柱面的方程
空间直角坐标系曲面是柱面得方程
空间直角坐标系曲面是柱面的方程一、概述空间直角坐标系是解析几何中的重要概念，其中曲面是曲线在三维空间中的延伸，而柱面是一种特殊的曲面。
在解析几何中，研究空间直角坐标系曲面的方程是一项重要的课题，本文将重点介绍空间直角坐标系中柱面的方程。
二、柱面的定义在空间直角坐标系中，柱面是由一直线（轴线）和平行于此直线的所有直线（侧面直线）组成的集合。
简单来说，柱面就是平行于同一直线的无数直线在三维空间中形成的曲面。
在数学上，柱面可以用方程表示，方程的形式与柱面的特性密切相关。
三、空间直角坐标系中柱面的一般方程1. 一般方程形式空间直角坐标系中柱面的一般方程形式为：Ax^2 + By^2 = 2Fxy + 2Gx + 2Hy + C其中A、B、F、G、H、C为常数，且A、B不全为零。
2. 方程的几何意义这一般方程实际上描述了一个二次曲面在空间中的形状。
当A、B、F、G、H、C都为实数时，这个方程表示了一个实数系数的二次曲面，它可以是一个椭圆柱面、双曲柱面或抛物柱面。
四、求解柱面的方程空间直角坐标系中的柱面方程可以通过以下步骤求解：1. 根据柱面的特性确定方程的一般形式。
2. 根据所给的条件，代入方程中的系数，得出准确的柱面方程。
五、实际应用空间直角坐标系中柱面的方程在实际生活中有许多应用。
在建筑设计中，通过对立体图形的分析，可以使用柱面方程来描述建筑物的柱状结构，在工程设计中也可以用柱面方程描述柱状物体的形状。
在数学建模中，柱面方程的求解可以帮助我们更好地理解和分析实际问题。
六、总结空间直角坐标系曲面是柱面的方程是解析几何中的重要内容，通过理解柱面的定义和特性，我们可以掌握求解柱面方程的方法，并且了解柱面方程在实际应用中的意义。
在学习和应用解析几何的过程中，深入研究空间直角坐标系曲面是柱面的方程，对于提高数学建模和工程设计的能力也是十分有益的。
七、参考文献[1] 董西立.解析几何[M].北京:高等教育出版社,2006.[2] 高等数学教研组.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2010.八、进一步探讨柱面的方程1. 柱面的参数方程除了一般方程外，柱面也可以用参数方程表示。
投影柱面方程
投影柱面方程在物理学和数学中，柱面是一种具有无限长、半径相等且平行的圆柱体。
柱面广泛应用于各种领域中，如航空、计算机图形学、建筑设计、机械工程等。
在这些领域中，人们需要对柱面进行建模、计算和分析，因此掌握柱面方程是非常重要的。
投影柱面是指将一个柱面在平面上的投影。
投影是一种将三维空间中的物体映射到二维平面上的方法。
在投影过程中，我们可以通过某些方法来表示柱面的形状和特征。
本文将介绍柱面方程的基本概念和计算方法，以及在实际应用中的一些例子。
一、柱面方程的基本概念柱面方程是用来表示柱面形状和特征的数学公式。
在三维空间中，柱面可以由一条直线（轴线）和一条平行于轴线的圆柱面组成。
柱面的方程可以表示为：(x - a) + (y - b) = r其中，(a, b)表示柱面轴线上的一点，r表示柱面的半径。
该方程表示了一个以(a, b)为中心，半径为r的圆的所有点的集合。
这些点在柱面上的投影是一条与轴线平行的线段。
柱面方程的另一种形式是：x + y = r这个方程表示了一个以原点为中心，半径为r的圆的所有点的集合。
这些点在柱面上的投影是一条与轴线垂直的线段。
二、柱面方程的计算方法柱面方程的计算方法可以分为两种：基于轴线和基于圆柱面。
基于轴线的计算方法需要知道柱面轴线上的一点和半径，然后使用柱面方程的第一种形式进行计算。
基于圆柱面的计算方法需要知道圆柱面的方程，然后使用柱面方程的第二种形式进行计算。
例如，假设某个柱面的轴线在点(2, 3, 4)，半径为5。
我们可以使用柱面方程的第一种形式来计算该柱面的方程：(x - 2) + (y - 3) = 5这个方程表示了一个以(2, 3)为中心，半径为5的圆的所有点的集合。
这些点在柱面上的投影是一条与轴线平行的线段。
另一个例子是，假设某个圆柱面的方程为x + y = 9。
我们可以使用柱面方程的第二种形式来计算该柱面的方程：x + y = 9这个方程表示了一个以原点为中心，半径为3的圆的所有点的集合。
常用的二次曲面方程及其图形
这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
§4.1 柱 面
