摆动法测量转动惯量

图4-1单摆原理

实验4 用复摆测量刚体的转动惯量

一、实验目的

1．学习掌握对长度和时间的较精确的测量；

2．掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解；

3．学习用作图法处理、分析数据。

二、实验仪器

JD-2物理摆、光电计时器等

三、实验原理

1.单摆

如图4-1（单摆球的质量为m ）当球的半径远小于摆长l 时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为：

01212=+θθSin l

g dt d (4-1) 式中t 为时间，g 为重力加速度，l 为摆长。

当1θ（rad ）很小时，

11sin θθ≈(4-2) 则（4-1）式可简化为： 01212=+θθl

g dt d （4-3）令l g

=21ω(4-4)

图4-2物理摆(复摆)

（4-3）式的解为：

)sin(1101αωθθ+=t （4-5)

式中10θ，α由初值条件所决定。

周期g l T π

21=（4-6） 2．物理摆

一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图4-2，设物理摆的质心为C ，质量为M ，悬点为O ，

绕O 点在铅直面内转动的转动惯量为0J ，

OC 距离为h ，在重力作用下，由刚体绕定

轴转动的转动定律可得微分方程为

θθsin 220Mgh dt

d J -=(4-7) 令02J Mgh =ω（4-8）仿单摆，在θ很小时，（4-7）式的解为：

)sin(αωθθ+=t (4-9)

Mgh

J T 02π=(4-10) 设摆体沿过质心C 的转动惯量为C J ，由平行轴定理可知：

20Mh J J C +=(4-11)

将（4-11）代入（4-10）可得：

g h Mgh J T C +=π2（4-12）

(4-12)式就是物理摆的自由摆动周期T 和（4-13）式右端各参变量之间的关系。实验就是围绕（4-12）式而展开的。因为对任何C J 都有C J ∝M ，因此（4-13）式的T 与M 无关，仅与M 的分布相关。

令2Ma J =，a 称为回转半径，则有g h gh a T +=

2（4-13）

①一次法测重力加速度g

由（4-12）式可得出 Mh

Mh J g C )(422+=π（4-14）测出（4-14）右端各量即可得g ；摆动周期T ，用数字计时器直接测出，M 可用天平称出，C 点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆，C J 可以计算出。

②二次法测g

一次法测g 虽然简明，但有很大的局限性，特别是对于不规则物理摆，C J 就难以确定，为此采用如下“二次法”测g ：

当M 及其分布（C 点）确定以后，改变h 值，作两次测T 的实验，运用（4-13）式于是有

即0442

122211=--Mh J T Mgh C ππ(4-15) 0442222222=--Mh J T Mgh C ππ(4-16) 联立解（4-15）、（4-16）式，可得出

22221122

2124T h T h h h g --?=π（4-17）

这样就消去了C J ，所以（4-17）测g 就有着广泛的适用性。从（4-17）式，更可十分明确地看到T 与M 的无关性。

虽然，任意两组（1h ,1T ），（2h ,2T ）实测值，都可以由（4-17）

式算出g ；但是，对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（h ,T ）数据，使能得出最精确的g 的实测结果呢？为此必须研究T （h ）关系：

将（4-12）式平方，于是可得出

h Mgh J T C +=224π（4-18）从此式可以看出T 2与h 的关系大体为一变形的双曲线型图

线：当h 趋于0时T →∞，当h →∞，T 亦趋于∞；可见在h 的某一处一定有一个凹形极小值。为此，对（4-18）作一次求导

并令其为0；即由,0=dh

可得 012=+-g

Mgh J C （4-19） 22Ma J Mh C ==（4-20）

即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量，即

h=a 处所相应的T 为极小值（为什么？）。

（注意：体会称a 为回转半径的含义）将（4-13）式取二次导数

为研究T （h ）关系特在0.6m 长的扁平摆杆上，间隔2cm 均匀钻出直径为1cm 的28个孔以作为O 点的Hi 值（i=±1，±2，

±3，……±14）于是可得出如图4-3所示的曲线。在共轭的A ，B 二极小T 值点以上，沿任一T h 画一条直线，交图线于C ，D ，E ，F 四点；皆为等T 值点，错落的两对等T 值间的距离（h D +h E ）=h C +h F 被称为等值单摆长。为理解这一点，将（4-17）式的T 1与T E （或T D ）对应，T 2与T F （或T C ）对应，h 1为与T 1对应的h E ，h 2为与T 2对应的h F ，并将(4-17)式改形为： )(2)(24212

2212122212h h T T h h T T g --+++=π（4-22）（4-22）与（4-17）的等同性同学们在课后去用代数关系式图4-3摆动周期T 与摆轴离中心距离h 的关系

验证。从（4-22）可知，当T1=T2（=T）时，即化为单摆形式的公式（4-6），故称（h E+h F）、（h C+h D）为等值单摆长。

从（4-20）式可知：OB=OA=a；而a X2=h E+h1

从图4-3可知，A，B二共轭点为T（h）的极小值点，若在它附近取二个h值来计算g则将引起较大的误差。所以欲取得精确的g的测量值，就只能取最大的F点和相应的E点来计算g 值。因孔的非连续性，E只能取T E近乎于T F的点代入（4-22）式。还可取略大、略小的两组值都计算出再取平均。

