《圆心轨迹的求法》说课件

《圆心轨迹的求法》说课件一、教学目标设计： 1、认知目标：（1）掌握圆的定义及基本性质；（2）掌握轨迹问题的一般求法；（3）掌握利用几何画板作动点轨迹. 2、能力目标：使学生在问题的研究过程中，进一步地领会求动点轨迹的思想方法，更深一步地了解、运用圆的定义和性质来分析问题的能力，培养学生的观察能力、空间想象能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力.同时，提高学生几何画板的应用能力. 3、情感目标：（1）增强问题的直观性，激励学生的学习兴趣和动机.特别是对抽象能力不强的学生有较大帮助，树立他们学好数学的信心，共同提高. （2）运用辩证唯物主义思想：运动与静止的相互关系. 二、教材内容及重点、难点分析：本节课的重点是动圆圆心轨迹的求法，进一步了解圆的定义和性质；难点是怎样充分利用圆的性质来分析问题；本堂课是一节研究课，主要让学生通过例题的分析和探索，熟练地运用圆的性质解题，掌握动点轨迹的一般求法；掌握数形结合、等价转化等数学思想. 三、教学对象分析：虽然本节课的内容及主要知识学生已经学过，但是通过前几节课的教学我发现学生对一些常见问题的基本处理方法已经比较生疏，尤其是运用性质来分析问题、解决问题，就更加薄弱了。

因此在教学中，立足于学生的这种状况，我充分调动学生的学习兴趣（通过发挥学生的想象力以及多媒体动画演示等手段），耐心教学，精心辅导，深入浅出，根据学生的现场反应随时定制教学进程和教学手段，注重学生的学习能力的培养. 四、教学策略及教法设计：根据本节课的风容和学生实际水平，我采用的主要是启发式的教学方法，讲练结合，利用计算机辅助教学. 启发式的教学方法符合辩证唯物主义内因各外因相互作用的观点，符合教学
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论中的自觉性、积极性、巩固性、可接受性，教学与发展相结合，教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则.启发式教学方法的关键是通过教学中的引导、启发、充分调动学生学习的主动性. 在教学中，我采用启发式的教学方法，引导学生展开丰富的想象力，直观地感受动点的轨迹方程，再引导学生运用所学的圆的性质找出问题的突破口，通过讲练结合法，使学生能很快得出轨迹方程.通过题组教学法，因材施教，发展学生等价转换、数形结合等思想，培养学生综合运用知识解决问题的意识. 五、网络教学环境设计：动点的轨迹具有高度的抽象性和概括性的特点，学生光凭想象很难得出轨迹，所以本节课要采用《几何画板》来辅助完成本节课的教学工作. 课前准备，将学生分成四至五人一组，从 inter 网或校园网上搜索、下载并安装《几何画板》软件；利用课余兴趣小组的时间对学生进行相应的培训.上课时，对于每个问题我准备采取这样的步骤：首先给出问题，全体学生一起分析得出问题的突破口（即尺规作图的依据），然后请学生想象轨迹，再请每一小组开始动手制作轨迹，根据制作的图象，同学们再想办法得出动点的轨迹方程. 六、教学过程设计与分析： 1、课前巡视：检查各小组学生《几何画板》的学习情况（这是本节课的工具）； 2、提问引入课题：请各位同学总结圆的定义及性质；动点轨迹方程的一般求法. （通过上述提问，明示这节课所要学的内容与原来所学知识之间的内在联系. 也就是提醒学生这节课的目的是利有所学过的数学知识来解决实际，这次提问可以在学生的潜意识中产生一种将知识化为能力的欲望.） 3、新课内容：问题 1：过定点（6，0）且与圆相切的动圆圆心轨迹是什么图形？能否求出它的方程？提问：（1）请同学们分析本题的突破口（动圆与定圆相内切，动点到原点及定点的距离之和等于 10）；（2）请同学猜想该轨迹的形状；（3）请各组同学制作轨迹方程（巡视指导）；（4）展示学生作的图形；（5）展示预先准备的；
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（6）请同学们求出动点的轨迹方程；（7）板书及解答过程（略）. 问题 2：与圆和都相切的动圆圆心轨迹是什么图形？能否求出它的方程？提问：（1）请同学们分析本题的突破口（动圆与定圆相内切，动点到原点及定点的距离之和等于 10）；（2）请同学猜想该轨迹的形状；（3）请各组同学制作轨迹方程（巡视指导）；（4）展示学生作的图形；（5）展示预先准备的；（6）请同学们求出动点的轨迹方程；（7）板书及解答过程（略）. 问题 3：与直线相切与圆相外切的动圆圆心轨迹是什么图形？能否求出它的方程？提问：（1）请同学们分析本题的突破口（动圆与定圆相内切，动点到原点及定点的距离之和等于 10）；（2）请同学猜想该轨迹的形状；（3）请各组同学制作轨迹方程（巡视指导）；（4）展示学生作的图形；（5）展示预先准备的；（6）请同学们求出动点的轨迹方程；（7）板书及解答过程（略）. 七、教学过程流程图：开始复习：轨迹与方程引申动圆圆心轨迹方程概念文字表述问 1 文字表述问 2 文字表述问 3 电脑制作模拟电脑制作模拟电脑制作模拟推导推导推导分析、辨别分析、辨别分析、辨别小结形成性练习讲评结束
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与圆有关的轨迹方程的求法

