九年级数学下册第三章圆周周测13(3.9)(无答案)(新版)北师大版
2021-2022学年度北师大版九年级数学下册第三章 圆专题测评试卷(名师精选)
北师大版九年级数学下册第三章 圆专题测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC 与CD 的关系是（ ）．A ．2AC CD =B ．2AC CD < C ．2AC CD > D ．无法比较2、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（ ）A ．32 B C D 3、已知⊙O 的半径为3，若PO =2，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．无法判断4、如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是边AC 上一动点，连接BD ，以CD 为直径的圆交BD 于点E ．若AB 长为4，则线段AE 长的最小值为（ ）A 1B ．2C ．D 5、如图，直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30°，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．3πB ．34πC ．πD ．3π6、如图，ABCD 是O 的内接四边形，130B ∠=︒，则AOC ∠的度数是（ ）A．50°B．100°C．130°D．120°7、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°8、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（）A．5厘米B．4厘米C．132厘米D．134厘米9、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（）A．3 B．2 C．1 D，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位10、在△ABC中，CA CB置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知⊙O的直径为6cm，且点P在⊙O上，则线段PO=_________ .2、已知正六边形的周长是24，则这个正六边形的半径为_____ ．3、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条OA和OC的夹角为120°，OA的长为25cm，贴纸部分的宽AB为20cm，则一面贴纸的面积为______2cm．（结果保留π）4、如图，A是⊙O上的一点，且AB是⊙O的切线，CD是⊙O的直径，连接AC、AD．若∠BAC＝30°，CD＝2，则AD的长为 _____．5、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝_____°．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形．（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；①求证：四边形ABCD是双直角四边形；②若AB ＝AC ，AD ＝1，求AB 的长和四边形ABCD 的面积．2、如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD ＝4，EM ＝6，求CED 所在圆的半径．3、如图，AC 是⊙O 的弦，过点O 作OP ⊥OC 交AC 于点P ，在OP 的延长线上取点B ，使得BA ＝BP ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为4，PC ＝AB 的长．4、抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的纵坐标为a b c ++．（1）求a ，b 应满足的数量关系；（2）若抛物线上任意不同两点()11,A x y ，()22,B x y 都满足：当的12c x x a<<时，()()12120x x y y --<；当12c x x a <<时，()()12120x x y y -->．直线y c =与抛物线交于M 、N 两点，且PMN 为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式②若直线AB 恒过定点()1,1，且以AB 为直径的圆与直线y m =总有公共点，求m 的取值范围．5、如图，射线AB 和射线CB 相交于点B ，∠ABC ＝α（0°＜α＜180°），且AB ＝CB ．点D 是射线CB 上的动点（点D 不与点C 和点B 重合），作射线AD ，并在射线AD 上取一点E ，使∠AEC ＝α，连接CE ，BE ．（1）如图①，当点D 在线段CB 上，α＝90°时，请直接写出∠AEB 的度数；（2）如图②，当点D 在线段CB 上，α＝120°时，请写出线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°，tan∠DAB ＝13时，请直接写出CE BE的值．-参考答案-一、单选题1、B【分析】连接AB ，BC ，根据AB BC CD ==得AB BC CD ==，再根据三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接AB ，BC ，如图，∵AB BC CD ==∴AB BC CD ==又AB BC AC +>∴2AC CD <故选：B【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．2、B【分析】连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．【详解】如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴2120AOB C ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴AOB 是等腰三角形， ∴1602∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，∴12OD =，AD ==∴2AB AD ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．3、A【分析】已知圆O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离是d ，①当r ＞d 时，点P 在⊙O 内，②当r =d 时，点P 在⊙O 上，③当r ＜d 时，点P 在⊙O 外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O 的半径为3，若PO ＝2，∴2＜3，∴点P 与⊙O 的位置关系是点P 在⊙O 内，故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离是d ，①当r ＞d 时，点P 在⊙O 内，②当r =d 时，点P 在⊙O 上，③当r ＜d 时，点P 在⊙O 外．4、D【分析】如图，连接,CE 由CD 为直径，证明E 在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，连接,AO 交O 于点,E 则此时AEAO OE 最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解,AO OE ，即可得到答案.【详解】解：如图，连接,CE 由CD 为直径，90,CED BECE ∴在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，连接,AO 交O 于点,E 则此时AE AO OE 最小，90ACB ∠=︒，AC BC =，4,AB =45,ABC BAC ∴∠=∠=︒sin 4522,2,AC BC AB OB OC OE2222210,AO10 2.AE故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.5、D【分析】阴影面积为旋转后'A B 为直径的半圆面积加旋转后扇形面积减去旋转前AB 为直径的半圆面积，则阴影面积为旋转后的扇形面积，由扇形面积公式计算即可．【详解】∵直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30°∴A'B ABA'AB S S S S =+-阴影为直径的半圆扇形为直径的半圆又∵'AB A B =∴A'B AB S S =为直径的半圆为直径的半圆∴ABA'S S =阴影扇形∵AB =6，∠ABA ’=30°∴223063360360ABA'n r S S π︒⋅π⋅====π︒︒阴影扇形 故答案为：D ．【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，扇形面积公式为2360n r π︒，由旋转的性质得出阴影面积为扇形面积是解题的关键．6、B【分析】根据圆的内接四边形对角互补求得D ∠，进而根据圆周角定理求得AOC ∠【详解】 解：ABCD 是O 的内接四边形，130B ∠=︒，50D ∴∠=︒AC AC =2AOC D ∴∠=∠100=︒故选B【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，求得D ∠是解题的关键．7、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．8、D【分析】根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．【详解】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，∴AC=8-2=6厘米，过点O作OB⊥AC于点B，则AB=12AC=12×6=3厘米，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，解得r=134厘米．故选：D．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9、B连接OC ，由垂径定理，得到CE =4，再由勾股定理求出OE 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：连接OC ，如图∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点 E ，CD =8， ∴118422CE CD ==⨯=，∵5AO CO ==，∴3OE ，∴532AE =-=；故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3OE =．10、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB ⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB 是C 的切线，进而可得⊙C 与AB 的位置关系【详解】解：连接CO ,CA CB =，点O 为AB 中点．CO AB ∴⊥CO 为⊙C 的半径，AB ∴是C 的切线，∴⊙C 与AB 的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．二、填空题1、3cm【分析】根据点与圆的位置关系得出：点P 在⊙O 上，则PO r =即可得出答案．【详解】∵⊙O 的直径为6cm ，∴⊙O 的半径为3cm ，∵点P 在⊙O 上，∴3cm =PO ．故答案为：3cm ．本题考查点与圆的位置关系：点P在⊙O外，则PO r>，点P在⊙O上，则PO r=，点P在⊙O内，则PO r<．2、4【分析】由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解．【详解】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，又∵正六边形的周长为24，∴正六边形边长为24÷6=4，∴正六边形的半径等于4．故答案为4．【点睛】此题主要考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．3、200π【分析】根据题意先求出BO，进而分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案．【详解】解：∵OA长为25cm，贴纸部分的宽AB为20cm，∴BO=5cm，∴贴纸的面积为S=S扇形AOC-S扇形BOD=22120251205360360ππ⨯⨯-=200π（cm2）.故答案为：200π．本题考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．4、2 3π【分析】连接OA，由切线的性质得出AO⊥AB，得出△OAC是等边三角形，求出∠AOD＝120°，由弧长公式可得出答案．【详解】解：连接OA，∵AB是⊙O的切线，∴AO⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠OAC＝60°，∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠C＝∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵CD＝2，∴AD的长为1201180⋅⨯π＝23π．故答案为23π． 【点睛】 本题考查了切线的性质以及弧长公式，切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；弧长公式：180n R l π=（n ︒为圆心角的度数，R 表示圆的半径）． 5、36【分析】连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出∠AOB ＝72°，∠BOF ＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．∵五边形ABCDE 是正五边形，OF ⊥BC ， ∴1122BF CF BC AB ===， ∴∠AOB ＝3605︒=72°，∠BOF =12∠AOB ＝36°， ∴∠AOF ＝∠AOB +∠BOF =108°，∵OA ＝OF ，∴∠OAF ＝∠OFA ＝()()11118018010872222AOF ︒-∠=︒-︒=⨯︒＝36°故答案为：36．【点睛】本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结合来解题．正n 边形的每个中心角都等于360n︒． 三、解答题1、（1（2）①见解析；②32【分析】（1）连接BD ，运用勾股定理求出BD 和AD 即可；（2）①连接OB ，OC ，OD ，证明BD 是O 的直径即可；②过点D 作DE AC ⊥于点E ，设圆的半径为R ，由勾股定理求出AB ，AD ，BC ，CD 的长，再根据ABCD ABD BCD S S S ∆∆=+运用三角形面积公式求解即可．【详解】解：（1）连接BD ，如图，在Rt BCD ∆中，BC ＝4，CD ＝2， ∵222=BD BC CD +∴BD ==在Rt ABD ∆中，AB ＝3，BD ＝， ∵222=BD BA AD +∴AD =（2）连接OB ，OC ，OD ，如图，∵45BAC ∠=︒∴90BOC ∠=°在BOC ∆和DOC ∆中OB OD OC OC BC CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴BOC ∆≌DOC ∆∴90DOC BOC ∠=∠=︒∴O 是线段BD 的中点，∴BD 为O 的直径∴90BCD BAD ∠=∠=︒∴四边形ABCD 是双直角四边形；（3）过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵45,90BAC BAD ∠=︒∠=︒∴45EAD ∠=︒∴AED ∆是等腰直角三角形在Rt AED ∆中，AE ED =，222AE ED AD +=∵1AD =∴AE ED == 设圆的半径为R ，∵BOC ∆和DOC ∆均为等腰直角三角形，∴BC CD =在Rt ADC ∆中，EC在Rt ABD ∆中，AB =∵AB AC =，AC AE EC =+=解得，21R =∴ABCD ABD BCD S S S ∆∆=+1122AB AD BC CD =⨯+⨯12=2R =132=【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形面积计算等知识，灵活添加辅助线是解答本题的难点．