§4.1 柱面一、概念：在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面，定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线，那族平行直线中的每一直线，都叫做柱面的母线.二、方程：如图4-1, 设柱面的准线方程为Γ:母线的方向数为X, Y, Z. 如果M1(x1, y1, z1)为准线上的任意点，那么过M1的母线方程为＝＝,且有从以上四个等式中消去参数x1, y1, z1，得一个三元方程F(x, y, z)＝0.这就是所求的柱面方程.例1. 设柱面的准线为Γ:母线的方向矢量为＝{1, 1,－1}，求这柱面的方程.解：设M1(x1, y1, z1)为准线上的任意一点，那么过点M1(x1, y1, z1)的母线方程为＝＝，且有x21+y21+z21=1,x1+y1+z1=0,为消参数x1, y1, z1，可设＝＝t,则x1＝x－t, y1＝y－t, z1＝z+t,从而有 (x－t)2＋(y－t)2+(z+t)2＝1,(x－t)＋(y－t)+(z+t)＝0,以上两式消去参数t，化简整理即得所求柱面的方程为2x2+2y2+6z2+2xy+6yz+6xz－1＝0.例2. 已知圆柱面的准线是过三点A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)的圆，母线垂直于这三点所在的平面，求这圆柱面的方程.解法一：由已知条件可得圆柱面的准线方程为Γ:母线的方向矢量为＝{1, 1, 1}.设M1(x1, y1, z1)为Γ上任意一点，则过M1的母线方程为＝＝t,且有x21+y21+z21=1,x1+y1+z1=1,以上四式消去参数x1, y1, z1, t得所求圆柱面方程为x2+y2+z2－xy－xz－yz－1＝0.解法二：由已知条件可得所求圆柱面的轴线方程为l：＝＝.设M(x, y, z)是圆柱面上任意一点，则M到l的距离与A(1, 0, 0)到l的距离相等，即有＝，从而 ||＝||，即＝，或 (y－z)2＋(z－x)2＋(x－y)2＝2，从而有x2＋y2＋z2－xy－xz－yz－1＝0.例3. 求过三条平行直线l1: x＝y＝z, l2：x＋1＝y＝z－1与l3：x－1＝y＋1＝z－2的圆柱面方程.解法一：在直线l1上取点O(0, 0, 0)，则过O与l i(i＝1, 2, 3)垂直的平面方程为π：x＋y＋z＝0, 其与l i的交点分别为O(0, 0, 0), A(－1, 0, 1), B(,－，)，设C(a, b, c)是π上由O, A, B所确定的圆的圆心，则有解得a＝－, b＝－，c＝,于是所求柱面的准线方程为设M1(x1, y1, z1)为准线上任意一点，则过M1的母线方程为＝＝,且以上四式消去参数x1, y1, z1得所求圆柱面方程为5x2+5y2+5z2+5xy－5xz－5yz＋2x＋11y－13z＝0.解法二：由已知条件知，过O(0, 0, 0)且垂直于l i(i＝1, 2, 3)的平面为π：x+y+z＝0，其与l i的交点分别为O(0, 0, 0)，A(－1, 0, 1), B,由O, A, B三点所确定的圆的圆心为C,于是所求圆柱面的轴为l0：＝＝.设M(x, y, z)为圆柱面上任意一点，则M到轴l0的距离等于||，即有＝,＝,化简整理就有5x2+5y2+5z2－5xy－5xz－5yz＋2x＋11y－13z＝0.注：由此题可知，三平行直线确定一个圆柱面时，要求三平行直线不共面才行，正如不共线三点确定一个圆一样.例4. 已知椭圆柱面＝1(a>b>0)，试求过x轴且与椭圆柱面的交线是圆的平面方程.解：由题设交线圆可以看成以原点为中心a为半径的球面与已知椭圆柱面的交线，即交线圆方程为由于此圆在过x轴的平面上，故此圆对于yOz平面的投影平面即为所求平面. 为此，从上述二式中消去x得+＝1,y＝±z,或.作业题：1. 设柱面的准线方程为母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程.2. 设柱面的准线为母线的方向矢量为＝{1, 0,－1}, 求这柱面的方程.。
常用的二次曲面方程及其图形
双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
图形
标准方程
x2 y 2 1a 0，b 0 a2 b2
y2 x2 1a 0，b 0 a2 b2
F1 c， 0
焦点坐标
a, b, c
F2 c， 0
F1 0， c
