数轴上的基本公式mcg!
课件6：2.1.1 数轴上的基本公式
2.向量的几何表示 由于几何中的有向线段具有长度和方向，而向量是一种 既有大小又有方向的量，因此向量可以用有向线段来表示， 有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量 的方向，如向量A→B，A 叫做A→B的起点，B 叫做A→B的终点.
跟踪训练 2.如图，A→B是数轴上的一个向量，O 为原点，则下列各式中 不成立的是( )
探究点 数轴上两点的距离 探究1 如果两点的位置不确定，如何求其距离？ 【答案】 分类讨论. 探究2 向量的长度及数量的区别与联系. 【答案】 |AB|＝d(A，B)＝|xB－xA|，AB＝xB－xA.
例3 已知M、N、P是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝2， 求d(M，P). 解：∵M、N、P是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝2， (1)当点P在点M，N之间时(如图所示)，
3.若在直线坐标系中，有两点A(6)，B(－9)，且AB＋BC ＝2 014，则点C的坐标为________.
【解析】 设C点的坐标为x，则 －9－6＋x＋9＝2 014，解得x＝2 020. 【答案】 2 020
4.在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样 的长度到C，则点C的坐标为________.
课堂检测
1.下列各组点中，点C位于点D的右侧的是( ) A.C(－3)和D(－4) B.C(3)和D(4) C.C(－4)和D(3) D.C(－4)和D(－3) 【解析】 由数轴上点的坐标可知A正确. 【答案】 A
2.下列说法正确的是( ) A.点 M(x)位于点 N(2x)的左侧 B.数轴上等长的向量是相等的向量 C.向量 A→B 在数轴上的坐标 AB＝－BA D.数轴是有方向的直线 【解析】 逐个判断可知. 【答案】 C
d(M，P)＝|MN|－|NP|＝5－2＝3.
数学：211数轴上的基本公式课件新人教B版必修2资料
2.1.1 数轴上的基本公式
学习目标
1. 理解实数与数轴上的点的对应关系．理解实 数运算在数轴上的几何意义． 2．掌握数轴上两点间的距离公式．掌握数轴上 向量加法的坐标运算． 3．理解向量相等及零向量的概念．
2.1.1
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
(2)∵a2＋1－a＝(a－12)2＋34≥34>0， ∴a2＋1>a，∴B(a2＋1)位于 A(a)的右侧． (3)当 x≥0 时，|x|＝x，则 A(|x|)和 B(x)为同一 个点． 当 x<0 时，|x|>x，则 A(|x|)位于 B(x)的右侧．
数轴上的向量坐标
例2 已知A、B、C是数轴上任意三点． (1)若AB＝5，CB＝3，求AC； (2)证明：AC＋CB＝AB. 【解】 (1)∵AC＝AB＋BC， ∴AC＝AB－CB＝5－3＝2. (2)证明：设数轴上A、B、C三点的坐标分别为 xA、xB、xC，则AC＋CB＝(xC－xA)＋(xB－xC)＝ xB－xA＝AB. ∴AC＋CB＝AB.
【点评】 根据数轴上点与实数的对应关系， 数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．
跟踪训练1 不在数轴上画点，判断下列各组点 的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的 右侧)： (1)A(－1.5)，B(－3)； (2)A(a)，B(a2＋1)； (3)A(|x|)，B(x)．
解：(1)∵－1.5>－3，∴A(－1.5)位于 B(－3)的 右侧．
思考感悟
在本节内容中，符号“A→B”与“AB”所表示的意 义分别是什么？
提示：A→B表示从点 A 到点 B 的向量，AB 表
示向量的坐标或数量．
数轴上的基本公式
§2.1.1 数轴上的基本公式§2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式§2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率§2.2.2 直线方程的几种形式【教学目的】1. 通过对数轴的复习，理解实数和数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义。
掌握数轴上两点间距离公式，掌握数轴上的向量加法的坐标运算。
通过探讨得出平面上两点间距离公式及线段中点坐标公式。
2. 在平面直角坐标系中，结合图形，探索确定直线位置的几何要素。
理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握公式的应用。
3. 理解并掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化。
了解在直角坐标系中，平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系。
二、重点、难点：1. 重点：理解和掌握数轴上的基本公式；平面上两点间距离公式和中点坐标公式、坐标法的应用；理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握两点的连线的斜率公式；几种形式直线方程的推导，其中点斜式是重点中的重点；根据所给条件灵活选取适当的形式和方法，熟练地求出直线的方程。
2. 难点：对各个概念的正确理解及基本公式的探索；平面上两点间距离公式和中点坐标公式的推导；使用坐标法证明几何问题时坐标系的建立；斜率的概念和两点的连线的斜率公式的推导；清楚各种形式直线方程的局限性，把握求直线方程的灵活性，运用数形结合的思想。
三. 教学过程：（一）数轴上的基本公式1. 基础概念：（1）数轴：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
实数集和数轴上的点之间是一一对应关系。
如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作。
（2）向量：既有大小又有方向的量通常叫做位移向量，本书简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作，点A叫做向量的起点，点B叫做向量的终点。