2、103【分析】根据垂径定理的推论，可得EM过⊙O的圆心点O，CM＝12CD＝2 ，然后设半径为x，可得OM＝6－x，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：连接OC，∵M是CD的中点，EM⊥CD，∴EM过⊙O的圆心点O，CM＝12CD＝2 ，设半径为x，∵EM＝6，∴OM＝EM－OE＝6－x，在Rt△OCM中，OM2＋CM2＝OC2，即（6－x）2＋22＝x2，解得：x＝103．∴CED所在圆的半径为103．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其推论，勾股定理是解题的关键．3、（1）见解析；（2）3AB ．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BPA＝∠BAP、∠OAC＝∠OCA．再运用等量代换说明∠OAB＝90°，即可证明结论；（2）先由勾股定理可得OP =2, 设AB ＝x ，则OB ＝x ＋2．在Rt △AOB 中运用勾股定理列方程解答即可．【详解】解：（1）证明：∵BA ＝BP ，∴∠BPA ＝∠BAP ．∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ．∵OP ⊥OC ，∴∠COP ＝90°．∴∠OPC ＋∠OCP ＝90°．∵∠APB ＝∠OPC ，∴∠BAP ＋∠OAC ＝90°．即∠OAB ＝90°，∴OA ⊥AB ．∵OA 为半径，∴AB 为⊙O 的切线；（2）在Rt △OPC 中，OC ＝4，PC ＝∴OP =2．设AB ＝x ，则OB ＝x ＋2．在Rt △AOB 中，2224(2)x x +=+，∴x ＝3,即AB ＝3．【点睛】本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键．4、（1）2b a =-；（2）①221y x x =-+；②02m ≤≤【分析】（1）当x =1时，y =a +b +c ，确定P 的坐标为（1，a +b +c ），确定函数的对称轴为x =1即b -12a=，关系确定；（2）①由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y --<，得120y y -＞， 得到x c a<时，y 随x 的增大而减小；由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y -->，得120y y -<，得到x c a＞时，y 随x 的增大而增大，判定直线x c a =是抛物线的对称轴，且a ＞0；得到1c a=，从而确定P （1，0），线y c =与抛物线交于M 、N 两点，其中一点必是抛物线与y 轴的交点，设为M （0，c ），根据PMN 为等腰直角三角形，可证△OPM 是等腰直角三角形，从而得到PO =OM =1即M （0，1），故c =a =1，b =-2a =-2即确定函数解析式；②由直线AB 恒过定点()1,1，得到直线AB 为y =1；结合抛物线与y 轴的交点为（0，1），不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点，根据对称轴为x =1，确定B 的坐标为（2，1），故AB =2，所以AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点，从而确定出圆，利用数形结合思想，可以确定圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围．【详解】（1）（1）当x =1时，y =a +b +c ，∴P 的坐标为（1，a +b +c ），∴函数的对称轴为x =1， ∴b -12a=， ∴b =-2a ；（2）①∵12c x x a<<时， ∴120x x -<，∵()()12120x x y y --<，∴120y y -＞， ∴x c a <时，y 随x 的增大而减小； ∵12cx x a <<时，∴120x x -<，∵()()12120x x y y -->，∴120y y -<， ∴x c a＞时，y 随x 的增大而增大， ∴直线x ca=是抛物线的对称轴，且a ＞0；∵函数的对称轴为x =1，∴1c a=， ∴a +b +c =2a -2a =0，∴P （1，0），PO =1，∵（0，c ）是抛物线与y 轴的交点，∴直线y =c 与抛物线交于M 、N 两点中一点必是抛物线与y 轴的交点，设为M （0，c ），则OM =c ，∵PMN 为等腰直角三角形，∴∠NMP =45°，∴∠OMP =45°，∴△OPM 是等腰直角三角形，∴PO =OM =1，∴c =a =1，b =-2a =-2，∴函数解析式为221y x x =-+； ②∵直线AB 恒过定点()1,1，∴直线AB 为y =1；∵抛物线与y 轴的交点为（0，1），∴不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点，∵对称轴为x =1，∴B 的坐标为（2，1），∴AB =2，∴AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点（1，1），作图如下，∵y=0时，直线与圆相切；y=2时，直线与圆相切；∴圆与直线y m=总有公共点时m的取值范围为0≤m≤2．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，熟练掌握抛物线的对称性，灵活判定直线与圆的位置关系是解题的关键．5、（1）45°；（2）AE+CE，理由见解析；（3【分析】（1）连接AC，证A、B、E、C四点共圆，由圆周角定理得出∠AEB＝∠ACB，证出△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝45°，进而得出结论；（2）在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数定义得出FH＝EH，进而得出结论；（3）分两种情况，由（2）得FH＝EH，由三角函数定义得出AH＝3BH＝32BE，分别表示出CE，进而得出答案．【详解】解：（1）连接AC，如图①所示：∵α＝90°，∠ABC ＝α，∠AEC ＝α，∴∠ABC ＝∠AEC ＝90°，∴A 、B 、E 、C 四点共圆，∴∠AEB ＝∠ACB ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB ＝45°，∴∠AEB ＝45°；（2）AE+CE ，理由如下：在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图②所示：∵∠ABC ＝∠AEC ，∠ADB ＝∠CDE ，∴180°﹣∠ABC ﹣∠ADB ＝180°﹣∠AEC ﹣∠CDE ，∴∠A ＝∠C ，在△ABF 和△CBE 中，AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△CBE （SAS ），∴∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，∴∠ABF +∠FBD ＝∠CBE +∠FBD ，∴∠ABD ＝∠FBE ，∵∠ABC ＝120°，∴∠FBE ＝120°，∵BF ＝BE ，∴∠BFE ＝∠BEF ＝11(180)(180120)3022FBE ︒︒︒︒⨯-∠=⨯-=， ∵BH ⊥EF ，∴∠BHE ＝90°，FH ＝EH ，在Rt△BHE 中，1,2BH BE FH EH ====，∴22EF EH ===， ∵AE ＝EF +AF ，AF ＝CE ，∴.AE CE =+；（3）分两种情况：①当点D 在线段CB 上时，在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图②所示，由（2）得：FH ＝EH ，∵tan∠DAB＝13 BHAH=，∴332AH BH BE==，∴32CE AF AH FH BE==-==，∴CEBE=；②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示，同①得：3,32FH EH AH BH BE ====，∴32CE AF AH FH BE==+==，∴CE BE综上所述，当α＝120°，1tan3DAB∠=时，CEBE【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三角形是解题的关键．。
北师大版数学九年级下第三章圆全章综合测评题
全章综合测评题一、选择题1.一个钢管放在V 形架内，如果是其截面图，（）为钢管的圆心.如果钢管的半径为25cm ，60MPN ∠=︒，则OP =（）A.50cmB.D. 2.如图，O 是ABC △的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的大小为（）A.15︒B.30︒C.45︒D.60︒3.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，ABC △的顶点都在格点上，将ABC △绕点C 顺时针旋转60︒，则顶点A 所经过的路径长为（）A.10π D.π 4.若一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的13，则它的边数是（）. A.6 B.4 C.5 D.85.直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（）.A.8或6B.10或8C.10D.8二、填空题6.已知半径为5cm 的圆的两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm ，则两弦之间的距离为________.7.如图，P 是O 外一点，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，C 是弧AB 上任意一点，过C 作O 的切线，分别交PA 、PB 于D 、E .若PDE △的周长为20cm ，则PA 长为___________.8.如图，当半径为30cm 的转动轮转过120︒角时，传送带上的物体A 向前平移的距离为____cm .9.如图，正三角形ABC 的边长为1cm ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转120︒至1AP ；将线段1BP 绕点B 顺时针旋转120︒至2BP；将线段2CP 绕点C 顺时针旋转120︒至3CP ；将线段3AP 绕点A 顺时针旋转120︒至4AP ，此时曲线1234CPP P P 的长度是_______________.10.正六边形的两对边之间的距离是12cm，则边长是____________cm.11.如图所示，在ABC△中，4BC=，以点A为圆心、2为半径的A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是A上的一点，且40∠=︒，则图中阴影部分的面积EPF为____________.三、解答题12.如图，AB是O的直径，D为AB延长线上的一点，且BD OB=，点C在O上，∠=︒.CD是O的切线吗？为什么？30CAB13.如图，AC是O的直径，PA是O的切线，A为切点，连接PC交O于点B，连接AB，且10PA=.PC=，6求：（1）O的半径；（2）cos BAC∠的值.14.Rt ABC△的斜边4AB=，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，求图中阴影部分的面积.15.如图1，2，3，…，n，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM CN=，连接OM、ON.（1）求图1中MON∠的度数；（2）图2中MON∠的度数是__________；∠的度数是_________，图3中MON（3）试探究MON∠的度数与正n边形边数n的关系.（直接写出答案）瞭望角为什么车轮做成圆的?路上行驶的各种车辆，都有圆形的轮子.中国古时候就造出了装有圆形车轮的车辆.为什么车轮要做成圆形的呢?观察图3-1，车辆在平坦的地面上行驶时，车轮O 与地面上一条直线l 是相切的，由圆的切线定义可知，在车轮向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离等于车轮的半径.如果把车厢装在过轮子中心的车轴上，那么车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳.试想一下，如果车轮不是圆的（如图3-2），坐在车上的人会是什么滋味呢？实际上，车轮做成圆的，还有其他原因.在八年级物理中，我们知道，物体滚动时，要比滑动时的摩擦小，而圆形物体是最容易滚动的.从圆形车轮出现到现在已有几千年了，它在人类进步中发挥了巨大作用，目前这个世界上已到处是车轮滚滚.创新寄语一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形.——毕达哥拉斯全章综合测评题 答案一、1.A 2.B 3.C 4.D 5.B二、6.1cm 或7cm 7.10cm 8.20π 9.20πcm 3 10. 11.84π9- 三、12.略.13.（1）4 （2）3514.解：法一：由题意知：cos45AC AB =⋅︒=连接OE ，则OE BC ⊥.90C ∠=︒，OE AC ∴∥.又OA OB =，12OE BE EC AC ∴=== ()π222OBE OEF S S S ∴=-=-阴扇形△. 法二：由对称性知，()14O S S S =-阴正方形， (221ππ242S ⎡⎤∴=-=-⎢⎥⎣⎦阴. 15.（1）解：法一：连接OB 、OC .正ABC △内接于O ，30OBM OCN ∴∠=∠=︒，120BOC ∠=︒.又BM CN =，OB OC =，OBM OCN ∴△≌△BOM CON ∴∠=∠，120MON BOC ∴∠=∠=︒.方法二：连接OA 、OB .正ABC △内接于O ，AB AC ∴=，30OAM OBN ∠=∠=︒，120AOB ∠=︒.又BM CN =，AM BN ∴=.又OA OB =，AOM BON ∴△≌△，AOM BON ∴∠=∠，120 MON AOB∴∠=∠=︒.（2）90︒，72︒. （3）360 MONn︒∠=.。
北师大版九年级数学下册第三章圆测试题
北师大版九年级数学下册第三章《圆》测试题一、选择题1. 如图所示，A、B、C是。
O上的三点，/ BAC=30则/ BOC勺大小是（）O O O O2. 如图，AB是。
O的直径，C是。
0上的一点，若AC=8,AB=10, ODL BC于点D, 则BD的长为（）3. 下列命题正确的是（）A.相等的圆心角所对的弦相等B. 等弦所对的弧相等C.等弧所对的弦相等D. 垂直于弦的直线平分弦4. 如图，A、D是。
上的两个点，BC是直径，若/ D = 35。
，则/ OAC的度数是（）A. 35°B. 55°C. 65°D. 70°5如图O是厶ABC的外接圆，已知/ B=60。
，则/ CAO勺度数是（）A. 15°B. 30°C. 45° D . 60°6. 如图，已知。
O的两条弦AC, BD相交于点E，Z A=7（J，Z c=50°,那么sin / AEB的值为（）A. 1B. -1C. 2D. 三2 3 2 27. 如图，在5X 5正方形网格中，一条圆弧经过A, B, C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A.点PB.点QC.点RD.点M8. 如图，。
0是厶ABC的外接圆，AD是。
0的直径，若。
0的半径为6, sinB=」,3 则线段AC的长是（）B.49. 如图，是的直径，点在的延长线上，切于若则等于（）A. B. C. D.10. 如图是△的外接圆，是。
的直径，若。
的半径为，，则的值是（）A. B. C. D.、填空题11. 如图，，为上的点，且，圆与相切，则圆的半径为________ .12. 如图，△ ABC内接于。
O, AC是的直径，/ AC9 50°,点D是BAC上一点，则/ D= ________________ .13. 如图，已知。
O的半径是6cm,弦CB=6「3cm, ODL BC,垂足为D,则/COB ________ .14. 中，，以点B为圆心6cm为半径作，则边AC所在的直线与的位置关系是__________ .15. 如图，一个宽为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“ 2”和“10”（单位：cm）, 那么该光盘的直径是—cm.16. 如图，AB为O O的直径，点C, D在O O上.若/ AO430°,则/ BCD勺度数是 __________ .17. 如图，AB是O O的直径，弦DC与AB相交于点E,若/ACD=60 , / ADC=50 , 则/ ABD= _____ ，/ CEB= .18. 如图6,已知AB是O O的直径，PB是O O的切线，PA交O O于C, AB=3cm PB=4cm 贝U BC= . ___19. 如图，点A B C在O O上，切线CD与OB的延长线交于点D,若/ A=30°, CD=则O O的半径长为______________ .20. 如图，扇形AOB的半径为1,Z AOB=90，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为___________ .三、解答题21. 如图，在O O中，CD是直径，AB是弦，且CD丄AB, 已知CD = 20, CM= 4,求AB.22. 已知：如图，AB是。
