华东师大版初中数学九年级上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法测试题1
华师版九年级数学上册课件(HS)第22章 一元二次方程 一元二次方程的解法 直接开平方法和因式分解法
17．(湘潭中考)由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到 左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋ a)(x＋b) 示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3) (1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)(x＋________)； (2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
华师版
22．2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法和因式分解法
知识点❶：用直接开平方法解一元二次方程
1．(徐州中考)方程 x2－4＝0 的解是_±_2__．
2．下列方程能用直接开平方法求解的是( B )
A．2x2－x＋1＝5
B．x2－41 ＝3
C．x2－x＋1＝4 D．x2－3x＝5
3．用直接开平方法解下列方程： (1)(教材 P21 例题 1 变式)2x2－32＝0；
解：x1＝4，x2＝－4
(2)(教材 P23 例题 3 变式)(2020·扬州)(x＋1)2＝9；
解：x1＝2，x2＝－4
(3)16y2－40y＋25＝72.
解：y1＝－21 ，y2＝3
知识点❷：用因式分解法解一元二次方程 4．(2020·镇江)一元二次方程 x2－2x＝0 的两根分别为_x_1_＝__0_，__x_2_＝__2__．
7．若实数 x，y 满足(x2＋y2＋1)(x2＋y2－2)＝0， 则 x2＋y2 的值为( B ) A．－1 B．2 C．2 或－1 D．－2 或－1
8．(凉山州中考)若关于 x 的方程 x2＋2x－3＝0 与x＋2 3 ＝x－1 a 有一个解相同，
华东师大版九上数学第22章 一元二次方程
华东师大版九上数学第22章 一元二次方程1. 一元二次方程：1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ．它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零．2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项．2. 一元二次方程的解法：1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式．3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．3. 一元二次方程根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆．1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；2) 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；3) 当△<0时，一元二次方程没有实数根．4. 韦达定理：如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x 21．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．5. 一元二次方程的二次函数的关系：其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y =0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点，也就是该方程的解了．。
华师大版九年级数学上册课件：22.2 一元二次方程的解法 22.2.2 配方法
22.2 一元二次方程的解法
22.2.2 配方法
轻松预习
1.配方法的定义 通过配方成 (x-a)2=b(b≥0) 的形式来解一元二次方
程的方法叫做配方法. 【思考】想一想，配方的目的和作用是什么？
轻松预习
2.用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将常数项移到方程 右边； （2）将 二次 项系数化为1； （3）配方：方程两边同时加上 一次项 系数一半的
名师讲解
考点一：利用配方法解一元二次方程
【例1】（1）x2-4x-1=0；（2）2x2+6=7x. 【分析】运用配方法时，应先将方程转化为完全平方的形式再
求解.当二次项系数不为1时，要先把二次项系数化为 【解答】1.
跟踪训练
±1 A
跟踪训练
名师讲解
考点二：配方法的其他应用 【例2】用配方法证明：-4x2+8x-6的值恒小于0，并求它的
平方，使方程左边成为一个 完全平方式 ； （4）解方程：利用 开平方 直接解方程. 注：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一
元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着 广泛的应用.
轻松预习
3.配方法的其他应用 （1）通过配方来构造完全平方式，利用完全平方式的
非负性来确定代数式的取值范围； （2）通过配方解决恒等变形问题.
A
跟踪训练
LOGO
谢谢观看
最大值. 【分析】首先运用配方法将代数式配成完全平方的形式，再
利用完全平方的非负性来进行判断.
【解答】-4x2+8x-6=-4(x2-2x+ )=-4(x2-2x+1+ -1)=-4(x1)2-2x-1）2=0时 ，此式取最大值-2.
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》公开课教案_3
一元二次方程根与系数的关系55号教学目标：（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。
教学过程：一、 创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理。
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？探究规律 先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 二、 得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =ca特殊的：若一元二次方程2x +px+q=0的两根为1x 、2x ，则1x +2x =-p 1x . 2x =q证明此处略（师生合作完成） 三、 运用定理解决问题练习：不解方程说出下列方程的两根的和与两根的积各是多少？⑴ X 2－3X+1=0 ⑵ 3X 2－2X=2 ⑶ 2X 2+3X=0 ⑷ 3X 2=1 1.已知方程x 2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.2.方程2x 2-3x+1=0的两根记作x 1,x 2，不解方程，求：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。
3.（2013•荆州）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x 1，x 2, 且│x 1－x 2│=2,求k 的值. 四、 课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 公式法》精品课件_17
x1 1, x2 5 .
例1.解下列方程.
(4)x2 17 8x. 解：x2 8x 17 0 a 1,b 8, c 17 b2 4ac (8)2 4117 4＜0 因此方程无实数根.
