历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

（一）

1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如

右图所示，则相应的俯视图可以为

2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23

==,则棱锥

AB BC

-的体积为。

O ABCD

3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四

边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

：

`

}

（一）

2.83

3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD =

从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD

（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则

()1,0,0A ，()03,0B ，，()

1,3,0C -，()0,0,1P 。

(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-

<

设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,

0,

{n AB n PB ?=?=

即 3030

x y y z -+=-=

因此可取n=(3,1,3)

设平面PBC 的法向量为m ，则

m 0,m 0,

{

PB BC ?=?=

可取m=（0，-1，3-） 27

cos ,727

m n =

=- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27

7

-

<

（二）

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为

A

23 B 33 C 2

3

D 63

2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为

(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+

\

3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为

(A)

23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

《

"

（二）

1. D

2. D

3. B

4. 解法一：

(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,

由此知 1,DG GC BG ===即ABC ?为直角三角形，故BC BD ⊥. 又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,

所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .

作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面，

故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面，与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直

~

DE ⊥平面SBC ，DE ⊥EC,DE ⊥SB

SB =3

SD DB DE SB =

=

,-33

EB SE SB EB ==

== 所以，SE=2EB

(Ⅱ) 由1,2,,SA AB SE EB AB SA =

==⊥知

1,AD=1AE ==又.

故ADE ?为等腰三角形.

取ED 中点F,连接AF ,则,AF DE AF ⊥=

=

.

连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.

\

所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263

FG DG DF =

-=

, 2221

cos 22

AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,

所以，二面角A DE C --的大小为120°. 解法二：

以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) （Ⅰ）(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC ==

设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c)

由,n SC n BC ⊥⊥，得0,0n SC n BC ==

、

故2b-2c=0,-a+b=0

令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1) 又设SE EB λ= (0)λ>，则

2

(,,)111E λλλλλ

+++ 2

(,,),(0,2,0)111DE DC λλλλλ

==+++

设平面CDE 的法向量m=(x,y,z) 由,m DE m DC ⊥⊥,得

0m DE ⊥=，0m DC ⊥= 故

20,20111x y z

y λλλλλ

++==+++. 令2x =，则(2,0,)m λ=-.

(

由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n,0,20,2m n λλ=-==

故SE=2EB

（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(,,)333E ，取DE 的中点F ，则111211(,,),(,,)333333

F FA =--，

故0FA DE =，由此得FA DE ⊥

又242(,,)333

EC =--，故0EC DE =，由此得EC DE ⊥， 向量FA 与EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角 于是 1

cos(,)2||||

FA EC FA EC FA EC =

=-

所以，二面角A DE C --的大小为120

（三）

1. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线

AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）、

（A ）

34 （B ）54 （C ）74 (D) 3

4

2. 已知二面角l αβ--为60

，动点

P 、Q 分别在面α、β内，P 3Q 到α的距离为3则P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ） (A) (B)2 (C) 3 (D)4

3. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=?，则此球的表面

积等于 。

4.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，

2AD =,2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°

（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的余弦值。

—

。

（三）

1. 解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113

co c s 4

os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠?=

?=.故选D 2. 解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于

PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=?则 23,3AQ BP ==，2AC PD ∴==

又

2221223PQ AQ AP AP =+=+≥

当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。故答案选C 。

3. 解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得23BC =,由正弦定理,可得ABC ?外接圆半径r=2

（

设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '?中，易得球半径5R =，故此球的表面积为2420R ππ=.

解法一：（I ）作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD 连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形

B

C

B C A 1

1

1

D

作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形 设ME x =，则SE x =，222(2)2AE ED AD x =

+=-+

2(2)2,2MF AE x FB x ==-+=-

由2tan 60,(2)23(2)MF FB x x =?-+=-。得 解得1x =

即1ME =，从而1

2

ME DC =

所以M 为侧棱SC 的中点

—

（Ⅱ）222MB BC MC =

+=，又60,2ABM AB ∠==,所以ABM ?为等边三角形，

又由（Ⅰ）知M 为SC 中点

2,6,2SM SA AM ===，故222,90SA SM AM SMA =+∠=

取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角

S AM B --的平面角

连接BH ，在BGH ?中，

22312223,,2BG AM GH SM BH AB AH =

====+= 所以2226

cos 23

BG GH BH BGH BG GH +-∠==-??

解法二:以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设(2,0,0)A ，则(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C S （Ⅰ）设(0)SM MC λλ=?,则

#

2222

(0,

,),(2,,)1111M MB λλλλλ

-=++++

又(0,2,0),,60AB MB AB =- 故||||cos 60MB AB MB AB ?=?

即

222

422(2)()()111λλλ

-=+++++

解得1λ=，即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点

（II ）由(0,1,1),M A ，得AM 的中点11,)222

G

又31

(

,),(0,1,1),(222

GB MS AM =-=-= 0,0GB AM MS AM ?=?=

所以,GB AM MS AM ⊥⊥

~

因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角

cos ,3||||

GB MS GB MS GB MS ?=

=-?

（四）

1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）

A ．

1

3

B ．

3

C ．

3

D ．

23

2．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为

3

，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于 ． 3．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，

CD =AB AC =．

/

（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；

（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的余弦值．

}

/

（四）

~

2.答案：

16

. 3．解：(I)作AO ⊥BC ，垂足为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 中点， 由

2

1

==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ， 从而∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ， 由三垂线定理知，AD ⊥CE

（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧面ABC ，又BE ?侧面ABE ，所以侧面ABE ⊥侧面ABC 。 作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，则CF ⊥平面ABE 故∠CEF 为CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF=45° 由CE=6，得CF=3

C

D

E A

B

又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC 为等边三角形 ~

作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE 。

由（I ）知，CE ⊥AD ，又CE ∩CG=C ，

故AD ⊥平面CGE ，AD ⊥GE ，∠CGE 是二面角C-AD-E 的平面角。 CG=

3

2

622=

?=?AD CD AC GE=,6,3

10652)21

(2

2==?=-?CE AD DE AD DE

cos ∠CGE=10103

10

3226

310

3422

2

2

-=?

?-+=?-+GE CG CE GE CG

解法二：（I ）作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，射线OC 为x

轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz. 设A （0,0,t ），由已知条件有 C(1,0,0), D(1,2,0), E(-1,

2,0),

),2,1(),0,2,2(t AD CE -=-=

所以0=?AD CE ，得AD ⊥CE

（II ）作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ， 设F （x,0,z ）则CF =(x-1,0,z),

0),0,2,0(=?=BE CF BE

故CF ⊥BE ，又AB ∩BE=B ，所以CF ⊥平面ABE ， ∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF=45° 由CE=6，得CF=3

又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC 为等边三角形，因此A （0，0，3） 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE ，在Rt △ACD 中，求得|AG|=

3

2

|AD| 故G[

3

3,322,32] ???

?????--=????????--=33,32,35,33,322,31GE GC

又)3,2,1(-=AD

0,0=?=?AD GE AD GC

所以与的夹角等于二面角C-AD-E 的平面角。 由cos(GE GC ,10

10-

=