2022年北师大版九年级数学下册第三章 圆定向测评试题(含详细解析)
北师大版九年级数学下册第三章 圆定向测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列说法正确的是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧C ．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等D ．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径2、如图，四边形ABCD 内接于O ，若130C ∠=︒，则BOD ∠的度数为（ ）A ．50°B ．100°C ．130°D ．150°3、如图，在圆内接五边形ABCDE 中，425C CDE E EAB ∠+∠+∠+∠=︒，则CDA ∠的度数为（ ）A．75︒B．65︒C．55︒D．45︒AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后4、如图，在ABC中，90BAC︒∠=，8ABC︒∠=，30△，则图中阴影部分面积为（）得到AB C''A．4πB．8π-C．4π-D．5、如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，AB所对圆周角的是（）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC6、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，将Rt△ABC延直线l由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（）AB C D．（π深度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8、已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（）A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<29、如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC＝56°，则∠BOC的度数为（）A．28°B．102°C．112°D．128°10、如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A．2πB．4πC．2π+12D．4π+12第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分），则此扇形的圆心角等于______．1、若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是6cm2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=105°，则∠BOD=_______．3、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条OA和OC的夹角为120°，OA的长为25cm，贴纸部分的宽AB为20cm，则一面贴纸的面积为______2cm．（结果保留π）4、如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝_____．的度数是____．5、如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则ODC三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知AB是⊙O的直径，点C是圆O上一点，点P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）如果OP＝AB＝6，求图中阴影部分面积．2、（教材呈现）下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1 90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）（推论证明）已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．求证：线段AB是⊙O的直径．请你结合图①写出推论1的证明过程．（深入探究）如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为．（拓展应用）如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE．若AB＝DE的长为．3、如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点．（2）求证：AC与（1）中所做的⊙O相切．4、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（______________________）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC5、如图1，AB 为圆O 直径，点D 为AB 下方圆上一点，点C 为弧ABD 中点，连结CD ，CA ．（1）若70ABD ∠=︒，求BDC ∠的度数；（2）如图2，过点C 作CE AB ⊥于点H ，交AD 于点E ，CAD α∠=，求ACE ∠（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若5OH =，24AD =，求线段DE 的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对AC 进行判断；根据垂径定理的推论对B 进行判断；根据对称轴的定义对D 进行判断．【详解】解：A 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以本选项错误；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以本选项错误；C 、等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以本选项正确；D 、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．2、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A 的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A +∠DCB =180°，∵∠DCB =130°，∴∠A =50°，由圆周角定理得，BOD ∠=2∠A =100°，故选：B ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3、B【分析】先利用多边的内角和得到540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，可计算出115B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质求出CDA ∠的度数即可.【详解】解：∵五边形ABCDE 的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∵425EAB C CDE E ∠+∠+∠+∠=︒，∴540425115B ∠=︒-︒=︒，∵四边形ABCD 为O 的内接四边形，∴180B CDA ∠+∠=︒，∴18011565CDA ∠=︒-︒=︒.故选：B.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关键.4、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．5、C【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由图可知：AB 所对圆周角的是∠ACB 或∠ADB ，故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．6、C【分析】根据题意，画出示意图，确定出点A 的运动路径，再根据弧长公式即可求解．【详解】解：根据题意可得，Rt △ABC 的运动示意图，如下：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴60ACB ∠=︒，2BC =，AB =由图形可得，点A 的运动路线为，先以C 为中心，顺时针旋转120︒，到达点1A ，经过的路径长为120121803ππ⨯=，再以1B 为中心，顺时针旋转150︒，到达点2A ，顶点A 所经过的路径的长为23π=故选：C【点睛】 此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点A 的运动路线．7、B【分析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而得出CD 的长即可．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，如图所示：∵AB =8cm ，∴BD =12AB =4（cm ），由题意得：OB =OC =1102⨯=5cm ，在Rt △OBD 中，OD =2222543OB BD -=-=（cm ），∴CD =OC -OD =5-3=2（cm ），即水的最大深度为2cm ，故选：B ．本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8、A【分析】点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，∴OP需要满足的条件是OP>4，故选：A．【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．9、C【分析】直接由圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A＝56°，∠A与∠BOC所对的弧相同，∴∠BOC＝2∠A＝112°，故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．10、D根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】 解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒== ∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．二、填空题1、60°度【分析】 根据=180n r l π变形为n =180l rπ计算即可． 【详解】∵扇形的半径是18cm ，且它的弧长是6cm π，且=180n r l π ∴n =180l r π=180618ππ⨯⨯=60°， 故答案为：60°．【点睛】本题考查了弧长公式，灵活进行弧长公式的变形计算是解题的关键．2、150°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C 的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD 内接于O ，105A ∠=︒，∴180********C A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴2150BOD C ∠=∠=︒．故答案为：150︒．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．3、200π【分析】根据题意先求出BO ，进而分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案．【详解】解：∵OA 长为25cm ，贴纸部分的宽AB 为20cm ，∴BO =5cm ，∴贴纸的面积为S =S 扇形AOC -S 扇形BOD =22120251205360360ππ⨯⨯-=200π（cm 2）. 故答案为：200π．【点睛】本题考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．4、120︒【分析】根据圆的性质，可得OA =OB ，OC =OD ，证明△AOC ≌△BOD ，即可得答案．【详解】解：由题意可知：OA =OB ，OC =OD ，∵AC ＝BD ，∴△AOC ≌△BOD ，∵∠AOC ＝120°，∴∠BOD ＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查了圆的性质、三角形全等的判定和性质，做题的关键是证明△AOC ≌△BOD ．5、54︒【分析】根据圆内接正五边形的定义求出∠COD ，利用三角形内角和求出答案．【详解】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠COD=360725︒=︒， ∵OC=OD ，∴ODC ∠=(180)5412COD ︒-∠=︒，故答案为：54︒．【点睛】此题考查了圆内接正五边形的性质，三角形内角和定理，同圆的半径相等的性质，熟记圆内接正五边形的性质是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2【分析】（1）先由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠BAC+∠B＝90°．再由平行线的性质得∠AOP＝∠B，然后证∠P+∠AOP＝90°，则∠PAO＝90°，即可得证；AB＝3，再由扇形面积减去三角形面积即可解决问（2）先证△OAP≌△BCA（AAS），得BC＝OA＝12题．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠B，∴∠BAC+∠AOP＝90°，∵∠P＝∠BAC，∴∠P+∠AOP＝90°，∴∠PAO＝90°，∴PA⊥OA，∵OA是的⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线；（2）解：如图，连接OC，由（1）得：∠PAO ＝∠ACB ＝90°，在△OAP 和△BCA 中，PAO ACB P BAC OP BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OAP ≌△BCA （AAS ），∴OP ＝AB ＝6，BC ＝OA ＝OC ＝12AB ＝3，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∴S 扇形AOC ＝21203360π⨯＝3π， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝30°，∴OH ＝12OA ＝32， ∴AH∴AC ＝2AH ＝∴S △AOC ＝12⨯AC •OH ＝12⨯32∴图中阴影部分面积＝S 扇形AOC ﹣S △AOC 【点睛】 本题考查了切线的证明和扇形面积的计算，解题关键是熟练掌握切线证明方法和扇形面积公式．2、【推论证明】见解析；【拓展应用】1+【分析】推论证明：根据圆周角定理求出180AOB ∠=︒，即可证明出线段AB 是⊙O 的直径；深入探究：连接AB ，首先根据∠ACB ＝90°得出AB 是⊙O 的直径，然后求出30BCD ∠=︒，然后根据同弧所对的圆周角相等得到30BAD ∠=︒，然后根据30°角直角三角形的性质求出BD 的长度，最后根据勾股定理即可求出AD 的长度；拓展应用：连接AE ，作CF ⊥DE 交DE 于点F ，首先根据等边三角形三线合一的性质求出AE BC ⊥，然后证明出A ，E ，C ，D 四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出45CED CAD ∠=∠=︒，30EDC EAC ∠=∠=︒，最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可．