第三章可测函数的知识要点与复习自测
高中数学必修(人教A版)第三章函数的应用3.1知识点总结含同步练习及答案
第三章 函数的应用 3.1 函数与方程
一、学习任务 1. 2.
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与相应方程根的联系． 根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．
2.零点的存在性定理 描述： 如果函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a) ⋅ f (b) < 0 ，
y = f (x)
( a, b)
c ∈ ( a, b)
f ( c) = 0
= ( ) [ , ] ( )⋅ ( ) <0 那么函数 y = f (x) 在区间 (a, b) 内有零点，即存在 c ∈ (a, b) 使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就 是方程 f (x) = 0 的根．
1 B．(0, ) 4
1 1 C．( , ) 4 2
1 3 D．( , ) 2 4
）
若 a < b < c，则函数 f (x) = (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) 的两个零点分 别位于区间（ ） A.(a, b) 和 (b, c) 内 B.(−∞, a) 和 (a, b) 内 C.(b, c) 和 (c, +∞) 内 D.(−∞, a) 和 (c, +∞) 内 解：A 因为 f (a) = (a − b)(a − c)，f (b) = (b − c)(b − a)，f (c) = (c − a)(c − b)，且 a < b < c，所 以 f (a) > 0，f (b) < 0 ，f (c) > 0 ，所以 f (x) 在 (a, b)，(b, c) 上各有一个零点，故选 A .
函数复习资料
函数复习资料函数复习资料函数作为数学中的重要概念，是我们在数学学习中经常接触到的内容。
它不仅在数学中有着广泛的应用，也在其他学科中扮演着重要的角色。
在这篇文章中，我们将对函数的定义、性质以及一些常见的函数类型进行复习和总结。
一、函数的定义和性质函数可以被理解为两个数集之间的一种对应关系。
具体来说，给定一个定义域和一个值域，函数将定义域中的每个元素映射到值域中的唯一一个元素。
这个映射关系可以用数学表达式或图形表示。
函数的定义有一些基本要素，包括定义域、值域、自变量和因变量。
定义域是函数中自变量的取值范围，而值域则是函数中因变量的取值范围。
自变量是函数的输入，而因变量是函数的输出。
函数的性质有很多，其中一些常见的包括单调性、奇偶性、周期性和有界性。
单调性指的是函数在定义域上的增减关系，可以分为递增和递减两种情况。
奇偶性是指函数关于原点对称的性质，奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，偶函数满足$f(-x)=f(x)$。
周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律，有界性是指函数在定义域上的取值范围有限。
二、常见的函数类型1. 线性函数线性函数是函数中最简单的一种类型，它的表达式为$f(x)=ax+b$，其中$a$和$b$为常数。
线性函数的图像是一条直线，具有常数斜率。
2. 幂函数幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数，其中$a$为常数。
幂函数的图像形状与指数$a$的值有关，当$a>1$时，图像呈现上升的曲线；当$0<a<1$时，图像呈现下降的曲线。
3. 指数函数指数函数是形如$f(x)=a^x$的函数，其中$a$为常数且$a>0$且$a \neq 1$。
指数函数的图像是一条逐渐上升或下降的曲线，具有常数底数。
4. 对数函数对数函数是指形如$f(x)=\log_a x$的函数，其中$a$为常数且$a>0$且$a \neq 1$。
对数函数的图像是一条逐渐上升或下降的曲线，具有常数底数。
中考数学总复习第3章函数自我测试
b＝ 192
y ＝ kx ＋ b 得
，解得
2k＋ b＝ 0
k＝－ 96 ，
b＝ 192
故线段 AB 所表示的函数关系式为： y＝－ 96x＋192(0 ≤x≤2) ； (2)12 ＋ 3－ (7 ＋6.6) ＝ 15－ 13.6 ＝ 1.4( 小时 ) ， 112÷ 1.4 ＝ 80( 千米 / 时 ) ， (192 －112) ÷80＝80÷80＝ 1( 小时 ) ， 3＋ 1＝4( 时 ) ． 答：他下午 4 时到家．
律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金
每增加 5 元，租出去的观光车就会减少 1 辆．已知所有观光车每天的管理费是 1100 元．
(1) 优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少 应为多少元？ ( 注：净收入＝租车收入－管理费 )
＝(50
x－100
－
)x
－ 1100＝－
1 x
2＋
70x
－
1100＝－
1 (x
－
175)
2＋5025 ，
5
5
5
当 x ＝175 时， y 2的最大值为 5025， 5025＞ 3900，
故当每辆车的日租金为 175 元时，每天的净收入最多是 5025 元． 15． ( 2016· 枣庄 ) 如图，已知抛物线 y＝ ax 2＋ bx＋c(a ≠0) 的对称轴为直线 且抛物线经过 A(1 ，0) ， C(0，3) 两点，与 x 轴交于点 B.
