频谱分析与采样定理
解读频谱分析中100% POI 的误区
解读频谱分析中100% POI 的误区引言二十年前，第一代实时频谱分析仪诞生，“触发、采集、分析”成为主打词。
然而当时人们在理解实时频谱分析技术时，往往忽视了“触发”，却更多地关注采集与分析，特别是所谓的“无缝采集”，使得许多人误解为只要实现了“无缝”采集，就是所谓的实时。
八年前，当DPX数字荧光频谱推出后，100% 侦听概率（POI）的概念又成为新的主打词，随后又被广泛接受，多款具有“余晖”技术的频谱分析仪也应运而生。
在这些频谱分析仪中，100% 侦听概率指标最优的达一点几个微秒。
最近市场上又推出一款号称具有1微秒100% POI指标的便携式频谱仪，它也是建立在IQ分析基础上的，很难想象价格仅相当于前面提到的那些频谱仪四分之一的便携式频谱仪具有这种逆天的指标。
实际上这种不切实际的指标的提出，是对100% POI指标理解的误区，明确地说，提出这样指标的人，犯了20年前人们对实时频谱分析技术理解的错误，将IQ分析的频谱分辨率与频谱仪的100% POI指标混为一谈。
为此，我们很有必要深入解读什么是频谱仪100% POI指标，什么是IQ分析的频谱时间分辨率，让大家从误区中走出。
一.100% POI 的定义什么是频谱仪的100% POI 指标？简单来说，就是频谱仪在分析带宽内，自由运行状态下，以100% 的概率发现频域中的事件，该事件所需最短的驻留时间。
100% POI 指标是一个时间值，比如这个指标为125us，即表示该频谱仪在自由运行状态下，可以在分析带宽内，以100% 的概率发现频域驻留时间大于125us的事件。
那么如果一个事件在频域里的驻留时间小于125us，比如50us，那么这台频谱仪是否就不能发现这个信号？非也，这台频谱仪仍然可能发现这一事件，只是概率降低而已。
这里特别强调了自由运行。
什么是频谱仪自由运行状态？这要从频谱仪的实现方式谈起。
图一示意出市场上的两种频谱仪的原理框图。
上图是传统的扫频频谱仪原理框图，下图为IQ分析仪或矢量信号分析仪实现频谱显示的原理框图。
简述采样定理的基本内容
简述采样定理的基本内容采样定理，也被称为奈奎斯特定理（Nyquist theorem）或香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist sampling theorem），是在信号处理领域中至关重要的一条基本原理。
它对数字信号处理、通信系统以及采样率等方面具有重要的指导意义。
1. 采样定理的基本内容采样定理表明，如果要正确恢复连续时间信号的完整信息，就需要以至少两倍于信号最高频率的采样频率对信号进行采样。
采样频率应该大于等于信号最高频率的两倍，即Fs >= 2 * Fmax。
采样定理的原理基于奈奎斯特频率，奈奎斯特频率是指信号频谱中的最高频率成分。
如果采样频率小于奈奎斯特频率的两倍，那么采样信号中将出现混叠现象，即频谱中的不同频率成分相互干扰，导致原信号无法准确恢复。
2. 采样定理的应用采样定理在多个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：音频处理：在音频信号的数字化处理中，采样定理保证了通过合适的采样率可以准确还原原始音频信号，同时避免了音频信号的混叠现象。
这就是为什么音频 CD 的采样率是44.1kHz，超过人类可听到的最高频率20kHz的两倍。
通信系统：在数字通信系统中，为了正确传输模拟信号，信号需要经过模数转换（采样）和数模转换两个过程。
采样定理确保了在采样时不会丢失信号的信息，同时在接收端通过恢复出原始信号。
这对于保证通信质量和准确传输数据来说非常关键。
图像处理：在数字图像采集中，采样定理用于设置合适的采样率，以避免图片出现信息丢失和混叠现象。
在数字摄影中，也需要根据采样定理来选择适当的像素密度，以保证图像的质量和细节。
3. 采样定理的局限性和改进采样定理的一个重要前提是信号是带限的，即信号的频谱有一个上限，超过这个上限的频率成分可以被忽略。
然而，在实际应用中，许多信号并不是严格带限的，因此采样定理可能无法完全适用。
为了克服采样定理的局限性，一种常见的方法是使用过采样（oversampling）技术。
