新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆24.1.3弧弦圆心角》优质课教学设计_1
24.1.3弧、弦、圆心角的关系教学设计
一、教学目标：
1、理解圆心角的概念。
2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系。
二、教学重点和难点：
教学重点是圆心角、弧、弦之间的关系定理，教学难点是“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明。
三、教学过程：
（一）知识回顾
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原图形重合，这是圆的旋转不变性。
（二）问题探究
下图中∠AOB=∠A/OB/
（1）将∠A/OB/旋转到∠AOB的位置，它能否与∠AOB完全重合？B'
（2）如能重合，你会发现哪些等量关系？为什么？
（3）两个角如果在两个等圆中，是否也能得出相似的结论？
总结定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。
总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
（三）深入思考
在定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？（不能去掉。
）
反例：
如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′
（四）展示交流
1．如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦．
（1）如果AB=CD ，那么____________，____________。
（2）如果 弧AB=弧CD ，那么__________，___________。
（3）如果∠AOB=∠COD ，那么____________，_____________。
（4）如果AB=CD ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，OE 与OF 相等吗？为什么？
（五）课堂例题
如图，在⊙O 中，AB=AC ，∠ACB=60°； 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC （解题过程略） （六）课堂训练
（1）在圆O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为5，
则
D
圆O 的直径为（ ）（导航17页请你思考4）
（2）如图点O 是∠EPF 的角平分线上的一点，圆O 与∠EPF 的两边分别交于点A,B,C,D,根据上述条件，可以推出（ ）（要求：尽可能地写出你认为正确的结论即可，不再标注其他字母，不写推理过程）（导航17页请你思考6）
（第1题图） （第2题图）
（3）如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD=弧BC, 求证AB=CD 。
（4）如图，已知OA 、OB 是⊙O 的半径，点C 为AB 的中点，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，求证：MC=NC
（第3题图） （第4题图）
C
四、课后练习
（1）导航17页到18页，尝试训练（2）自主检测16页。
人教版九年级数学上册24.1.3《弧、弦、圆心角》说课稿
人教版九年级数学上册24.1.3《弧、弦、圆心角》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的第三节“弧、弦、圆心角”是整个章节的重要组成部分。
本节内容主要介绍了弧、弦、圆心角的定义及其相互关系，旨在让学生理解和掌握圆的基本概念和性质，为后续学习圆的周长、面积等知识打下基础。
教材从生活实例出发，引出弧、弦、圆心角的概念，并通过观察、操作、猜想、证明等环节，让学生体会圆的性质。
教材注重培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和动手操作能力，使其能够运用所学知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对图形的认识和观察能力有一定的提高。
但是，对于弧、弦、圆心角的定义和相互关系，学生可能还存在一定的模糊认识。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生从生活实际出发，理解并掌握弧、弦、圆心角的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解和掌握弧、弦、圆心角的定义及其相互关系，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、证明等环节，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养其积极思考、合作探究的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：弧、弦、圆心角的定义及其相互关系。
2.教学难点：圆心角、弧、弦之间的数量关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、观察猜想、证明验证的教学方法，引导学生主动探究，提高其思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，增强学生的直观感受。
六. 说教学过程1.导入：从生活实例出发，引出弧、弦、圆心角的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：讲解弧、弦、圆心角的定义，通过观察、操作、猜想、证明等环节，让学生理解并掌握其相互关系。
3.例题讲解：分析并解决典型例题，让学生运用所学知识解决实际问题。
4.课堂练习：布置针对性的练习题，巩固所学知识。
人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》是本册教材的重要内容之一。
它主要介绍了弧、弦、圆心角的定义及其相互关系。
这部分内容对于学生来说，有助于深化对圆的理解，为后续学习圆的性质和应用打下基础。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索和发现弧、弦、圆心角之间的规律，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和变换有一定的了解。
