振模式：N=（L/2）2(k2） 模式密度：D()=dN/d 德拜温度： 晶格比热：
势能的平均值
势能的平均值
令
2 a2 b 函数的第n个傅里叶系数
第一个带隙宽度
E g1 2V1
2 a 3 m 2 3 m 2 2 第二个带隙宽度
8b 2
E g 2 2V2
a2 2 2 m m 16 2
2
b2
例题 用紧束缚近似求出面心
立方晶格和体心立方晶格s态 原子能级相对应的能带 函数 面心立方晶格 —— s态原子能级相对应的能带函数
—— s原子态波函数具有球对称性
—— 任选取一个格点为原点 —— 最近邻格点有12个
O
12个最邻近格点的位置
O
—— 类似的表示共有12项
—— 归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带
U G1 G0 E E1(0) U G1 G2 U G1 G3 0 (0) U G2 G0 U G2 G1 E E2 U G2 G3 U G3 G0 U G3 G1 U G3 G2 E E3(0)
O O nmax (max ) 0.222
E
O min
3.94 10 eV
2
n (
O min
O min
) 0.278
声学波频率的声子数目
A Emax 1.97 102 eV
A A nmax (max ) 0.876
二维正方格子
单原子晶体 德拜近似（连续弹性介质声学波近似）： 二维：两支声学格波（一纵、一横） 两种极化方式 色散关系：线性 ＝vk 总模式数：2N 对于倒空间，k值密度：（L/2）2 对每种偏振模式：N=（L/2）2(k2） 模式密度：D()=dN/d 德拜温度： 晶格比热：
势能的平均值
势能的平均值
令
2 a2 b 函数的第n个傅里叶系数
第一个带隙宽度
E g1 2V1
2 a 3 m 2 3 m 2 2 第二个带隙宽度
8b 2
E g 2 2V2
a2 2 2 m m 16 2
2
b2
例题 用紧束缚近似求出面心
立方晶格和体心立方晶格s态 原子能级相对应的能带 函数 面心立方晶格 —— s态原子能级相对应的能带函数
—— s原子态波函数具有球对称性
—— 任选取一个格点为原点 —— 最近邻格点有12个
O
12个最邻近格点的位置
O
—— 类似的表示共有12项
—— 归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带
高等固体物理-第四章-固态相变
定义：
（1）什么是相？
物理性质和化学性质完全相同且均匀的部分。
相与相之间有分界面，可用机械的方法将它们分开。系统 中存在的相可以是稳定的、亚稳的或不稳定的。 系统在某一热力学条件下，只有当能变时，自由能会发生变
化，相的结构也相应发生变化(相变）。
外界条件（温度或是压强）做连续变化时， 相变 Phase transition 物质聚集状态的突变。 突变可以体现为： （1）从一种结构变化为另一种结构。狭义上来讲是指物态或 晶型的改变。如，气相凝结为液相或是固相，液相凝固为固 相等。广义上讲，结构变化还包括分子取向或是电子态的改 变。 （2）成分的连续或不连续变化，这种成分变化主要是指封闭 体系内部相间成分分布的变化。如，固溶体的脱溶分解或是 溶液的结晶析出。 （ 3）某种物理性质的跃变，如顺磁体 -铁磁体转变正常导体 超导体转变等，反应了某一种长程序的出现或是消失。
2 1 2 2 TP TP
0
2 V TP V
V V T P
0
Cp –等压比热（热容），β– 等温压缩系数，α– 等压膨胀系数
S T P
S 0
V 0
V P T
在一级相变时，熵S和体积V将发生不连续变化，即一级
相变有相变潜热和体积改变。 材料的凝固、熔化、升华以及同素异构转变等均属于一 级相变。 几乎所有伴随晶体结构变化的固态相变都是一级相变
2、非扩散型相变
非扩散型相变时原子仅作有规则的迁移以使点阵发生改组。迁移时
，相邻原子相对移动距离不超过一个原子间距，相邻原子的相对位 臵保持不变，参与转变的所有原子的运动是协调一致的。实际上， 非扩散型相变是在足够快的冷却速度下(即淬火)由于原子没有时间 进行扩散型相变引起的。
（1）什么是相？
物理性质和化学性质完全相同且均匀的部分。
相与相之间有分界面，可用机械的方法将它们分开。系统 中存在的相可以是稳定的、亚稳的或不稳定的。 系统在某一热力学条件下，只有当能变时，自由能会发生变
化，相的结构也相应发生变化(相变）。