采样定理的意义和用途
采样定理的意义和用途1. 引言采样定理（Sampling Theorem）是信号处理中的重要概念，它指出了在进行信号采样时需要满足的一定条件。
这个定理的提出和发展对于数字信号处理领域具有深远的影响。
本文将详细介绍采样定理的意义和用途，并探讨其在实际应用中的重要性。
2. 采样定理的定义采样定理，又称为奈奎斯特-香农采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem），由克努特·奈奎斯特（Harry Nyquist）和克努特·香农（Claude Shannon）分别在20世纪20年代和40年代提出。
根据采样定理，如果一个连续时间信号的带宽有限，并且其最高频率分量为f_max，那么为了完全恢复该信号，我们需要以大于2f_max的频率进行采样。
具体而言，在进行信号采样时，我们需要以至少2倍于信号最高频率分量f_max的频率进行取样。
3. 采样定理的意义3.1 允许从连续时间转换为离散时间采样定理的意义之一是允许我们将连续时间信号转换为离散时间信号。
在实际应用中，很多信号需要以数字形式进行处理和传输，而数字系统只能处理离散时间信号。
通过采样定理，我们可以将连续时间信号进行采样，得到等间隔的离散时间序列。
3.2 保证采样后的信号不失真另一个重要的意义是采样定理保证了采样后的信号不会失真。
在满足采样定理条件下，我们可以通过插值算法将离散时间序列重新还原为连续时间信号，从而实现对原始信号的完全恢复。
这对于许多应用来说至关重要，例如音频和视频压缩、通信系统等。
3.3 提供了对频谱分析的基础采样定理还提供了对信号频谱进行分析的基础。
通过将连续时间信号进行频谱分析，并观察其带宽和最高频率分量，我们可以确定合适的采样频率，并以此进行取样。
这有助于避免混叠现象（Aliasing）的发生，确保采样后得到的离散时间序列能够准确反映原始信号的频谱特性。
4. 采样定理的应用4.1 音频和视频处理在音频和视频处理领域，采样定理被广泛应用于信号的采样、压缩和重构。
采样定理 频谱折叠
采样定理频谱折叠
《采样定理与频谱折叠》
采样定理是指在数字信号处理中，为了避免频谱折叠现象，需要对模拟信号进行充分的采样。
频谱折叠是指在对模拟信号进行采样时，如果采样频率不足以覆盖信号的频率范围，就会导致部分频率成分被错误地折叠到了采样频率范围内，造成了频谱重叠，从而导致信号的失真。
为了避免频谱折叠现象，采样定理给出了一个重要的原则，即“奈奎斯特定理”，它规定了对一个信号进行采样的最小频率。
具体来说，根据奈奎斯特定理，为了避免频谱折叠，信号的采样频率应该至少是信号本身的最高频率的两倍。
采样定理对于数字信号处理具有重要的意义。
在实际应用中，如果对信号进行不当的采样会出现频谱折叠，从而影响信号的质量。
因此，了解采样定理和频谱折叠的原理对于工程师在数字信号处理中具有重要的指导意义。
总之，采样定理和频谱折叠是数字信号处理中的重要概念，掌握这些原理可以帮助工程师更好地进行数字信号处理，保证信号的质量和准确性。
频域取样定理
2
t
时域抽样
时分复用
屏域抽样
频分复用
s
1
T s (t )
s
t
T s
f t
s
t t
m
m
T T 2T
s s
s
t t T
m m
s
2T s
t
即当频域取样的周期 s ,T s 2 t m时在时域中信号 f s t不重叠。 Ts 可用矩形脉冲低选通信号，恢复原信号，如图。 2 s 频域采样定理：时域信号必须为有限时间信号；频域抽样周期 Ts ， 只有当 T s 2t m时，才 可恢复原信号。
s
n
n 取样信号： F j n F jn n
s s n
F( j )
对应时域：
1 1
s
1
s
Hale Waihona Puke sn s
s
2
如果信号ft为有限时间信号时限信号其时间区间它的频谱函数f连续函数频谱在频域中对等间隔取样
频域取样定理
原理：时域与频域为对称的，可推出频域取样定理。 如果信号f(t)为有限时间信号(时限信号)，其时间区间 (t m , t m)，它的频谱函数F( j)为 连续函数频谱，在频域中对F( j ) 等间隔取样。间隔为 s ，取样脉冲为：
