连续与可测函数
可测函数与连续函数
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定理1指的是可测函数f 限制在 E 的一个闭子集上可以 是连续的，然而我们对一般闭集上的连续函数远不象
对区间或区域上的函数那样直观易理解，所以我们总
是希望用通常意义下的连续函数来描述可测函数。即
n
是说，对 E 上任意可测函数，我们能不能找到 R 上
的连续函数，使得它们在E 的一个测度充分接近 mE
n i 1
U ( x0 ) C Rn
i i0
Fi U ( x0 )
Fi U ( x0 )
Fi0 ,
当x ( x0 ) F时， | f ( x) f ( x0 ) || ci0 ci0 | 0
f ( x)在F 上连续。
2018年8月12日12时3分
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Fδ 为互不相交的闭集的并的条件不可少。比如：
下午12时3分27秒
⑵ f 在E上有界可测． 设 f 在E上可测，则存在简单函数列φn 在E上
收敛到 f ．
利用叶果洛夫定理，
存在集合 E0 E，使 φn 在E0 上一致收敛到
f ，且 m ( E－ E0 ) < /2，
可测函数与连续函数的关系
下午12时3分27秒
下午12时3分27秒
定理 1 （鲁津 Лузин） 设 f 是 E 上几乎
处处有限的可测函数，则对任意 > 0，存在闭
子集 F E，使 f 在F 上是连续函数，且
m( E \ F ) .
结论：连续函数与可测函数的关系：
连续函数一定是可测函数;
2018年8月12日12时3分
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可测函数的定义及其简单性质
i 1
n
问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测 度)?
1可测函数定义 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 若
a R, E[ f a]
)，
可测，则称f(x)是E上的可测函数
例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集
rQ
任取x E[ f a g ] , 则f ( x) a g ( x) 从而r Q, 使f ( x) r a g ( x) 即x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
rQ
a-g(x)
r
f(x)
证明中利用了 Q是可数集和 反之 ( E[ f r ] E[ g a r ] ) E[ f a g ]也成立 R中的稠密集 rQ 两个性质
rQ
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )可测
rQ
类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f g ] 为可测集。
⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。
( x) sup{ f n ( x)}
n1 1 n
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n1
n
n1
n
⒋可测函数的性质
⑴可测函数关于子集、并集的性质
即:若f(x)是E上的可测函数,
E1 E, E1 可测，
则f(x)限制在E1上也是可测函数；
En 反之，若 E n 1
E
(精品)实分析与复分析6-Lebesgue测度,可测函数的连续性
E 有 下 列 两 个 性 质 ：
y , z E , y z ， 使 得 x y r z s ,
y z s r , y z ,
而 z x , y , z E x ,
这 与 E x 是 单 点 集 矛 盾 .
E rE s .
现 在 证 明 ( b ) , 由 E 的 构 造 ， E Q x y ,
是否每个Lebesgue可测集都是Borel集？ Rk的每一个子集都是Lebesgue可测集吗？
令c是连续统的势，显然Rk有可数基，
证明 设 为 实 数 集 ， 为 有 理 数 集 ,
利 用 选 择 公 里 ， 可 以 构 造 E , 使 得
对 x ,E x 是 单 点 集 .
y r x , x E r .
接 下 来 证 明 ， m (A ) 0 .
令 H K r， 显 然 H 有 界 ，
r[0 ,1 ]
m ( H ) .K E t,由 ( a )
K r K s , r , s [ 0 , 1 ] , r s .
m H m K r，
detT1,
情 况 2 ： T 不 可 逆 , 也 即 d i m T (k ) k ,
detT0,
情况3： T可逆.
TTs T2T1,
其 中 T s ， T 2 ， T 1 都 是 初 等 矩 阵 ，
d e tT d e tT s d e tT 2 d e tT 1 ,
设 W 是 k 的 一 个 k c e ll,则
记 T的 行 列 式 为 detT,
情 况 1： T是 初 等 矩 阵 .