（3）向量的长度：线段AB的长叫做向量的长度，记作。
（4）向量的坐标或数量：向量的坐标，用AB表示。
数轴上的基本公式精品PPT教学课件
(真)
4.若
ab,
b
c，则
a
c
；
小结
1.判断一个量是否为向量：就是要判断该量既_有__大__小__又 __有__方__向__. 2.向量的表示:可用_有__向__线__段__或_字__母___表示. 3.两个特殊向量:零向量是指_长__度__为__0_的向量;单位向量是指 __长__度__为__1_的向量. 4.相等向量:两相等向量的方向__相__同___长度__相__等____.
第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作 图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世 的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解 析几何的起点。
2020/12/6
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从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中 心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、 几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代 数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
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解析几何的产生
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展， 天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的 需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕 着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆 的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物 体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥 曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套 方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的 出现。
依轴上点的坐标定义，OB= x 2 , OA= x 1 ,有： AB= x 2 - x 1
对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系：
AC=AB+BC
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例题
判断下列命题的真假： (假) 1.单位向量都相等； (真) 2.起点不同,但方向相同且模相等的几
《数轴上的基本公式》课件(新人教B版必修2)
由题意可知，a=2，b=-3，根 据数轴上两点间距离的计算方 法，可得A、B两点间的距离为
|2-(-3)|=5。
02
绝对值函数在数轴上应用
绝对值函数定义及性质回顾
绝对值函数定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
对称性
二次函数图像关于对称轴 对称，对称轴方程为 $x = -frac{b}{2a}$。
顶点
抛物线的顶点坐标为 $(-
frac{b}{2a},
c
-
frac{b^2}{4a})$，是函数
的最大值或最小值点。
二次函数图像在数轴上绘制方法
确定开口方向
找出对称轴
根据二次项系数的正负确定抛物线的开口 方向。
已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c (a > 0)$ 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为 $y = x - 1$，求 $f(x)$ 的解析 式及单调区间。
根据切线方程可知，切点坐 标为 (1,0)，且切线的斜率等 于函数在该点的导数。由此 可列出方程组求解出 a、b、 c 的值，得到函数的解析式 。再利用导数判断函数的单 调性，得到单调区间。
《数轴上的基本公式》课件(新人教B版必修2)
汇报人：XX
目录 CONTENTS
• 数轴基本概念与性质 • 绝对值函数在数轴上应用 • 线性方程在数轴上表示和求解 • 二次函数在数轴上应用举例 • 分段函数在数轴上表示和求解 • 综合应用：复杂数学问题在数轴上简化处理
01
数轴基本概念与性质
数轴定义及表示方法
1. 解得 $x = frac{2}{3}$，在数轴上标出点 $frac{2}{3}$。
2.1.1数轴上的基本公式
3向量的表示方法(一）：
A
B
3 2 1 0 1 2 3 4 x
从点A到点B的向量，记作AB
(1)点A叫做向量AB的 起点. (2)点B叫做向量AB的 终点.
(3)线段AB的长度叫做向量AB的 长度.
记作| AB |
4特殊的向量：
单位向量：长度为1的向量.
零向量：长度为0的向量,它没有确定的方向. (或起点和终点重合的向量.)
记作：AC AB BC
AC AB BC
若：AB 3,BC 4
AC AB BC 7
(1)OB OA AB
AB OB OA
(2)AB BC CD DE __A_E_____
(3)AB BC CD DA 0
O
A
3 2 1 0 1 2 3 4 x
AB x2 x1 向量坐标公式
d(A,B) | AB || BA || x2 x1 | 两点距离公式
8练习：
(1)已知A(2)，且的d(A,M) 3求M点的坐标？
M(1)或M（5）
（2）已知| AB | 5，| BC| 3求 | AC | __2_或__8__
(3)A(x1), B(x2)求AB中点M的坐标.