s
s
1
s n
1
s n
F j
s
s
2
s
s
f s t [ F s j ] [F j ] [ s ]
频域采样定理的用处
频域采样定理的用处
频域采样定理是数字信号处理中非常重要的理论基础，其用处包括以下几点：
1、帮助理解信号的频域特性：频域采样定理可以帮助我们理解信号在频域上的特性，包括频谱分布、频率成分和频域变换等。
这有助于我们更好地分析和理解信号的频域性质。
2、数字信号处理和数字通信：在数字信号处理和数字通信中，频域采样定理可以指导我们对信号进行采样和重构，从而确保在采样和重构过程中不会丢失信号的频域信息。
3、无线通信系统设计：在无线通信系统设计中，频域采样定理可以用来指导信号的取样频率和带宽的选取，确保信号在传输过程中能够得到正确的还原。
4、数字滤波和频谱分析：频域采样定理也为数字滤波和频谱分析提供了理论基础，可以指导我们如何设计数字滤波器和进行频谱分析，以满足特定的信号处理需求。
[重点]对正弦信号的采样频谱分析
![[重点]对正弦信号的采样频谱分析](https://img.taocdn.com/s3/m/4f2f80ccac51f01dc281e53a580216fc700a530f.png)
一、题目要求：给定采样频率fs，两个正弦信号相加，两信号幅度不同、频率不同。
要求给定正弦信号频率的选择与采样频率成整数关系和非整数关系两种情况，信号持续时间选择多种情况分别进行频谱分析。
二、题目原理与分析：本题目要对正弦信号进行抽样，并使用fft对采样信号进行频谱分析。
因此首先对连续正弦信号进行离散处理。
实际操作中通过对连续信号间隔相同的抽样周期取值来达到离散化的目的。
根据抽样定理，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
设抽样周期为TS(抽样角频率为ωS)，则可见抽样后的频谱是原信号频谱的周期性重复，当信号带宽小于奈奎斯特频率的二分之一时不会产生频谱混叠现象。
因此，我们对采样频率的选择采取fs>2fo,fs=2fo,fs<2fo三种情况进行分析。
对信号采样后，使用fft函数对其进行频谱分析。
为了使频谱图像更加清楚，更能准确反映实际情况并接近理想情况，我们采用512点fft。
取512点fft不仅可以加快计算速度，而且可以使频谱图更加精确。
若取的点数较少，则会造成频谱较大的失真。
三、实验程序：本实验采用matlab编写程序，实验中取原信号为ft=sin(2πfXt)+2sin(10πfXt)，取频率f=1kHz，实验程序如下：f=1000;fs=20000;Um=1;N=512;T=1/fs;t=0:1/fs:0.01;ft=Um*sin(2*pi*f*t)+2*Um*sin(10*pi*f*t);subplot(3,1,1);plot(t,ft);grid on;axis([0 0.01 1.1*min(ft) 1.1*max(ft)]);xlabel('t'),ylabel('ft');title('抽样信号的连续形式');subplot(3,1,2);stem(t,ft);grid on;axis([0 0.01 1.1*min(ft) 1.1*max(ft)]);xlabel('t'),ylabel('ft');title('实际抽样信号');k=0:N-1;Fw=fft(ft,N);subplot(3,1,3);plot(k,abs(Fw));grid on;axis([0 550 -0.2 65*pi]);title('抽样信号幅度谱')在实际操作过程中，对于信号频率与采样频率所成整数倍与非整数倍关系时，信号持续时间不同时，只需改变程序中的相关语句即可。
采样定理详解：3个主要条件只需满足其中任意2个
采样定理详解：3个主要条件只需满⾜其中任意2个采样定理采样定理解决的问题是确定合理的采样间隔△t以及合理的采样长度T，保障采样所得的数字信号能真实地代表原来的连续信号x(t)。
衡量采样速度⾼低的指标称为采样频率fs。
⼀般来说，采样频率fs越⾼，采样点越密，所获得的数字信号越逼近原信号。
为了兼顾计算机存储量和计算⼯作量，⼀般保证信号不丢失或歪曲原信号信息就可以满⾜实际需要了。