【详解】解：推论证明：∵90C ∠=︒∴180AOB ∠=︒，∴A ，B ，O 三点共线，又∵点O 是圆心，∴AB 是⊙O 的直径；深入探究：如图所示，连接AB ，∵∠ACB ＝90°∴AB 是⊙O 的直径∴90ADB ∠=︒∵∠ACD ＝60°∴30BCD ACB ACD ∠=∠-∠=︒∵DB DB =∴30BAD BCD ∠=∠=︒∴在Rt ABD ∆中，112BD AB ==∴AD拓展应用：如图所示，连接AE ，作CF ⊥DE 交DE 于点F ，∵△ABC 是等边三角形，点E 是BC 的中点∴AE BC ⊥，1302CAE BAC ∠=∠=︒又∵以AC 为底边在三角形ABC 外作等腰直角三角形ACD ∴90ADC ∠=︒，45DAC ∠=︒∴点A ，E ，C ，D 四点都在以AC 为直径的圆上， ∵DC DC =∴45CED CAD ∠=∠=︒∵CF ⊥DE∴EFC ∆是等腰直角三角形∴EF CF =，222EF CF EC +=∴222EF EC =∵1122EC BC AB ===∴222EF =，解得：1EF =∴1FC = ∵EC EC =∴30EDC EAC ∠=∠=︒∴在Rt FCD ∆中，22CD FC ==∴DF∴1DE EF DF =+=【点睛】此题考查了圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理．3、（1）答案见解析 （2）答案见解析【分析】(1)作线段BC 的垂直平分线MN ，交AB 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O 即可；(2)连接OC ，证明∠ACB = 120°，再证明∠ACO = 90°，即可得答案．【详解】解：(1)如下图，⊙O 即为所作：(2)证明：连接OC∵△ABC中，∠A=∠B= 30°∴∠ACB= 120°由(1) 可知，OC= OB∴∠OCB=∠B = 30°∴∠ACO= 90°∴AC是⊙O的相切．【点睛】本题考查作图-垂直平分线、圆的画法，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．5、（1）35°；（2）α；（3）92【分析】（1）连结AD ，BC ，可得70ACD ∠=︒，再由C 为弧ABD 中点，可得到AC DC =．从而得到55ABC ADC ∠=∠=︒，再由AB 为圆O 直径，得到90ADB ∠=︒ ，即可求解；（2）连BC ，可得ABC ADC CAD α∠=∠=∠=，从而得到90CAB α∠=︒-，再由CE AB ⊥，即可求解；（3）连接CO 并延长交AD 于F ，由垂径定理推论，可得CF AD ⊥，1122FD AF AD ===．再由（2）ACE CAD ∠=∠，AE CE =，从而得到AH CF =，进而得到13CO AO == ，再由勾股定理可得2468AC =，再由ACE ADC △△∽．可得2AC AE AD =⨯，解得392AE =，即可求解． 【详解】解：（1）连结AD ，BC ，∵70ABD ∠=︒，∴70ACD ∠=︒，∵C 为弧ABD 中点，∴AC DC = ，∴AC DC =．∴55ABC ADC ∠=∠=︒，∵AB 为圆O 直径，∴90ADB ∠=︒ ，∴905535CDB ADB ADC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ；（2）连BC ，∵点C 为弧ABD 中点，∴AC DC = ，∴ABC ADC CAD α∠=∠=∠=，∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB α∠=︒-，又∵CE AB ⊥，∴90AHC ∠=︒ ，∴90ACE CAB α∠=︒-∠=；（3）连接CO 并延长交AD 于F ，∵C 为弧ABD 中点，∴CF AD ⊥，1122FD AF AD ===．由（2）ACE CAD ∠=∠，∴AE CE =， 由∵1122CE AH AE CF ⨯=⨯， ∴AH CF =，∵AO CO =，∴5OH OF ==，∴13AO ．∴13CO AO == ，∴18CF CO OF =+= ,∴222221812468AC AF CF =+=+=∵ACE ADC ∠=∠，CAD CAE ∠=∠，∴ACE ADC △△∽． ∴AC AE AD AC= ， ∴2AC AE AD =⨯，即24468AE =， ∴392AE =， ∴3992422DE AD AE =-=-=． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。
北师大版九年级数学下册第三章圆周周测13(3.9).doc
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】3.9弧长及扇形的面积一、选择题1. 一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（）A. 300°B. 150°C. 120°D. 75°2.已知一条弧长为，它所对圆心角的度数为，则这条弦所在圆的半径为（）A. B. C. D.3.若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°4.如图，从一块直径是2的圆形硬纸片上剪出一个圆心角为90°扇形．则这个扇形的面积为（）A. πB. πC. πD. π5.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，点B，A，C′在同一条直线上，则线段BC扫过的区域面积为（）A. B. C. D.7.如图，将一个半径为2的圆等分成四段弧，再将这四段弧围成星形，则该图形的面积与原来圆的面积之比为（）A. B. C. D.8.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.9.如图，在边长为2的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（）A. 2B.C.D. 110.如图所示，扇形AOB的圆心角120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.二、填空题11.如果扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积是________ .12.已知扇形的圆心角为120°，弧长等于一个半径为5cm的圆的周长，则扇形的面积为________．13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF2为________ ．14. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为________ ．15.如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3cm，则该扇形的弧长为________ cm，面积为________ cm2．（结果保留π）16.如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧AB对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为________.17.如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题18.一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20 s，弯道有一块限速警示牌，限速为40km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？（π取3）19.如图，半径为2的⊙E交x轴于A、B，交y轴于点C、D，直线CF交x轴负半轴于点F，连接EB、EC．已知点E的坐标为(1，1)，∠OFC＝30°．(1)求证：直线CF是⊙E的切线；(2)求证：AB＝CD；(3)求图中阴影部分的面积．20.如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．求点O所经过的路线长。
2022年精品解析北师大版九年级数学下册第三章 圆专项测评试题(无超纲)
北师大版九年级数学下册第三章 圆专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，已知O 中，50AOB ∠=︒，则圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．50°B ．25°C ．100°D ．30°2、如图，点A ，B ，C 在O 上，OAB 是等边三角形，则ACB ∠的大小为（ ）A ．60°B ．40°C ．30°D ．20°3、已知半径为5的圆，直线l 上一点到圆心的距离是5，则直线和圆的位置关系为（ ）A ．相切B ．相离C ．相切或相交D ．相切或相离4、在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法错误的是（ ）A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外5、下列图形中，△ABC 与△DEF 不一定相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．6、如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC 与CD 的关系是（ ）．A ．2AC CD =B ．2AC CD < C ．2AC CD > D ．无法比较7、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点 E ，若 ⊙O 的半径为5，CD =8，则AE 的长为（ ）A．3 B．2 C．1 D8、如图，在圆中半径OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（）A．16πB．13πC．23πD．π9、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m10、小明设计了如图所示的树型图案，它是由4个正方形、8个等边三角形和5个扇形组成，其中正方形的边长、等边三角形的边长和扇形的半径均为3，则图中扇形的弧长总和为（）A．8πB．172πC．192πD．12π第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．2、用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．3、一条弧所对的圆心角为120︒，弧长等于6cmπ，则这条弧的半径为________．4、一个扇形的半径为4，圆心角为135°，则此扇形的弧长为 _____．5、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则∠BPC的度数为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知等边ABC∆内接于⊙O，D为BC的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD 的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB的长为6，求CE的长．⊥于点D，过点C作O 2、如图，AB为O的直径，点C在O上，连接AC，BC，过点O作OD BC的切线交OD的延长线于点E．（1）求证：E B∠=∠；BC=，求AD的长．（2）连接AD．若CE=83、如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D为半径OA上一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，交BC的延长线于点P，点F在线段PE上，且PF＝CF．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）连接AP 与⊙O 相交于点G ，若∠ABC ＝2∠PAC ，求证：AB ＝BP ；（3）在（2）的条件下，若AC ＝4，BC ＝3，求CF 的长．4、如图，AB 是O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，D 是AC 的中点，DE BC ⊥交BC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若10AB =，8BC =，求BD 的长．5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212y x bx =+． （1）求抛物线顶点Q 的坐标；（用含b 的代数式表示）（2）抛物线与x 轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点A ，B ，与x 轴交于点K ．①判断△AOB 的形状，并说明理由；②已知E （2，0），F （4，0），设△AOB 的外心为M ，当点K 在线段EF 上时，求点M 的纵坐标m 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据圆周角定理，即可求解．【详解】 解：∵1,502ACB AOB AOB ∠=∠∠=︒ ， ∴25ACB ∠=︒ ．故选：B【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．2、C【分析】由OAB ∆为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵OAB ∆为等边三角形，∴∠AOB =60°，∴ACB ∠=12∠AOB =12×60°=30°．故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．3、C【分析】根据若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切．【详解】解：∵半径为5的圆，直线l上一点到圆心的距离是5，∴圆心到直线的距离等于或小于5，∴直线和圆的位置关系为相交或相切，故选：C．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d＝r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．4、A【分析】根据数轴以及圆的半径可得当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，进而根据点到圆心的距离与半径比较即可求得点与圆的位置关系，进而逐项分析判断即可【详解】解：∵圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选A．【点睛】本题考查了数轴，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．5、A【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答．【详解】解：A、当EF与BC不平行时，△ABC与△DEF不一定相似，故本选项符合题意；B、由∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠EDF可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；C、由圆周角定理推知∠B=∠F，又由对顶角相等得到∠ACB=∠EDF，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；D、由圆周角定理得到：∠ACB=90°，所以根据∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题时，需要熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定定理．6、B【分析】==，再根据三角形三边关系可得结论．连接AB，BC，根据AB BC CD==得AB BC CD【详解】解：连接AB ，BC ，如图，∵AB BC CD ==∴AB BC CD ==又AB BC AC +>∴2AC CD <故选：B【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．7、B【分析】连接OC ，由垂径定理，得到CE =4，再由勾股定理求出OE 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：连接OC ，如图∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点 E ，CD =8，∴118422CE CD ==⨯=，∵5AO CO ==，∴3OE ，∴532AE =-=；故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3OE =．