系统的频率响应函数
系统的频域响应函数
系统的频域响应函数系统的频域响应函数是指系统对不同频率的输入信号所产生的输出响应。
在信号处理和控制系统中，频域分析是一种重要的工具，通过分析系统的频域响应函数可以得到系统的频率特性，进而对系统进行设计和优化。
1. 概述在信号处理领域中，频域响应函数通常用传递函数或频率响应来表示。
传递函数是输入信号和输出信号之间的比值，它描述了输入信号在不同频率下通过系统时的增益和相位变化。
频率响应则是传递函数在复平面上的表示，它包含了传递函数的幅度和相位信息。
2. 传递函数传递函数是描述线性时不变系统（LTI）的重要工具之一。
它用H(s)表示，其中s为复变量。
传递函数可以由系统的微分方程或差分方程推导得到。
3. 频率响应频率响应是传递函数在复平面上的表示。
它可以通过将s替换为jω来得到，其中j为虚数单位，ω为角频率。
将传递函数H(s)转换为H(jω)，即可得到系统在不同角频率下的幅度和相位信息。
4. 幅度特性幅度特性描述了系统对不同频率输入信号的增益情况。
通常用dB来表示，即20log10(|H(jω)|)。
幅度特性可以通过将传递函数H(s)转换为H(jω)，然后计算|H(jω)|来得到。
5. 相位特性相位特性描述了系统对不同频率输入信号的相位变化情况。
通常用角度来表示，即arg(H(jω))。
相位特性可以通过将传递函数H(s)转换为H(jω)，然后计算arg(H(jω))来得到。
6. 频域响应函数的求解方法求解频域响应函数有多种方法，包括直接计算、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。
具体选择哪种方法取决于系统的特点和问题的要求。
7. 直接计算法直接计算法是一种简单直观的方法，适用于简单系统或已知传递函数的情况。
它通常通过将传递函数H(s)转化为频率响应H(jω)，然后计算幅度和相位来得到频域响应函数。
8. 傅里叶变换法傅里叶变换法是一种广泛应用于信号处理领域的方法。
它利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，从而得到频域响应函数。
系统的频率响应函数
系统的频率响应函数
频率响应函数通常用H(ω)表示，其中ω为角频率。
频率响应函数
可以分为振幅响应和相位响应两个部分。
振幅响应函数H(ω)的模值，H(ω)，表示系统对不同频率的输入信
号的放大或衰减程度。
振幅响应函数通常使用分贝（dB）单位表示。
若，
H(ω)，为0dB，则表示系统对该频率的信号不进行放大或衰减；若，
H(ω)，为正值，则表示系统对该频率的信号进行放大；若，H(ω)，为负值，则表示系统对该频率的信号进行衰减。
相位响应函数H(ω)的角度表示系统对不同频率的输入信号的相位差。
相位响应函数通常使用角度（°）单位表示。
相位响应可以告诉我们系统
对不同频率信号的相位差，尤其对于时域信号的传输和滤波具有重要的意义。
系统的频率响应函数可以通过多种方法来得到，比如频率域采样、离
散傅里叶变换、Z变换等。
对于线性时不变系统，频率响应函数H(ω)可
以通过系统的冲激响应函数h(t)和冲激函数δ(t)之间的关系求得，即
H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt。
频率响应函数对于系统分析和设计具有重要的意义。
在系统控制和滤
波方面，我们可以通过频率响应函数对系统的频率特性进行评估和优化。
在通信系统中，频率响应函数可以帮助我们了解系统对不同频率的信号的
传输特性，从而对系统进行调整和改进。
总结起来，系统的频率响应函数是系统对不同频率信号的放大或衰减
程度以及相位差的表征。
通过频率响应函数，我们可以对系统的频率特性
进行评估和优化，从而在系统分析和设计中起到重要的作用。
传递函数和频率响应函数的概念
传递函数和频率响应函数的概念1. 传递函数与频率响应函数的定义传递函数和频率响应函数是在控制系统分析中经常被使用的两个重要概念。
传递函数表示了系统的输入和输出之间的关系，通常用于描述线性时不变系统的动态特性。
而频率响应函数则是描述系统对不同频率信号的响应特性，帮助我们分析系统对于输入信号频率的衰减或放大情况。
2. 传递函数的深入理解传递函数通常用 H(s) 或 G(s) 表示，其中 s 是复数变量。
传递函数可以表示为系统的输出与输入的比值，其实际上是系统的冲激响应与冲激输入的拉普拉斯变换。
通过传递函数，我们可以分析系统对于各种输入信号的时域和频域响应，从而更好地理解系统的动态特性。
3. 频率响应函数的广度分析频率响应函数通常可以表示为H(jω)，其中ω 是频率变量。
它可以描述系统对于不同频率输入信号的幅度和相位特性，通过频率响应函数，我们可以清晰地了解系统在不同频率下的放大或者衰减情况，从而更好地设计控制系统并进行频域分析。
4. 传递函数和频率响应函数间的关系传递函数和频率响应函数之间存在着密切的关系。
事实上，频率响应函数可以通过传递函数来得到，通过传递函数的极点和零点，我们可以清晰地了解系统对于不同频率信号的响应情况，从而利用频率响应函数来优化系统的控制性能。
5. 个人观点和理解对于传递函数和频率响应函数的理解，我认为它们是控制系统分析和设计中非常重要的概念。
通过对传递函数和频率响应函数的深入理解，我们可以更好地了解系统的动态特性，在控制系统设计中更加灵活地选择合适的控制策略。