与圆有关的轨迹方程的求法若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：⎩⎨⎧βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得⎩⎨⎧=β=α),(),(y x h y x g ②代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0.例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为31. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即又因202y x +＝１，且y 0>0，∴19164391622=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(169)43(22>=+-y y x .例3、已知圆,422=+yx过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（） A ．4)1(22=+-y x B ．)10(4)1(22<≤=+-x y x C ．4)2(22=+-y x D ．)10(4)2(22<≤=+-x y x变式练习1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，则点M 的轨迹方程是解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=yy x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴31==OB OA MB AM ， ∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x .3：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(yx ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .4、圆9)1()2(22=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A.25)7()5(22=++-y x Ｂ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x Ｃ. 9)7()5(22=++-y x Ｄ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 97：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.8 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ，则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥，所以AH OC //，OA CH //，OC OA =，所以四边形AOCH 是菱形．所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y又),(''y x C 满足42'2'=+y x ，所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．9. 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2,2(by a x M ++．由222OA AMOM =+，即22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++，也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22121r y x =+，22222r y x =+．又22AB PQ =，即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．①又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②①＋②，有)(222222b a r y x +-=+．这就是所求的轨迹方程．解法三：设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ，由于APBQ 为矩形，故AB 与PQ 的中点重合，即有βαcos cos r r a x +=+， ①βαsin sin r r b y +=+， ②又由PB PA ⊥有1cos sin cos sin -=--⋅--ar br a r b r ββαα ③联立①、②、③消去α、β，即可得Q 点的轨迹方程为)(222222b a r y x +-=+．说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．10、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PBPA ，得a yc x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x aa c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ；当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac 为半径的圆；当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.11、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.。

高二数学动圆圆心轨迹

研究性学习
与定圆相切的动圆圆心轨迹的探索
一、背景材料：
S C A
A
B
SBA来自SB问题１：与⊙A(x+5)2+y2=169相切，且过B(5,0)点的动圆圆心S的轨迹。
问题２：与⊙A(x+5)2+y2=100相切，且过B(5,0) 点的动圆圆心S的轨迹。问题３：与⊙A(x+5)2+y2=49相切，且过B(5,0)点的动圆圆心S的轨迹。
三、深入探索：
例2：与⊙A(x+5)2+y2=49，⊙ B (x-5)2+y2=r2 相切的动圆圆心S的轨迹。
（1）当两定圆外离时
（2）当两定圆外切时
（3）当两定圆相交时（4）当两定圆内切时
（5）当两定圆内含时
当两定圆（1）外离
y A B x
（2）外切
y A B x
（3）相交
y A B x
（5）内含
y A B x
（4）内切
y
A B x
探索1 ：与⊙A(x+5)2+y2=R2， ⊙ B (x-5)2+y2=r2相切的动圆圆心S的轨迹。
探索2 ：与直线相切，⊙ B (x-5)2+y2=r2相切的动圆圆心S 的轨迹
胎牛血清是一种性状、外观浅黄色澄清、无溶血、无异物稍粘稠液体。胎牛血清应取自剖腹产的胎牛；新牛血清取自出生24小时之内的新生牛；小牛血清取自出生10－30天的小牛。显然，胎牛血清是品质最高的，因为胎牛还未接触外界，血清中所含的抗体、补体等对细胞有害的成分最少。
探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动圆圆心到两定点的距离的和与差不放。
S A B
C A S S B A B