3
(2) | 2x 1| 6
{x |
5 2
x
7} 2
解方程：
（1）| x 3 | | x 1| 5 （2）| x 3 | | x 1| 4 （3）| x 3 | | x 1(1) | 5 （4）| x 3 | | x 1| 4
思考
| AB || BA | 2 | AC || CA | 4
课件5：2.1.1 数轴上的基本公式
题型一 数轴上点的坐标 例 1 数轴上 A、B、C 三点分别表示－5.2、－2.5、3.5， 此三点距原点的距离分别为 a、b、c，求出 a，b，c 的值， 并比较它们的大小，说明其几何意义，反过来，如果数轴 上的点 P、Q、R 到原点的距离分别为上述所求的值 a、b、 c，问点 P、Q、R 所对应的坐标是否为 P(－5.2)、Q(－2.5)、 R(3.5)呢？
作向量A→B的坐标或数量，向量A→B的坐标用 AB 表示．
(5)起点和终点重合的向量是 零向量 ，它没有确定的方向， 它的坐标为 0 ，其长度为零． (6)位移的和：在数轴上，如果点 A 作一次位移到点 B，接着 由点 B 再作一次位移到点 C，则位移A→C叫做位移A→B与位移B→C 的和，记作A→C＝A→B＋B→C.由于向量可用数量表示，因此，位 移的和可简单地由数量和表示．
称 点P的坐标为x ，记作 P(x)．
2．向量 (1)定义：如果数轴上的任意一点 A 沿着轴的正向或负向移 动到另一点 B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点 作了 零位移 ，位移是一个既有 大小 又有 方向 的量， 通常叫做 位移向量 ，本书简称 向量 ．
(2)向量的长度：从点 A 到点 B 的向量，记作A→B，点 A 叫做向 量A→B的 起点 ，点 B 叫做向量A→B的 终点 ，线段 AB 的长叫 做向量A→B的 长度 ，记作|A→B|. (3)相等向量：数轴上 同向 且 等长 的向量叫做相等向量． (4)向量的坐标：在数轴上向量A→B的长度连同表示方向的符号称
2.1.1 数轴上的基本公式
自学导引 1．数轴上点的坐标
(1)定义：一条给出了 原点 、 度量单位 和 正方向 的直线叫 做数轴，或者说在这条直线上建立了 直线坐标系 ．
数轴与坐标系的基本公式
数轴与坐标系的基本公式一、数轴数轴是用于表示实数的一条直线。
数轴上的每个点都与一个实数对应，可以用来表示有向距离和大小关系。
数轴上的基本公式如下：1.数轴上的点P与实数a的对应关系可以表示为：P(a)。
2.数轴上的点P与点Q之间的距离等于它们所对应的实数的差的绝对值，即：，P(a)-Q(b)，=，a-b。
3.数轴上两点P(a)与Q(b)之间的有向距离可以表示为：P(a)-Q(b)=a-b。
二、坐标系坐标系是用于表示平面上点的工具，包括直角坐标系和极坐标系。
1.直角坐标系直角坐标系由两条互相垂直的直线（x轴和y轴）组成。
点在直角坐标系中的位置可以通过两个数值（横坐标x和纵坐标y）来确定。
直角坐标系上的基本公式如下：1.一个点P(x,y)的横坐标x表示点P在x轴上的投影，纵坐标y表示点P在y轴上的投影。
2.两点P(x1,y1)与Q(x2,y2)之间的欧几里得距离可以表示为：d(P,Q)=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
3.两点P(x1,y1)与Q(x2,y2)之间的有向距离可以表示为：d(P,Q)=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
2.极坐标系极坐标系以一个原点和一个极轴为基础，通过极径和极角来确定平面上的点。
极坐标系上的基本公式如下：1.一个点P(r,θ)的极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示从极轴到线段OP的角度。
2. 两点P(r1, θ1)与Q(r2, θ2)之间的欧几里得距离可以表示为：d(P, Q) = √(r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1))。
3. 两点P(r1, θ1)与Q(r2, θ2)之间的有向距离可以表示为：d(P, Q) = √(r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1))。
三、示例应用1.数轴：假设数轴上有两个点P(3)和Q(7)，它们之间的距离是，3-7，=4、点P到点Q的有向距离是3-7=-42.直角坐标系：假设直角坐标系上有两个点P(2,3)和Q(-1,4)，它们之间的欧几里得距离是d(P,Q)=√[(2-(-1))²+(3-4)²]=√[9+1]=√10。