频率响应函数还可以帮助我们进行系统的稳定性分析和频域设计，对于系统的性能指标如稳定裕度、相位裕度等有着重要的指导意义。
总结回顾传递函数和频率响应函数作为控制系统分析中的重要概念，对于系统的动态特性和频域特性有着深刻的影响。
通过对传递函数和频率响应函数的分析，我们可以更好地理解系统的动态响应和频率特性，从而更好地设计和优化控制系统。
信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件
无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典 型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分 量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率 分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的 相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输 输
入 出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的
信号与系统复习题
一、填空题（3*10=30′）1、信号e -2t ε(t)的傅里叶变换为 。
2、已知信号f 1（t ），f 2（t ）的拉普拉斯变换为F 1(s), F 2(s)。
如果y(t)= f 1（t ）* f 2（t ）,则Y(s)= 。
3、若信号f(t)的傅里叶变换为F (jw)，则f(3t-2) 傅里叶变换为 。
4、已知F(jω)=[δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)]，则f （t ）=_________。
5、已知f （t ）=δ（t ）,则其傅立叶变换F(jω)=_________。
6、已知f （t ）的象函数32)(2-+=S S S S F ，则f(0+)=_______,f(∞)=________.7、f （t ）=ε(t)的拉普拉斯变换为_________。
8、某系统差分方程为y(k-2)-5/6y(k-1)+ 1/6y(k)=f(k-1)+2f(k),则该系统函数为H(z)=_________,系统的频率响应函数H (jw e )=_______,9、信号()cos 2f t t π=是否是周期信号 （是或不是），周期= 。
10、已知信号f(t), 则()*()f t t δ = ； ()*(2)f t t δ-= 。
11、从信号频谱的连续性和离散性来考虑，周期信号的频谱是_______________。
12、有限频带信号f(t)的最高频率为100HZ,如果对信号f (2t)进行时域抽样，则最小抽样频率f s 等于13、若信号f （t ）的拉普拉斯变换为F (s)，则f(2t-3) 拉普拉斯变换为 。
14、已知f （t ）的象函数F(S)=2232s s s +++，则f(0+)=_______,f(∞)=________.15、某LTI 的系统微分方程为y ″(t)+5y ′(t)+ 6y(t)=f ′(t)+2 f(t),则该系统的系统函数为H(s )=_________，频率响应函数H (jω)=_______。
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数、系统频率响应和系统单位冲激响应是数字信号处理中描述离散系统的重要概念。
三者之间的关系如下：
1. 系统函数（Transfer Function）：系统函数是描述离散系统
的一个复数函数，通常表示为H(z)或H(e^(jω))。
它将输入信
号的频谱与输出信号的频谱之间的关系联系起来。
系统函数是系统频率响应和系统单位冲激响应的拉普拉斯或Z变换。
2. 系统频率响应（Frequency Response）：系统频率响应是系
统函数H(z)在复平面上的取值。
它描述了系统对不同频率的
输入信号的响应情况。
系统频率响应可以通过将系统函数H(z)的变量变为单位复指数来得到，即H(e^(jω))。
3. 系统单位冲激响应（Unit Impulse Response）：系统单位冲
激响应是指当输入信号为单位冲激函数（单位脉冲函数）时，系统的输出响应。
它是系统函数H(z)在z=1处的取值，通常
表示为h[n]。
系统单位冲激响应是系统函数的离散时间反变换。
综上所述，系统函数H(z)是系统频率响应H(e^(jω))和系统单
位冲激响应h[n]]之间的关系。
系统频率响应描述了系统对不
同频率的输入信号的响应情况，而系统单位冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应情况。
系统函数则将这两者联系起来，通过对系统频率响应进行频域拉普拉斯变换或Z变换得到系
统函数，并通过对系统函数进行逆变换得到系统单位冲激响应。
信号与系统§6.4 由系统函数求频率响应
m
s
z
j
m
j
ω
z
j
H jω H s sjω K
j 1 n
sjω K
j 1 n
s Pi
jω pi
i 1
i 1
可见H jω的特性与零极点的位置 有关。
令分子中每一项 jω z j N j ejψj 分母中每一项 jω Pi Mi ejθi