（ 1 ） 单 位 矩 阵 某 两 行 置 换 ， d e t T 1 ,
（ 2 ） 单 位 矩 阵 某 行 乘 以 倍 , d e tT ,
连续与可测函数
，当 x < δ 时，
1 g ( x ) − g (0) < 4
1 则若 g ( 0 ) ≥ 2 ， ( −δ , 0 ) ⊆ E ( f ≠ g ) 1 则若 g ( 0 ) ≤ 2 ， ( 0, δ ) ⊆ E ( f ≠ g )
因此， m ( E ( f ≠ g ) ) ≥ δ > 0 ，即不会几乎处处相等
8
令
Eδ = ∩ Fk
k =1
∞
则 Eδ ⊆ E 是闭集，且
m ( E \ Eδ ) = m
(∪
∞
∞
E \ F ( k )) k =1
<δ
≤ ∑ m ( E \ Fk )
k =1
由于每个 f k 在闭集 Eδ 上连续，且
fk ⇒ f ，
f 在 Eδ 上连续。
9
例：考虑 Dirichlet 函数 D ( x ) 。
1
定义：
2
例1． 考察 R 上的 Dirichlet 函数
⎧1, x ∈ D ( x) = ⎨ ⎩0, x ∉
则 D ( x ) 处处不连续。
但是考察函数
D Q ，即
D在有理数集合上的限制。
D Q是 Q 上的连续函数。
类ห้องสมุดไป่ตู้的，Dirichlet函数在无理数集合上的限制也连续。 这个例子表明，对于不连续函数，若缩小定义域，则 不连续函数可以变成连续函数。 度？
3
引 理 1 设 F1 ,
k
, Fk 是 互 不 相 交 闭 集 ， F = ∪ Fi ， 则
i =1
k
f ( x ) = ∑ ai χ Fi ( x ) 是 F 上连续函数。
证明：设 x0 ∈ F 。则存在 i0 ：x ∈ Fi 。 0 由于 F , , F 互不相交， x ∉ ∪ Fi 。由闭集性质，
可测函数与连续函数
可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。
由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。
【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。
特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。
一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，m(E∖E1)=0，且使得性质P 在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。
2、可测函数：设E⊂ℝ是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。
假如对于任意实数CE(f>C)={x∈E:f(x)>C}都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。
3、几乎处处有限的可测函数：设E⊂ℝ是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1，m(E∖E1)=0，f在E1上有限，假如对于任意实数CE(f>C)={x∈E:f(x)>C}都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设D⊂ℝ，f是定义于D的函数，x∈D，假如lim y→x,y∈D f(y)=f(x)则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。
5、预备定理、引理定理2.2设 f 是一个紧集， { f n}n≥1是一列沿 F连续的函数。
若{ f n}在 F上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。
定理2.3（Egoroff ） 设 f 和 f n (n ≥1) 都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。
若 f n 在 D 上几乎处处收敛于 f ，则对任何 ε>0，有D 的闭子集 F ，使 m ( D − F )<ε，并且 f n 在 F 上一致收敛于 f 。
引理2.1 设 F 是 R 中的闭集，函数 f 沿 F 连续，则 f 可以开拓成 R 上的连续函数 f ∗，并且sup x∈R | f ∗(x )|=sup x∈R| f (x )|。
可测函数与连续函数
连续。由引理 1， 作
引理证毕。
定理 1（Lusin）设 为可测集 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的
，有沿 连续的函数 使
，并且
。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）
证明：不失一般性设 在 上处处有限。
3 / 6'.
.
先设 是有限可测集。由定理 2.3，有 上的简单函数列 ,使 。现对每一 ,由引理 2.2，存在沿 连续的函数
，使
中去掉有限个或可数多 ，现在我们定义一个函数
此外，当
时，令 的图形是联
及 时，分别联 ,
及,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整个直线上的连续函数，且满足定理的各项要求。