F2 0，c
c 2 a 2 b 2 c a 0，c b 0
x 2 y 2 x1 x 2 y 2 2 pz1
2
3)
z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2 p 2 p
3、 双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：
x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
1、 椭圆球
x 方程为： a
曲线为：
2 2
y2 z2 2 2 1 b c
-------------------（1）
1） 2）
由方程（1）可知
x2 y2 z2 1 ， 1 ， 1， b2 c2 a2
其与三个坐标平面的交线为：
x2 y2 2 1 a2 b
z=0
x2 z2 1 a2 c2
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆
3）
当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
解析几何中的柱面及其方程求解
解析几何中的柱面及其方程求解柱面是三维空间中一个非常重要的几何体，它由一条直线（直母线）和沿该直线平移的一条平面曲线（截面）形成。
在解析几何中，柱面发挥了非常重要的作用，是许多几何问题的基础。
本文将分别介绍柱面的基本概念和一般方程，以及如何利用方程求解柱面的截面等问题。
一、基本概念在三维空间中，一条通过直线L 的平面沿着该直线作无限平移，形成的几何体称为柱面。
一般来说，柱面由两个参数来确定：直母线上的一个点和它到直母线距离为 t 的点的轨迹（曲线），其中t 表示参数。
柱面的边界是直母线上的点和曲线两端的点。
当 t 取值范围在一定区间内时，曲线将描绘出柱面的一个部分。
如果该区间为 (-∞, +∞)，则曲线将描绘出柱面的整个部分。
二、一般方程在解析几何中，我们通常使用一般方程来描述柱面。
一般方程的形式如下：Ax + By = z^2其中 A、B、C 均为常数，x、y、z 分别表示三个坐标轴。
该方程描述的是一个沿着 y 轴的柱状物体。
如果 A、B、C 中只有两个非零项，那么该方程描述的是一个具有一定倾斜角度的柱状物体。
三、求解柱面截面求解柱面截面是解析几何中重要的问题之一。
我们可以通过一般方程来求解柱面的截面。
具体步骤如下：1、将一般方程表示为沿着 z 轴平移的方程。
经过平移后，方程变为 Ax + By - z^2 = 0。
2、设某一平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0，将它代入上式中，得到 Ax + By - (Cz + D)^2 = 0。
3、将上式中的 x 和 y 表示成 z 和一个参数 t 的形式，即：x =zx'，y = zy'，其中 x' 和 y' 为与 z 无关的实数。
方程变为 Az(x')^2 + Bz(y')^2 - (Cz + D)^2 = 0。
4、将上式移项，化为关于 x' 和 y' 的二次方程。
根据二次方程的解法，可以求得 x' 和 y' 的值。
解析几何-柱面
y 2 2 px z 2 准线 : 2 抛物柱面 : y 2 px (4) z 0 母线 // z轴
一般地，若一曲面方程中仅含有两个变量，则此 曲面一定是柱面，它的母线平行于和缺少的那个变 量同名的坐标轴．
如: 8 x 2 25 y 2 4 xy 20 x 10 y 0 为母线平行于 z轴的柱面 .
x x 1 y y1 z z1 1 1 0 2 2 (1)
三.母线平行于坐标轴的柱面 母线 0
S
y
f ( x, y, z)=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
f ( x, y, z ) 0 设柱面的准线是 xoy 坐标面上曲线 : z 0 母线平行于 z轴 , 则柱面的方程为 f ( x , y ) 0. 证 由题设 , 母线方向为 v 0,0,1 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 :
§3.3
柱面
一.定义 平行于定直线并沿定曲线c移动的直线l 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线c 叫柱面的准线, 动直线l叫柱面 的母线.
