高中数学 不等式课时复习教案06
2013届高三数学复习教案第六章《不等式》(新人教版必修5)4
第四教时教材：极值定理目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。
过程：一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式二、若+∈R y x ,，设2),(22y x y x Q +=2),(y x y x A += xy y x G =),( y x y x H 1+=12),( 求证：),(),(),(),(y x H y x G y x A y x Q ≥≥≥加权平均；算术平均；几何平均；调和平均 证：∵2442)2(22222222y x y x y x xy y x y x +=+++≤++=+ ∴2222y x y x +≥+即：),(),(y x A y x Q ≥（俗称幂平均不等式） 由平均不等式),(),(y x G y x A ≥),(222),(y x G xy xyxy y x xy y x H ==≤+=即：),(),(y x H y x G ≥ 综上所述：),(),(),(),(y x H y x G y x A y x Q ≥≥≥例一、若+∈=+R b a b a ,,1 求证225)1()1(22≥+++b b a a 证：由幂平均不等式：2)11()1()1(222b b a a b b a a +++≥+++ 2252)23(2)3(2)1(222=+≥++=++++=b a a b b b a a b a 三、极值定理已知y x ,都是正数，求证：1︒ 如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 22︒ 如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s证：∵+∈R y x , ∴xy y x ≥+21︒当xy p = (定值)时，p y x ≥+2 ∴y x +p 2≥ ∵上式当y x =时取“=” ∴当y x =时有=+min )(y x p 2 2︒当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤ ∴241s xy ≤ ∵上式当y x =时取“=” ∴当y x =时有2max 41)(s xy =注意强调：1︒最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值） 2︒用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”四、例题1．证明下列各题：⑴ 210log lg ≥+x x )1(>x证：∵1>x ∴0lg >x 010log >x 于是210lg lg 210log lg =≥+x x x x⑵若上题改成10<<x ，结果将如何？解：∵10<<x 0lg <x 010log <x于是2)10log ()lg (≥-+-x x从而210log lg -≤+x x⑶若1=+b a 则41≤ab 解：若+∈R b a ,则显然有410≤<ab 若b a ,异号或一个为0则0≤ab ∴41≤ab 2．①求函数)1(2x x y -=的最大值)10(<<x②求函数)1(2x x y -=的最大值)10(<<x解：①∵10<<x ∴01>-x ∴当x x -=12即32=x 时 274)3122(4)1(2243=-++⋅≤-⋅⋅=x x x x x x y 即32=x 时274max =y②∵10<<x ∴1102<-<x∴)1)(1(221)1(2222222x x x x x y --⋅⋅=-= 274)3)1()1(2(213222=-+-+≤x x x ∴当33,1222=-=x x x 时274max 2=y 932max =y 3．若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？ 解：∵1->x ∴01>+x 011>+x ∴11++x x =112111)1(21111=-=-+⋅+≥-+++x x x x 当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x 五、小结：1．四大平均值之间的关系及其证明 2．极值定理及三要素六、作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6补充：下列函数中x 取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？1︒ )32(x x y -= 31=x 时31max =y 2︒xx y 45141-+-= 2,1min -==y x 3︒0<x 时 xx y 321--= 61,26min +=-=y x。
高中数学《不等式》教案
高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。
2. 掌握不等式的解法和解集表示法。
3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。
教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。
2. 能够利用不等式解决实际问题。
教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。
2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。
二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。
2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。
2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。
四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。
五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。
2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。
教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。
2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。
3. 特性：加减法、乘除法性质。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。
下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。
高中不等式经典教案(最全18课时教案)-精选文档