教科书第30页练习
1.求根公式： x b b2 4ac（b2 4ac 0).
2a 2.利用求根公式解一元二次方程的步骤.
3.对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0).
(1)当Δ＞0，时方程有两个不等的 实数根：
b b2 4ac
x1,2
2a
;
(2)当Δ 0时，方程有两个相等的 实数根：
4.
x2
px
p
( 2 )=2 ( x
p 2
)2
共同点：
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
一、知识回顾
一元二次方程通过配方转化成 (x n)2 p 后， 根的情况是什么？
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转 (x n)2 p 化成 那么就有：
（1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根 （2）当P=0时，方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
.
(3)当Δ＜0时，方程没有实数根 .
1.第36页第2题； 2.第36页第4题.
华东师大2011课标版 九年级上册
22.2.3 公式法
一、知识回顾
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
xx 4 1. x2 6x 32 =(
2. x2 8x 2 =(
3 +
)2 观察，所填的常数 与一次项系数之间
华东师大版九年级上册数学22.2.3一元二次方程的解法——公式法
因为b2 4ac 49, 4
所以x 6 2 6 3 6. 2
则：x1 3 6, x2 3 6.
所以x 8 7 . 2 (5)
则：x1
1 10
,
x2
17 10
.
灿若寒星
2.用公式法解方程：3x(x 3) 2(x 1)(x 1).
解：化为一般式为：x2 9x 2 0
配方，得x2 2 • x •
b
b
2
b
2
c，
2a 2a 2a a
即x1 b
b2 2a4ຫໍສະໝຸດ c,x2b
b2 4ac . 2a
即
x
b 2a
2
b2
4ac 4a2
.
a 0,4a2 0.当b2 4ac 0时，直接开平方，得
求根公式
x b
b2 4ac .
2a 2a
灿若寒星
因为b2 4ac 28
所以x (9) 28 9 2 7
2
2
即x1
9
2 2
7
,
x2
9
2 2
7
灿若寒星
归纳总 结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，a、并b、写c 出
2、求出b2的 4值ac，
特别注意:b当2 4ac 0
时无解
3、代入求根公式 x: b b2 4ac 2a
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第22章 一 元二次方程
22.2.3一元二 次灿若寒方星 程的解
探索新知
用配方法解一般形式的一ax元2 b二x c次 0方(a 0)
程解：因为a 0,方程两边同除以a，得 .
x2 b x c 0，
华东师大版九年级数学上册22.2.3一元二次方程的解法(公式法)教学设计
4.能够运用公式法求解实际问题中涉及的一元二次方程，并解决相关问题。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过自主探究、合作交流、问题解决等方式，培养以下能力：
1.自主探究：引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现一元二次方程的解法——公式法的规律；
1.基础练习题：完成课本P118页第1、2、3题，巩固求根公式的应用。
2.提高练习题：完成课本P119页第4、5题，进一步掌握一元二次方程解的性质及求解方法。
3.实际应用题：根据以下情境，列出一元二次方程并求解。
（1）某学生参加篮球比赛，比赛开始时，他距离篮筐3米。在比赛过程中，他向前跳起，跳跃高度为0.5米。求他距离篮筐的最短距离。
（3）在实际应用中，如何判断一元二次方程的解是否符合题意？
5.课后反思：请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习过程中遇到的困难和收获，并对学习方法进行反思，以提高学习效率。
作业要求：
1.学生独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，确保无误。
3.遇到问题时，积极思考，可向同学或老师请教。
4.课后反思要真实、具体，以便找到适合自己的学习方法。
（2）某商品的成本为1000元，售价为x元。根据市场调查，每提高10元售价，销量增加5件。已知该商品销售总收入与成本相等时，求售价x。
4.探究性问题：小组合作，探讨以下问题，并在下节课上分享讨论成果。
（1）为什么一元二次方程的求根公式中要加上“±”？
（2）当判别式Δ=b²-4ac=0时，方程的解具有什么特点？
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考过程和合作交流情况，了解学生对知识的掌握程度；
2022秋九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法目标二解一元二次方程课件新版华
⑤x2－ 2x＋14＝0; ⑥x2－2x－98＝0.