准线
c
l
柱面是直纹面
母线
二.柱面的方程
F1 ( x , y , z ) 0 已知准线方程为 : F2 ( x , y , z ) 0 母线的方向为 : l , m , n 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 : F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 ( 2 ) 又 M 1在准线上 , 故 F2 ( x1 , y1 , z1 ) 0 ( 3 ) 联立 (1)( 2 )( 3 )消去 x1 , y1 , z1 , 得柱面方程为 : F ( x, y, z ) 0
柱面的概念定义411在空间
y2+(z – 2)2 = 4
L
0
.
x
y2 = – 4x
y
x x
Xt, Xt,
y y
Yt, z Yt, z
Zt Zt
0 0
F x, y, z 0
二、柱面的方程
例1 柱面的准线方程为 求这柱面的方程.
x2 y2
2
x2
2
，z2 而1，母线的方向数是
y2 z2 2
， 1,0,1
的圆柱面的方程
l3 : x 1 y 1 z 2
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2
z
1
a2 b2
方程的形式与 柱面的图形特 征之间有联系
吗？
o
y
x
三、柱面的判定定理
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方程
所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标） 的同名坐标轴。
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
0
.
x
y2 = – 4x
y
空间曲线作为射影柱面的交线
2 y2 z2 4x 4z
L:
y
2
3z 2
8x
12
z
将 其 换 成投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去z ) L： y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
Contents
一、柱面的概念 二、柱面的方程 三、柱面的判定定理 四、空间曲线的射影柱面
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X
0.5
1
锥面
一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动所产生的曲面称为锥面，定点 称为锥面的顶点，固定曲线称为锥面的 母线
反之 任意满足如上方程的点必在此锥面上，故所求锥面的方程为
4
Y
2
0
-2
-4
6
Z4
2
0
-4
-2
0
X
2
4
旋转曲面
平面上曲线C绕该平面上一条定直线旋转形成的曲面叫做旋转 曲面，平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线叫做旋转曲面的 轴。
绕x轴旋转而成的曲面
双叶旋转双曲面：
4
Y
2
0
-2
-4 4
2
Z 0
-2
-4 -4 -2 0
X
2
4
三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。上一目中 例1与例2 给出的旋转曲面就是二次曲面。相对而言， 二次曲面有较广泛的应用，并且它的形状也比较简单。 因此作为基本问题（Ⅱ）的例子，我们主要讨论以下 几个特殊的二次曲面的形状：
1-010
X
Y5
-5 0
5
0
10
-5
-10
20
Z 10
0
例2 yoz平面上的抛物线
旋转椭球面：
绕z轴旋转而成的曲面
1
0.5 Z
0
-0.5
-1 -2
-1
0
X
1
2 1 0 Y -1
-2 2
例3 yoz平面上的双曲线
单叶旋转双曲面：
绕z轴旋转而成的曲面
X
-1
Y
1
0
0
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-1
2
1
Z 0
-1
-2
例3 zox平面上的双曲线
• M(x,y,z)
oL
y
x
C
• M1(x,y,0)
2.几种常见的柱面
1.椭圆柱面 2.双曲柱面 3.抛物柱面
4.特殊的平面
1.椭圆柱面
X
-2
-1
Y
2
0 1
2
0
-2
4
2
Z 0
-2
-4
2.双曲柱面
1 0.5 Y0 -0.5 -1 1
0.5
Z0
-0.5
-1 -1-.1-4.X1-3.12.1-1
3.抛物柱面
空间点M(x,y,z), M(x,y)在x0y平面上的投影点M1(x,y)
1.点M(x,y,z), M的横、纵坐标x,y满足F(x,y)=0，
则点M1(x,y,0) 在的准线C上，
z
故点M(x,y,z)在柱面上； （点M(x,y,z)在过点M1(x,y,0) 母线L上）
2.点M(x,y,z) ， 则M的横、纵坐标x,y满足F(x,y)=0 （M的投影点M1(x,y,0) 在的准线C上）
二次曲面
❖ 柱面 ❖ 旋转曲面 ❖ 锥面
❖ 球面 ❖ 椭球面，抛物面，双曲面
一、柱面与旋转曲面
1.概念
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面叫做柱 面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线.