17 (3) 点 P 共有四个，分别为： P1( － 1，－ 2) ， P2( － 1， 4) ， P3( － 1， 3 ＋ 2 ) ， P4( － 1，
第三章_可测函数的知识要点与复习自测
第三章_可测函数的知识要点与复习自测第一部分：可测函数的定义与性质可测函数是指在测度空间上定义的函数，具有一些特定的性质。
1.可测函数的定义：设(X,Σ)和(Y,τ)分别是两个测度空间，函数f:X→Y是一个可测函数，如果对于任意的τ-可测集合B，其逆像f^{-1}(B)是一个Σ-可测集合，则称函数f是可测函数。
2.可测函数的性质：a.可测函数的逆像性质：对任意的可测函数f:X→Y和任意的测度空间(E,ρ)，f^{-1}(A)是X上的可测集合。
b.可测函数的常值性质：对任意的可测函数f:X→Y，如果存在一个常数c∈Y，使得f(x)=c，那么f是可测函数。
c.可测函数的运算性质：对于任意的可测函数f:X→Y和g:X→Y，以下函数也是可测函数：-f+g：点对点的函数加法。
-f-g：点对点的函数减法。
- cf：常数与函数的乘积。
-f*g：点对点的函数乘法。
-，f，：函数的绝对值。
d.可测函数的复合性质：对于任意的可测函数f:X→Y和可测函数g:Y→Z，复合函数g∘f:X→Z也是一个可测函数。
3.可测函数的构造：利用可测函数的性质，我们可以通过一系列操作构造出更多的可测函数。
常见的构造方法有：a.四则运算法则：通过函数的加法、减法、乘法、除法来构造新的可测函数。
b.极限运算法则：通过函数的极限操作来构造新的可测函数。
c.特殊函数构造法则：通过利用特殊函数的性质来构造新的可测函数，如指示函数、标准分段函数等。
第二部分：复习自测1.什么是可测函数？可测函数的定义是什么？可测函数是指在测度空间上定义的函数，具有一些特定的性质。
可测函数的定义是：设(X,Σ)和(Y,τ)分别是两个测度空间，函数f:X→Y是一个可测函数，如果对于任意的τ-可测集合B，其逆像f^{-1}(B)是一个Σ-可测集合，则称函数f是可测函数。
2.可测函数的常值性质是什么？可测函数的常值性质指的是，对任意的可测函数f:X→Y，如果存在一个常数c∈Y，使得f(x)=c，那么f是可测函数。
高考一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函
第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
知识梳理·双基自测
知识点一 角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.
(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z.
知识点二 弧度制及弧长、扇形面积公式
知识点三 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ (x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.
[解析]由角α的终边过点P 得sin α＝－ ，所以sin(α＋π)＝－sin α＝ .
考点突破·互动探究
考点一 角的基本概念——自主练透
例1 (1)若角θ的终边与 角的终边相同，则在区间[0,2π)内终边与 角的终边相同的角为 ， ， .
(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－ x上，则角α的取值集合是( D )
考点三 三角函数的定义——多维探究
角度1 定义的直接应用
例3 (1)(2020·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若cos∠AOC＝－ ，则点A的横坐标为( A )
A．－ B．
C．－3D．3
(2)若角θ的终边经过点P(－ ，m)(m≠0)且sin θ＝ m，则cos θ的值为－ .
所以 终边在第三象限，综上， 的终边在第一或三象限．故选A、C.