动圆的圆心轨迹方程

动圆的圆心轨迹方程动圆的圆心轨迹方程，是描述动圆圆心运动的数学公式。

动圆的圆心轨迹方程是一个非常重要的概念，在物理学、数学等多个领域都有广泛的应用。

在力学中，动圆的圆心轨迹方程用于描述刚体的运动轨迹；在几何学中，它则是研究圆的性质时的基础。

首先，我们来认识一下什么是动圆。

一个圆沿着某一路径做运动，即圆的半径和圆心都在不断变化，这时我们称该圆为动圆。

动圆的运动可以是任意的，可以是匀速的、非匀速的等等。

当我们观察一个动圆运动时，会发现它的圆心的轨迹是非常特殊的一条曲线，我们把这条曲线叫做动圆的圆心轨迹。

动圆的圆心轨迹是一个非常重要的概念，它是描述动圆运动的基本量。

对于任何一个动圆，它的圆心轨迹都是一条特殊的曲线。

接下来，我们来探索一下动圆的圆心轨迹方程。

当你初学动圆的圆心轨迹时，通常会采用参数方程的形式表示。

设圆的半径为r，圆心运动的轨迹为(x(t),y(t))，圆心的初始位置为(x0,y0)，圆的初始方向与x轴正方向之间的夹角为θ，则动圆的圆心轨迹参数方程可以表示为：x(t) = x0 + r cos(ωt+θ)y(t) = y0 + r sin(ωt+θ)其中，ω是圆的角速度，t是时间。

这样我们就得到了一个关于动圆圆心轨迹的基本方程，通过不断改变其中的参数，我们就可以得到各种不同运动状态下的圆心轨迹了。

不过需要注意的是，这个方程是一个参数方程，它并不能直接描绘出圆心轨迹的具体形状，因此我们需要进行进一步转化。

我们可以通过两次对参数方程求导，将其转化为笛卡尔坐标系下的表示形式。

具体来说，我们先对x(t)和y(t)分别求一次导数，得到：dx/dt = -rω sin(ωt+θ)dy/dt = rω cos(ωt+θ)然后再对它们分别求一次导数，得到：d²x/dt² = -rω² cos(ωt+θ)d²y/dt² = -rω² sin(ωt+θ)最终，我们就得到了动圆圆心轨迹的笛卡尔坐标系下的方程：(x-x0)² + (y-y0)² = r²这个方程描述了动圆圆心轨迹的几何特征，它对应的实际运动状态是一个圆形的轨迹，这个圆的圆心坐标为(x0,y0)，半径为r。

与圆有关的轨迹方程的求法

与圆有关的轨迹方程的求法Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】与圆有关的轨迹方程的求法若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：⎩⎨⎧βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得⎩⎨⎧=β=α),(),(y x h y x g ② 代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0. 例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q 的轨迹方程.【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ).∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分PA 的比为31.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即又因2020y x +＝１，且y 0>0，∴19164391622=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(169)43(22>=+-y y x .例3、已知圆,422=+y x 过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（）A ．4)1(22=+-y xB ．)10(4)1(22<≤=+-x y xC ．4)2(22=+-y xD ．)10(4)2(22<≤=+-x y x变式练习1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，则点M 的轨迹方程是解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴31==OB OA MB AM ， ∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 3：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(y x ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .4、圆9)1()2(22=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A.25)7()5(22=++-y x Ｂ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y xＣ. 9)7()5(22=++-y x Ｄ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x 6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 97：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程. 8 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ，则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥，所以AH OC //，OA CH //，OC OA =，所以四边形AOCH 是菱形．所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y 又),(''y x C 满足42'2'=+y x ，所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．9. 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2,2(b y a x M ++．由222OA AM OM =+，即 22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++，也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22121r y x =+，22222r y x =+．又22AB PQ =，即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．① 又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②①＋②，有)(222222b a r y x +-=+．这就是所求的轨迹方程．解法三：设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ，由于APBQ 为矩形，故AB 与PQ 的中点重合，即有βαcos cos r r a x +=+， ①βαsin sin r r b y +=+， ②又由PB PA ⊥有1cos sin cos sin -=--⋅--ar b r a r b r ββαα ③ 联立①、②、③消去α、β，即可得Q 点的轨迹方程为)(222222b a r y x +-=+．说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．10、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PB PA ，得a y c x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ；当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac 为半径的圆；当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.11、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.。