8、C【分析】连接OA ，OB ，根据平行线的性质确定OAB CAB S S =△△，再根据AB =CO 和圆的性质确定OAB 是等边三角形，进而得出60AOB ∠=︒，最后根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：如下图所示，连接OA ，OB ．∵OC AB ∥，∴OAB CAB S S =△△．∴S 阴=S 扇形AOB ．∵AO ，BO ，CO 都是O 的半径，∴AO =BO =CO ．∵AB =CO =2，∴AO =BO =AB =2．∴OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∴S 阴=S 扇形AOB =260223603ππ⨯=． 故选：C【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定定理，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．9、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB 为直径构造，设圆心为O ，当O ，P 共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB 为直径构造，设圆心为O ，过点B 作BC ⊥l ，垂足为C ，∵A ，P 分别位于B 的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．10、C【分析】如图（见解析），先分别求出扇形①、②、③、④和⑤的圆心角的度数，再利用弧长公式即可得．【详解】解：如图，扇形①、③和⑤的圆心角的度数均为360906060150︒-︒-︒-︒=︒，扇形②和④的圆心角的度数均为180606060︒-︒-︒=︒，则图中扇形的弧长总和150********322 18018022πππππ⨯⨯⨯+⨯=+=，故选：C．【点睛】 本题考查了求弧长，熟记弧长公式（180n r l π=，其中l 为弧长，n ︒为圆心角的度数，r 为扇形的半径）是解题关键．二、填空题1、六【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：∵半径与边长相等，∴这个三角形是等边三角形，∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，∴这个正多边形是正六边形故答案为：六．【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键． 2、1【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r ，列出方程求解即可得．【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：12222ππ⨯⨯=，∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π设圆锥的底面圆的半径为r ，则：22r ππ=， 解得：1r =，故答案为：1．【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．3、9cm【分析】 由弧长公式180n r l π=即可求得弧的半径． 【详解】 ∵180n r l π= ∴18018069(cm)120l r n πππ⨯===故答案为：9cm【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．4、3π【分析】根据弧长的计算公式计算即可．【详解】解：扇形弧长为：1354180π︒⋅⋅︒＝3π．故填：3π．【点睛】本题主要考查了扇形的弧长计算，牢记扇形的弧长公式成为解答本题的关键．5、45°度【分析】连接OB、OC，根据正方形的性质得到∠BOC的度数，利用圆周角与圆心角的关系得到答案．【详解】解：连接OB、OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=1452BOC∠=︒，故答案为：45°．【点睛】此题考查了圆内接正方形的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记各知识点是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）3【分析】（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=12BC＝3．【详解】解：（1）证明：如图连接OC、OB．∵ABC∆是等边三角形∴ 60A ABC∠=∠=∵//AB CE∴ 60BCE ABC︒∠=∠=又∵OB OC=∴30OBC OCB︒∠=∠=∴90OCE OCB BCE︒∠=∠+∠=∴OC CE⊥∴CE与⊙O相切；（2）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180A BCD ︒∠+∠=∴120BDC ︒∠=∵D 为BC 的中点，∴30DBC BCD ∠=∠=︒∴90ABE ABC DBC ∠=∠+∠=︒∵//AB CE∴90E ∠=︒ ∴11322CE BC AB === 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．2、（1）证明见解析；（2）AD =4【分析】（1）连接OC 通过垂径定理和等腰三角形性质证明∠E =∠B（2）连接AD 通过计算发现BC =EC ，再通过证明△CED ≌△ABC 得到AC =DC =4．【详解】（1）证明：连接OC 如图：OD⊥CB∴OB=OC，∠B=OCD又CE为圆O的切线∴OC⊥CE∴∠ECD+∠DCO=∠ECD+∠E=90°∴∠E=∠DCO=∠B∴∠E=∠B（2）连接AD如图∵△EDC为R t△∴DE由（1）得∠E=∠B又AB 为直径∴∠BCA =90°在△CED 和△ABC 中∵B E EDC BCA ED BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CED ≌△ABC （AAS ）∴AC =DC =12BC =4【点睛】本题考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．3、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）54【分析】（1）连接OC ，由题意知90ACB ACP ∠=︒=∠，OAC OCA ∠=∠，PCF OCA ∠=∠，90PCF ACF ∠+∠=︒，90OCA ACF ∠+∠=︒；可得OC CF ⊥，进而说明CF 是O 的切线． （2）连接BG ，同弧所对圆周角PAC PBG ∠∠，相等，22=+PBA PAC PBG PBG ABG ∠=∠=∠∠∠有，ABG PBG ∠=∠，进而说明AB BP =．（3）勾股定理知5AB BP ==，2PC =，有Rt PAC Rt APD ≌，知24AD PC PD AC ====、，PAC APD ∠=∠，AE PE =；在Rt AED △中用勾股定理求出DE 的长，求出EP 的长，通过角度关系得出PEC FCE ∠=∠，故有EF CF PF ==，进而求出CF 的值．【详解】解：（1）证明：如图所示，连接OC ，OC 为半径ABC是O的内接三角形，且AB是直径∴∠=︒=∠ACB ACP90⊥PD AB∴在Rt ABC和Rt PBD中，有BAC BPD∠=∠=OA OC∴∠=∠OAC OCAPF CF=∴∠=∠PFC PCF∴∠=∠PCF OCA又90PCF ACF∠+∠=︒∴∠+∠=︒OCA ACF90⊥即OC CFOC是半径CF∴是O的切线．（2）证明：如图连接BGGC GC =PAC PBG ∴∠=∠22=+PBA PAC PBG PBG ABG ∠=∠=∠∠∠ABG PBG ∴∠=∠ AB 为直径90AGB PGB ∴∠=∠=︒APB PAB ∴∠=∠AB BP ∴=（3）在Rt ABC 中43AC BC ==、5AB ∴5BP AB ∴==2PC ∴=在Rt PAC △和Rt APD 中90PDA PCA APC PADPA PA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()Rt PAC Rt APD AAS ∴≌2AD PC ∴==，4PD AC ==，PAC APD ∠=∠AE PE ∴=设DE x =，4AE PE x ==-在Rt AED △中，有222AD DE AE +=，2222(4)x x +=- 解得32x = 542EP x ∴=-= 90PEC EPC ∠=︒-∠，90FCE PCF ∠=︒-∠PEC FCE ∴∠=∠EF CF PF ∴==1524CF EP ∴== ∴15=24CF EP =【点睛】本题考查了切线、圆周角、三角形全等、等腰三角形、勾股定理等知识．解题的关键与难点在于角度等量关系的转化．4、（1）见详解；（2）【分析】（1）连接OD ，由圆周角定理可得∠AOD =∠ABC ，从而得OD ∥BC ，进而即可得到结论；（2）连接AC ，交OD 于点F ，利用勾股定理可得AC 6=，4OF =，再证明四边形DFCE 是矩形，进而即可求解．【详解】（1）证明：连接OD ，∵D是AC的中点，∴∠ABC=2∠ABD，∵∠AOD=2∠ABD，∴∠AOD=∠ABC，∴OD∥BC，⊥，∵DE BC⊥，∴DE OD∴DE是O的切线；（2）连接AC，交OD于点F，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AC6，∵D是AC的中点，∴OD⊥AC，AF=CF=3，∴4OF===，∴DF=5-4=1，∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°，∴四边形DFCE是矩形，∴DE=CF=3，CE=DF=1，∴CD=∴AD=CD∵∠ADB=90°，∴BD=【点睛】本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解题的关键．5、（1）（-b，-12b2）；（2）①直角三角形，见解析；②94≤m≤3【分析】（1）y=12x2+bx=12（x+b）2-12b2，即可求解；（2）①求出抛物线的表达式为y=12x2，联立y=12x2和y=kx+2并整理得：x2-2kx-4=0，证明△ADO∽△OEB，即可求解；②△AOB的外心为M，则点M是AB的中点，MP是梯形BADG的中位线，则m=k2+2，进而求解．【详解】解：（1）∵y=12x2+bx=12（x+b）2-12b2，∴抛物线的顶点Q坐标为（-b，-12b2）；（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△=b2-4×12×0=0，解得b=0，∴抛物线的表达式为y=12x2，如下图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、G，设经过点（0，2）的直线的表达式为y=kx+2，联立y=12x2和y=kx+2并整理得：x2-2kx-4=0，则x1+x2=2k，x1x2=-4，∴y1=12x12，y2=12x22，则y1y2=14x12x22=4=-x1x2，∵AD=y1，DO=-x1，BE=y2，OE=x2，∴AD OD OE BE，∴∠ADO=∠BEO=90°，∴△ADO∽△OEB，∴∠AOD=∠OBE，∵∠OBG+∠BOG=90°，∴∠BOG+∠AOD=90°，即AO⊥BO，∴△AOB为直角三角形；②过点A作x轴的平行线交EB的延长线于点H，过点M作MN与y轴平行，交AH于N，∵△AOB的外心为M，MN∥y轴∥BH，∴点M是AB的中点，MP是梯形ABGD的中位线，∴MP=12（AD+BG）=12（y2+y1），则m=MP=12（y1+y2）=12（kx1+2+kx2+2）=12[k（x1+x2）+4]=k2+2，令y=kx+2=0，解得x=-2k，即点K的坐标为（-2k，0），由题意得：2≤-2k≤4，解得-1≤k≤12且k≠0，∴94≤k2+2≤3，即点M的纵坐标m的取值范围94≤m≤3．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2022年北师大版九年级数学下册第三章 圆章节测评试题(含详细解析)
北师大版九年级数学下册第三章 圆章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2、若O 是ABC 的内心，当80A ∠=︒时，BOC ∠=（ ）A ．130°B ．160°C ．100°D ．110°3、小明设计了如图所示的树型图案，它是由4个正方形、8个等边三角形和5个扇形组成，其中正方形的边长、等边三角形的边长和扇形的半径均为3，则图中扇形的弧长总和为（ ）A．8πB．172πC．192πD．12π4、如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，则⊙O的半径为（）A．4.8 B．5 C．D．5、如图，⊙O中，半径OC⊥AB于D，且CD＝2，弦AB＝8，则⊙O的半径的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．66、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝37°，则∠AOB的度数是（）A．73°B．74°C．64°D．37°7、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，△ABC绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于（）A．4πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．15πcm29、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54°B．56°C．64°D．66°10、如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠ACB ＝40°，则∠AOB 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、线段4OA =，绕点O 顺时针旋转45°，则点A 走过的路径长为______．2、Rt ABC 的两条直角边分别是一元二次方程27120x x -+=的两根，则ABC 的外接圆半径为_____．3、如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长为8π，则正六边形的边长为________．4、如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，8CD =，5OA =，则AH 的长为________．5、在半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长等于_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的纵坐标为a b c ++．（1）求a ，b 应满足的数量关系；（2）若抛物线上任意不同两点()11,A x y ，()22,B x y 都满足：当的12c x x a <<时，()()12120x x y y --<；当12cx x a <<时，()()12120x x y y -->．直线y c =与抛物线交于M 、N 两点，且PMN 为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式②若直线AB 恒过定点()1,1，且以AB 为直径的圆与直线y m =总有公共点，求m 的取值范围．2、下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，ABC ．求作：直线BD ，使得BD AC ∥．作法：如图，①分别作线段AC ，BC 的垂直平分线1l ，2l ，两直线交于点O ；②以点O为圆心，OA长为半径作圆；③以点A为圆心，BC长为半径作孤，交AB于点D；④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接AD，=，∵点A，B，C，D在O上，AD BC∴AD=______．∠=∠（______）（填推理的依据）．∴DBA CAB∥．∴BD AC3、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∴∠BAC＝1∠CAD2∵点D，P在⊙A上，∠CAD（______________________）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC4、如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A、点B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；O的半径．