外界条件（温度或是压强）做连续变化时， 相变 Phase transition 物质聚集状态的突变。 突变可以体现为： （1）从一种结构变化为另一种结构。狭义上来讲是指物态或 晶型的改变。如，气相凝结为液相或是固相，液相凝固为固 相等。广义上讲，结构变化还包括分子取向或是电子态的改 变。 （2）成分的连续或不连续变化，这种成分变化主要是指封闭 体系内部相间成分分布的变化。如，固溶体的脱溶分解或是 溶液的结晶析出。 （ 3）某种物理性质的跃变，如顺磁体 -铁磁体转变正常导体 超导体转变等，反应了某一种长程序的出现或是消失。
2 1 2 2 TP TP
0
2 V TP V
V V T P
0
Cp –等压比热（热容），β– 等温压缩系数，α– 等压膨胀系数
S T P
S 0
V 0
V P T
在一级相变时，熵S和体积V将发生不连续变化，即一级
相变有相变潜热和体积改变。 材料的凝固、熔化、升华以及同素异构转变等均属于一 级相变。 几乎所有伴随晶体结构变化的固态相变都是一级相变
2、非扩散型相变
非扩散型相变时原子仅作有规则的迁移以使点阵发生改组。迁移时
，相邻原子相对移动距离不超过一个原子间距，相邻原子的相对位 臵保持不变，参与转变的所有原子的运动是协调一致的。实际上， 非扩散型相变是在足够快的冷却速度下(即淬火)由于原子没有时间 进行扩散型相变引起的。
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选择矢量势
A(0,B,x0)
波函数为
(x,y)eik yy (x)
2 m 2 d d22 x1 2m c 2(xlc 2ky)2eE (xx)(x)
1
lc
c eB
2
.
经典回旋半径
解为：
i(E)
(i
1 2
)
c
eE (lc2k y
eE
2
m
2 c
)
i ( x,
y)
( x ( ik y y )
如 Fermi 能级处于能隙中
无外磁场，
g(E
)＝
m 2 2
加磁场 Landau 能级
GH
ec
n ( F ) B
简并度 如电子占据
c g ( E )
eB hc
i 个 Landau 能级：
n ieB hc
1
h
R H (i) G H e 2i
.
应用： (a)电阻标准
自 19年 90起，h 电 25 阻 .80 1 标 (精 6 2 准 度 2 1 ： 0 ～ 8) e2
xx
xx ,
2
2
xx xy
xy
xy
2
2
xx xy
如果 xy 0 , 则当 xx 为0时 xx 也为0.
.
另一方面
xynBeccxtx
由此, 当 xx 0 时, jx xyEy , xy 为霍尔电导
H
x
y
nec B
jy yx ExxE yx
在量子力学下（E沿x方向）
H 1 (PeA )2eEx 2m c
Room-Temperature Quantum Hall Effect in Graphene
PI: Philip Kim, Department of Physics, Columbia Universty
Supported by NSF (No. DMR-03-52738 and No. CHE-0117752), NYSTAR DOE (No. DE-AIO2-04ER46133 and No. DE-FG02-05ER46215), and Keck Foundation
e2 ri rj
在超强磁场下, 电子位于第一Landau能级. 其单粒子波函数为
mz*mex 2m p 1 |m z|!(2/4Ic 2),zxiy
这一状态对应于电子在一由下式给出的面积内运动
m |z ||2 |m 2 lc 2 (m 1 )
Laughlin 建议了如下形式的波函数
.
计算平均速度
vy
1 m
i*i yecBxid
rEc B
vx
1 m
i*
i xi
dr0
jy
neEc B
与经典结果相同.
在Landau能级上, 纵向电流为0.
(2)整数量子霍尔效应
1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔电导, 1978 年 Klaus von Klitzing 和Th. Englert 发现霍尔平台, 但
2 1 20m eV
ns Vg ~ (1 ~ 10) 1011 cm 2 迁 移 率 1：04 cm 2 /V s 弹 性 散 射 平 均 自 由 程l : 40 ~ 120nm
AlxGa1xAs GaAs
导带
F
价带
x 0.3,导带底能量差 0.3～ eV 电子有效质0.量 067me ,n ~ 2 ns 41011cm2 高迁移率 104： ～106cm2 /V s 长的弹性散射平均程自 l 由 102 ~ 104nm
P 为偶数,
v p
mp
1
对应于粒子型元激发
1
对应于空穴型元激发
.