轨迹方程的求法PPT教学课件

的性质可得 : y0 1 1 , y0 1 2. x0 m,x0 Nhomakorabea22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '( x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m )2 5
4( 2m 5
3)2
4,
整理得2m m 3 0解得m 1或m 3 2
点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 3 , 2
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物四.寻找金属的代用品
P
引直线x y 2的垂线,垂足为N . Q
求线段QN的中点P的轨迹方程.
O
x
人类生活离不开金属
金属元素在自然界中的存在
金属元素在自然界中分布很广，极少数不活泼的
金属（如金、银等）以单质形式存在；
金属元素在地壳中的含量
元素名称质量分数/% 元素名称质量分数/%
铝（Al）
7.73
镁（Mg）
例1.如图,已知动圆过定点(1, 0), 且与直线x 1相切。求动圆圆心轨迹C的方程.
练习：
1.如图,已知定点A(2, 0),定圆 M : ( x 2)2 y2 25, P是M上的动点, 线段AP的中垂线与MP 交于Q , 求Q的轨迹.
y P
Q MO A
x
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，AD边所在直线的方程为3x+y+2=0. （1）求矩形ABCD外接圆的方程；（2）若动圆P过点N（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.

求动圆圆心的轨迹说课

求动圆圆心的轨迹说课本课是一节教学研讨课，是在我校大力提倡改革课堂教学模式、提高课堂45分钟效益、开发学生多方面的能力的大前提下开设的.目的是努力寻求一种全新的课堂教学模式，能够让现代化的信息技术和数学课本知识有效的融合在一起，让学生不仅学到数学的理论知识，而且能学到信息技术知识，提高了动手能力；不仅是做题目，而且是画题目；大大提高了学生的学习兴趣.一、教材分析1、教材的地位和作用“求动圆圆心轨迹”是高中课本《平面解析几何》（试验版）第七章直线和圆位置关系的习题课，它利用圆的定义和基本性质，来探索动点轨迹方程的一般求法.通过利用几何画板作图，学生找到了另一种全新的曲线――椭圆，为下一章的学习埋下伏笔.在知识方面，学生已经学习了圆的定义和基本性质，包括：点和圆的位置关系的判定，直线和圆的位置关系的判定，圆和圆的位置关系的判定.同时也学习了用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法；求动点轨迹方程的方法——直接法（设动点p(x,y)，利用性质找出方程）.在技能方面，学生已经学会了用“几何画板”作出静止图形和一些简单的动画，有助于学生对动点轨迹的理解.2、重点和难点本节课的重点是动圆圆心轨迹的求法；难点是利用圆的定义和基本性质得到等价关系，从而列出方程.二、教学目标根据以上分析和学生的具体的情况，确定本节课的教学目标如下：1、知识目标（1）掌握轨迹问题的一般求法；（2）掌握圆的定义及其性质；（3）掌握利用几何画板作动点轨迹.2、能力目标使学生在问题的研究过程中，进一步地领会求动点轨迹的思想方法，更深一步地了解、运用圆的定义和性质来分析问题的能力，培养学生的观察能力、空间想象能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力.同时，提高学生几何画板的应用能力.情感目标通过利用几何画板的作图，增强问题的直观性，激励学生的学习兴趣和动机。