（2）若AD＝5、如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB 上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°，tan∠DAB＝13时，请直接写出CEBE的值．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,CA CB=，点O为AB中点．CO AB∴⊥CO 为⊙C 的半径，AB ∴是C 的切线，∴⊙C 与AB 的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．2、A【分析】由三角形内角和以及内心定义计算即可【详解】∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∴100ABC ACB ∠+∠=︒又∵O 是ABC 的内心∴OB 、OC 为ABC ACB ∠∠、角平分线，∴OBC OCB ∠+∠1()502ABC ACB =∠+∠=︒ ∴BOC ∠=180°()OBC OCB -∠+∠=180°-50°=130°故选：A ．【点睛】本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．3、C【分析】如图（见解析），先分别求出扇形①、②、③、④和⑤的圆心角的度数，再利用弧长公式即可得．【详解】解：如图，扇形①、③和⑤的圆心角的度数均为360906060150︒-︒-︒-︒=︒，扇形②和④的圆心角的度数均为180606060︒-︒-︒=︒， 则图中扇形的弧长总和1503603151932218018022πππππ⨯⨯⨯+⨯=+=， 故选：C ．【点睛】 本题考查了求弧长，熟记弧长公式（180n r l π=，其中l 为弧长，n ︒为圆心角的度数，r 为扇形的半径）是解题关键．4、B【分析】连接EO ，延长EO 交CD 于F ，连接DO ，设半径为x ．构建方程即可解决问题．【详解】解：设⊙O 与AB 相切于点E ．连接EO ，延长EO 交CD 于F ，连接DO ，再设⊙O 的半径为x ．∵AB 切⊙O 于E ，∴EF ⊥AB ，∵AB ∥CD ，∴EF ⊥CD ，∴∠OFD =90°，在Rt △DOF 中，∵∠OFD =90°，OF 2+DF 2=OD 2，∴（8-x ）2+42= x 2，∴x =5，∴⊙O 的半径为5．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5、C【分析】根据垂径定理得出AD =BD =118422AB ，设⊙O 的半径的长为x ，根据勾股定理222OB OD BD =+，即()22224x x =-+，解方程即可．【详解】解：∵半径OC ⊥AB 于D ，弦AB ＝8，∴AD =BD =118422AB ， 设⊙O 的半径的长为x ，∴OD =OC -CD =x -2，在Rt△ODB 中，根据勾股定理222OB OD BD =+，即()22224x x =-+，解得x =5，∴⊙O 的半径的长为5．故选择C ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解拓展一元一次方程，掌握垂径定理，勾股定理，解拓展一元一次方程是解题关键．6、B【分析】根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知∠AOB =2∠ACB =74°，即可得出答案．【详解】解：由图可知，∠AOB 在⊙O 中为AB 对应的圆周角，∠ACB 在⊙O 中为AB 对应的圆心角，故：∠AOB =2∠ACB =74°．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概念是解本题的关键．7、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．8、D【分析】圆锥的侧面积S rl π=侧，确定r l 、的值，进而求出圆锥侧面积．【详解】解：S rl π=侧，35r BC l AB ====、 23515cm S rl πππ∴==⨯⨯=侧故选D ．【点睛】本题考察了圆锥侧面积．解题的关键与难点在于确定r l 、的值．9、A【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠BCD＝36°，∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10、D【分析】由∠ACB=40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．【详解】解：∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．二、填空题1、π【分析】直接根据题意及弧长计算公式可进行求解．【详解】解：由题意得：点A 走过的路径长为454180180n r πππ⨯==； 故答案为π．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．2、2.552【分析】根据题意先解一元二次方程，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案．【详解】解：27120x x -+=， ()()340x x --=，解得123,4x x ==，∴Rt ABC 的两条直角边分别为3，4，∴，直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，∴ABC 的外接圆半径为52． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形的外心是斜边的中点是解答此题的关键． 3、4【分析】由周长公式可得⊙O 半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF 中心角为60︒，即可知正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF 边长．【详解】∵⊙O 的周长为8π∴⊙O 半径为4∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O∴正六边形ABCDEF 中心角为360606︒=︒ ∴正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF 边长为4.故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正n 边形的每个中心角都等于360n︒，由中心角为60︒得出正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．4、8【分析】如图所示，连接OC ，由垂径定理可得1=42CH DH CD ==，再由勾股定理求出OH ，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC ，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD=8，∴1=42CH DH CD==，∠OHC=90°，∵OC=OA=5，∴OH，∴AH=OA+OH=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．5、π【分析】弧长公式为l＝n180rπ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．【详解】解：半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长＝603180π⨯＝π，故答案为：π．【点睛】本题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．三、解答题1、（1）2b a =-；（2）①221y x x =-+；②02m ≤≤【分析】（1）当x =1时，y =a +b +c ，确定P 的坐标为（1，a +b +c ），确定函数的对称轴为x =1即b -12a=，关系确定；（2）①由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y --<，得120y y -＞， 得到x c a<时，y 随x 的增大而减小；由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y -->，得120y y -<，得到x c a＞时，y 随x 的增大而增大，判定直线x c a =是抛物线的对称轴，且a ＞0；得到1c a=，从而确定P （1，0），线y c =与抛物线交于M 、N 两点，其中一点必是抛物线与y 轴的交点，设为M （0，c ），根据PMN 为等腰直角三角形，可证△OPM 是等腰直角三角形，从而得到PO =OM =1即M （0，1），故c =a =1，b =-2a =-2即确定函数解析式；②由直线AB 恒过定点()1,1，得到直线AB 为y =1；结合抛物线与y 轴的交点为（0，1），不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点，根据对称轴为x =1，确定B 的坐标为（2，1），故AB =2，所以AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点，从而确定出圆，利用数形结合思想，可以确定圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围．【详解】（1）（1）当x =1时，y =a +b +c ，∴P 的坐标为（1，a +b +c ），∴函数的对称轴为x =1， ∴b -12a=， ∴b =-2a ；（2）①∵12c x x a<<时，∴120x x -<，∵()()12120x x y y --<，∴120y y -＞， ∴x c a <时，y 随x 的增大而减小； ∵12cx x a <<时，∴120x x -<，∵()()12120x x y y -->，∴120y y -<， ∴x c a＞时，y 随x 的增大而增大， ∴直线x ca=是抛物线的对称轴，且a ＞0；∵函数的对称轴为x =1， ∴1c a=， ∴a +b +c =2a -2a =0，∴P （1，0），PO =1，∵（0，c ）是抛物线与y 轴的交点， ∴直线y =c 与抛物线交于M 、N 两点中一点必是抛物线与y 轴的交点， 设为M （0，c ），则OM =c ，∵PMN 为等腰直角三角形， ∴∠NMP =45°，∴∠OMP =45°，∴△OPM 是等腰直角三角形， ∴PO =OM =1，∴c =a =1，b =-2a =-2，∴函数解析式为221y x x =-+； ②∵直线AB 恒过定点()1,1， ∴直线AB 为y =1；∵抛物线与y 轴的交点为（0，1）， ∴不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点， ∵对称轴为x =1，∴B 的坐标为（2，1），∴AB =2，∴AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点（1，1）， 作图如下，∵y =0时，直线与圆相切；y =2时，直线与圆相切；∴圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围为0≤m ≤2．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，熟练掌握抛物线的对称性，灵活判定直线与圆的位置关系是解题的关键．2、（1）作图见解析；（2）,BC 在同圆中，等弧所对的圆周角相等【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；（2）由作图可得AD BC =，证明AD BC =，利用圆周角定理可得DBA CAB ∠=∠，从而可得答案.【详解】解：（1）如图，直线BD 就是所求作的直线（2）证明：连接AD，=，∵点A，B，C，D在O上，AD BC∴AD BC=．∠=∠（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．∴DBA CAB∥．∴BD AC故答案为：,BC在同圆中，等弧所对的圆周角相等【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键.3、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．4、（1）见详解；（2）4．【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=60°，求得∠BAC=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO=∠OAB=30°，于是得到结论；，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∵BE=AB，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=60°，∴∠E=∠BAE=30°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠OBC=30°+60°=90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=23，过O 作OH ⊥AM 于H ，则四边形OBCH 是矩形，∴OH =BC∴OA =sin 60OH ︒=4， ∴ ⊙O 的半径为4．【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5、（1）45°；（2）AE +CE ，理由见解析；（3【分析】（1）连接AC ，证A 、B 、E 、C 四点共圆，由圆周角定理得出∠AEB ＝∠ACB ，证出△ABC 是等腰直角三角形，则∠ACB ＝45°，进而得出结论；（2）在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，证△ABF ≌△CBE （SAS ），得出∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，由等腰三角形的性质得出FH ＝EH ，由三角函数定义得出FH ＝EH ，进而得出结论；（3）分两种情况，由（2）得FH ＝EH ，由三角函数定义得出AH ＝3BH ＝32BE ，分别表示出CE ，进而得出答案．【详解】解：（1）连接AC ，如图①所示：∵α＝90°，∠ABC ＝α，∠AEC ＝α，∴∠ABC ＝∠AEC ＝90°，∴A 、B 、E 、C 四点共圆，∴∠AEB ＝∠ACB ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB ＝45°，∴∠AEB ＝45°；（2）AE+CE ，理由如下：在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图②所示：∵∠ABC ＝∠AEC ，∠ADB ＝∠CDE ，∴180°﹣∠ABC ﹣∠ADB ＝180°﹣∠AEC ﹣∠CDE ，∴∠A ＝∠C ，在△ABF 和△CBE 中，AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△CBE （SAS ），∴∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，∴∠ABF +∠FBD ＝∠CBE +∠FBD ，∴∠ABD ＝∠FBE ，∵∠ABC ＝120°，∴∠FBE ＝120°，∵BF ＝BE ，∴∠BFE ＝∠BEF ＝11(180)(180120)3022FBE ︒︒︒︒⨯-∠=⨯-=， ∵BH ⊥EF ，∴∠BHE ＝90°，FH ＝EH ，在Rt△BHE 中，1,2BH BE FH EH ====，∴22EF EH ===， ∵AE ＝EF +AF ，AF ＝CE ，∴.AE CE =+；（3）分两种情况：①当点D 在线段CB 上时，在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图②所示，由（2）得：FH ＝EH ， ∵tan∠DAB ＝13BH AH =， ∴332AH BH BE ==，∴32CE AF AH FH BE ==-==，∴CE BE =； ②当点D 在线段CB 的延长线上时，在射线AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图③所示，同①得：3,32FH EH AH BH BE ====，∴32CE AF AH FH BE ==+==，∴CE BE综上所述，当α＝120°，1tan 3DAB ∠=时，CE BE 【点睛】 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三角形是解题的关键．。