2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式教材知识检索考点知识清单1．数轴：一条给出了 、 和 的直线叫做数轴，也称直线坐标系．2．数轴上的向量：数轴上的任意一点A 沿着数轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上作了一次 ，简称为向量；用一个实数表示轴上的向量，实数的绝对值为线段AB 的 ，如果起点到终点的方向与轴同向，则此实数为 ．否则为 ，那么这个实数为向量AB 的3．设A 、B 、C 是数轴上的三点，则=AC4．数轴上两点间的距离公式：设),()(21x B x A 、则-== =),(,B A d要点核心解读1．数轴一条给出了原点、度量单位和正方向的直线，叫做数轴或直线坐标系，当点P 与实数x 对应时，称x 为点P 的坐标，记作P （x ）．如图2-1-1 -1所示，数轴x 上的点P 、Q 、R 的坐标依次是x 、-1、2，可分别记为⋅-)2()1()(R Q x P 、、2．向量当数轴上的任意一点A 移动到另一点B 时，就说点在轴上作了一次位移，当点不动时，就说点作了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．今后，我们统一用有向线段表示向量.起点为A 、终点为B 的向量，记为,AB 线段AB 的长度叫做向量AB 的长度或模，记为|,|AB 它体现的是向量的大小；向量的方向由起点指向终点．同向且等长的向量叫做相等的向量；模为1 个单位长度的向量叫做单位向量；向量的坐标(或称数量AB)是一个实数，实数的绝对值就是|,B |A 当向量起点指向终点的方向与轴同向时，这个实数就是AB ；反之，就是BA.例如，如图2-1-1-2所示 ，⋅-=--=-=211212)(,A x x x x BA x x B起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的模和坐标都是0．3．数轴上的基本公式如图2 -1 -1 -2所示，不难看出，下面的公式成立： ,BC AB AC +=,12x x AB -=.||||),(2112x x x x B A d -=-=其中，d(A ，B)表示A 、B 两点间的距离．4．利用数轴上两点间的距离公式解决某些绝对值不等式绝对值不等式，尤其是一元一次绝对值不等式，与两点间的距离公式之间存在一定的联系，因此我们可以借助距离公式的几何意义来解决绝对值不等式问题．符合条件1|2|>-x 的点)(x P 位于x 轴的何处？可以用代数法即去掉绝对值符号解不等式，也可以运用距离公式的几何意义即“几何法”来求解．[解析] 解法一：（代数法）解绝对值不等式1|2|>-x 得12>-x 或,12-<-x 即x>3或x<l ，故点P 位于x 轴上M(l)的左侧或N(3)的右侧，解法二：（几何法）如图2 -1-1-3所示，设Q(2)，则,(P d |,2|)-=x Q 由题意可知，P 、Q 两点间的距离大于1，结合数轴可以确定P 点位于M(l)的左侧或N(3)的右侧．典例分类剖析考点1 求数轴上点的坐标及两点间的距离命题规律2已知坐标求距离或已知距离求坐标（或数量）.[例1] 已知数轴上的三点).()5()1(x C B A 、、-(1)当8),(||=+C B d 时，求x ；(2)当0=+CB AB 时，求x ；(3)当B =时，求x ；(4)当1=AC 时，求证：.AC BC AB =+[解析] 本例用到两个公式，即=-=),(,12N M d x x MN ==|MN ||MN =-||12x x .||21x x -其中1x 与2x 分别是M 、N 两点的坐标．[答案] (1)由),()5()1(x C B A 、、-可知.|5|),(,6){1(5|||-==--=x C B d 当8),(||=+C B d 时，有,8|5|6=-+x解得 .73==x x 或(2)由,0=+CB AB 可知,05)1(5=-+--x解得 .11=x(3)由=可知，|,||=且||AB 与||同向，即5)1(5-=--x所以 ,65=-x解得 .11=x(4)当1=AC 时，有 ,1)1(=--x解得 ,0=x所以 .150)1(5AC BC AB ==-+--=+母题迁移 1．若数轴上的顺次四点A ，B ，C ，D ，且),6(),0(),(),7(D C x B A -满足,CD AB =求实数x 考点2 向量的数量与点的坐标的关系命题规律把数轴上的向量转化为点的坐标进行运算，进而求值或证明.[例2] 设A 、B 、C 是数轴上不同于原点O 的任意三点，且.000=+CA C BA B 求证：⋅=+AC B 020101 [解析] 把向量的数量转化为点的坐标．[答案] 设A 、B 、C 在数轴上的坐标分别为).