ω ψ1 ψ2 ψm θ1 θ2 θn
当沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和
辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相 频特性曲线。
s jω
Hjω ——幅频特性
ω ——相频特性（相移特性）
几种常见的滤波器
H ( j) 低通滤波器
H ( j) 高通滤波器
0
c
(a)
H ( j) 带通滤波器
0
c
H ( j)
(b)
带阻滤波器
0
c1
c 2
0
c1
c 2
(c)
(d)
图4-15 滤波网络频响特性示例
根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
H
jω
K
N1 e jψ1 M1 e jθ1
N2 e jψ2 M 2 e jθ2
Nm e jψm M n e jθn
K
N1N2
N e jψ1ψ2 ψm m
M1M2
M e jθ1θ2 θn n
H jω K N1N2 Nm
M1M 2 M n
将 jω z j、jω - pi都看作两矢量之差，将矢量图画于复 平面内。
§4-6 系统函数与系统的频响特性
H (s)
k s1
(s 1)(s 2 )
H ( j)
k j1
( j 1)( j 2 )
系统函数的零极图如下：
《Signals & Systems》
《信号与系统》
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⑴ 当Ω=0，零点矢量的模等于0，相角
等于π/2，幅频响应|H( jΩ)|=0；极点 矢量的相角均等于零， φ(Ω)= (π/2)。 1
如上两例RC电路，试根据其零极图，粗略的画出其频响曲线。
先看以电容电压为输出的情况。其零极 图如下：
R
ui (t)
C
uo (t)
⑴ 当Ω=0，极点矢量指向原点，其模长 为α，相角等于0；于是 |H( jΩ)|=α/α=1,φ(Ω)=0。
⑵ 当Ω↑，极点矢量模↑，相角↑； |H( jΩ)|↓,φ(Ω)=-arctg(Ω/α)↓。
《信号与系统》
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§4-6 系统函数的零极点分布与系统的频率响应
一、H(s)与H(jΩ)
由前所讲，拉氏变换是傅氏变换由实频域Ω至复频域s的推广， 傅氏变换是拉氏变换在s平面虚轴上的特例。即
j
H ( j) H (s) |s j
二、H(s)的零极点分布与H(jΩ)
由于H(s)一般是有理分式，即它可表示为
s
C (s p1)(s p2)
上式中 1 ( 1 )2 4
p1,2 RC
RC 2
LC
1 ( 1 )2 1 2RC 2RC LC
《Signals & Systems》
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令 1
2RC
1 LC
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例如某位移测量系统在位移变化 1m时输出的电压变化有5mV， 则其灵敏度S＝5V/mm，
3.1 测试系统静态响应特性
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b)非线性度 标定曲线与拟合直线的偏离程度就是非线性度。 F = B 100% A
c)回程误差
测试装置在输入量由小增大和由大减小的
系统对各输入之和的输出等于各单个输入的输出之和 ，即
若 x1(t) → y1(t)，x2(t) → y2(t) 则 x1(t)±x2(t) → y1(t)±y2(t)
b)比例性 （也称均匀性）
常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的常数倍，
即:
若
x(t) → y(t)
则
kx(t) → ky(t)
c)微分性
分辨力：指能引起输出量发生变化时输入量的最 小变化量，表明测试装置分辨输入量微小变化的 能力。
测量范围：是指测试装置能正常测量最小输入量 和最大输入量之间的范围。
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稳定性：是指在一定工作条件下，当输入量不变时， 输出量随时间变化的程度。 漂移：测量装置的测量特性随时间的慢变化。在规 定条件下，对一个恒定的输入在规定时间内的输出 变化，称为点漂；标称范围最低值处的点漂，称为 零点漂移。 可靠性：是与测试装置无故障工作时间长短有关的 一种描述。
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3.2 测试系统动态响应特性
对运行设备进行测量时，得到的测量 结果不仅受设备动态特性的影响，也会受 到测量系统动态特性的影响，因此需要对 测量系统的动态特性有清楚的了解。
（一）用传递函数或频率响应函数描述系统 的传递特性 ；
（二）测试系统对典型激励的响应函数 ； （三）测试系统特性参数的实验测定 ；
稳态输出将为同一频率的谐波信号，即
若
x(t)=Acos(ωt+φx)
则
y(t)=Bcos(ωt+φy)
线性系统的这些主要特性，特 别是符合叠加原理和频率保持性， 在测量工作中具有重要作用。
