2.1.1数轴上的基本公式

2.1.1数轴上的基本公式
网络坐标法
地图起源很早，传说在人类发明象形文字以前就有了地图。

战国时期，军事地图更为普遍。

《孙子兵法》和《孙膑兵法》分别附图9卷和4卷。

《管子·地图篇》曾道，凡统帅军队者，必事先详尽熟悉和掌握军事活动地区的地图。

1973年湖南长沙马王堆3号汉墓出土三幅西汉初年地图。

一幅为地形图，一幅为驻军图，另一幅为城邑图。

距今已有2100多年。

如果把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法，那么战国时代魏人石申用距度（或入宿度）和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星表，可以说是一种球面坐标系统的坐标法。

古希腊的地理学家和天文学家也广泛地使用球面坐标法。

西晋人裴秀（223－271）提出“制图六体”，在地图绘制中使用了相当完备的平面网络坐标法。

用坐标法来刻画动态的、连续的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。

阿波罗尼在《圆锥曲线论》中，已借助坐标来描述曲线。

十四世纪法国学者奥雷斯姆用“经度”和“纬度”（相当于纵坐标和横坐标）的方程来刻画动点的轨迹。

十七世纪，费马和笛卡儿分别创立解析几何，他们使用的都是斜角坐标系：即选定一条直线作为x轴，在其上选定一点为原点，y的值则由那些与x轴成一固定角度的线段的长表示。

最早引进负坐标的是英国人沃利斯，最早把解析几何推广到三维空间的是法国人费马，最早应用三维直角坐标系的是瑞士人约翰·贝努利。

“坐标”一词是德国人莱布尼兹创用的。

牛顿首先使用极坐标，对于螺线、心形线以及诸如天体在中心力作用下的运动轨迹的研究甚为方便# 不同的坐标系之间可以互换，最早讨论平面斜角坐标系之间互换关系的是法国人范斯库腾。

我们今天常常把直角坐标系叫笛卡儿坐标系，其实那是经过许多后人不断完善后的结果。

目标重点：理解和掌握数轴上的基本公式；
目标难点：熟练应用数轴上的基本公式；
学法关键：
1．判断一个量是否为向量，就是要判断该向量是否既有大小，又有方向；
2．注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个正数，而向量的坐标是一个实数（正数，负数，零）；
3．数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标。

研习点1.直线坐标系
1．直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。

如图：
2．数轴上的点P 与实数x 的对应法则：
如果点P 在原点朝正向的一侧，则x 为正数，且等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点朝负向的一侧，则x 为负数，其绝对值等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点，则表示x =0，由此，实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系；
3．如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )；
研习点2. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向量，简称向量。

从点A 到点B 的向量，记作AB ， 读作“向量AB ”。

点A 叫做向量AB 的起点，点B 叫做向量AB 的终点； 2．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |；
3．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量；
4．数量：用实数表示数轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量。

常用AB 表示向量AB 的坐标。

如何理解相等向量？
1．数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量，定义中没有对向量的起点和终点作出限制，实际上不管起点在什么位置，只要方向相同，长度相等，这样的向量就是相等向量。

2．相等的向量，坐标相等，反之，如果数轴上的两个向量的坐标相等，则这两个向量相等。

3．如果把相等的所有向量看成一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的。

研习点3. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+ ;
2．数量的和：对数轴上任意三点A 、B 、C 都有关系AC =AB +BC ； 3．数量的坐标表示：使AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB =x 2－x 1；
4．数轴上两点间的距离公式：用d (A ，B )表示A 、B 两点间的距离，则d (A ，B )=|x 2－x 1|.
例1．下列说法中，正确的是（ ） （A ）AB =AB （B ）AB =BA
（C ）零向量是没有方向的 （D ）相等的向量的坐标（数量）一定相同 解：根据向量和数量的定义可知D 正确。

