数轴上的基本公式

坐标法
2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C都有关系AC=AB+BC；
是数轴上的任意一个向量，点A的坐标为x ，点B的坐标为x ， 设 AB 1 2
3．向量的坐标表示： AB=x2－x1；
4．数轴上两点间的距离公式：用d(A，B)表示A、B两点间的距离，则
d(A，B)=|x2－x1|.
数轴上线段中点的坐标公式如何推导？
一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做 数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。如图：
1、数轴上点的坐标
N P(x） M
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
若点P与实数x对应，则称点P的坐标为 x 记作
数轴上的一点M的坐标为3 记作：
二、向量的定义
-3 -2 -1 0 A 1
B
2 3
x
如果数轴上任意一点沿着轴的正向或负向移动到另一 点，则说点在数轴上作了一次位移，位移是一个既有 大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量
4．数轴上两点间的距离公式：
用d(A，B)表示A、B两点间的距离， 则 d(A，B) = AB = |x2－x1|.
基本公式 3
小结
• 一、数轴即直线坐标系的定义与数轴上向量的定义
• • 1、数轴上点的坐标 2、数轴上向量的坐标
• 二、数轴上的 基本公式
1．位移的和：AC AB BC
d(A,B)= 8 d(A,C)= 20
d(B,C)= 20 又A,B,C三点不共线， 所以△ABC是等腰三角形
【例3】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同, 所以它们的中点的坐标也相同. 设D 点的坐标为(x,y). 则
坐标为0
相等的向量
(B) C -3 -2 -1 0
A 1 2
B 3
x
数轴上同向且等长的向量 叫做相等的向量
相等的向量 坐标相等
4、位移的和 （即向量的和简称和向 量）
(B) C -3 -2 -1 0
A 1 2
B 3Βιβλιοθήκη x在数轴上，如果点A作一次位移到点B，接着由 点B再作一次位移到点C，则位移AC叫做位移AB与 位移BC的和。
教学目标：
1、了解两点间距离公式和中点 公式的推导过程；熟练掌握两 点间的距离公式、中点公式；
2、灵活运用两点间的距离公式
和中点公式解题； 3、培养学生的数学思维能力。
思考
1、已知平面上两点A (x1,y1)，B (x2,y2)，如何 推导A 、B两点间的距离公式呢?
d ( A, B) AB
运算结果翻译成 几何关系。 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 2(a 2 b2 c 2 ) 2 2 2 2 2 | AC | | BD | 2(a b c ) 第三步:把代数 2 2 2 2 2 2 | AB | | CD | | AD | | BC | | AC | | BD |
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系内A（x1,y1）、B(x2,y2)
1.
平面上A、B两点间的距离
d ( A, B) AB
( x2 x1) ( y2 y1)
2
2
2、设M(x,y)是线段AB的中点，则
x1 x 2 中点坐标公式为 x 2 y1 y 2 y 2
记法 从点A到点B的向量，记作AB 线段AB 的长叫做向量 AB 的长度， 记作 AB
2、数轴上向量的表示方法 -------坐标（数量）
-3
(B) C -2 -1 0
A 1 2
B 3
x
一般的，我们用实数表示数轴上的一个向量。
例如，向量AB，即从点A沿X轴的正向移动2个单位到达B点，可用正数 2 表示；
向量AC，即从点A沿X轴的负方向移动2个单位到达C点，可用 – 2 表示
向量AB的坐标用AB表示
1. 2.
AB=
2
AC=
-2
AB=
2
AB= - BA
BA= -2
3. 向量的长 度
(B) C -3 -2 -1 0
A 1 2
B 3
x
向量坐标的绝对值等于向量的长 度
AB =2 零向量：
AC =2
起点和终点重合的向量叫做零向量 零向量没有确定的方向
2.1.1.数轴上的基本公式
学习目标： 1、理解实数与数轴上的点的一一对应关系及实 数运算在数轴上的几何意义。 2、理解向量及其相等的概念。 3、掌握数轴上向量的加法的坐标运算及数轴上 两点间的距离公式。 重点：理解和掌握数轴上的基本公式。 难点：建立实数与 数轴上的点或位移的对应关 系
一.直线坐标系 定义
x 2 35 2 2 y2 02 2 2
y
D (x,y)
M
C(5,2)
A(-3,0)
O
解得
x=0
x B(2,-2)
∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测2〗 1、求线段AB的中点： （1) A（3，4） , B（-3,2） （2) A (-8,-3) , B (5,-3) 2、求P(x,y)关于坐标原点的对称点P’ 的坐标.关于点M（a,b）的对称点呢？ 3、已知 :平行四边形的三个顶点坐 标分别是(- 1,-2),(3,1),(0,2).求: 第四个顶点的坐标？
记作： AC=AB+BC
基本公式1
对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系
AC=AB+BC
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
3．向量的坐标表示： 设 AB 是数轴上的任意一个向量，点A的坐标为x1，点B的
坐标为x2，因为OB=OA+AB 而OB= x2 OA= x1 AB= OB-OA 基本公式 2 则 AB = x2－x1
小结
• • • • • • 1、数轴上点的坐标 2、向量的定义 3、向量的坐标 4、向量的坐标表示AB=xB －xA； 5、数轴上两点间的距离公式 6、平面内两点间的距离公式 7、中点坐标公式
备用：证明平行四边形四条边的平方和和等于两 条对角线的平方和。 证明：以A为原点，AB为x轴 y D (b,c) C (a+b,c) 建立直角坐标系。 第一步:建立坐 则四个顶点坐标分别为 标系，用坐标表 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c) 示有关的量。 2 2 x | AB | a | CD |2 a 2 A (0,0) B (a,0) | AD |2 b2 c 2 | BC |2 b2 c 2 第二步:进行有 2 2 2 2 2 2 | BD | (b a关代数运算 ) c | AC | (a b) c
四、课堂检测1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
1、已知两点A、B的坐标： A(-1), B(1)
求:AB、|AB|
练习： 已知A(-2), B(-5)，求:AB、|AB| 2、下列说法中正确的是（ ） A、零向量有确定的方向； B、数轴上等长的向量叫做相等的向量； C、AB=-BA Ｄ、|AB|=BA
( x2 x1) ( y2 y1)
2
2
2、如何推导平面内线段中点的坐标公式？
x1+ x2 x= 2 y1+ y2 y= 2
典例精析
三.例1. 已知A（2，－4），B（－2，3），求d(A,B).
解：……
d(A,B)
例2. 证明：
65
已知点A（1，2），B（3, 4）， C（5, 0）， 求证△ABC是等腰三角形