2021-2022学年最新北师大版九年级数学下册第三章 圆专项测评试卷(无超纲带解析)
北师大版九年级数学下册第三章 圆专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，连接OA ，OB ，AC ，BC ，如果OA ⊥OB ，那么∠C 的度数为（ ）A ．22.5°B ．45°C ．90°D ．67.5°2、如图，菱形ABCD 中，60C ∠=°，2AB =．以A 为圆心，AB 长为半径画BD ，点P 为菱形内一点，连PA ，PB ，PD ．若PA PB =，且120APB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．23y π=B ．23y π=C ．23y π=D ．23y π=3、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l 距离都为20 m 的宋代碑刻A ，B ，在小路l 上有一座亭子P ． A ，P 分别位于B 的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A ，B 原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P 到湖岸的最短距离是（ ）A ．20 mB ．mC ．（ - 20）mD ．（m4、如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝3，CO ＝4，则OF 的长为（ ）A ．5B ．95C ．165D ．1255、如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，点P 是AE 的一点，则∠CPD 的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°6、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角50C ∠=︒，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A ，B 的张角ASB ∠应满足的条件是（ ）A ．sin sin 25ASB ∠>︒ B ．sin sin50ASB ∠>︒C ．sin sin55ASB ∠>︒D ．cos cos50ASB ∠>︒7、如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且⊙O 1经过⊙O 2的圆心，则∠O 1AB 的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．20°D ．15°8、如图，四边形ABCD 内接于O ，若130C ∠=︒，则BOD ∠的度数为（ ）A ．50°B ．100°C ．130°D ．150°9、如图，正ABC 的边长为3cm ，边长为1cm 的正RPQ 的顶点R 与点A 重合，点P ，Q 分别在AC ，AB 上，将RPQ 沿着边AB ，BC ，CA 连续翻转（如图所示），直至点P 第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为（ ）A ．cm πB ．2cm πC ．3cm πD ．6cm π10、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，△ABC 绕AC 所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于（ ）A ．4πcm 2B ．8πcm 2C ．12πcm 2D ．15πcm 2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的圆O 交BC 边于点D ．要使得圆O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是 _________ ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > 12AB ；④12AB < DE ． 2、如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，点A 、点B 为切点，线段OP 交⊙O 于点M ．下列结论：①PA ＝PB ；②OP ⊥AB ；③四边形OAPB 有外接圆；④点M 是△AOP 外接圆的圆心．其中正确的结论是_____（填序号）．3、如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，∠C =30°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，若BC =4，则图中阴影部分面积为___________（用含π的代数式表示）．4、如图，它是在纸板上剪下的一个半圆和一个圆形，它们恰好能组成一个圆锥模型．已知半圆的半径为1，则该圆锥的侧面积是 _____．5、如图，点D是⊙O上一点，C是弧AB的中点，若∠ACB＝116°，则∠BDC的度数是_____°．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB是⊙O的直径，DB DE，连接DE、DB，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O 的切线交AB的延长线于点C．（1）求证：DE＝DM；（2）若OA＝CD＝2、如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点．（2）求证：AC与（1）中所做的⊙O相切．3、在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，点A 在O 上，点P 在O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交O 于点B ，若AP kAB =，则称点P 是点A 关于O 的k 倍特征点．（1）如图，点A 的坐标为()1,0．①若点P 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点P 是点A 关于O 的_______倍特征点；②在110,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，311,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭这三个点中，点_________是点A 关于O 的12倍特征点；③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，60DAO ∠=︒.点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于O 的12倍特征点，求点E 的坐标；（2）若当k 取某个值时，对于函数()101y x x =-+<<的图象上任意一点M ，在O 上都存在点N ，使得点M 是点N 关于O 的k 倍特征点，直接写出k 的最大值和最小值．4、如图，AB 是O 的直径，弦AC BC =，E 是OB 的中点，连接CE 并延长到点F ，使EF CE =，连接AF 交O 于点D ，连接BD ，BF ．（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若AF长为O的半径及BD的长．5、（问题背景）如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；（迁移应用）如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE 是等边三角形；（拓展创新）如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4√3，请直接写出MC的最小值．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得． 【详解】 解：∵OA OB ⊥， ∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒， 故选：B ． 【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键． 2、C 【分析】过点P 作PM AB ⊥交于点M ，由菱形ABCD 得60DAB C ∠=∠=︒，2AB AD ==，由PA PB =，120APB ∠=︒得112AM AB ==，1602APM APB ∠=∠=︒，故可得30PAM ∠=︒，603030PAD DAB PAM ∠=∠-∠=︒-︒=︒，根据SAS 证明ABP ADP ≅，求出PM =ABPADPABD S S SS=--阴扇形．【详解】如图，过点P 作PM AB ⊥交于点M ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴60DAB C ∠=∠=︒，2AB AD ==，∵PA PB =，120APB ∠=︒， ∴112AM AB ==，1602APM APB ∠=∠=︒， ∴30PAM ∠=︒，603030PAD DAB PAM ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 在ABP △与ADP △中，AB ADPAB PAD AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABP ADP SAS ≅， ∴ABP ADP S S =△△，在Rt AMP △中，30PAM ∠=︒， ∴2AP PM =，222AP PM AM =+，即2241PM PM =+，解得：PM =∴260211222360223ABP ADPABD S S S Sππ⋅=--=-⨯⨯=阴扇形 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及求不规则图形的面积等知识，掌握扇形的面积公式是解答此题的关键． 3、D 【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB 为直径构造，设圆心为O ，当O ，P 共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB 为直径构造，设圆心为O ，过点B 作BC ⊥l ，垂足为C ，∵A ，P 分别位于B 的西北方向和东北方向，∴∠ABC =∠PBC =∠BOC =∠BPC =45°，∴OC =CB =CP =20，∴OP =40，OB∴最小的距离PE =PO -OE m ），故选D ．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．4、D【分析】连接OF ，OE ，OG ，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠，利用平行线的性质及角之间的关系得出90BOC ∠=︒，利用勾股定理得出5BC =，再由三角形的等面积法即可得．【详解】解：连接OF ，OE ，OG ，∵AB 、BC 、CD 分别与O 相切，∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，且OE OF OG ==，∴OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠， ∴12OBC ABC ∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180ABC BCD ∠+∠=︒， ∴119022OBC BCO ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90BOC ∠=︒，5BC =，∴S SSSS =12SS ·SS =12SS ·SS ， ∴341255OF ⨯==，【点睛】题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．5、B【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；【详解】解：如图，连接OC，OD．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD＝3605＝72°，∴∠CPD＝12∠COD＝36°，故选：B【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6、D本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【详解】如图，AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．∴cos∠ASB＞cos50°，故选：D．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7、B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得△AO2O1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答．【详解】解：连接O1O2，AO2，O1B，∵O 1B = O 1A ∴112112O AB O BA AO O ∠=∠=∠∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO 2O 1是等边三角形，∴∠AO 2O 1=60°，∴∠O 1AB =12∠AO 2O 11602=⨯︒ =30°． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△AO 2O 1是等边三角形是解题关键．8、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A 的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A +∠DCB =180°，∵∠DCB =130°，∴∠A =50°，由圆周角定理得，BOD ∠=2∠A =100°，【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9、B【分析】从图中可以看出在AB 边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P 为圆心，所以没有路程，同理在AC 和BC 上也是相同的情况，由此求解即可．【详解】解：从图中可以看出在AB 边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=1201180⨯π，第二次是以点P 为圆心，所以没有路程，在BC 边上，第一次1201180⨯π，第二次同样没有路程，AC 边上也是如此，点P 运动路径的长为1201180⨯π×3=2π． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P 点的运动轨迹．10、D【分析】圆锥的侧面积S rl π=侧，确定r l 、的值，进而求出圆锥侧面积．【详解】解：S rl π=侧，35r BC l AB ====、 23515cm S rl πππ∴==⨯⨯=侧故选D ．本题考察了圆锥侧面积．解题的关键与难点在于确定r l 、的值．二、填空题1、②④【分析】将所给四个条件逐一判断即可得出结论．【详解】解：在ΔABC 中，AB AC =①当∠BAC > 60°时，若90BAC ∠=︒时，点E 与点A 重合，不符合题意，故①不满足；②当∠ABC 45≤︒时，点E 与点A 重合，不符合题意，当∠ABC 60>︒时，点E 与点O 不关于AD 对称，当4560ABC ︒<∠≤︒时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，所以，当45° < ∠ABC < 60°时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故②满足条件；③当12AB BD AB ≤<时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故③不满足条件；④当12AB < DE 时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故④满足条件； 所以，要使得O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或12AB < DE 故答案为②④【点睛】本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键．