他们对圆的概念和性质有一定的认识，但弧、弦、圆心角的概念和关系可能还比较模糊。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过直观的教具和生动的实例，帮助学生理解和掌握弧、弦、圆心角的定义和相互关系。
三. 教学目标1.理解弧、弦、圆心角的定义，掌握它们的相互关系。
2.能够运用弧、弦、圆心角的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
四. 教学重难点1.弧、弦、圆心角的定义及其相互关系。
2.运用弧、弦、圆心角的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.直观演示法：通过实物演示和动画展示，让学生直观地理解弧、弦、圆心角的定义和相互关系。
2.引导发现法：教师引导学生观察、思考和探索，发现弧、弦、圆心角之间的规律。
3.练习法：通过丰富的练习题，巩固学生对弧、弦、圆心角的理解和应用。
六. 教学准备1.准备相关的实物教具，如圆板、量角器等。
2.制作课件，包括弧、弦、圆心角的定义和相互关系的动画演示。
3.准备练习题，涵盖各种类型的题目，以便进行巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过实物演示，如拿一个圆板，让学生观察和描述圆板上的弧、弦和圆心角。
引导学生回顾圆的基本概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师利用课件，生动地展示弧、弦、圆心角的定义和相互关系。
通过动画演示，让学生直观地理解弧、弦、圆心角之间的关系。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆24.1.3弧弦圆心角》优质课教案_0
24.1.3弧、弦、圆心角一、教学目标：1知识与技能：了解圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个值相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值相等，及其它们在解题中的应用。
2过程与方法：通过师生的共同探究，剖析，学生的自主学习与合作交流，归纳有关定理。
3情感态度与价值观：发展善于合作、勇于创新的科学精神，培养学生推理能力和创新能力。
二、课程资源的开发与利用：电子白板及多媒体课件三、学情分析1重点：弧、弦、圆心角之间的相互关第2难点：如何发现并证明弧、弦、圆心角之间的关系四、教学过程与实施策略1、自主预习预习教材第83至84页内容后过错成自主预习区，并尝试解答下列问题。
（1）什么是回心角?圆除了轴对称外还具有什么特性?（2）在同一个圆中.相等的圆心角所対的弦、所対的弧之间有何关系?2、合作探究（1）如图所示∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。
（2）（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题。
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？通过探究发现：在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等、所对的弦也相等呢？请同学们现在动手作一作。
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？我能发现：弧AB=弧A′B′因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。
（学生活动）请同学们现在给予说明一下【小组讨论】问题1:如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD垂足分别为E、F.(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?为什么?(2)如果OE=OF,那么弧AB与弧CD的大小有什么关系?AB 与CD的大小有什么关系?为什么?∠AOB与∠COD呢?【学生展示】【教师小结】略问题2:在⊙O中,一条弧AB所对的劣弧为圆周的1/4，则弧AB所对的圆心角为多少度？【学生展示】【教师小结】整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的圆周。
九年级数学上册(人教版)24.1.3弧、弦、圆心角教学设计
（1）学生观察弓箭图片，思考并回答问题。
（2）教师总结：弓箭的形状类似于圆的一部分，这就是我们今天要学习的弧、弦、圆心角。
（二）讲授新知，500字
1.教学活动设计：
在讲授新知环节，我将通过讲解、举例、演示等方法，让学生掌握弧、弦、圆心角的概念及其相互关系。
2.教学过程：
（1）教师讲解弧、弦、圆心角的概念，并通过黑板演示相关图形。
为了巩固本节课所学内容，确保学生对弧、弦、圆心角的概念、性质及相互关系有更深入的理解，特此布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）请学生完成课本24.1.3节的练习题1、2、3，以巩固弧、弦、圆心角的基本概念。
（2）从生活实例中找出至少3个与弧、弦、圆心角相关的现象，并简要说明它们之间的关系。
2.能力提升题：
（2）学生跟随教师思路，理解并掌握相关概念。
（3）教师通过实例讲解弧、弦、圆心角的相互关系，如圆周角定理等。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：
在此环节，我将组织学生进行小组讨论，旨在培养学生的合作精神和解决问题的能力。
2.教学过程：
（1）教师提出讨论主题，如：“如何证明圆周角定理？”
（2）学生分组讨论，共同探究解决问题的方法。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、猜想、验证等教学活动，引导学生自主探究弧、弦、圆心角的性质，培养他们的观察力和逻辑思维能力。
2.运用生活中的实例，让学生感受数学知识在实际问题中的应用，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
（3）各小组汇报讨论成果，教师给予点评和指导。
（四）课堂练习，500字