()(b B a A 、),(c C 则.,,,,c a CA b a BA c OC b OB a OA -=-====,0,00=-+-∴=+c a c b a b CA C BA OB 即abc c b 2=+ 又,11011bc c b c b C OB +=+=+且⋅=+∴=AC OB a A 02011,202 [点拨] 证明有关同一数轴上的若干点所成的向量的数量等式或条件等式时，关键要抓住“数量”这一本质，设数轴上点的坐标，把向量的数量转化为点的坐标，通过化简即可证明．母题迁移 2．已知数轴上点A 、B 、P 的坐标分别为).()3()1(x P B A 、、-(1)当P 与B 的距离是P 与A 的距离的3倍时，求⋅)(x P(2)若 P 到A 和B 的距离都是2时，求),(x P 此时P 与线段AB 有怎样的关系？ (3)在线段AB 上是否存在点P(x)，使得P 到A 和B 的距离都是3?若存在，求出P(x)；若不存在，请说明理由.考点3 利用数轴上的基本公式解决实际问题命题规律将实际问题转化为数轴上的基本公式这一数学问题，进而加以解决．[例3] 一条公路由西向东设有A 、B 、C 、D 、E 五个站点，相邻两个站点之间的距离依次为32千米、48千米、40千米、36千米，且在公路旁A 、E 两站的中点处设有加油站．请你以加油站为原点，正东为正方向，cm 201为单位长度画数轴，并将五个站点在数轴上表示出来． [解析] 由于例题中已规定了数轴的原点、正方向和单位长度，因此，解决问题的关键在于确定五个站点分别在加油站的哪一侧，与加油站的距离是多少？[答案] 因为,36404832+>+所以A 、B 两站在加油站西侧（原点左侧），G 、D 、E 三站在加油站东侧（原点右侧）．因为A 站到E 站的距离为156********=+++（千米），所以A 、E 两站到加油站（原点）的距离为78千米，而+-=-4078,463278（,2)36=,423678=-所以B 、C 、D 三站到加油站（原点）的距离依次为46千米、2千米、42千米，即A 、B 、C 、D 、E 五站在数轴上表示的数依次为 .784224678、、、、--取cm 201为单位长度，画数轴如图2 -1-1-4所示．[点拨] 解决实际问题的关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，而数学模型是近几年高考的热点，同学们在日常生活中要注意观察、了解、总结数学与社会、生活之间的密切联系．母题迁移 3．某海洋救护站接到一船只发出的求救信号，船只在救护站正东方100 km 的A 处，正以每小时20 km 的速度缓慢靠近救护站，接到求救信号后，救护站立即派出救护艇以每小时180 km 的速度驶向求救船只，问救护艇会在何位置遇到求救船只？考点4 ∣a-b ∣的几何意义命题规律利用∣a –b ∣的几何意义解决不等式或方程中的问题．[例4] 对一切,R x ∈证明.5|3||2|≥-++x x[解析] 讨论2-≤x 或32≤<-x 或3>x 三段可求得原不等式的解，这里给出用数轴上两点间的距离公式解题的方法，即将|2|+x 看成数轴上的坐标为x 与-2的两点的距离，把|3|-x 也看成两点的距离，结合数轴求解不等式．[答案] 设点A 、B 、P 在数轴上的坐标为-2、3、x ，则.|3||||,2|||,5|32|||-=+==--=x BP x AP AB由平面几何知识知|,|||||AB BP AP ≥+当且仅当P 点在线段AB 上时取“=”， .5|3||2|≥-+⋅+∴x x上式当且仅当32≤≤-x 时，“=”成立．母题迁移 4．根据下列条件，在数轴上分别画出点⋅)(x P;2||)1(<x ;2||)2(=x ;2||)3(>x ;2|1|)4(>-x .2|1|)5(>+x优化分层测讯学业水平测试1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪一组中的点C 位于点D 的右侧( )．A ．C （-3）和D( -4)B ．C(3)和D(4)C ．C （-4）和D(3)D ．C （-4）和D( -3)2．下列说法中正确的个数有( )．①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB 与向量BA 的长度是一样的；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．1.A2.B3.C4.D3．A 、B 、C 三点都在数轴上，且A 是线段BC 的中点，则以下四个结论：;BC AB =①;AC BC =②0||||=-CA AB ③中，正确命题的序号是4．若点A （x ）位于点B(2)和点C(8)之间，则x 的取值范围是5．在数轴上画出以下各点．⋅=/=/+-)0,0)(||||();2();3();2(y x yy x x D C B A6．对点A(a)和点B( -a)在数轴上的位置，你认为有几种，依据是什么？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．