A或B在实验上虽然不利于测量出较精确的g，但运行在

T B（或T A）值下的摆，其性能最稳定。

③可倒摆

为提高测g的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不同的两个摆锤对称地放置。于是质心C点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是T C（即T1），T F（即T2）所相应的h C（即h1），h F（即h2）也随之改变。但曲线的形状依归。

所以，用此时的T（=T F=T C）和h1（=h C），h2（=h F）按（4-22）式来计算出g。

当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用T C≈T F的实测值，这时（4-22）式的右端的第2项仅具很小的值。所以（T1–T2）

很小，而（h1–h2）较大。

所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出T1后，将摆倒置过来，从远端测出大于T1的值然后逐渐减h2直至T2小于T1为止。

将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22）式就称为可倒摆计算式。

摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。

由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特例。

④锤移效应

a．加锤摆的摆动周期T m

设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为M，质心为C（设为坐标原点），摆心为O，CO距离为h，质心C处与摆心O处沿OZ 轴的转动惯量为

J、O J。以上条件皆固定不变。然

后再加一个圆柱形的摆锤，锤的回转半径为r，

质量为m；正轴与上述各轴平行。锤移动沿CO

方向为+X。置锤于X处，如图4-4所示。

摆的总质量为M′m

=(4-23)

M+

图4-4加锤摆

质心变为C′，由一次矩平衡原理可得出

)/(m M X m C C +?='(4-24)

所以新的摆长

h ′=h –C C ')/(m M X m h +?-(4-25)

由平行轴定理，可得

J 0′2222)(X h m mr Mh Ma -+++=(4-26)

设重力加速度g 已知（不变），则带锤的摆动方程式仿（4-7）、（4-10）式为：（动量矩定理）

θθsin )]/([)(0?+?-??+-='m M X m h g m M J (4-27)

ⅰ.加锤摆的周期公式T m 为：

)()()(][22

222x m M m h g m M x h m mr Mh Ma T m +-??+-+++=π（4-28）

在研究锤移效应时，令（固定不变）：

222mr mh Ma C ++=(4-29)

g m M k ?+=)((4-30) 所以有)()(22x m M m h k x h m C T m +-?-+=π（4-31）

此式的特点：

▲它与无锤摆的形式相似，即原T （h ）关系与现在T m （X ）关系相似，（此时h 为固定常数）

▲由于X 的取向等原因，所以T m （X ）相当于图4-3曲线

的左叶，T m （X ）的渐近线为0=+-X m

M m h ，即h m m M X ++=时，T m →∞ 而X 的负向则为，X →－∞，T m →＋∞ 注：h m

m M X +>，则T m 为复数（无意义） ▲它也存在着极（小）值所以应由

0)(=dX X dT m （4-32） dX df df dTm dX dTm ?=令)()(2

X X

m m h k X h m c f +--+= 所以有0)()())()((22

12=+--+??+--+-X M

M m h k X h m c dX d X m M m h k X h m c π 令2)(X h m C U -+=,X m M m h V

+-=, 代入

2)(v X du v dX dv u dX v u d -?=可得 0)()()]([)1()](2)[(2

=+-+-?-+--?-+-X m

M m h m M m X h m C X h m X m M m h （4-33） ])(2[22222m

M mh c m mh mhX X m M X m ++-+-?+=0 X=m M m m M mh c m mh m M m mh mh +?++-?+?-±2

222

2])(2[4)2(2 分子，分母都除以2m （根号内除以4m 2

）得

m h M mc h m M 2

2)(+±+=（4-34）

所以X 一定有解，T 有极值T （X ）

如前所述，T （X ）函数与T （h ）函数的性状是一样的，所以此极值也一定是极小；（以求22dx T

d 来判定，略去）

ⅱ.零质量摆锤的周期（公式）T m 0

将m=0代入公式（4-28），可得

h T g

h gh a =+=22π(4-35) T h 意义就是与X 平行的，值为T h 的T （X ）函数线。T h 也就是无锤摆在CO =h 时的摆动周期值，这也就是研究T （X ）时为什么X 的取向，原点都与原来的T （h ）的h 取向、原点为一致的原因，而另取一个有别于h 的符号X 是为了讨论、理解得方便。理解这一点是弄明下一点的前提。

ⅲ.周期T m 与T h （即m=0时的T m ）的交点，即有T m =T h 也就是令（4-28）式与（4-13）式相等，于是有：

g h gh a +22π)()()(22

222X m M m h g m M X h m mr Mh Ma +-??+-+++=π（4-36）

所以0)()(22222=----r a h X a h hX 解得2

)(4)()(222

2r a h a h h a h X -+-±-=（4-37）

上式如下特点：

▲它与m 无关。即锤的结构、形状相同（r 相同）而密度（即质量）不同的摆锤，在X 处摆的周期T 相等。

▲它在r

▲当r >22

22224)(h a h a h +-（4-38）

即虽然它与锤质量无关，但它与质量的分布（回转半径r ）相关，且r 满足（4-38）式时，无解。