特别是对抽象能力不强的学生有较大帮助，树立他们学好数学的信心，共同提高；运用辩证唯物主义思想：运动与静止的相互关系.三、学方法和教学手段的选用根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用的主要是启发式的教学方法法、计算机辅助教学、讲练结合的方法.启发式的教学方法符合辩证叭物主义内因和外因相互作用的观点，符合教学论中的自觉性、积极性、巩固性、可接受性，教学与发展相结合，教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则.这种教学方法的关键是通过教学中的引导、启发、充分调动学生学习的主动性.在教学中，我采用启发式的教学方法，引导学生探索动圆的性质，利用几何画板工具作出动点的轨迹，给抽象轨迹以直观感觉，努力提高学生的学习兴趣.通过讲练结合的方法引导学生去完成轨迹方程的推导，熟练公式，巩固圆的性质及定义.通过题组教学法，因材施教，发展学生等价转换、数形结合等思想，培养学生综合运用知识解决问题的意识.四、关于学习方法的指导“授人以鱼，不如授人以渔”，我体会到，必须在传授知识给学生的同时，教给他们好的探索方法，也即让他们“会学习” .首先，让学生根据条件作图，学生在作图时肯定要寻找作图的条件（这就是立方程的等价条件），再通过作出的图象引导学生如何求出轨迹的方程.这样，学生不仅学到了知识，而且通过作图，即熟练了几何画板这个工具又提高了学习兴趣，通过方程的推导，深化了学生对圆的认识，对数形结合思想的理解，提高了学生的认识问题和解决问题的能力.五、教学过程课前准备（1）将学生分成几个小组（4至5人一组）；（2）从学校局域网或inter网下载几何画板软件并安装；（3）布置几个作图题，要求学生在兴趣小组活动时协商解决.问题的引入首先，提问学生圆的定义和基本性质.目的是让学生知道这节课所用的知识.再次，给出学生要解决的问题，分成两问，第一问：试作出过定点a（6，0）且与圆相切的动圆圆心轨迹是什么图形？问题解决步骤第一步作图：学生分小组讨论和作图（每个小组两台电脑）.由于作图时学生可以讨论，在这种相对宽松的条件下学生的学习兴趣得到了很大的提高.老师巡视，辅导学生作图（主要目的是要学生得出动点的性质）.展视学生成果，提问这是什么图形？（如果学生没能作出则展视事先准备的课件）；第二步找依据：提问作出图象的学生，作图的依据是什么？（动点到原点和定点的距离之和为定长10）你能写出代表这个图像的方程吗？第三步推导方程：将作图依据转化为符号语言.设p（x,y），则由学生提出的依据可以得出|pa|＋|po|＝10，然后将各点的坐标代入、化简即可.第四步归纳：求动圆圆心的轨迹方程的关键在于找到动圆圆心的所具备的特殊性质，从而找到立方程的依据，最后代入化解即可.补充说明上述过程始终围绕着学生展开，基本按照提问——学生思考、制作——再提问——学生推导、计算的流程进行.第一步的目的是提高学生兴趣，让学生先看到了问题的结果.其次也培养他们相互合作的精神，并提高了学生几何画板的运用能力.第二步的目的则在于本问是解决这类问题的核心部分，所以务必要请同学们注意.第三步是解决问题的过程，目的是培养学生思维的严密性，加强运算能力.第四步的目的是从解决动圆圆心轨迹方程得出一般动点轨迹方程的求法.另外，本节课的另外两道例题也将按照该步骤进行下去，在此就不再详述.小结通过本节课的学习，同学们熟练掌握了动圆圆心轨迹的求法，以及一般动点轨迹方程的求解步骤；在此过程中，同学们还更进一步的认识了圆的定义及基本性质；除了掌握了数学知识之外，同学们掌握了怎样用几何画板来作动点轨迹的方法，培养了学生的动手实验能力，拓宽了学生的知识面.布置作业练习册《圆的性质的综合练习》六、教学评价的分析学生在学习的过程中，主要出现这样的问题：经过题目的分析后，仍然无法得出立方程的等价条件，这主要是由于学生对圆的基本性质，如：圆与直线的位置关系、圆与圆的位置关系（尤其是外切和内切）还没有掌握熟练的缘故，所以除了在课堂上反复强调之外，还需要通过课堂练习各课后作业来强化它们.通过本节课的学习，学生不仅掌握了动点轨迹的求法，而且通过作图掌握了几何画板这个软件，通过方程的推导，更加熟悉了圆的性质，深刻体会到平面解析几何的基本思想“以数论形，数形结合”，提高了运用数形结合、等价转化等数学思想方法解决问题的能力；通过思路的探索和轨迹方程的推导，学生的思维品质得以优化，学会辩证地看待问题，享受了数学的美.。