数学一轮复习第三章函数及其图象第2节一次函数的图象与性质试题
——教学资料参考参考范本——数学一轮复习第三章函数及其图象第2节一次函数的图象与性质试题______年______月______日____________________部门课标呈现 指引方向1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。
2．会利用待定系数法确定一次函数的表达式。
3．能面出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式（）探索并理解和时，图象的变化情况。
b kx y +=0≠k 0>k 0<k 4．理解正比例函数。
5．体会一次函数与二元一次方程的关系。
考点梳理 夯实基础 1．一次函数的定义(1)一次函数的一般形式是（ 。
正比例函数的一般形式是（） 。
b kx y +=0≠k kx y =0≠k(2)正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。
2．一次函数的图象及性质(1)正比例函数（）的图象是经过点(0，0)和（1，） 的一条直线；一次函数（）的图象是经过（，）和（，）两点的一条直线。
kxy =0≠k k b kx y +=0≠k kb-00b (2) -次函数（）的图象与性质b kx y +=0≠k3．两直线的位置关系（设两直线，）：111b x k y +=222b x k y += (1)两直线平行： ()；21k k =21b b ≠ (2)两直线垂直：。
121-=⋅k k 4．用待定系数法求一次函数解析式：(1)关键：确定一次函数（）中的字母与的值。
b kx y +=0≠k k b (2)步骤：①设一次函数表达式；②根据已知条件将，的对应值代人表达式；x y ③解关于，的方程或方程组；k b ④确定表达式。
5．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系(1) -次函数与一元一次方程：一次函数（）的图象与轴交点的横坐标是时一元一次方程的解，与轴交点的纵坐标是时一元一次方程的解。
b kx y +=0≠k x 0=y y 0=x (2) -次函数与一元一次不等式：（）或（）的解集即一次函数图象位于轴上方或下方时相应的取值范围，反之也成立。
2023年人教版高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)2023年人教版高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知f (x )是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f (2a −3)<f (a −2) ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0，4)B ．(1，+∞)C ．(12，52)D ．(1，52)答案：D分析：根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a 的取值范围.∵f (x )是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f (2a −3)<f (a −2)，则{2a −3>a −2−2<a −2<2−2<2a −3<2，解得1<a <52故选：D..2、“幂函数f (x )=(m 2+m −1)x m 在(0,+∞)上为增函数”是“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要答案：A分析：要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，求出m =1，可得函数g (x )为奇函数，即充分性成立；函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数，求出m =±1，故必要性不成立，可得答案. 要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，则{m 2+m −1=1m >0 ，解得：m =1，当m =1时，g (x )=2x −2−x ，x ∈R ， 则g (−x )=2−x −2x =−(2x −2−x )=−g (x )，所以函数g (x )为奇函数，即充分性成立；“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”，则g (x )=−g (−x )，即2x −m 2⋅2−x =−(2−x −m 2⋅2x )=m 2⋅2x −2−x ，解得：m =±1，故必要性不成立，故选：A ．3、已知定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，若实数x 满足xf (x −12)≤0，则x 的取值范围是（ ）A ．[−12,0]∪[12,32]B ．[−12,12]∪[32,+∞)C ．[−12,0]∪[12,+∞)D ．[−32,−12]∪[0,12] 答案：A分析：首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0，从而得到x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0，再分类讨论解不等式xf (x −12)≤0即可.因为奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，定义域为R ，f(1)=0，所以函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0.所以x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0.因为xf (x −12)≤0，当x <0时，f (x −12)≥0，即−1≤x −12≤0或x −12≥1，解得−12≤x <0.当x =0时，符合题意.当x >0时，f (x −12)≤0，x −12≤−1或0≤x −12≤1，解得12≤x ≤32.综上：−12≤x ≤0或12≤x ≤32.故选：A4、定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，则不等式x⋅f(x)>0的解集为（）A．