数轴上A 、B 、C 的坐标分别为-7、2、3，则CA AB +的值为( )1.A 19.B 1.-C 19.-D2．对于数轴上的任意三点A 、B 、0，在如下向量的坐标关系中，不成立的是( )．A B AB A 00.-= 00.=++BA B AO B OB AO AB C +=. 0.=++BO AO AB D3．当数轴上的三点A 、B 、0不重合时，它们的位置关系有六种情况，其中使-=和 ||||||OA OB AB -=同时成立的情况有( )．A.l 种B.2种C.3种D.6种4．数轴上的两点),2()2(a x B x A +、则A 、B 两点的位置关系为( )．A.A 在B 的左侧B.A 在B 的右侧C.A 与B 重合 D ．由a 的值决定5.A 、B 为数轴上的两点，A 点坐标为,5,2=AB 则B 点坐标为( )．3.-A 7.B 37.-或C 37.或-D6．A 、B 、C 是同一直线上的三点，若等式AC BC AB =+成立，则( )．A.A 在B 、C 之间B.B 在C 、A 之间 C ．C 在A 、B 之间 D ．以上都有可能7．已知数轴上的点A 、B ，其中点B 的坐标为,2||,2=BA 则点A 的坐标为( )．4.A 2.-B 0.C 40.或D8．数轴上点),4()8()(--B A x P 、、若|,|2||=则=x ( )．0.A 316.⋅-B 316.C 3160.-或D 二、填空题（5分x4 =20分）9. A 、B 、C 、D 是数轴上的任意四点，则=+++DA CD BC AB10.已知数轴上三点),3()0()2(C B A 、、-则的坐标为 ，BC 的坐标为 ,的坐标为11．若不等式a x x >++-|3||1|恒成立，则实数a 的取值范围为12.已知数轴上的向量、、B AB 的坐标分别为==BC AB 、2,45-=-DC 、则=|| =AD ,三、解答题（10分x4 =40分）13.求满足下列各式的x 的范围． );,29(2)9,()1(x d x d < ⋅-≥+)0,()20,86()2(2x x d x d14．(1)在数轴上求一点的坐标，使它到点A （-1）与到点B(5)的距离相等；(2)在数轴上求一点的坐标，使它到点A(O)的距离是它到点B(-9)的距离的⋅2115.已知点A （x)位于)(2x B 的右侧，求d(A ，B)的最大值．16.已知数轴上有点),3()1()2(D B A 、、-点C 在直线AB 上，且有,21=BC AC 延长DC 到E ，使,41),(),(=E D d E C d 求点E 的坐标，。
2.1.1数轴上的基本公式
记作： AC=AB+BC
对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系
AC=AB+BC
你会么？
C
A
B
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
例：如图，已知AB=2, BC= -4，则
AC= AB+BC=2+( - 4)= - 2
AB= AC+CB=-2+4= 2
BC= BA+AC=-2+(-2)=-4
五、数轴上两点的距离
第二章 平面解析几何初步
用数字或其符号来
确定一个点或一个 物体位置的方法叫 坐标方法。相关的 符号和数称为点的 坐标。
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
问题：什么叫做数轴?在数轴上， 点P与实数x的对应法则是什么 呢？
(P)
P
-3 -2 -1 0 1 2 3
一、给出了原点，度量单位和正方向的直线叫做 数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系
1
A
-2
-1
-1
-2
B
1 2 3 x | AB |=| x 2 - x1 |
一.O,A两点间距离公式d(O,A)
|x|
y
A(x,y)
|y|
O(0,0)
x
| OA |= x 2 + y 2
数形结合
二.两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
求证△ABC是等腰三角形
证明：
d(A,B)= 8
d(A,C)= 20
d(B,C)= 20
又A,B,C不共线 所以△ABC是等腰三角形
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数轴上的基本公式
编写人：马成刚王斌审核人：石夕坤时间：2011.12
一、学习目标
（1）理解和掌握数轴上的基本公式。
（2）探索数轴上的两点的距离公式
二、学习重点难点
向量的坐标的概念和数轴上的基本公式
三、自主学习展示
（一）数轴
（1）坐标方法
用数字或符号来确定一个点或一个物体位置的方法叫做 .相关的符号和数称做点的 .