圆的轨迹方程ppt课件

x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）

[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m

1
(
m

1)

2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1

小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系

求动圆圆心的轨迹方程

求动圆圆心的轨迹方程一、教学目标 12、教学目标说明（1）求曲线轨迹方程集中体现了数学中数形结合的思想，是高中数学的重点和难点，所以这部分内容中的知识点，学生必须达到理解、应用的水平。

（2）利用现代教育技术，模拟动点运动，增强直观性，激励学生学习动机，培养学生的数学想象和抽象思维能力。

二、教学模式三、教学过程1直接法：1、利用勾股定理；2、利用“圆锥曲线的定义” 通过回忆提问，明示这节课的内容与原来所学的数学知识的内在联系，即提醒学生，这节课的目的是利用所学的知识解决实际问题。

这次提问在学生的潜意识中产生一种把知识转化为能力的欲望。

2 例1 求与直线x=0相切且与圆x 2+y 2=1相内切的动圆圆心的轨x 学生分析题意，提出解题思路，然后用按钮切换到“几何画板”操作：①模拟动圆运动（反复运动）使学生观察动圆运动的过程即动圆圆心的轨迹，增强直观感觉。

②将动圆静止在某一位置上，研究圆心纵横坐标之间的关系，教师实时构作辅助线，引导学生观察图形中线段的数量关系，说明作辅助线的目的。

③切换到PowerPoint （显示解题过程）解：设动圆圆心P 的坐标为(x ，y)，动圆和直线x=0相切于点B ，与圆x 2+y 2=1相切与A ，连结OA 、OB10。

当动圆在y 轴右侧时：在RT △OPB 中|BP|2+|OB|2=|OP|2 即：x 2+y 2=(1-x)2 x ≥0化简得 )21(22--=x y ，0≤x ≤2120。

当动圆在y 轴左侧时：在RT △OPB 中|BP|2+|OB|2=|OP|2 即：x 2+y 2=(1+x)2 x ≤0化简得 )21(22+=x y ， 21-≤x ≤0例2 求过定点A(6，0)且与圆x 2+y 2=100相切的动圆圆心的轨迹方程∴P 请学生分析例1和例2在解法上的异同，并对求动圆圆心轨迹方程的方法进行初步归纳。

x例3 求与圆x2+y2=4和 (x-6)2+y2=100都相切的动圆圆心的轨):求与圆x 2+y 2=9相外切且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程学生练习后切换到“几何画板”,模拟动圆的运动,学生自行检查思路,修改解题过小结：求动圆圆心轨迹方程的要点： 1、注意相切两圆半径与圆心距的关系；2、动圆半径=动圆半径。

解析几何求圆的轨迹方程(专题一)师用

专题一求圆的轨迹方程教学目标：1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。

教学重难点：1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、会求曲线的轨迹方程（圆）教学过程：第一部分知识点回顾一、圆的方程：1．圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=。

2．圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --，半径为22142D E F +-的圆思考：二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么？答案：（0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->））； 3．圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。

圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤。

4．()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________ （答：22(1)1x y ++=）；（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）；（3）已知(1,3)P -是圆{cos sin x r y r θθ==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________（答：224x y +＝；23π；340x y -+=）；（4）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是_ （答：[0，2]）；（5）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____（答：21<k ）；（6）若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，若φ≠N M ，则b 的取值范围是_________（答：(3,32⎤⎦－）二、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b rr +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。