级联模型的特点: 1. 无法解释那一个子态是较强的态. 2. 几次级联后, 准粒子的数目将超过电子的数目. 3. 系统在分数占据数之间没有定义. 4. 准粒子具有分数电荷.
复合费米子模型 (CF) 一个复合费米子由一个电子和偶数个磁通线构成. 复
.
3.量子化霍尔效应（Quantum Hall Effects (QHE) )
(1)霍尔效应基础
B
d
V Hall voltage
V’ resistivity
I + - current source
x yz
E. Hall, Am. J. Math. 2, 287 (1879) => Hall effect
The Nobel Prize in Physics 1998
for their discovery of a new form of quantum fluid with fractionally charged excitations.
Robert B. Laughlin(1950)
Horst L. Stormer(1949)
[
(
x
x0 2 lc2
)2
]
e e H [i
lc
x0 )]
x0
lc2k y
eE
m
2 c
,
i 0,1,2,3,...
Landau 能级
In two-dimensional systems, the Landau energy levels are completely seperate while in three-dimensional systems the spectrum is continuous due to the free movement of electrons in the direction of the magnetic field.
合费米子包含了所有的多体相互作用. FQHE是CF在一个有效磁场下的IQHE.
CF 具有整数电荷. CF 模型可以给出所有观察到的分数态, 包括这些态的相 对强度及当减小温度, 提高样品质量时出现的次序. CF 指出: v=1/2 态, 对应的有效磁场为0, 是具有金属 特征的特殊状态.
.
.
.
.
xy yy
j E, E j 仍成立
有磁场时, 加入罗仑兹力, 电子迁移速度为
vd
e(EvdB)t
cm
.
稳态时, 易得
j nevd , 假定磁场沿z方向, 在xy 平面内
0Ex ctjy jx 0Ey ctjx jy
c
eB mc
xxyy10, xyyx c0 t
xxyy1(0ct)2,xyyx1( 0ctct)2
z .
Split gates and one-dimensional electron gases
This "split-gate technique" was pioneered by the Semiconductor Physics Group at the Cavendish Laboratory of the University of Cambridge, in England, in 1986, by Trevor Thornton and Professor Michael Pepper.
v1/3FQHE 态. 绿球代表被暂时冻结的电子, 蓝色为代表
性电子的电荷密度, 黑色箭头代表磁通线.
.
同 IQHE一样, Fermi 能级处于能隙位置时, 出现FQHE 平台. 不同之处在于IHQE的能隙来源于单粒子态在强磁 场中的量子化, 而FQHE的能隙来源于多体关联效应.
Haldane 和 Halperin, 利用级联模型, 指出Laughlin 态的 准粒子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态, 如从 1/3 态 出发, 加入准粒子导致 2/5态, 加入空穴导致2/7态. 准粒子 由这些态激发出来并凝聚为下一级的态 .
第四章 维度
4.1 半导体低维电子系统 4.2 二维体系中的相变 4.3 准一维体系的Peierls
不稳定性和电荷密度波
.
4.1 半导体低维电子系统
1.维度
三维自由电子气体，沿z方向对体系的尺寸限制：
n (k )
n
2k 2 2m
z
k 是波矢在 xy 平面上的分量。
如限制势为方势阱：
n
(n)2 2 mW 2
The Nobel Prize in Physics 1985
K. von Klitzing（1943~）
for the discovery of the quantized Hall effect.
.
.
实验设置示意图
实验观测到的霍尔电阻
1, 霍尔电阻有台阶,
2, 台阶高度为
h ie 2
,i
为整数, 对应于占满第 i
直到1980年, 才注意到霍尔平台的量子化单位 h , e2
.
K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 495 (1980) for a sufficiently pure interface ( Si-MOSFET ) => integer quantum Hall effect
.
应用： (b)精细结构常数的测量
e2 2hc 0
.
(3)分数量子霍尔效应
1982年, 崔琦, H.L. Stomer 等发现具有分数量子数的霍尔平台, 一年后, ughlin写下了一个波函数, 对分数量子霍尔效应给出了很好的解释.
D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. G. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982) for an extremely pure interface ( GaAs/AlGaAs heterojunction ) where electrons could move ballistically => fractional quantum Hall effect ughlin, Phys. Rev. Lett. 50, No.18 (1983)