L
C
柱面： 的母线L，Lz轴； 的准线C：F(x,y)=0(x0y平面上的曲线）
柱面的方程
这说明椭球面包含在由平面 x = ±a , y =±b , z =± c 围成的长方体内。
先考虑椭球面与三个坐标面的截痕 这些截痕就是椭圆。即有：
再用平行于xoy面的平面z = h (0 < ︱h︱< c )去截这个曲面，所 得截痕的方程是
这些截痕也都是椭圆。易见，当︱h︱由0变到 c 时，椭圆由大变 小，最后缩成一点（0，0，±c).同样地用平行于 yoz面或zox面的 平面去截这个曲面，也有类似的结果（见图５－３７(a)或后面所显示的各个图形).如果 连续地取这样的截痕，那么可以想像，这些截痕就组成了一张椭球面。
（６） 所表示的曲面叫做椭圆抛物面。设方程右端取正号，现在来考察它的形状。
(1) 用xoy面（z = 0）去截这曲面，截痕为原点。 用平面z = h（h > 0）去截这曲面，截痕为椭圆
当h→0时，截痕退缩为原点；当h<0 时,截痕不存在.原点叫做椭 圆抛物面的顶点. （2）用zox面（y = 0）去截这曲面,截痕为抛
物线
用平面y = k去截这曲面，截痕 也为抛物线
（3）用yoz面（x = 0）及平面x=l去截这曲面，其结果与（2）是类似的。如下图所示：
综 合以上分析结果，可知椭 圆抛物面 的形状如图5-38所示。
方程
(7)
所表示的曲面叫做双曲抛物面。设方程右端取正号，现在来考察它们的形状。(在方
程(7)中令
)
（1）用平面z = h（h > 0）去截这曲面，截痕方程是
当h > 0时，(h=3)截痕是双曲线，其实轴平行于 x 轴。 当h = 0 时，截痕是xoy平面上两条相交于原点的直线
当h< 0时。(h=-3)截痕是双曲线。其实轴平行于 y 轴。
(2)用平面x = k 去截这曲面，截痕方程是
1、椭球面 2、抛物面 3、双曲面
讨论的方法一般是用坐标或特殊的平面与二次曲面 相截，考察其截痕的形状，然后对那些截痕加以综合，
得出曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
1.椭球面 方程
表示的曲面叫做椭球面。下面我们根据所给出的方程，用截痕法来考察椭 球面的形状。 由方程可知
即 ∣x∣≤a ,∣y∣≤b ,∣z∣ ≤c ,
旋转曲面的方程
yoz面上曲线C:f(y,z)=0 绕定直线z轴旋转所成的曲面
z
p0,过p0作平面z=z0,与的交线为 一圆周，其半径 但对p1(0,y1,z0)，有f(y1,z0)=0
z0
• •
P1(0,y1,z0)
P
0
C
y o
x
M(x,y,z),有 若点M(x,y,z)，则其坐标x,y,z不满足(2)式。 故(2)式为此旋转曲面的方程。
在椭球面方程中，a，b，c按其大小，分别叫做椭球的长半轴，
中半轴，短半轴。如果有两个半轴相等，如 a=b,则方程表示的是由
平面上的椭圆
绕ｚ轴旋转而成的旋转椭球面。
如果a = b = c ,则方程 x2 +y2+z2 = a2 表示一个球面。。
２、抛物面 抛物面分椭圆抛物面与双曲抛物面两种。方程
Y
X
2-2
1.5
-1
1
0
0.5
1
0
2
4
2 0
Z -2 -4
3.抛物柱面
4 Y2 0
-2
-4 8
6 Z
4
2
0
-4
-2
0
X
2
4
球面
在空间中，与一定点的距离为一定长的点的集合是球面，这个定点是球心，定长 是半径。
标准方程
一般方程
1 Y 0.5 0
-0.5
-1 1
0.5 Z
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
故对曲线C:f(y,z)=0： 绕z轴旋转而成的曲面方程为
曲线C绕y轴旋转而成的曲面方程为
类似地，可考虑其他的在某一坐标平面上的曲线绕相应的坐 标轴 旋转而成的旋转曲面的方程。
几种常见的旋转曲面
旋转抛物面 旋转椭球面 旋转单叶双曲面 旋转双叶双曲面
圆锥面
例1 yoz平面上的抛物线
旋转抛物面：
绕z轴旋转而成的曲面