（2）数轴
一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
数轴的三要素：、、 .
2、自主学习阅读课本P65页，第二、三、四段，找出下列问题的答案
（1）数轴上点P与实数x的对应法则是怎样规定的？依据这个法则，实数和数轴上的点之间建立了怎样的一种关系？
（2）数轴上点的坐标是怎么规定的？
（3）你能用数轴解释|x|和|x-1|的意义吗？
（7）你能用数轴比较两个数的大小吗？
（二）向量
自主学习 阅读课本P66页，找出相应的数学概念
（1）位移向量是如何定义的？
（2）相等的向量
（3）如何表达数轴上的一个向量？
（4）零向量是怎样定义的？它的坐标是什么？
(5) 实数与数轴上的向量之间是如何对应的？
（6）两个位移的和
（7）数轴上的向量运算公式
（三）数轴上向量的坐标公式及两点间的距离公式
点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则
（1）AB=
（2）d(A ，B)=
例3 将满足下列条件的x 的范围用区间表示，并在数轴上分别画出点P （x ）。
(1) ()23,≤-x d (2)211≤-≤x
变式训练在数轴上分别画出点P（x）。
1
)2(=
-
x
x2
2
-
1
)1(>
反思总结：
数轴上的基本公式当堂检测
1．在下列四个命题中，正确的是（ ）
（A ）两点A 、B 惟一确定一条有向线段
（B ）起点为A ，终点为B 的有向线段记作AB
（C ）有向线段AB 的数量AB =－|BA |
（D ）两点A 、B 惟一确定一条线段
2．对于数轴上任意三点A 、B 、O ，如下关于有向线段的数量关系不恒成立的是（ ）
（A ）AB =OB －OA （B ）AO +OB +BA =0
（C ）AB =AO +OB （D ）AB +AO +BO =0
3．若点A 、B 、C 、D 在一条直线上，BA =6，BC =－2，CD =6，则AD 等于（ ）
（A ）0 （B ）－2 （C ）10 （D ）－10
4、在数轴上M 、N 、P 的坐标分别为3，－1，－5，则MP +PN 等于（ ）
（A ）－4 （B ）4 （C ）－12 （D ）12
5．在数轴上M 、N 、P 的坐标分别为3，－1，－5，则MP +PN 等于（ ）
（A ）－4 （B ）4 （C ）－12 （D ）12
7． 数轴上任取三个不同点P 、Q 、R ，则一定为零值的是（ ）
（A ）PQ +P R （B ）PQ +R Q （C ）PQ +Q R+P R （D ）PQ +Q R+R P
8．数轴上两点A (2x )，B (2x +a )，则A 、B 两点的位置关系为（ ）
（A ）A 在B 左侧 （B ）A 在B 右侧 （C ）A 与B 重合 （D ）由a 的取值决定
9．在数轴上从点A (－2)引一线段到B (3)，再延长同样的长度到C ，则点C 的坐标为（ ）
（A ）13 （B ）0 （C ）8 （D ）－2
10．在数轴上已知点B 的坐标为3，AB =4，则点A 的坐标为 ；已知点B 的坐标为2，||B A =2，则点A 的坐标为 ；已知点B 的坐标为－1，BA =2则点A 的坐标为 已知数轴上两点A (x 1)，B (x 2)，则线段AB 中点坐标为 .
11．已知数轴上A 、B 、C 的坐标分别为&－3，7，9，则AB +BC +CA = ，
||||||A B B C C A ++ = .
12、数轴上一点P (x )，它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)距离的2倍，则x = 或 .已知数轴上两点A (a )，B (5.5)，并且d (A ，B )=7.5，则a = ；
若AB =7.5，则a = .
13．下列各组点中，点B 在点A 右侧的是 .
①A (－3)和B (－4)，②A (a )和B (a +1)，③A (a )和B (3a )，④A (－2)和B (0)，⑤A (a )和B (b )，(其中a <b )，⑥A (2x )和B (x 2
)，
14．对于数轴上任意四点A 、B 、C 、D ，求证：AC +BD =AD +BC .。