最大利润问题 第1课时
北师版九年级下册数学精品教学课件 第二章 二次函数 第2课时 商品利润最大问题 (1)
例2 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元，每天都
客满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加 10 元，则客房
每天少出租 6 间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提
高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 解：设每间客房的日租金提高 10x 元，则每天客房出租数会 减少 6x 间，设客房日租金为 y 万元，则 y=(160+10x)(120-6x) =－60(x－2)2+19440. ∵x≥0，且120－6x＞0，∴0≤x＜20.
正常销售 降价销售
20 20-x
300 300+18x
6000 y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000.
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，
故 20-x≥0，且 x ≥0，因此自变量的取值范围是 0≤x ≤20.
销售量就可以，故 300-10x ≥0，且 x ≥0，因此自 变量的取值范围是 0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y = -10x2+100x+6000， 当 x 100 5 时,y = -10×52+100×5+6000=6250.
2 (10)
即涨价 5 元时，最大利润是 6250 元.
∵-1<0,对称轴x=10,
16
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最
大，为25元；
O 57
x
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售 利润不低于 16 元？
人教版-数学-九年级上册-商品利润最大问题教学设计
课题：实际问题与二次函数第1课时：商品利润最大问题人教版九年级数学（上册）教学设计课题：§18.2.3实际问题与二次函数课时：商品利润最大问题教学目标知识与技能：1.能够理解生活中文字表与数学语言之间的关系，建立数学模型；2.利用二次函数的图像和性质解决简单的实际问题，能理解函数图像的顶点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题；过程与方法：1.能将实际问题转化为二次函数问题，进而建立数学模型解决，从中体会数学建模的思想和数学来源于生活又服务于生活；2.体验由文字语言到数学语言的过程，培养学生变通能力并提高分析解决问题的能力；3.利用二次函数的图像和性质解决实际问题，体会数形结合的思想。
情感、态度与价值观：1.通过实际问题与二次函数的联系，体验二次函数知识的实际应用问题，感受数学与人类生活的密切联系；2.培养用数学知识解决实际问题的意识和学有所用的成就感，了解数学对促进社会进步和发展所起的作用。
教学重点：.把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题。
教学难点：读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型，理解与应用函数图像顶点与最值的关系。
教学活动设计一、目标展示，心中有数1.弄清商品销售问题中的数量关系.（重点）2.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（难点）二、创设情境，导入新课1.复习回顾：复习回顾：利润问题中的数量关系（通过欣赏微视频进入微课堂）（1）销售额=售价×销售量（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量（3）单件利润=售价-进价2.引入：马化云在鸿瑞名都开了一家小商品店，他发现某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，请你用所学知识告诉马老板每星期的销售额是多少元？销售利润是多少元？下面我们就来详细探究商品利润最大问题.三、合作探究，产生新知例题：马老板通过市场调查发现该商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，你能告诉他如何定价才能使利润最大吗？①设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价0.5元销售降价1元销售降价2元销售降价x元销售即：y=-20x2+100x+6000②在y=-20x2+100x+6000中自变量x的取值范围如何确定？③降价多少元时，利润最大，是多少？。
二次函数与最大利润问题课件ppt
2．某商场购进一批单价为 30 元的日用商品，如果以单价 40 元销售，那 么半月内可销售出 400 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少， 即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件．当销售单价是 45 元时，才 能在半月内获得最大利润．
【解析】 设销售单价为 x 元，销售利润为 y 元． 根据题意，得 y＝(x－30)[400－20(x－40)] ＝(x－30)(1 200－20x)＝－20x2＋1 800x－36 000＝－20(x－45)2＋4 500， ∵－20＜0，∴x＝45 时，y 有最大值．
当堂测评
1．科学家为了推测最适合某种珍稀植物生长的温度，将这种植物分别放
在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部
分数据如下表：
温度 t/℃
－4
－2
0
1
4
植物高度增长量 l/mm
41
49
49 46 25
科学家经过猜想，推测出 l 与 t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适 合这种植物生长的温度为 －1 ℃.
归类探究
类型 二次函数与最大利润问题 [2016·成都]某果园有 100 棵橙子树，平均每棵树结 600 个橙子，现
准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和 每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树 就会少结 5 个橙子，假设果园多种了 x 棵橙子树．
【点悟】 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题．解 此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实 际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时， 一定要注意自变量 x 的取值范围．
初中数学九年级下册商品利润最大问题
关系式为 y=2000-5(x-100) .每月利润w(元)与衬衣售价
x(元)之间的函数关系式为 w=[2000-5(x-100)](x-80) .(以
上关系式只列式不化简）.
3. 某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价 x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70， 当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大 利润S（元），每件产品的销售价应定为（ A ） A．160元 B．180元 C．140元 D．200元
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑
销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的
取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
100 5 当x 2 (10)
时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售
利润不低于16元？ (2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
课堂小结
建立函数 关 系 式
总利润=单件利润×销 售量或总利润=总售价总成本.
最大利 润问题
确定自变 量的取值 范 围
确定最大 利 润
涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单;bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润 最大？最大利润是多少元？ 解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75 ∵-1<0,对称轴x=10, ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最 大，为25元；
二次函数与销售问题
∵a=-50＜0 抛物线开口向下，顶点 （4,1800）为最高点。 ∴x=4时，y=1800元最大 答：4月份的月销售利润最大为1800元
14
活动五：小结本课内容 • 今天我们共同探讨了哪些内容？你有什么
收获？
15
销售问题中的等量关系式回顾
1、每件商品;x___元，每件商品的利润为__60_+_x_-_40___元,现销量为
_30_0_-_10_x_件，
x 0 y =(60-40+x)(300-10x)
=(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x ) +6000
300 10x 0
=-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250
,
4ac 4a
b
2
.