高中不等式经典教案（最全18课时教案）第一教时一、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三 比较大小1．231-和10 解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数0)(<--b a 0<-a b a b <2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与201的大小 解：241y x -= 22y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)略解：2sin θ-sin2θ=2sin θ(1-cos θ)当θ∈(0,π)时2sin θ(1-cos θ)≥0 2sin θ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sin θ(1-cos θ)<0 2sin θ<sin2θ3．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解：)1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a第二教时一、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则）证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）证：∵d c < ∴d c ->- d b c a dc b a ->-⇒⎩⎨⎧->->或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---d c b a <>ΘΘ ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）证：c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么db c a >（相除法则） 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若ba b a b a b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n n b a > 五、供选用的例题（或作业）1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．若R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++cb a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b1的大小 解：a 1-b 1aba b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b 1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证：a b a b >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-ab a a b ∴1>a b6．若0,0<<>>d c b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴db c a -<-11 ∴原式成立第三教时一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
不等式复习教案
不等式复习教案教案标题：不等式复习教案教案目标：1. 复习学生在不等式方面的基本概念和解题方法。
2. 提供练习机会，巩固学生对不等式的理解和应用能力。
3. 培养学生解决实际问题时运用不等式的能力。
教学资源：1. 教材：包含不等式相关知识点的教科书。
2. 题库：包含不等式练习题的题库或工作簿。
3. 白板、彩色粉笔/白板笔、投影仪等。
教学步骤：引入：1. 利用一个简单的例子引入不等式的概念，例如：“假设你有一张50元的红包，你想买一些糖果和饼干，但是你不能花光所有的钱。
你能够购买的物品有哪些限制呢？”概念复习：2. 提醒学生不等式的符号及其含义，例如：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。
3. 复习不等式的基本性质，例如：相等的两个数之间可以互相替换，不等式两边同时加减一个数时，不等号的方向会发生改变等。
解不等式：4. 提供一些简单的不等式例子，引导学生一起解决，例如：2x + 3 > 7。
5. 解释解不等式的步骤，包括移项、合并同类项、除以正数不改变不等号方向、除以负数改变不等号方向等。
练习：6. 分发练习题，让学生独立或合作解答，确保涵盖不等式的各种类型和难度级别。
7. 在学生完成练习后，进行讲解和讨论，解释正确答案的求解过程。
应用：8. 提供一些实际问题，例如：“一个游乐园门票的价格是每人30元，你有100元，你最多能带几个朋友一起去游乐园？”引导学生运用不等式解决实际问题。
总结：9. 总结不等式的基本概念和解题方法，强调学生在解决实际问题时的应用能力。
10. 鼓励学生继续练习和巩固不等式的知识和技能。
拓展活动：11. 鼓励学生寻找更多的不等式问题，并尝试解决它们。
12. 提供更多挑战性的不等式练习题，以满足学生的不同需求和能力水平。
评估：13. 设计一些评估题目，测试学生对不等式的理解和应用能力。
14. 根据学生的表现，给予针对性的反馈和指导。
教学延伸：15. 将不等式与其他数学概念（如代数方程、函数等）进行联系和比较，帮助学生更好地理解和应用不等式。
2013届高三数学复习教案第六章《不等式》(新人教版必修5)1
第三章 不等式第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。
过程：一、引入新课1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题二、几个与不等式有关的名称 （例略）1．“同向不等式与异向不等式”2．“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三 比较大小1．231-和10 解：∵23231+=-∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<10 2．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小 解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性） 证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数0)(<--b a 0<-a b a b <2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >由对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件3．性质1、2六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与201的大小 解：241y x -= 22y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)略解：2sin θ-sin2θ=2sin θ(1-cos θ)当θ∈(0,π)时2sin θ(1-cos θ)≥0 2sin θ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sin θ(1-cos θ)<0 2sin θ<sin2θ3．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小 解：)1()1()1(223-=+-+a a a a 当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a 当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a ∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a。
高二数学上 6 不等式复习 教案 旧人教版
不等式复习
教学要求：掌握不等式的性质，能熟练地进行不等式的证明，解决有关不等式的应用问题。
教学重点：知识的灵活运用。
教学过程：
一、知识归纳：
1.不等式的性质：
一个等价关系；5个定理3条推论；