人教课标版初中数学九年级上册第二十四章24.1.3弧、弦、圆心角教学设计
人教课标版初中数学九年级上册第二十四章24.1.3弧、弦、圆心角教学设计24.1.3 弧、弦、圆心角一、教学目标及重难点1、学习目标：（1）、理解圆心角的概念和圆的旋转不变性.（2）、利用圆的旋转不变性，探究并得出弧、弦、圆心角的关系，并能正确推理论证。
（3）、通过观察、比较、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的能力。
2.学习重、难点：重点：探索关系定理并利用其解决相关问题.难点：定理中条件的理解及定理的探索.二、学习过程：1、思考：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°和任意角度，观察旋转前后的两个图形是否重合，并填空：圆是对称图形，是它的对称中心；把圆绕着圆心旋转任意一个角度，旋转之后的图形都与原图形重合.②的角叫做圆心角.2、探究：如图，∠AOB=∠A′OB′，那么，AB= A′B′, =圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，2.(15分)如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD=3.(15分)如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=4. (15分) 如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75 ，求∠A的度数.5. (15分)如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.（二）、综合应用(20分)6．（20分）如图，A、B是⊙O上的两点∠AOB=120°，C是AB的中点，求证：四边形OACB是菱形.三、拓展延伸(10分)7.(10分)如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．。
人教版九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角一等奖优秀教学设计
总结归纳，把 数学符号语 言用文字叙 述出来
知识深信不 疑，进一步 加强理解： 圆心角、弧、
幻灯片演示 ：大小不同的圆中，相同圆心角叠置后弦、
弦之间的关
弧不重合。
系。
活动 3：学以致用
O
A B
A
B
如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦．（直接填写在教材 85 页练
观察思考：为
训练数
什么要强调： “在同圆或
相等关系关系，并能应用这些关系解决实际应用。
解有关知识。 作交流的能
判断图中哪个是圆心角？
·
·
力，养成自
主预习的习 完成自学检 惯 测题
通过自
·
·
学检测题检 验学生自学 能力，更好
活动 2：观察发现，再探关系 1、幻灯片演示：圆心角的概念以及所对的弧、弦；
结合图形理 解圆心角、 弧、弦的概念
的培养学生 独立思考的 习惯。
通过动
①在同圆或等圆中，如果圆心角相等，
画演示，让
那么它所对的弧_______，所对的弦_________。
学生对自己
②在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心
自学发现的
角__________，所对的弦___________。 ③在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心
角__________，圆心角所对的弧____________。 3、思考讨论在不是同圆或等圆的情况下定理成不成立？
这就是我们今天要探究的弧、弦、圆心角。
识，培养动
（板书）课题
手能力。
二、自主探究 合作交流 建构新知 活动 1：展示学习目标，自主预习
阅读课本第 82—83 页 （1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念；
人教版九年级数学上册 24-1-3 弧、弦、圆心角 教案教学设计优秀公开课1
24．1.3 弧、弦、圆心角1.在实际操作中发现圆的旋转不变性．2.结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角．3.能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究探究点一：圆心角【类型一】圆心角的识别如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A．∠ABCB．∠AOBC．∠OABD．∠OCB解析：根据圆心角的概念，∠A B C、∠O A B、∠O C B的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B 中的∠A O B的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．探究点二：圆心角的性质【类型一】利用圆心角的性质求角︵如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是B E的三等分点，∠AOE＝60°，则∠C O E的大小是( )A.0°B.0°C．80°D．120°︵︵︵︵解析：∵C、D是B E的三等分点，∴B C＝C D＝D E，∴∠B O C＝∠C O D＝1∠D O E.∵∠A O E＝60°，∴∠B O C＝∠C O D＝∠D O E＝×(180°－60°)＝40°，∴3∠COE＝80°.故选 C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．探究点三：圆心角、弦、弧之间的关系【类型一】结合三角形内角和求角︵︵如图所示，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A＝．︵︵解析：由AB＝AC，得这两条弧所对的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明如图所示，已知A B是⊙O的直径，M，N分别是O A，O B的中点，C M⊥︵︵A B，D N⊥A B，垂足分别为M，N.求证：A C＝B D.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接O C，O D，则O C＝O D.∵O A＝O B.又M，N分别是O A，O B的中点，∴O M＝O N.又∵C M⊥A B，D N⊥A B，∴∠C M O＝∠D N O＝90°.∴R t△C M O︵︵≌Rt△DNO.∴∠1＝∠2.∴AC＝BD.1 1证法2：如图①所示，分别延长C M，D N交⊙O于点E，F.∵O M＝O A，O N＝O B，2 2︵︵︵ 1 ︵︵O A＝O B，∴O M＝O N.又∵O M⊥C E，O N⊥D F，∴C E＝D F，∴C E＝D F.又∵A C＝C E，B D21︵︵︵＝DF.∴AC＝BD.2图①图②证法3：如图②所示，连接AC，BD.由证法 1，知CM＝DN.又∵AM＝BN，∠AMC＝∠BND＝90°，∴△AMC≌△BND.∴AC＝BD，∴︵︵AC＝BD.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．三、板书设计教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其他三组也随之确定了.。