的直线，当 的直线，于是 是
三、小结
一方面，可测集上的连续函数是可测的，另一方面，Lusin定理表明， Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近。可测集 上的连续函数一定为可测函 数，但可测函数不一定连续。如Dirichlet函数,Riemann函数都是可测函数但都 不连续。显然，可测函数要比连续函数更加广泛。
上的连续函数 ，并且
=
。
引理 2.2 设 是可测集 上的简单函数。则对任何
续的函数 使
。
有沿 连
二、可测函数和连续的关系
1、连续函数的可测性
定理1 可测集上的连续函数都是可测函数。
证明: 对任意 ，设
，则由连续性假设，存在x的某邻域 ，
使
。因此，令
，则：
反之，显然有
，因此：
从而：
但 G 是开集（因为它是一族开集这并），而 E 为可测集，故其交 仍
此时
是闭集，并且 沿 连续。由引理 2.1， 作为 上的函数
可以开拓成 上的连续的函数 ，并且
可测函数与连续函数
连续。由引理 1， 作
引理证毕。
定理 1（Lusin）设 为可测集 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的
，有沿 连续的函数 使
，并且
。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）
证明：不失一般性设 在 上处处有限。
先设 是有限可测集。由定理 2.3，有 上的简单函数列 ,使 。现对每一 ,由引理 2.2，存在沿 连续的函数
，使
，
令 ,
则
并且在
上
。
由于 有界,所以存在
的有界闭子集 ,使得 在 上一致收敛于 并且
。再由定理 2.2， 沿 连续.这样由引理 2.1， 作为 上
的函数可以开拓成沿 连续的函数 。此时 样我们在 有界的条件下证明了定理。
。这
对一般的
，此时对每一整数 ，令
则 都是有界的。从而由上段证明，对每一 ，存在 的闭子集 ,使 沿 连续，并且
一、基本概念
1、几乎处处：
给定一个可测集 E，假如存在 E 的一个子集 ， 在 上处处成立，则称性质 P 在 E 上几乎处处成立。
，且使得性质 P
2、可测函数：
设
是 Lebesgue 可测集， 是 上的实值函数。假如对于任意实数
都是可测集，则称 是 上的 Lebesgue 可测函数（简称 是 上的可测函数）。 3、几乎处处有限的可测函数：
此时
是闭集，并且 沿 连续。由引理 2.1， 作为 上的函数
可以开拓成 上的连续的函数 ，并且
。
定理证毕。
推论 若 是 上几乎处处有限的可测函数，则对任何 ，有 上连
续函数 ，使
，并且
。
定理 2 设 为可测集， 为 上的实函数，如果对任何 ，存在闭集
第三章可测函数
第三章Lebesgue 可测函数1f 是[a,b ]上几乎处处有限的可测函数.证明：m ({x ∈[a,b ]:f (x )>α})是α的右连续函数,m ({x ∈[a,b ]:f ≥α})是α的左连续函数.证明我们仅仅考虑第二个结论.假如{Δn }n ≥1,Δn ↑0,0≤m ({x ∈[a,b ]:f (x )≥α+Δn })−m ({x ∈[a,b ]:f (x )≥α})≤m ({x ∈[a,b ]:α+Δn ≤f (x )<α}).一个明显的事实是集合列{{x ∈[a,b ]:α+Δn ≤f (x )<α}}n ≥1是单调下降的集合列且测度都有限,从而lim n →∞m ({x ∈[a,b ]:α+Δn ≤f (x )<α})=m (︁∩∞n =1{x ∈[a,b ]:α+Δ≤f (x )<α})︁这就证明了我们理想的结论.2设E =[0,1]上的可测函数f 几乎处处有限，证明：存在实数α0,使得m (E (f ≥α0))≥1/2,m (E (f ≤α0))≥1/2.证明我们知道：lim λ→−∞m (E (f ≥λ))=1,lim λ→∞m (E (f ≤λ))=1,令α=sup {λ:m (E (f ≥λ))≥1/2},β=inf {λ:m (E (f ≤λ))≥1/2}.则α,β都是有限实数.我们来证明:m (E (f ≥α))≥1/2,m (E (f ≤β))≥1/2.我们仅考虑前面一个不等式(后者可以用同样的方式证明).对于任意的自然数n ,存在λ,使得λ>α−1/n ，并且m (E (f ≥λ))≥1/2,46这样就得到m(E(f≥α−1/n))≥1/2.再利用单调增加的可测集合列的测度的极限性质就给出理想的结论.现在回到我们要证明的结论.假如β≤α,明显地β就是我们需要的α0.假如α<β,则存在γ∈(α,β),m(E(f≥γ))<1/2,m(E(f≤γ))<1/2.这是不可能的！(3)设D是可测集合,f沿D连续，证明：f在D上可测.证明我们首先断言Fσ型集合上的连续函数一定可测.事实上，假如E是Fσ型集合，则E可以表示成一列闭集的并集，即E=∪∞E n,n=1其中E n是闭集.由于闭集上的连续函数是可测函数,从而Fσ型集合上的连续函数可测.对于可测集合D,利用可测集合的充分必要条件,我们知道存在Fσ型集合E使得m(D∖E)=0.f在D上可测,所以也在E上连续，当然在E上可测,而f在D∖E上可测很明显，这样就知道f在D上可测。
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f ( x ) = ∑ ai χ Ei ( x ),
i =1
k