几个基本不等式及基本变形式
2.不等式的性质：
比较法（作差、作商）、综合法、分析法
放缩法、判别式法、数学归纳法
3.不等式的解法：（同解变形思想）
一元二次不等式、分式不等式、高次不等式、
无理不等式、指数和对数不等式、含绝对值不等式、
含参不等式
4.不等式应用：
（解不等式应用、证明不等式应用、基本不等式应用）
二、讲授新课：
1.出示典型例题：
①解不等式：<3－log x a＋1<a＋a
②设a>0且a≠1，比较log t与log的大小。
③设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
＋＋≥8；(a＋)（b＋）≥
④求证：1＋＋＋……＋<2 (n∈N)
（）≤(n∈N，a>0，b>0) 2.逐一由学生分析讨论解法
三、巩固练习：课堂作业：
①三个正数a、c、b成等差数列，求证：c≤
②解不等式log x＋3 log x≥log16。
高等数学不等式复习教案
高等数学不等式复习教案1. 引言本教案是为了帮助学生复高等数学中的不等式知识而设计的。
不等式是数学中重要的概念之一，在各个领域都有广泛的应用。
通过本教案的研究，学生将能够巩固不等式的基本概念、性质和解题方法，提高数学解题能力。
2. 复目标- 掌握不等式的基本概念，如不等式符号、不等式条件等；- 熟悉不等式的性质，如传递性、加减性、乘除性等；- 学会解不等式的基本方法，如化简、变形、分析法等；- 运用不等式解决实际问题。
3. 教学方法- 讲授：通过教师讲解不等式的基本概念、性质和解题方法，引导学生理解和掌握相关知识；- 演示：通过示例演示不等式的解题过程，帮助学生理解解题思路和方法；- 练：提供一定数量的练题，让学生通过练巩固所学知识，并掌握解题技巧；- 讨论：组织学生进行讨论，分享解题思路和方法，促进合作研究，激发思维。
4. 教学内容4.1 不等式的基本概念- 不等式符号：大于、小于、大于等于、小于等于；- 不等式条件：正数、负数、零、自然数等。
4.2 不等式的性质- 传递性：如果a > b，b > c，则a > c；- 加减性：如果a > b，c > 0，则a ± c > b ± c；- 乘除性：如果a > b，c > 0（或c < 0），则ac > bc（或ac < bc）。
4.3 不等式的解题方法- 化简法：将复杂的不等式化简为简单的形式，便于求解；- 变形法：通过变形等价转化为易于求解的形式；- 分析法：通过分析不等式的特点，找到合适的解题思路。
4.4 实际问题的应用通过实际问题的应用，让学生将不等式应用于实际生活中，培养解决实际问题的数学思维能力。
5. 教学流程1. 引入：介绍不等式的重要性和应用领域，激发学生的研究兴趣；2. 讲授：讲解不等式的基本概念、性质和解题方法；3. 演示：通过示例演示不等式的解题过程，引导学生掌握解题思路；4. 练：布置一定数量的练题，让学生巩固所学知识；5. 讨论：组织学生进行讨论，分享解题思路和方法；6. 总结：总结本节课的重点内容和解题技巧；7. 作业：布置相关的作业，要求学生独立完成。
高中不等式的教案
高中不等式的教案高中不等式的教案（通用11篇）高中不等式的教案篇1教学目标1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。
启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重难点1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
教学过程一、创设情景，提出问题;设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式在此基础上，引导学生认识基本不等式。
三、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
3、符号语言叙述：4、探究基本不等式证明方法：[问]如何证明基本不等式?(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教材：不等式证明一（比较法）
目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生
能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：
一、 复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论
二、作差法：（P13—14）
1． 求证：x 2 + 3 > 3x
证：∵(x 2 + 3) - 3x = 043)23(3)23()23(32222>+
-=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x
2． 已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：b
a m
b m a >++ 证：)
()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：b
a m
b m a >++ 变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？
3． 已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
证：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )
= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3)
= (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)
∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0
又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0
即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一
半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，
如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为S ，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2， 则：21122,22t n S m S S n t m t =+=+ 可得：mn
n m S t n m S t 2)(,221+=+=
∴)(2)()(2]
)(4[2)
(22
221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=-
∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2 从而：甲先到到达指定地点。
变式：若m = n ，结果会怎样？
三、作商法
5． 设a , b ∈ R +，求证：a b b
a b a b a ab b a ≥≥+2)(
证：作商：2
222)()(b
a a
b b a b a b a
b a
b a ab b a ---+==
当a = b 时，1)(2
=-b
a b a
当a > b > 0时，1)(,02,12
>>->-b
a b a b a b a
当b > a > 0时， 1)(,02,102
><-<<-b
a b a b a b a ∴2)(b
a b a ab b a +≥ （其余部分布置作业）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
四、小结：作差、作商。