人教版数学九年级上册教学设计24.1.3《弧、弦、圆心角》
人教版数学九年级上册教学设计24.1.3《弧、弦、圆心角》一. 教材分析《弧、弦、圆心角》是人教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了圆的基本概念和性质。
这一节内容通过讲解弧、弦和圆心角的关系，使学生掌握圆的性质和圆心角、弧、弦之间的联系。
教材以生活中的实例引入，激发学生的学习兴趣，接着通过观察、操作、推理等过程，让学生在实践中掌握知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形有了一定的认识。
他们在学习本节课的内容时，需要将已有的知识与新的知识相结合，理解圆心角、弧、弦之间的关系。
同时，学生需要具备观察、操作、推理的能力，通过实践来验证圆的性质。
三. 教学目标1.理解圆心角、弧、弦的概念及它们之间的关系。
2.掌握圆的性质，能运用圆的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
四. 教学重难点1.重点：圆心角、弧、弦的概念及它们之间的关系。
2.难点：圆的性质的证明和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、推理来探究圆的性质。
2.运用实例引入，激发学生的学习兴趣。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关教学图片和实例，用于导入和讲解。
2.准备圆规、直尺等学具，让学生动手操作。
3.准备练习题和拓展题，用于巩固和拓展知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的圆形物体，如自行车轮、地球等，引导学生关注圆的形状。
提问：“你们知道这些物体为什么是圆形的吗？”让学生思考圆的特性。
2.呈现（10分钟）介绍圆心角、弧、弦的概念，并用图片和实物进行展示。
讲解圆心角、弧、弦之间的关系，引导学生理解圆的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组，利用圆规、直尺等学具，自己画出一个圆，并尝试找出圆心角、弧、弦。
各小组汇报结果，教师点评并讲解。
4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成。
题目包括判断题、选择题和填空题，涵盖圆心角、弧、弦的概念和性质。
人教版数学九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角 教案
24.1.3弧、弦、圆心角●情景导入(1)观察图片，我们会发现圆绕着圆心旋转任意一个角度，所得的图形与原图形重合．(2)如图①，∠AOB的顶点在圆心上，我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．(3)如图②，连接AB，圆心角∠AOB所对的弦为弦AB，所对的弧为AB，那么圆心角与它所对的弧、弦这三个量之间有什么关系呢？【教学与建议】教学：通过实验操作，探索圆的旋转不变性与“如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧、弦是不是相等”，激发学生的学习兴趣．建议：尽量让学生自己动手操作，引导学生得出等量关系．●归纳导入(1)圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？【归纳】圆是中心对称图形，对称中心是O点．(2)如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，我们发现∠AOB__＝__∠A′OB′，弦AB__＝__A′B′，AB__＝__A′B′.【教学与建议】教学：通过归纳中心对称图形的定义，引入圆这个中心对称图形和圆的旋转性质，得出圆心角、弧、弦之间的关系．建议：让学生操作试验，得出圆心角、弧、弦的等量关系．命题角度1利用弧、弦、圆心角之间的关系进行计算在同圆或等圆中，两个相等圆心角，它们所对的弧、弦、弦心距对应相等．【例1】(1)如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是(D)A．CE＝DE B．BC＝BDC．∠BAC＝∠BAD D．AC＞AD[第（1）题图][第（2）题图](2)如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M，N，BA，DC的延长线交于点P.连接OP.下列四个说法中：①AB＝CD；②OM＝ON；③PB＝PD；④∠BPO＝∠DPO，其中正确的是__①②③④__．(填序号)命题角度2利用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明在同圆或等圆中，利用弧、弦、圆心角之间的关系定理证明圆心角、弧、弦相等.【例2】(1)如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BD∥OC.求证：AC＝CD.证明：∵OB＝OD，∴∠D＝∠B.∵BD∥OC，∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，∴∠AOC＝∠COD，∴AC＝CD.(2)如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC.求证：AD＝DC.证明：如图，连接OC.∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.