(−∞,−2)∪(2,+∞)B．(−2,0)∪(0,2)C．(−2,0)∪(2,+∞)D．(−∞,−2)∪(0,2)答案：C分析：结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(−2)=0，x⋅f(x)>0⇒{x>0f(x)>0或{x<0f(x)<0，故x>2或−2<x<0，故选：C5、函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.f(1)=0−1=−1<0，f(2)=1−12=12>0，且函数f(x)=log2x−1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y=log2x是增函数，y=−1x也是增函数，所以f(x)是增函数，且f(1)f(2)<0，所以函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为(1,2).故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.6、下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据函数的定义判断即可.B中，当x>0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B7、已知幂函数y=f(x)的图象过点P(2,4)，则f(3)=（）A．2B．3C．8D．9答案：D分析：先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求f(3)的值解：设f(x)=xα，则2α=4，得α=2，所以f(x)=x2，所以f(3)=32=9，故选：D8、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.9、如图，可以表示函数f (x )的图象的是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：D 分析：根据函数的概念判断根据函数的定义，对于一个x ，只能有唯一的y 与之对应，只有D 满足要求故选：D10、已知三次函数f(x)=2x 3+3ax 2+bx +c(a,b,c ∈R )，且f(2020)=2020，f(2021)=2021，f(2022)=2022，则f(2023)=（ ）A ．2023B ．2027C ．2031D ．2035答案：D分析：根据题意，构造函数g (x )=f (x )−x ，根据g (2020)=g (2021)=g (2022)=0可以知道g (x )=2(x −2020)(x −2021)(x −2022)，进而代值得到答案.设g (x )=f (x )−x ，则g (2020)=g (2021)=g (2022)=0，所以g (x )=2(x −2020)(x −2021)(x −2022)，所以g (2023)=2×3×2×1=12，所以f(2023)=12+2023=2035.故选：D.11、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B 12、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ）A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞)C ．(−3,3)D ．(−3,+∞)答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞).故选：B.双空题13、已知函数f(x)是定义域为R 上的奇函数，且对任意x ∈R ，都有f(2−x)=f(x)成立，当x ∈[−1,1]时，f(x)=a−2x1+2x ，则a =_______.当x ∈[1,3]时，f(x)=_______.答案： 1 2x −42x +4解析：（1）根据定义在R 上的奇函数必有f(0)=0，可求出a .（2）可根据已知条件f(x)=f(2−x)，将f(x)在[1,3]上的解析式转化到[−1,1]上求解.（1）∵f(x)是定义域为R 上的奇函数，当x ∈[−1,1]时，f(x)=a−2x 1+2x ，∴f(0)=a−12=0∴a =1（2）当x ∈[1,3]时，2−x ∈[−1,1]，f(x)= f(2−x)=1−22−x 1+22−x =2x −42x +4所以答案是：（1）1 （2）2x −42x +4小提示：利用给定性质求函数在某一段的解析式，此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设定在哪个区间.②利用给定的性质，将要求的区间转化到给定解析式的区间上.③利用已知区间的解析式进行代入，解出f(x)14、若f (x )=x 2+ax +b 在[−b 2,1−b 2]上为偶函数，则a =________，b =________.答案： 0 1解析：由函数是偶函数，则定义域关于原点对称即−b 2+1−b 2=0，即可求出b 的值，再由f (−x )=f (x )，求出a 的值.解: ∵f (x )为偶函数，∴其定义域关于原点对称，故−b 2+1−b 2=0，∴b =1. ∴f (x )=x 2+ax +1由f (x )为偶函数，得f (−x )=f (x )，∴f (−x )=(−x )2+a (−x )+1=x 2+ax +1 ∴a =0.所以答案是：0；1.小提示：本题考查偶函数的性质，属于基础题.15、已知函数f(x)={−x 2 , x ≥0x 2+2x, x <0 ，则f(f (−2))=_______；不等式f(f(x))≤3的解集为______；答案：0(−∞,√3]分析：根据分段函数进行代入可得f(f(−2))=f(0)即可得解，令f(x)=t，先解f(t)≤3，求得t≥0或−3≤t<0，再求f(x)的范围即可得解.f(f(−2))=f(0)=0，令f(x)=t，先解f(t)≤3，当t≥0时，−t2≤3成立，当t<0时，t2+2t≤3，解得−3≤t<0，再解不等式f(x)≥0和−3≤f(x)<0，先求f(x)≥0，易知当x≥0时−x2≤0，当x<0，x2+2x≥0，所以x≤−2或x=0，再求−3≤f(x)<0，当x<0可得−2<x<0，当x≥0，可得0<x≤√3，综上：解得x≤√3，所以答案是：0，(−∞,√3].16、已知幂函数y=x n的图像过点(3,19)，则n=_______，由此，请比较下列两个数的大小：(x2−2x+5)n_______(−3)n.