(1)直接开平方法：____①________； (2)配方法：___④__⑥___________； (3)公式法：____③__⑤__________； (4)因式分解法：___②_________．
4 已知x为实数，且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－ 3＝0，那么x2＋x＋1的值为( A ) A．1 B．－3 C．－3或1 D．－1或3
【点拨】运用换元法解方程时，先要找出相同的整 体进行换元，使方程变得简单，解完方程后还要注 意还元．
(1)已知(x2－y2＋1)(x2－y2－3)＝5，求x2－y2的值； 解：设x2－y2＝a， 则原方程可化为(a＋1)(a－3)＝5， 解得a1＝－2，a2＝4， 则x2－y2＝－2或x2－y2＝4. 变式：已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，求x2＋y2的值．
2 解 方 程 (5x － 1)2 ＝ 3(5x － 1) 的 最 适 当 的 方 法 是
(D) A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
3 已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法
后的横线上．
①2(x－1)2＝6；
②(x－2)2＋x2＝4；
③(x－2)(x－3)＝3; ④x2－2x－1＝0；
第22章
一元二次方程
22.2. 公式法
3
目标二 解一元二次方程
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2D
6
3
4A
答案呈现
1 【2021·浙江钱江新城实验中学期末】阅读材料，解答 问题．
解方程：(4x－1)2－10(4x－1)＋24＝0. 解：把4x－1视为一个整体，设4x－1＝y， 则原方程可化为y2－10y＋24＝0. 解得y1＝6，y2＝4. ∴4x－1＝6或4x－1＝4. ∴x1＝74，x2＝54.
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22.2 一元二次方程的解法
［课前预习］ 1、求下列各式中的x ： ⑴x 2
=225； ⑵x 2
-169=0；
⑶36x 2
=49；
⑷4x 2
-25=0．
2、用因式分解法写出下列方程的解：
⑴ x (x -2)=0 的解为 x 1＝＿＿＿＿ x 2＝＿＿＿＿＿ ⑵ （y +2)(y -3)=0 的解为y 1＝＿＿＿＿ y 2＝＿＿＿＿＿ ⑶ (3x +2)(2x -1)=0 的解为 x 1＝＿＿＿＿ x 2＝＿＿＿＿＿ ⑷ x 2
=x 的解为x 1＝＿＿＿＿ x 2＝＿＿＿＿＿ 3、方程02=x 的根为 。
［课内练习］ 4、解方程：
（1）4x 2
-3=0 （2）(x -2)2
=5 （3）253
12
=x
（4）(x +2)2=9 （5） (3x －1)2
=－5
（6）22
(2)4(3)x x -=+
5、方程ax 2+c=0(a>0)有解的条件是______;其中的非负整数解为________。
6、解下列方程： （1）254x x =；
（2）3x (x +2)=5(x +2) （3）3(2)(612)x x x ---=0
（4）x 2
-4=-(2-x )2
（5）2
(21)4(21)416x x +-++= （6）04222=-+-m mx x
7、解第6题中的方程3x (x +2)=5(x +2)，小明是这样解的： 方程两边同除以(x +2)，得 3x =5 ∴53
x =
这样解对吗？为什么？
8、已知(x －3+3)(x －3)=0，求222(x-3)(x+1)x -9
x 2x 1x x
÷+++的值．
［课后评价］ 9、选择题：
（1）方程x 2
=0的实根个数是（ ）
A ．0个
B ．l 个
C ．2个
D ．以上答案都不对
（2）方程(x-a )2
=b (b ＞0)的根是（ ）
A 、a -±
B 、)a ±+
C 、a ±
D 、a ±
（3）方程036)5(2
=--x 的解为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、以上均不对 （4）已知一元二次方程)0(02
≠=+m n mx ，若方程有解，则必须（ ）
A 、n=0
B 、n=0或m ，n 异号
C 、n 是m 的整数倍
D 、m ，n 同号 10、解方程： （1）
2
1(3x -1)2
=8 （2） (x +5)(x -5)=20 （3）27)3x 2(2
=+
（4）2
2)34()43(-=-x x （5）(2x －3)(4x －6)=18
（6）(m －x)2
=4(m+x)2
11、解下列方程： （1）(41)(57)0x x -+= （2）3(1)22x x x -=- （3）2
(23)4(23)x x +=+
（4）2
2
2(3)9x x -=-
12、若分式21
x x
x ++的值为0，那么x 的值为（ ）
（A ）1-=x 或0x =（B ）0=x （C ）1x =（0）1-=x 13、下面是某同学在一次测验中解答的填空题： （1）若22a x =，则a x =。
（2）方程()112-=-x x x 的解为0=x 。
（3）方程2210x x -+=的解的个数为1个。
其中答案完全正确的题目个数为（）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
14、已知：()
()0212=-+-x x ，求2
14(3)(2)
3
3x x x x x x x x --+-⎛⎫-÷ ⎪-+⎝⎭的值。
15、阅读下题的解答过程，请判断其是否有错，若有错误请你在其右边写出正确解答
已知：是关于x 的方程mx 2
－2x ＋m=0的一个根为m ，求m 的值 解：把x=m 代入原方程，化简得m 3=m 两边同除以，得m 2
=1 ∴ m=1
把m=1代入原方程检验可知 m=1 符合题意 答：m 的值是1。