高效课堂教学设计1．能识别圆心角．2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题．▲重点探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题．▲难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的理解及定理的证明．◆活动1新课导入1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个)宝马车商标：星巴克标志：曼秀雷敦标志：2．把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？答：图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化．◆活动2探究新知1．材料P83探究．提出问题：(1)把圆绕圆心旋转180°，所得图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论？(2)圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？(3)把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合吗？学生完成并交流展示．2．教材P84思考．提出问题：(1)我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使OA与OA′重合，旋转前后你能发现哪些等量关系？(2)若∠AOB和∠A′OB′分别在两个相等的圆中，上述等量关系还存在吗？(3)总结你所发现的规律；(4)反过来，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角、所对的弦有什么关系？如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、所对的弧有什么关系？◆活动3知识归纳1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的__旋转不变__性．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．◆活动4例题与练习例1教材P84例3.例2下列说法正确吗？为什么？(1)如图，因为∠AOB＝∠A′OB′，所以AB＝A′B′；(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB＝A′B′，那么AB＝A′B′.解：(1)(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．例3如图，AD＝BC.求证：AB＝CD.证明：∵AD＝BC，∴AD＝BC.∵AC＝AC，∴AC＋AD＝AC＋BC.∴DC＝AB.∴AB＝CD.练习1．教材P85练习第1，2题．2．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的有(D)①∠DOE＝∠AOB；②AB＝DE；③OF＝OC；④AC＝EF.A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠COD＝60°.(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OC∥BD.解：(1)△AOC是等边三角形．理由如下：∵AC＝CD，∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形；(2)∵AC＝CD，∴OC⊥AD.∵∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形．∴∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠COD＝60°，∴OC∥BD.◆活动5课堂小结弧、弦、圆心角之间的关系是证明圆中等弧、等弦、等圆心角的常用方法．1．作业布置(1)教材P89习题24.1第2，3题；(2)对应课时练习．2．教学反思。
九年级数学上册第24章《弧、弦、圆心角》名师教案(人教版)
24.1.3 弧、弦、圆心角一、教学目标（一）学习目标1.探索圆的中心对称性2.了解圆心角的概念，探索并掌握在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等3.掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题（二）学习重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．（三）学习难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务(1)旋转的三要素是旋转中心，旋转方向，旋转角度180，它能够与另一个图形重合，那么这(2)中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转两个图形关于这个点成中心对称.2.预习自测（1）圆是图形，也是图形【知识点】圆的中心对称性与轴对称性【答案】轴对称中心对称【解题过程】圆既是轴对称图形又是中心对称图形【思路点拨】圆既是轴对称图形又是中心对称图形（2）圆的对称中心是．【知识点】圆的中心对称性【答案】圆心【解题过程】圆是中心对称图形，由于它绕着圆心旋转180°后和原图形重合，所以圆的对称中心是圆心【思路点拨】根据中心对称图形的定义找到圆的对称中心（3）如图，已知O O 'e e 与的半径相等，若AOB A O B '''∠=∠，则________AB A B ''，»¼________AB A B ''（填“>”、“<”或“=”）【知识点】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．【答案】= =【解题过程】AOB A O B '''∠=∠Q ,AB A B ''∴=,»¼AB A B ''= 【思路点播】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等(4)已知O e 与O 'e 半径相等，若AB A B ''=，则________AOB A O B '''∠∠，（填“>”、“<”或“=”）【知识点】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．