答案：−2<解析：直接将点(3,19)的坐标代入幂函数的解析中可求出n的值，先利用配方法化简x2−2x+5，然后比较其与3的大小，再利用幂函数的单调性可比较大小解：因为幂函数y=x n的图像过点(3,19)，故19=3n⇒n=−2.因为x2−2x+5=(x−1)2+4>3，故(x2−2x+5)−2<3−2=(−3)−2. 即(x2−2x+5)−2<(−3)−2.所以答案是：−2；<小提示：此题考查幂函数的解析式的求法，考查幂函数的性质，属于基础题.17、函数f(x)=2x+1.（1）若x∈{1,2,3,4}，则f(x)的值域是______；（2）若x∈[1,+∞)，则f(x)的值域为______.答案：{3,5,7,9}[3,+∞)分析：（1）计算出f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，即可得出函数f(x)的值域；（2）利用一次函数的基本性质可求得函数f(x)的值域.（1）因为x∈{1,2,3,4}，f(x)=2x+1，则f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，f(4)=9，故当x∈{1,2,3,4}时，函数f(x)的值域为{3,5,7,9}；（2）当x∈[1,+∞)时，f(x)=2x+1≥3，故当x∈[1,+∞)时，函数f(x)的值域为[3,+∞).所以答案是：（1）{3,5,7,9}；（2）[3,+∞).解答题18、求下列函数的值域：（1）y=2−√1+x2；（2）y=3x2−5,x∈[−2,3]；（3）y=x−1x+1（4）y=x 2−3x2+1；（5）y=|x+1|+|x−3|；（6）y=1−x2+x+2.答案：（1）(−∞,1]；（2）[−5,22]；（3）(−∞,1)∪(1,+∞)；（4）[−3,1)；（5）[4,+∞)；（6）(−∞,0)∪[49,+∞)分析：（1）根据二次函数的值域求出被开方数的范围，即可求出函数的值域；（2）根据二次函数的单调性，即可求出值域；（3）分离常数，利用反比例函数的值域，即可求解；（4）分离常数，利用二次函数的值域以及不等式的性质，即可求出函数值域；（5）分类讨论去绝对值，转化为求一次函数的值域；（6）利用二次函数的值域，结合不等式的性质，即可求出结论.（1）∵x 2+1≥1,∴√x 2+1≥1,−√x 2+1≤−1，∴y =2−√1+x 2≤1，函数y =2−√1+x 2值域为(−∞,1]；（2）y =3x 2−5,x ∈[−2,3]，当x ∈[−2,0]时单调递减，当x ∈[0,3]时单调递增，∴x =0,y min =−5,x =3,y max =22，所以函数y =3x 2−5,x ∈[−2,3]的值域是[−5,22]；（3）y =x−1x+1=1−2x+1,∵−2x+1≠0,∴y ≠1，所以函数y =x−1x+1的值域是(−∞,1)∪(1,+∞)；（4）y =x 2−3x 2+1=1−4x 2+1,∵x 2+1≥1,∴−4≤−4x 2+1<0 −3≤1−4x 2+1<1，所以函数y =x 2−3x 2+1值域是[−3,1)；（5）y =|x +1|+|x −3|，当x ≤−1时，y =−2x +2≥4，当−1<x ≤3时，y =4，当x >3,y =2x −2>4，所以函数y =|x +1|+|x −3|的值域是[4,+∞)；（6）y =1−x 2+x+2定义域为{x|x ≠−1且x ≠2}，y =1−x 2+x+2=1−(x−12)2+94，∴−(x −12)2+94<0或0<−(x −12)2+94≤94，∴y <0或y ≥49，所以函数y =1−x 2+x+2的值域是(−∞,0)∪[49,+∞).小提示：本题考查初等函数的值域，涉及到一次函数、二次函数、反比例函数的值域，注意不等式性质以及分离常数在求解中的应用，属于中档题.19、已知函数f (x )=−x 2+mx −m ．（1）若函数f (x )的最大值为0，求实数m 的值．（2）若函数f (x )在[−1,0]上单调递减，求实数m 的取值范围．（3）是否存在实数m ，使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由． 答案：（1）m =0或m =4；（2）m ⩽−2；（3）存在，m =6分析：（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得m 的值；（2）由对称轴在区间的左侧可得；（3）分类讨论求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解m 的值．（1）f(x)=−(x −m 2)2−m +m 24，则最大值−m +m 24=0，即m 2−4m =0，解得m =0或m =4． （2）函数f(x)图象的对称轴是x =m 2，要使f(x)在[−1,0]上单调递减，应满足m 2⩽−1，解得m ⩽−2．（3）①当m 2⩽2，即m ⩽4时，f(x)在[2,3]上递减， 若存在实数m ，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，则{f(2)=3，f(3)=2，即{−4+2m −m =3，−9+3m −m =2，，此时m 无解． ②当m 2⩾3，即m ⩾6时，f(x)在[2,3]上递增，则{f(2)=2,f(3)=3,即{−4+2m −m =2,−9+3m −m =3, 解得m =6． ③当2<m 2<3，即4<m <6时，f(x)在[2,3]上先递增，再递减，所以f(x)在x =m 2处取得最大值，则f (m 2)=−(m 2)2+m ⋅m 2−m =3，解得m =−2或6，舍去．综上可得，存在实数m =6，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．小提示：本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最值，对称轴，单调性等性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．20、已知f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=−x 2+4x .