3.2 测试系统动态响应特性
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对运行设备进行测量时，得到的测量 结果不仅受设备动态特性的影响，也会受 到测量系统动态特性的影响，因此需要对 测量系统的动态特性有清楚的了解。
测试过程中，对于同一个输入量所得到的两个 数值不同的输出量之间差值最大者为hmax，则 定义回程误差为
回程误差=(hmax/A)×100%
3.1 测试系统静态响应特性
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d) 静态响应特性的其他描述 精度：是与评价测试装置产生的测量误差大小有 关的指标。
灵敏阈：又称为死区，用来衡量测量起始点不灵 敏的程度。
（一）用传递函数或频率响应函数描述系统 的传递特性 ；
（二）测试系统对典型激励的响应函数 ； （三）测试系统特性参数的实验测定 ；
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(一)用传递函数或频率响应函数描述 系统的传递特性
2.传递函数 若系统的初始条件为零，对式（2-4）作
拉氏变换得
Y s an s n an1s n1 a1s a0 X s bm s m bm1s m1 b1s b0
y(t)
系统分析中的三类问题：
1)当输入、输出是可测量的(已知)，可以通过它 们推断系统的传输特性。 (系统辨识)
3)当系统特性已知，输出可测量，可以通过它 们推断导致该输出的输入量。 (反求)
3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估 计系统的输出量。(预测)
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测试系统基本要求 理想的测试系统应该具有单值的、确定的输
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1.线性定常系统及其主要性质
系统输入x(t)和输出y(t)间的关系可以用常系 数线性微分方程来描述：
dn y(t)
d n-1y(t)
dy(t)
a n dt n + a n-1 dt n-1 + a1 dt + a 0 y( t )
dm x(t)
d m-1x(t)
dx(t)
机械工程测试技术
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第三章 测试系统特性
本章学习要求： 1.建立测试系统的概念 2、掌握测试系统的动态特性 2.了解测试系统特性对测量结果的影响 3.了解测试系统特性的测量方法
重点：测试系统的动态特性 难点：测试系统的频率响应特性
预备知识：拉普拉斯变换
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测量系统的特性
入－输出关系。对于每一输入量都应该只有单一 的输出量与之对应。知道其中一个量就可以确定 另一个量。其中以输出和输入成线性关系最佳。
线性 y
线性 y
非线性 yxxx来自三峡大学机械与材料学院
有关测试和测试装置的若干术语
1、测量、计量和测试 2、测量装置的误差和精确度 3、量程和测量范围 4、信噪比（SNR）
SNR
10 lg
N S
或SNR
V 20lg S
Nn
Vn
5、动态范围
DR 20 lg ymas ymin
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3.1 测量系统的静态特性 如果测量时，测试装置的输入、输出信号不
随时间而变化，则称为静态测量。静态测量时， 测试装置表现出的响应特性称为静态响应特性。
a)灵敏度 当测试装置的输入x有一增量△x，引起输出y发生相应
测试系统是执行测试任务的传感器、仪器 和设备的总称。
简单测试系统(光 电池)
失真
V
复杂测试系统(轴承缺陷检测)
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线性测量系统基本性质
无论复杂度如何，把测量装置作为一个系统来 看待。问题简化为处理输入量x(t)、系统传输特性 h(t)和输出y(t)三者之间的关系。
x(t)
h(t)
b m dt m + b m-1 dt m-1 + b1 dt + b0 x( t )
当 a n a … n-1 a 0和 … b m bm-1 b 0均为常数时，上式描述 的就是线性系统，也称为时不变线性系统
一般在工程中使用的测试装置都是线性系统。
线性系统性质：
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a)叠加原理
系统对原输入信号的微分等于 原输出信号的微分，即
若
x(t) → y(t)
则
x'(t) → y'(t)
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d)积分性
当初始条件为零时，系统对原输入信号的积分等于原
输出信号的积分，即
若
x(t) → y(t)
则
∫x(t)dt → ∫y(t)dt
e)频率保持性
若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统的