2、①②③【分析】根据切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可判断③，利用反证法判断④．【详解】 解：如图， ,PA PB 是O 的两条切线，,,PA PB APO BPO ∴=∠=∠ 故①正确，,,PA PB APO BPO =∠=∠,PO AB ∴⊥ 故②正确，,PA PB 是O 的两条切线，90,OAP OBP ∴∠=∠=︒取OP 的中点Q ，连接,AQ BQ ，则1,2AQ OP BQ == ∴以Q 为圆心，QA 为半径作圆，则,,,B O P A 共圆，故③正确，M 是AOP 外接圆的圆心，,MO MA MP AO ∴===60,AOM ∴∠=︒ 与题干提供的条件不符，故④错误，综上：正确的说法是①②③．故填①②③．【点睛】 本题属于圆的综合题，主要考查的是切线长定理、三角形的外接圆、四边形的外接圆等知识点，综合运用圆的相关知识是解答本题的关键．3、3π【分析】连接OD ，根据阴影部分面积为OBD ODA S S +△扇形，根据等边三角形的面积，扇形面积公式进行计算即可【详解】解：如图，连接OD,30AB AC C ⊥∠=︒，4BC =，16022B AB BC ∴∠=︒==，， AB 为直径112OB OD AB ∴=== OBD ∴△是等边三角形60BOD ∴∠=︒180120AOD BOD ∴∠=︒-∠=︒21OBD S ∴==△ ∴阴影部分面积为OBD ODA S S +△扇形212013603ππ⨯=+=故答案为：3π【点睛】 本题考查了求扇形面积，添加辅助线将阴影部分面积转化为OBD ODA S S +△扇形是解题的关键． 4、2π 【分析】首先根据题意可确定组成的圆锥侧面刚好为该半圆形，所以求出该半圆形的面积即为该圆锥的侧面积．【详解】解：由题意，半圆为该圆锥的侧面，完整的圆形为该圆锥的底面，∴半圆形的面积即为该圆锥的侧面积，∵半圆的半径为1， ∴2122S S ππ⨯===侧面半圆， 故答案为：2π． 【点睛】 本题考查圆锥的侧面积计算，本题中理解组成的圆锥侧面恰好为半圆形是解题关键．5、32【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠ADB +∠ACB ＝180°，求出∠ADB ＝64°，根据C 是弧AB 的中点求出AC BC =，根据圆周角定理得出∠BDC ＝∠ADC ＝12ADB ，再求出答案即可．【详解】解：∵A、C、B、D四点共圆，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ACB＝116°，∴∠ADB＝180°﹣116°＝64°，∵C是弧AB的中点，∴AC BC=，ADB＝32°，∴∠BDC＝∠ADC＝12故答案为：32．【点睛】本题考查四点共圆性质，圆周角与弧的关系，掌握四点共圆性质，圆周角与弧的关系是解题关键．三、解答题-1、（1）见详解；（2）4π【分析】（1）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．（2）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD-S扇OBD计算即可；【详解】解：（1）如图，连接AD，∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB =∠ADM =90°，又∵DB DE =，∴ED =BD ，∠MAD =∠BAD ，在△AMD 和△ABD 中，ADM ADB AD AD MAD BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AMD ≌△ABD ，∴DM =BD ，∴DE =DM ；（2）如上图，连接OD ，∵CD 是⊙O 切线，∴OD ⊥CD ，∵OA =CD=OA =OD ，∴OD =CD=∴△OCD 为等腰直角三角形，∴∠DOC =∠C =45°，∴S阴影=S△OCD-S扇OBD=142π⨯=-；【点睛】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．2、（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】(1)作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可；(2)连接OC，证明∠ACB= 120°，再证明∠ACO= 90°，即可得答案．【详解】解：(1)如下图，⊙O即为所作：(2)证明：连接OC∵△ABC中，∠A=∠B= 30°∴∠ACB= 120°由(1) 可知，OC= OB∴∠OCB=∠B = 30°∴∠ACO= 90°∴AC是⊙O的相切．【点睛】本题考查作图-垂直平分线、圆的画法，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3、（1）①34；②3C ；③（34；（2）k k 【分析】（1）①先求出AP ，AB 的长，然后根据题目的定义求解即可；②先求出112OC =，1OA =，即可得到1AC ==，假设点1C 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，得到112AC AE =，则22AE OA =>=不符合题意，同理可以求出3AC ==3C 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，得到312AC AF =，可求出点F 的坐标为（0，-1），由点2C 的坐标为（12，0），得到212AC =，则214AC AB =，则点2C 不是点A 关于⊙O 的12倍特征点； ③设直线AD 交圆O 于B ，连接OE ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，先求出E 是AB 的中点，从而推出∠EOA =30°，再求出EF =34OF =，即可得到点E 的坐标为（34； （2）如图所示，设直线1y x =-+与x 轴，y 轴的交点分别为C 、D 过点N 作NP ⊥CD 交CD 于P ，交圆O 于B ，过点O 作直线EF ⊥CD 交圆O 于E ，F 即可得到MN NP ≥，AM BP ≤，由MN kAN =，可得1111MN k AM k k ==-+--，可以推出当MN AN的值越大，k 的值越大，则当AM =BP ，MN =NP 时，k 的值最小，即当A 与E 重合，N 于F 重合时，k 的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．【详解】解：（1）①∵A 点坐标为（1，0），P 点坐标为（12-，0）， ∴32AP =，B 点坐标为（-1，0）， ∴2AB =，∵AP kAB =，4AB 故答案为：34； ②∵1C 的坐标为（0，12），A 点坐标为（1，0）， ∴112OC =，1OA =，∴1AC =假设点1C 是点A 关于⊙O 的12倍特征点， ∴112AC AE =，∴22AE OA =>=不符合题意，∴点1C 不是点A 关于⊙O 的12倍特征点，同理可以求出3AC == 假设点3C 是点A 关于⊙O 的12倍特征点， ∴312AC AF =， ∴3C 即为AF 的中点，∴点F 的坐标为（0，-1），∵点F （0，-1）在圆上，∴点3C 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，∵点2C 的坐标为（12，0），22∴21 4ACAB=，∴点2C不是点A关于⊙O的12倍特征点，故答案为：3C；③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，∵点E是点A关于⊙O的12倍的特征点，∴12 AEAB=，∴E是AB的中点，∴OE⊥AB，∵∠EAO=60°，∴∠EOA=30°，∴1122AE OA==，12EF OE=，∴OE==∴EF=∴34OF ==，∴点E 的坐标为（34；（2）如图所示，设直线1y x =-+与x 轴，y 轴的交点分别为C 、D 过点N 作NP ⊥CD 交CD 于P ，交圆O 于B ，过点O 作直线EF ⊥CD 交圆O 于E ，F∴MN NP ≥，AM BP ≤，∵MN kAN =，∴()1AM AN MN k AN =-=-， ∴1111MN k AM k k ==-+--， ∵当k 越大时，1k -的值越小， ∴111k-+-的值越大， ∴当MN AN的值越大，k 的值越大， ∴当AM =BP ，MN =NP 时，k 的值最小，∴当A 与E 重合，N 于F 重合时，k 的值最小，∵C 、D 是直线1y x =-+与x 轴，y 轴的交点，∴C （1，0），D 点坐标为（0，1），∴OC =OD =1，∴CD =∵OG ⊥CD ，∴CG DG ==∴OG ==，∴1FG OF OG =-=-∴122FG k EF ===，∴k∴当N 在E 点，A 在F 点时，k有最大值为24+【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确理解题意进行求解．4、（1）见解析；（2）O BD =【分析】（1）如图：连OC ，根据AC BC =、OA OB =得CO ⊥AB ，进而证明OCE BFE △△≌即可得到∠FBE =∠COE =90°，即可证明直线BF 是⊙O 的切线；（2）由设O 的半径为r ，则2AB r =，BF OC r ==，在Rt ∆ABF 运用勾股定理即可得半径r ，然后再求得AB ,最后运用等面积法求解即可．【详解】（1）如图：连接OC∵AC BC =、OA OB =∴OC AB ⊥∵OE BE =，OEC BEF ∠=∠，CE EF =，∴OCE BFE △△≌∴90OBF COE ∠=∠=︒∴BF OB ⊥又∵BF 经过半径OB 的外端点B∴BF 是O 的切线；（2）设O 的半径为r ，则2AB r =，BF OC r ==在Rt ABF 中有：()(2222r r +=∴只取r O ．∵AB 是O 的直径、即AB =,∴BD AF⊥∴BF===, ∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴1122ABFs AB BF AF BD∆=⨯=⨯，∴1122BD⨯=⨯，解得BD=【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．5、（1）见解析；（2）见解析；（3）√21−√3【分析】（1）根据△PAB绕点A逆时针旋转60°作图即可；（2）由∠BEC＝120°得∠BED＝60°，由平行线的性质得∠ADE＝∠BED＝60°，由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圆，由圆内接四边形对角互补得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得证；（3）由CA＝CE＝CB＝CF＝3得A、E、B、F共圆C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，进而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圆⊙Q，则∠EQF＝120°，求出EQ，连接QG取中点N，由三角形中位线得MN，以点N为圆心MN为半径作⊙N，连接CN，与⊙N交于点S′，即CM最小为SS′=SS−SS，建立平面直角坐标系求出即可．【详解】（1）如图1所示，将△SSS绕点A逆时针旋转60°得△S′SS；（2）∵∠BEC＝120°，∴∠BED＝60°，∵SS∥SS，∴∠ADE＝∠BED＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴A、D、B、C共圆，如图2所示：∴∠ADB＝120°，∵∠ADE＝∠BED＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等边三角形；（3）如图3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3，∴A、E、B、F共圆C，∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB，∴∠APF＝∠ABC＝60°，∵∠EPF＝60°，EF＝6，作△EPF的外接圆⊙Q，则∠EQF＝120°，QC⊥EF，∴∠EQC＝60°，∴SS=SS=SS=SSsin60°=√32=2√3，连接QG取中点N，则SS∥SS且SS=12SS=√3，以点N为圆心MN为半径作⊙N，连接CN，与⊙N交于点S′，即CM最小为SS′=SS−S′S=SS−SS，以点F为原点建立平面直角坐标系，S(−3,−√3)，S(−3,0)，S(0,−6√3)，∴S(−32,−5√32),SS=(32)2+(5√32)2=√21，∴CM最小为SS−SS=√21−√3．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，解三角函数以及圆的性质，根据题意作出圆是解题的关键．。
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九年级数学下册第三章圆周周测13（3.9）（无答案）（新版）
北师大版
一、选择题
1. 一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（）
A. 300°
B. 150°
C. 120°
D. 75°
2.已知一条弧长为，它所对圆心角的度数为，则这条弦所在圆的半径为（）
A. B . C . D .
3.若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
4.如图，从一块直径是2的圆形硬纸片上剪出一个圆心角为90°扇形．则这个扇形的面积
为（）
A. π
B. π
C. π
D. π
5.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（）
A.
B.
C.
D.
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，点B，A，C′在同一条直线上，则线段BC扫过的区域面积为（）
A.
B.
C.
D.
7.如图，将一个半径为2的圆等分成四段弧，再将这四段弧围成星形，则该图形的面积与原来圆的面积之比为（）
A.
B.
C.
D.
8.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（）
A.
B.
C.
D.
9.如图，在边长为2的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（）
A. 2
B.
C.
D. 1
10.如图所示，扇形AOB的圆心角120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）
A. B.
C.
D.
二、填空题
11.如果扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积是________ .
12.已知扇形的圆心角为120°，弧长等于一个半径为5cm的圆的周长，则扇形的面积为________．
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF2为________ ．
14. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为________ ．
15.如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3cm，则该扇形的弧长为________ cm，面积为________ cm2．（结果保留π）
16.如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线
所在直线重合，重叠部分的量角器弧AB对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为________.
17.如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为________．
三、解答题
18.一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20 s，弯道有一块限速警示牌，限速为40km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？（π取3）
19.如图，半径为2的⊙E交x轴于A、B，交y轴于点C、D，直线CF交x轴负半轴于点F，连接EB、EC．已知点E的坐标为(1，1)，∠OFC＝30°．
(1)求证：直线CF是⊙E的切线；(2)求证：AB＝CD；(3)求图中阴影部分的面积．
20.如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．求点O所经过的路线长。