（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数f (x )在区间[−4,a ] (a >−4)上的最小值.答案：（1）f (x )={−x 2+4x (x >0)x 2+4x (x ≤0)；（2）答案见解析. 分析：（1）利用奇函数的定义即可求函数f (x )的解析式．（2）根据函数的解析式，先画出图象，然后对a 进行分类讨论即可求出函数的值域．（1）∵ 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)=0，且f (−x )=−f (x )，∴f (x )=−f (−x )，设x <0，则−x >0，∴f (−x )=−x 2−4x ，∴f (x )=−f (−x )=−(−x 2−4x )=x 2+4xf (x )={−x 2+4x (x >0)x 2+4x (x ≤0)（2）可画出分段函数的图象如图所示，令f(x)=−4，可解得x 1=−2,x 2=2+2√2结合图象可知：（1）当−4<a ≤−2时，f (x )min =f (a )=a 2+4a（2）当−2<a ≤2+2√2时，f (x )min =f (−2)=−4（3）当a>2+2√2时，f(x)min=f(a)=a2+4a。
人教版函数的概念与基本初等函数多选题 期末复习自检题学能测试
人教版函数的概念与基本初等函数多选题 期末复习自检题学能测试一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】BC 【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+3．已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】ABC【分析】以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将12x x+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】 由基本不等式可得120x x +-≥或124x x+-≤-， 作出函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a >时，1224x x +-≤-或1021x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为4； ②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=， 故方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-< 或1223x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2；⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为3； ⑦当0a <时，123x x+->， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.4．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确；对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.5．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．6．已知21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2[()]()210f x f x k -+-=，下列正确的是（ ）A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解； 【答案】ACD 【分析】令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】令()0f x t =≥，则关于x 的方程2[()]()210f x f x k -+-=，可得2210t t k -+-=， 当58k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12t =； 当58k <时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ， 且121t t +=，此时至少有一个正根； 当58k >时，()14210k ∆=--<，此时方程无根； 作出()f x 的大致图象，如下：当58k =时，此时12t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确； 当58k <时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0， 此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，当58k >时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.7．下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数()1f x +的值域为[]2,3C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()0,3D ．已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1，故正确；对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相同，故错误；对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()23f x x x=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.8．已知函数4()nnf x x x =+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确；当n 为偶数时，>0n x ，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确； 当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确， 故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.