这个基本要求就是所谓的采样定理，是由Shannon提出的，也称为Shannon采样定理。
Shannon采样定理规定了带限信号不丢失信息的最低采样频率为式中fm为原信号中最⾼频率成分的频率。
采集的数据量⼤⼩N为因此，当采样长度⼀定时，采样频率越⾼，采集的数据量就越⼤。
使⽤采样频率时有两个问题需要注意。
正确估计原信号中最⾼频率成分的频率，对于采⽤电涡流传感器测振的系统来说，⼀般确定为最⾼分析频率为12.5X，采样模式为同步整周期采集，若选择频谱分辨率为400线，需采集1024点数据，若每周期采集32点，采样长度为32周期。
同样的数据量可以通过改变每周期采样点数提⾼基频分辨率，这对于识别次同步振动信号是必要的，但降低了最⾼分析频率，如何确定视具体情况⽽定。
采样定理解析采样定理实际上涉及了3个主要条件，当确定其中2个条件后，第3个条件⾃动形成。
这3个条件是进⾏正确数据采集的基础，必须理解深刻。
条件1：采样频率控制最⾼分析频率采样频率(采样速率)越⾼，获得的信号频率响应越⾼，换⾔之，当需要⾼频信号时，就需要提⾼采样频率，采样频率应符合采样定理基本要求。
这个条件看起来似乎很简单，但对于⼀个未知信号，其中所含最⾼频率信号的频率究竟有多⾼，实际上我们是⽆法知道的。
解决这个问题需要2个步骤，⼀是指定最⾼测量频率，⼆是采⽤低通滤波器把⾼于设定最⾼测量频率的成分全部去掉(这个低通滤波器就是抗混滤波器)。
现实的抗混滤波器与理论上的滤波器存在差异，因此信号中仍会存在⼀定混叠成分，⼀般在计算频谱后将⾼频成分去掉，⼀般频谱线数取时域数据点的1/2.56，或取频域幅值数据点的1/1.28，即128线频谱取100线，256线频谱取200线，512线频谱取400线等等。
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数字信号处理实验报告实验一：频谱分析与采样定理
班级：10051041
姓名：
学号：
一实验目的
1．观察模拟信号经理想采样后的频谱变化关系。
2．验证采样定理，观察欠采样时产生的频谱混叠现象
3．加深对DFT算法原理和基本性质的理解
4．熟悉FFT算法原理和FFT的应用
二、实验原理
根据采样定理，对给定信号确定采样频率，观察信号的频谱
奈奎斯特抽样定律：为了避免发生混叠现象，能从抽样信号无失真的恢复出原信号，抽样频率必须大于或等于信号频谱最高频率的2倍。
三、实验内容
在给定信号为：
1．x(t)=cos(100*π*at)
2．x(t)=exp(-at)
3．x(t)=exp(-at)cos(100*π*at)
其中a为实验者的学号，记录上述各信号的频谱，表明采样条件，分析比较上述信号频谱的区别。
四、实验步骤
1．复习采样理论、DFT的定义、性质和用DFT作谱分析的有关内容。
2．复习FFT算法原理和基本思想。
3．确定实验给定信号的采样频率，编制对采样后信号进行频谱分析的程序五、实验设备
计算机、Matlab软件
六、实验程序和结果
1、学号为57，原信号频率为2850Hz，根据抽样定理，取采样频率大于2倍的原最大频率，即大于5700Hz，采样间隔小于0.00018s，取T=0.0002s进行抽样，程序为：
%实验一:频谱分析与采样定理
%褚耀欣
T=0.00001; %采样间隔T=0.00001
F=1/T; %采样频率为F=1/T
L=0.001 %记录长度L=0.001
N=L/T;
t=0:T:L;
a=57;
f1=0:F/N:F;
f2=-F/2:F/N:F/2;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x1=cos(100*pi*a*t);
y1=T*abs(fft(x1)); % 求复数实部与虚部的平方和的算术平方根y11=fftshift(y1);
figure(1),
subplot(3,1,1),plot(t,x1);title('正弦信号');
subplot(3,1,2),stem(y1);title('正弦信号频谱');
subplot(3,1,3),plot(f2,y11);title('正弦信号频谱'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x2=exp(-a*t);