【答案】=【解题过程】AB A B ''=Q ，OA O A ''=,OB O B ''=,AOB ∴∆≌A O B '''∆，AOB A O B '''∴∠=∠【思路点拨】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等（二）课堂设计1.知识回顾（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2.问题探究探究一 圆的中心对称性活动①以旧引新想一想：这些现象说明了什么？现象一：一块圆形的蛋糕，糕点师只要过圆心点在互相垂直的两个方向上切两刀，不管糕点师站在哪里，分成的四块一定是均等的. 这个现象跟圆的哪个性质有关？学生抢答答案：现象一说明对折后能够完全重合，只要是过圆心的直线，分成的两部分均对称，说明圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线.【设计意图】复习回顾圆的轴对称性，为引发新知识铺垫现象二：机械式闹钟上钟时，每次只要转动发条上的钟钮180︒时，看上去跟没转动以前是一个样的.这个现象跟圆的哪个性质有关？现象二说明钟钮左右两端转动180︒后完全重合，而两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆是中心对称图形，对称中心是圆心.【设计意图】整合旧知识，探索圆的中心对称性活动②归纳概括想一想：由以上现象，概括圆的对称性结论：1. 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2. 圆是中心对称图形，对称中心为圆心.探究二圆心角、弧、弦之间的关系★▲活动①大胆操作探究新知识1.按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB ＝∠A ′O ′B ′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB ＝∠OBA ＝∠O ′A ′B ′=∠O ′B ′A ′；由△AOB ≌△A ′O ′B ′，可得到AB ＝A ′B ′；由旋转法可知»¼''AB A B =． 在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA 与O ′A ′重合时，由于∠AOB ＝∠A ′O ′B ′．这样便得到半径OB 与O ′B ′重合．因为点A 和点A ′重合，点B 和点B ′重合，所以»AB 和¼''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合，即»¼''AB A B =，AB =A ′B ′．进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．【设计意图】大胆猜想，大胆操作，激发学生兴趣，探究新知识活动② 集思广益 证明新知根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．【设计意图】创设问题情境，集思广益，证明新知识活动③ 反思过程 发现定理定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．如图，虽然∠AOB =∠A ′O ′B ′，但AB ≠A ′B ′，弧AB ≠弧A ′B ′．教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．小结：弦、圆心角、弧三量关系，在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，那么其他的量也对应相等【设计意图】反思过程，发现定理，重新认识，拓展创新探究三 圆心角、弧、弦之间关系定理的应用活动① 旧题新解例1.如图，O e 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件 （写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】补入的条件是：CD AB ⊥或»»»»AC BC AD BD ==或. 【思路点拨】对开放性逆向思维的题目，首先应依题意抓住问题适合的依据定理，再由定理和题设补充条件.【答案】CD AB ⊥或»»»»AC BC AD BD ==或. 练习：如图，CD 是O e 的直径，AB 是弦，CD AB ⊥于M ，则可得出AM MB =，»»AC BC =等多个结论，请你按现有图形给出其他两个结论.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】另两个结论是：AC BC =，»»AD BD =. 【思路点拨】对开放性思维的题目，首先应依题意抓住已知条件，再由定理和题设得到结论.【设计意图】复习垂径定理，同时利用新知识解决旧问题活动② 集思广益 求解角度例2.如图，在⊙O 中，»»AB AC =，∠ACB ＝60°，求证∠AOB =∠AOC =∠BOC ． OAB C【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】∵ »»AB AC = ∴ AB =AC ，△ABC 是等腰三角形．又 ∠ACB ＝60°，∴ △ABC 是等边三角形，AB =BC =CA ．∴ ∠AOB =∠AOC =∠BOC ．【思路点拨】由»»AB AC =，有AB AC =，可得△ABC 是等边三角形，AB =AC =BC ，所以得到∠AOB =∠AOC =∠BOC ．练习．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，求∠BOD 的度数．【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】由BC ＝CD ＝DA 可以得到这三条弦所对的圆心角相等，连接OC ，得到∠AOD =∠DOC =∠BOC ，而AB 是直径，于是∠BOD ＝23×180°＝120°【思路点拨】求圆心角度数，可先求出该圆心角度数所对弧的度数【答案】120°【设计意图】利用圆心角、弧、弦之间关系定理解决圆中简单的角度问题活动③ 大胆探索 证明线段相等与弧度相等例3.如图，AB ，CD 是O e 的弦，M 、N 分别为AB 、CD 的中点且AMN CNM ∠=∠，求证：AB =CD .【知识点】垂径定理， 圆心角、弧、弦之间关系定理，全等三角形的判定定理【解答过程】证明：MN Q 为AB ，CD 中点，OM AB ∴⊥，ON CD ⊥。