二、导数及其应用多选题9．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值，min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．10．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin x f x x =-，()e cos xf x x '=-， 因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e4422f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x 的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.。
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第三章 可测函数的知识要点与复习自测一、可测函数的定义的知识要点：◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。
◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。
◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过对值域区间作不交区间分解（即2101[0,]{[,)}[,]22m m m m k k k m -=++∞=⋃⋃+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即2101[0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=⋃≤<⋃≥，并能根据这样的分解将非负可测函数()f x 具体表示成一列单调递增非负简单函数列{()m x ϕ}的极限，即()lim ()m m f x x ϕ→∞=，其中1,[()]0,1,,21222(),[()]m mm m m k k k x E x f x k m x m x E x f x m ϕ⎧+∈≤<=-⎪=⎨⎪∈≥⎩。
◇ 掌握一般可测函数的定义及等价条件，并能根据定义及等价条件证明一些具体实函数的可测性（比如：零测集上的任何实函数；可测集上的连续函数；1R 上的区间上的单调函数等），并能正确说明可测集上的简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数；◇ 能根据可测函数的定义及等价定义中所涉及的逆象集的可测性证明1R 上的区间，开集，闭集，Borel 集在可测函数下的逆象集仍为可测集。
复习自测题：1、证明：（1）设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的非负简单函数，(,)p G f E 表示()f x 在E 上的下方图形，则(,)p G f E 为1n R +上的可测集，并给出(,)p mG f E 的一个计算公式；（2）设n E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的非负可测函数，(,)p G f E 表示()f x 在E 上的下方图形，则(,)p G f E 为1n R +上的可测集，并给出(,)p mG f E 的一个计算公式。
2、证明：可测集上的简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数。
3、（1）设n E R ⊂，1,()0,\E nx E x x R Eχ∈⎧=⎨∈⎩（nx R ∈）为E 的示性函数，证明：()E x χ为n R 上的可测函数⇔E 为n R 中的可测集；（2）利用（1）据理说明：设n E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的非负简单函数（或非负可测函数），11(,)n p G f E E R R +⊂⨯⊂表示()f x 在E 上的下方图形，则()()(,)11,,(,)(,)0,,\(,)p p Gf E p x y G f E x y x y E R G f E χ∈⎧⎪=⎨∈⨯⎪⎩，()1,x y E R ∈⨯， 为11n E R R +⨯⊂上的可测函数。
4、设n E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的可测函数，证明： （1）对1R 上的任意区间I ，1()f I -为n R 上的可测集； （2）对1R 上的开集G 和闭集F ，1()f G -和1()f F -为n R 上的可测集；（3）对1R 上的G δ型集G 和F σ型集F ，1()fG -和1()f F -为n R 上的可测集；（4）对1R 上的Borel 集G ，1()fG -为n R 上的可测集。
5、（1）设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的实函数，证明：()f x 为E 上的可测函数⇔对任意,a b R ∈，a b <，()E x a f x b ⎡≤<⎤⎣⎦和()E x f x ⎡=+∞⎤⎣⎦都是nR 中的可测集；提示：1()()()1()().k E x a f x E x a f x E x f x E x a k f x a k E x f x ∞=⎡≤⎤=⎡≤<+∞⎤⋃⎡=+∞⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫=⎡+-≤<+⎤⎡=+∞⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ （2）设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的几乎处处有限的实函数，证明：()f x 为E 上的可测函数⇔对任意,a b R ∈，a b <，()E x a f x b ⎡≤<⎤⎣⎦是nR 中的可测集。
6、证明：零测集上的任何实函数；可测集上的连续函数；1R 上的区间上的单调函数都是可测函数。