y2=T*abs(fft(x2));
y21=fftshift(y2);
figure(2),
subplot(3,1,1),stem(t,x2);title('指数信号');
subplot(3,1,2),stem(f1,y2);title('指数信号频谱');
subplot(3,1,3),plot(f2,y21);title('指数信号频谱'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x3=x1.*x2;
y3=T*abs(fft(x3));
y31=fftshift(y3);
figure(3),
subplot(3,1,1),stem(t,x3);title('两信号相乘');
subplot(3,1,2),stem(f1,y3);title('两信号相乘频谱'); subplot(3,1,3),plot(f2,y31);title('两信号相乘频谱');
实验结果图如下
2、为对比不同采样频率下的频谱，取采样频率小于原频率的2倍，即采样间隔大于0.00018s，取采样间隔T=0.0005s进行抽样
实验程序
%实验一:频谱分析与采样定理
%褚耀欣
T=0.0005 %采样间隔T=0.0005
F=1/T; %采样频率为F=1/T
L=0.02 %记录长度L=0.02
N=L/T;
t=0:T:L;
a=57;
f1=0:F/N:F;
f2=-F/2:F/N:F/2;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x1=cos(100*pi*a*t);
y1=T*abs(fft(x1)); % 求复数实部与虚部的平方和的算术平方根
y11=fftshift(y1);
figure(1),
subplot(3,1,1),plot(t,x1);title('正弦信号');
subplot(3,1,2),stem(y1);title('正弦信号频谱'); subplot(3,1,3),plot(f2,y11);title('正弦信号频谱'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x2=exp(-a*t);
y2=T*abs(fft(x2));
y21=fftshift(y2);
figure(2),
subplot(3,1,1),stem(t,x2);title('指数信号'); subplot(3,1,2),stem(f1,y2);title('指数信号频谱'); subplot(3,1,3),plot(f2,y21);title('指数信号频谱'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x3=x1.*x2;
y3=T*abs(fft(x3));
y31=fftshift(y3);
figure(3),
subplot(3,1,1),stem(t,x3);title('两信号相乘'); subplot(3,1,2),stem(f1,y3);title('两信号相乘频谱'); subplot(3,1,3),plot(f2,y31);title('两信号相乘频谱'); 实验结果图如下
七、实验结果分析
由实验结果可以看出，当抽样频率大于信号频谱最高频率的2倍时，信号失真较小；当抽样频率等于信号频谱最高频率的2倍时，虽然满足抽样定理，但是为了恢复原信号所采用的滤波器在截止频率处必须具有很陡直的频率特性，这对于滤波器的的设计要求太高，实际上是做不到的，因此仍存在失真；当抽样频率小于信号频谱最高频率的2倍时，不满足抽样定理，信号失真，可以观察到频谱混叠现象。
所以，在实际抽样时，通常选择抽样频率大于信号频谱最高频率的2倍进行抽样。
八实验心得
通过仿真实验，进一步熟悉了Matlab软件的使用环境，特别是在数字信号处理方面的操作方法。
根据模拟信号经理想采样后的频谱变化以及对比不同采样频率下的频谱，验证了奈奎斯特采样定理，同时熟知了DFT算法、FFT算法、FFT 算法的原理及其基本性质。