当a>0时，抛
物线开口向上 ，有最 低 点，函数有最小 值，是 4ac ；b2当
4a
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最大 值，
4ac b2
是 4a 。
2
销售问题中的等量关系式回顾
1、每件商品的利润 =售价-进价
2、商品的总利润 = 每件商品的利润X销售量
启发思考： ①此商品的价格有几种调整方案？ ②如何定价利润最大，实质是比较哪几种调整方案的最 大利润？ 分析：
①此商品的价格有两种调整方案：涨价方案和降价方案
②分别求出涨价时的最大利润和降价的最大利润，再比较 两个最值的大小，从而决定调价方案。
4
①涨价时：
解：设总利润为y元，每件商品涨价x元，则现售价为
九年级数学上册教学课件《最大利润问题》
可得：0≤n≤30.
y1=-10n2+100n+6000 （0≤n≤30）
抛物线y1 =-10n2+100n+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价上涨 元时，利润最大，为 元.
综合应用
3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元，由题意得：y=(20-x)(40+10x) =-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20).当x=8时，y取最大值1440.即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
拓展延伸
4.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.(1)0≤x≤6； (2) -2≤x≤2.
解：y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14(1)当0≤x≤6时，当x=3时， y有最大值14,当x=0或6时，y有最小值5.
(2)当-2≤x≤2时，当x=2时，y有最大值13,当x=-2时，y有最小值-11.
解：设所得利润为y元,由题意得y=x(200-x)-30(200-x) =-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200)当x=115时，y有最大值.即当这件商品定价为115元时，利润最大.
怎样确定m的取值范围？
可得：0≤m≤20.
降价情况下的最大利润又是多少呢?
y2=-20m2+100m+6000 (0≤m≤20)
抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价下降 元时，利润最大，为 元.
22.3.1商品利润最大的问题(教案)
-利用一元一次不等式表示商品利润，并求解最大利润；
-分析不同情况下的利润问题，如：固定成本、变动成本等。
本节课将结合实际案例，让学生在实际问题中运用所学的数学知识，提高他们的数学应用能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：
1.培养学生的数学抽象能力，使其能够从实际情境中抽象出一元一次不等式，理解并解决商品利润问题。
其次，在小组讨论环节，学生们表现得相当积极，提出了很多有见地的观点。但同时，我也注意到有些学生在讨论中显得有些迷茫，可能是因为他们对问题的理解不够深入。为此，我决定在今后的教学中，加强对学生的个别辅导，引导他们更好地参与到小组讨论中来。
此外，实践活动环节，学生们通过计算和比较不同售价下的利润，对一元一次不等式的应用有了更直观的认识。但我也发现，有些学生在操作过程中对利润的计算方法掌握不够熟练。针对这一点，我计划在接下来的课程中，增加一些类似的练习题，让学生们有更多的机会进行实践操作，提高他们的运算能力。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了一元一次不等式在商品利润问题中的应用。课后，我对自己教学的过程进行了深入的思考。
首先，我发现学生们对一元一次不等式的概念和应用有了基本的理解，但在实际操作中，部分学生仍然感到困惑。我意识到，在讲解理论知识时，我应该更加注重与实际生活的联系，用更多具体的例子来说明，这样有助于学生更好地消化吸收。
a.利用图形辅助，通过绘制不等式的图像来直观展示利润与售价之间的关系。
b.分步骤解析求解过程，从简单情况入手，逐步过渡到复杂情况。
c.设计具有启发性的练习题，让学生在解答过程中自主发现和解决问题。
d.鼓励学生进行小组讨论，通过合作学习，共同攻克难点。
人教九年级数学上册- 最大利润问题(附习题)
即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
基础巩固
随堂演练
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些
综合应用
3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40 件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利 最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
点的坐标(用公式)：
(1)y=-4x2+3x;
(2)y=3x2+x+6.
解：b 2a
3
2 4
3 8
,
4ac b2 4a
32
4 4
9, 16
最高点为
3 8
,
9 16
.
解：b 1 1 , 2a 2 3 6
4ac b2 4 3 6 12 71
,
4a
43
12
最低点为
1 6
,
71 12
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
分析:(1)根据题意,设平均每天销售A种礼盒 为x盒,B种礼盒为y盒,列二元一次方程组解 答;(2)根据题意,设A种礼盒降价m元/盒,则A 种礼盒的销售量为(10+m3 )盒,再根据总利润 =每件商品的利润×销售量”列出解析式即 可.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数最大利润问题第1课时
（课本版本：北师版2014年11月第1版）
设计：济南第56中学杨继明
目标：根据问题的实际情况，感受代数模型的选择。
例1. 从一个熟悉的问题开始：
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
体验1：在本题中，你建立了何种数学模型来解决问题，谈一谈为什么建立这种数学模型？
例2. 在上题中，每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
体验2：在本题中，你又．建立了何种数学模型来解决问题，那句话让你走向了这种数学模型？
（说句通俗的话，你在审题过程中有没有“闻”到要建立哪种数学模型的味道呢？）
体验3：谈一谈上述两种数学模型在“设”的环节有什么异同？
变式练习：
1.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件. （1）如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
（2）获得最大利润时，销售单价是多少元？最大利润是多少元？
2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？
课后作业：
某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上
y元．涨1元，则每个月少卖10件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数
．．．．），每个月的销售利润为（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？。