7、设nE R ⊂为可测集，且mE <+∞，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数， （1）证明：对任意0ε>，存在可测子集E E ε⊂，使得()f x 在E ε上有界，且()\m E E εε<；（2）利用（1）和可测集与闭集的关系进一步证明：对任意0ε>，存在闭子集E E ε⊂，使得()f x 在E ε上有界，且()\m E E εε<。
提示：1()()k E x f x E x f x k ∞=⎡⎤⎡⎤=+∞=>⎣⎦⎣⎦，()E x f x k ⎡⎤>⎣⎦单调递减。
二、可测函数的基本性质的知识要点：◇ 掌握可测函数的基本性质，并能熟练地利用性质来判断一些函数的可测性； ◇ 掌握一般几乎处处有限的可测函数与简单函数列的极限关系，并体会此关系在讨论可测函数与连续函数之间关系（Lusin 定理）中的作用。
利用可测函数的定义和等价条件◇ 归纳判断函数可测性的常用方法利用可测函数的基本性质复习自测题：1、利用可测函数的子集性和并集性证明：（1）设()f x 定义在(,)a b 上，若对任意的0ε>，()f x 为[,]a b εε+-上可测函数，则()f x 必为(,)a b 上的可测函数；（2）设n E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的可测函数，则(),[()0]()sgn ()0,[()0](),[()0]f x x E x f x f x f x x E x f x f x x E x f x ⎧∈>⎪=∈=⎨⎪-∈<⎩，为E 上的可测可测函数；2、利用可测函数列的极限性证明：（1）若一元实函数()f x 在(,)-∞+∞上可导，则导函数()f x '必为(,)-∞+∞上的可测函数；（2）若将（1）中的“(,)-∞+∞”改为“有限开区间(,)a b ”，则如何证明()f x '仍为(,)a b 上的可测函数。
3、设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的有限可测函数，()F u 为1G R ⊂上的连续函数，且()f E G ⊂，则[]()()Ff x F f x =为E 上的可测函数。
4、设n E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的有限可测函数，(,)F x y 为1n R +上实函数，满足：（1）对任意固定的x E ∈，(,)F x y 为y 的连续函数， （2）对于任意固定的1y R ∈，(,)F x y 为E 上的可测函数 证明：(,())F x f x 为E 上的可测函数。
三、可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系（叶果洛夫定理）的知识要点：◇ 能正确的写出叶果洛夫定理，理解并掌握叶果洛夫定理的条件和结论；注意体会定理中的条件在定理证明中的作用，体会导致定理结论成立的关键条件，即0ε∀>，lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=，明白为什么叶果洛夫定理中“mE <+∞”和“可测函数列中每一项函数以及它的极限函数都要求是几乎处处有限的”这两个条件都是不可缺少的条件的原因。
◇ 叶果洛夫定理中导致结论成立的关键条件：0ε∀>，lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=，除了能导致定理的结论成立外，为什么还能导出lim ()()..→∞=n n f x f x a e 于E 以及()()n f x f x ⇒于E ，进而明白条件：0ε∀>，lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=，实际上是（1）lim ()()..→∞=n n f x f x a e 于E ，（2）()()n f x f x ⇒于E ，（3）{}()n f x 在E 上本性一致收敛于()f x ， 这三者之间的纽带。
◇ 掌握叶果洛夫定理结论在应用中便于应用的两种细致形式： 设E 为可测集，且mE <+∞，()n f x （1,2,n =），()f x 都是E 上几乎处处有限的可测函数，若lim ()()..→∞=n n f x f x a e 于E ，则（1）存在E 的一列可测子集{}n E ，使得在每个n E 上，{}()n f x 一致收敛于()f x ，且()1\n m E E n <，进而1\0n n m E E ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）存在E 的一列单调递增的可测子集{}n E ，使得在每个n E 上，{}()n f x 一致收敛于()f x ，且()1\n m E E n <，进而1\0n n m E E ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭。
◇ 能正确的写出叶果洛夫定理的逆定理，并掌握叶果洛夫定理的逆定理的证明，并体会叶果洛夫定理结论的细致形式在证明中所起的作用（实际上叶果洛夫定理的逆定理的证明方法也是证明一个函数列几乎处处收敛时所采用的常用方法）。
◇ 能根据叶果洛夫定理以及它的逆定理据理说明：在mE <+∞的条件下， （1）lim ()()..k k f x f x a e →∞=于E ，（2）关键条件：0ε∀>，lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=，（3）叶果洛夫定理结论：{}()k f x 在E 上本性一致收敛于()f x ， 三者之间的关系是等价关系。
复习自测题：1、利用叶果洛夫定理证明：设n E R ⊂为可测集，且mE <+∞，()()1,2,k f x k =，()f x 都是E 上几乎处处有限的可测函数，若lim ()()..k k f x f x a e →∞=于E ，则对任意0ε>，存在可测子集E E ε⊂，使得{}()k f x 在E ε上一致有界，且()\m E E εε<；提示：利用“二”中的自测题的第6题和叶果洛夫定理。
2、设nE R ⊂为可测集，()()1,2,k f x k =，()f x 都是E 上几乎处处有限的可测函数，若0ε∀>，lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=，则lim ()()..k k f x f x a e →∞=于E 。