1． 已知AB =3，下列给出的坐标中不与之对应的是（ D ）
（A ）A (3)，B (6) （B ）A (0)，B (3) （C ）A (－3)，B (0) （D ）A (5)，B (2)
例2． 在数轴上表示下列各点：A (－3)，B (－1)，C (1)，D (2)，并找出与C 的距离是1 两点M 、N ，并写出它们的坐标.
解：如图
与C 的距离是1的点M 、N 分别位于点C 的两侧：M (0)，N (2)，点N 与点D 重合
例3． 已知A 、B 、C 是数轴上任意三点,
（1）若AB =5，CB =3，求AC ；
（2）证明：AC +CB =AB ；
（3）若|AB |=5，|CB |=3，求|AC |.
解：（1）AC =AB +BC =AB －CB =2.
（2）设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为x 1，x 2，x 3，则AC =x 3－x 1，CB =x 2－x 3，AB =x 2－x 1，∴ AC +CB =(x 3－x 1)+(x 2－x 3)=(x 2－x 1)=AB .
（3）AC =2或8.
【教考动向·演练】
1．在下列四个命题中，正确的是（ D ）
（A ）两点A 、B 惟一确定一条有向线段
（B ）起点为A ，终点为B 的有向线段记作AB （C ）有向线段AB 的数量AB =－|BA |
（D ）两点A 、B 惟一确定一条线段
2．对于数轴上任意三点A 、B 、O ，如下关于有向线段的数量关系不恒成立的是（ D ）
（A ）AB =OB －OA （B ）AO +OB +BA =0
（C ）AB =AO +OB （D ）AB +AO +BO =0
3．若点A 、B 、C 、D 在一条直线上，BA =6，BC =－2，CD =6，则AD 等于（ B ）
（A ）0 （B ）－2 （C ）10 （D ）－10 4．如图所示，设AB 是x 轴上的一个向量，O 是原点，则下列各式中不成立的是（ B ） （A ）OA =||OA （B ）OB =||OB （C ）AB =OB －OA （D ）BA =OA －OB
5．在数轴上已知点B 的坐标为3，AB =4，则点A 的坐标为 －1 ；已知点B 的坐标为2，||BA =2，则点A 的坐标为 0或4 ；已知点B 的坐标为－1，BA =2，则点A 的坐标为 1 .
6．数轴上一点P (x )，它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)距离的2倍，则x = 0或163- . 7．已知数轴上A 、B 、C 的坐标分别为&－3，7，9，则AB +BC +CA = 0 ，||||||AB BC CA ++ = 24 .
例4． 已知A 、B 是直线l 上的定点，C 点在线段AB 上，D 点在AB 的延长线上，且|AB |=6，||||43
||||AC AD CB DB == ，求向量DC 的坐标. 解：以l 为数轴，不妨设A 为坐标原点，则点B 在数轴上的坐标为6，设C 、D 在数轴上的坐标分别为x 1，x 2，由图可得
例5．已知数轴上三点A (x )、B (2)、P (3)，且满足||2||AP BP = ，求x .
解：因为|AP |=|3－x |，|BP |=|3－2|=1， 由已知||2||AP BP = ，所以|3－x |=2，得x =1或x =5.
8．在数轴上M 、N 、P 的坐标分别为3，－1，－5，则MP +PN 等于（ A ）
（A ）－4 （B ）4 （C ）－12 （D ）12
9． 数轴上任取三个不同点P 、Q 、R ，则一定为零值的是（ D ）
（A ）PQ +P R （B ）PQ +R Q （C ）PQ +Q R+P R （D ）PQ +Q R+R P
10．数轴上两点A (2x )，B (2x +a )，则A 、B 两点的位置关系为（ D ）
（A ）A 在B 左侧 （B ）A 在B 右侧 （C ）A 与B 重合 （D ）由a 的取值决定
11．在数轴上从点A (－2)引一线段到B (3)，再延长同样的长度到C ，则点C 的坐标为（ C ）
（A ）13 （B ）0 （C ）8 （D ）－2
12．已知数轴上两点A (x 1)，B (x 2)，则线段AB 中点坐标为 122
x x + . 13．已知数轴上两点A (a )，B (5.5)，并且d (A ，B )=7.5，则a = －2或13 ；若AB =7.5，
则a= －2 .
14．下列各组点中，点B在点A右侧的是②④⑤.
①A(－3)和B(－4)，②A(a)和B(a+1)，③A(a)和B(3a)，④A(－2)和B(0)，⑤A(a)和B(b)，(其中a<b)，⑥A(2x)和B(x2)，
15．对于数轴上任意四点A、B、C、D，求证：AC+BD=AD+BC.。