其中， E = ∪ Ei . E1 ,
i =1
k
, Ek 是互不相交的可测集，
6
由引理2，
∀δ > 0 ，对每个 Ei ，存在闭集Fi ⊆ Ei ：
令 Eδ = ∪ Fi ，则 Eδ 是 E 中的闭集，则
i =1
k
由于
f
Eδ
= ∑ ai χ Fi ( x )
8
令
Eδ = ∩ Fk
k =1
∞
则 Eδ ⊆ E 是闭集，且
m ( E \ Eδ ) = m
(∪
∞
∞
E \ F ( k )) k =1
<δ
≤ ∑ m ( E \ Fk )
k =1
由于每个 f k 在闭集 Eδ 上连续，且
fk ⇒ f ，
f 在 Eδ 上连续。
9
例：考虑 Dirichlet 函数 D ( x ) 。
由于 ∀t ∈ R
k =1 1
E ( f > t ) = ∪ Fk ( f > t ) ∪ E0 ( f > t )
k =1
∞
是可测集合，故 f ∈ M ( E )
13
但是考察函数
D Q ，即
D在有理数集合上的限制。
D Q是 Q 上的连续函数。
类似的，Dirichlet函数在无理数集合上的限制也连续。 这个例子表明，对于不连续函数，若缩小定义域，则 不连续函数可以变成连续函数。 度？
3
引 理 1 设 F1 ,
k
, Fk 是 互 不 相 交 闭 集 ， F = ∪ Fi ， 则
，当 x < δ 时，
1 g ( x ) − g (0) < 4
1 则若 g ( 0 ) ≥ 2 ， ( −δ , 0 ) ⊆ E ( f ≠ g ) 1 则若 g ( 0 ) ≤ 2 ， ( 0, δ ) ⊆ E ( f ≠ g )
因此， m ( E ( f ≠ g ) ) ≥ δ > 0 ，即不会几乎处处相等
fn ( x ) ≤ f ( x )
，且
fn ⇒ f
。
5
定理 2.3.10(鲁津定理）若 f ( x ) 是可测集合 E 上几乎 处处有限的可测函数，则任给的δ > 0 ，存在 E 中闭集
Eδ ，使得 m( E \ Eδ ) < δ ， f ( x) 在 Eδ 上连续。
证明：分两种情形给出证明。 首先设 f ( x ) 是简单函数。即，
继而，可测函数未必和连续函数几乎处处相等。 例子：设
⎧1, x ∈ [ 0, +∞ ) ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ ⎩0, x ∈ ( −∞, 0 )
若 δ = 0 则存在连续函数 g ( x ) ，使得 f = g a.e. 下证这不可能。 为此反设存在连续函数
g= f
a.e. 11
Hale Waihona Puke 由于g 连续，存在 δ > 0
设 Q = {r1 , r2 ,
}
是有理数集合集合。 ∀δ > 0 ，令
则 Eδ
是闭集，且
由于 Eδ 不含有理数， D ( x ) 在 Eδ 恒为0， 因此在 Eδ 上连续。
10
注意：鲁津定理定理中，δ > 0 不能够改为 0，即对 于 E 上几乎处处有限的可测函数 f ( x) ，未必存在闭 子集 F ⊂ E ，使得 m( E \ F ) = 0 且在 F 上连续。
上连续函数列{ g k }使得 f k → f a.e.E
推论：设 f 是可测集合 E 上几乎处处有限的可测函数，则存 在
n
证明：课后阅读(需Urysohn引理和Tietze扩张定理)。12
鲁津定理的逆命题：
设 f ( x) 是可测集 E 上实值函数。若 ∀ε > 0 ，存在闭集 F ⊆ E ：
m( E \ F ) < ε ， f F 上连续，则 f ( x) ∈ M ( E ) 。 1 ,(k = 1, 2, ) ，存在闭集 Fk ⊆ E 使得 证明：对于 k 1 f F 连续，且 m( E \ Fk ) < k k ∞ 令 E0 = E \ ∪ Fk 则 m( E0 ) = 0 。
i =1
k
f ( x ) = ∑ ai χ Fi ( x ) 是 F 上连续函数。
证明：设 x0 ∈ F 。则存在 i0 ：x ∈ Fi 。 0 由于 F , , F 互不相交， x ∉ ∪ Fi 。由闭集性质，
1 k
i ≠i0
i =1
∀ε > 0 ，当 x ∈ F 且 d ( x, x0 ) < δ 时，必有 x ∈ Fi0 。于是，
2.3.3可测函数与连续函数关系
教学目的： 欧式空间上可测函数和连续函数关系—— 揭示了可测函数的构造。 要点：连续函数可测；可测函数可以用连续函数逼近。
1
定义：
2
例1． 考察 R 上的 Dirichlet 函数
⎧1, x ∈ D ( x) = ⎨ ⎩0, x ∉
则 D ( x ) 处处不连续。
i =1
7
k
由引理1，f 是 Eδ 上的连续函数。
一般情形。设 f 是 E 上可测函数，不放设 f 处处有限。
由于可以作变换
这里 g 有界可测且和 f 连续性相同，故设 f 有界。
由引理3，存在简单函数列{ f n }在 E 上一致收敛于 f 。 对 ∀δ > 0 ，由已经证明的情形，对简单函数 f k ,存在 E 的闭子集 Fk ： f k 在 Fk 连续且
4
引理 2、设 A ⊆
n
可测集合，则
1） ∀ε > 0 ， ∃开集 G ⊇ A使得 m ( G \ A ) < ε ; 2）∀ε > 0 ，∃闭集 F ⊆ A 使得 m ( A \ F ) < ε . 若 m ( A ) < ∞ ，则 F 可 以是有界闭集。
引理 3、设 f 是可测集 E 上有界可测函数，则存在 可测简单函数列{ f n ( x )}使得