专题三 曲线运动的分析
物理学中的曲线运动
物理学中的曲线运动曲线运动是物理学中研究运动轨迹呈曲线的物体运动的一个重要分支。
曲线运动广泛应用于自然科学研究和工程实践中，其中包括抛物线运动、圆周运动和螺旋线运动等不同形式的曲线运动。
本文将重点讨论这三种曲线运动及其在物理学中的应用。
1. 抛物线运动抛物线运动是最常见的曲线运动之一。
它所描述的运动轨迹呈现出抛物线形状，物体在垂直向下的重力作用下，以一个初始速度沿抛物线轨迹运动。
抛物线运动在日常生活中具有广泛的应用，比如投掷物体的运动、抛射物的运动等。
抛物线运动具有以下特点：1) 运动轨迹呈现抛物线形状，以初始速度和起始位置为参数决定；2) 抛物线运动可以通过解析几何和运动学方程进行精确描述；3) 抛物线运动中的物体在任意时刻的速度和加速度均可求得。
2. 圆周运动圆周运动是物理学中另一种常见的曲线运动。
在圆周运动中，物体沿着一个半径不变的圆圈运动。
圆周运动广泛应用于天体运动问题、机械振动和电子设备中的旋转运动等。
圆周运动具有以下特点：1) 运动轨迹为一个平面上的圆，以半径和角速度为参数决定；2) 圆周运动可以通过牛顿第二定律和圆周运动方程进行精确描述；3) 圆周运动中的物体具有向心力和切向加速度，速度和角速度之间有一定的关系。
3. 螺旋线运动螺旋线运动是物理学中较为复杂的一种曲线运动形式。
螺旋线运动具有圆周运动和直线运动的特点，物体同时做着径向和切向运动。
螺旋线运动在电磁学和粒子物理学中具有重要的应用，例如伽玛射线在磁场中运动的轨迹。
螺旋线运动具有以下特点：1) 运动轨迹呈现螺线形状，以半径、角速度和螺旋线的升高速度为参数决定；2) 螺旋线运动可以通过运动学方程和洛伦兹力定律进行描述；3) 螺旋线运动中的物体具有径向加速度和切向加速度，速度和半径之间有关联。
总结：物理学中的曲线运动包括抛物线运动、圆周运动和螺旋线运动。
这些曲线运动在物理学研究和实际应用中扮演着重要角色，其特点和运动规律可以通过数学方程进行描述。
曲线运动的分析
曲线运动的分析在日常生活中，我们经常会见到各种各样的曲线运动，比如飞机飞行的曲线、摩托车通过弯道的曲线以及一个踢得厉害的足球员踢球的弧线。
这些曲线运动看似简单，但背后却蕴含着复杂的物理原理和数学规律。
本文将对曲线运动进行分析，深入探讨其特点和相关知识。
曲线运动是指物体在运动过程中沿着一条曲线轨迹运动的情况。
它与直线运动相对，在直线运动中，物体的位移方向与运动轨迹保持一致，而在曲线运动中，物体的位移方向与运动轨迹有所偏离。
曲线运动可以通过数学模型进行分析和描述，其中最常见的是二维曲线运动。
在二维曲线运动中，我们可以将曲线分解为两个互相垂直的分量，分别沿着水平和垂直方向。
这样，我们可以通过分析水平和垂直方向上的运动来获得物体在曲线上的运动轨迹。
对于水平方向的运动，通常是匀速直线运动或者变速直线运动；而对于垂直方向的运动，则通常受到重力等外力的影响。
我们可以通过分析这两个方向上的运动来综合得出物体在曲线上的运动情况。
曲线运动的一个重要特点是速度的变化，在不同曲线的不同位置，速度的大小和方向都会发生变化。
在曲线运动中，速度可以分解为切向速度和法向速度。
切向速度是物体在曲线上沿着切线方向的速度，而法向速度是物体在曲线上与切线垂直的方向上的速度。
在曲线运动中，切向速度会影响物体的运动方向，而法向速度则会影响物体在曲线上的曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的物理量，它与法向速度的大小成反比。
曲率越大，曲线越陡峭；曲率越小，曲线越平缓。
在足球运动中，我们经常可以见到一些球员踢出的弧线球。
这种球的轨迹呈现出一条优美的曲线，这是因为球员在踢球时施加了一个既有足够力量又具有适当方向的旋转力量。
这样一来，球就能够在空中沿着一条曲线飞行，从而绕过守门员并将球砸入球门。
曲线运动的分析离不开数学的支持，其中最重要的数学工具就是微积分。
通过微积分的方法，我们可以对曲线上的任意点进行求导或积分运算，从而得到该点的速度、加速度、位置等相关信息。
专题3 曲线运动与天体运动.
④
⑤ ⑥
由④⑤得L=12.5m
(3) 要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行 讨论： Ⅰ.轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道， 设在最高点的速度为v3，应满足
v32 mg m R3
由⑥⑦⑧得R3=0.4m Ⅱ.轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3， 1 2 根据动能定理 mg L1 2 L mgR3 0 mv0 2 解得R3=1.0m 为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足 (R2+R3)2=L2+(R3-R2)2 解得R3=27.9m 综合Ⅰ、Ⅱ，要使小球不脱离轨道，则第三个 圆轨道的半径须满足下面的条件
因为物块只有沿绳方向的速度，所以vM=vAcosb，由正
弦定理知，
sin = 2 H
sina 由以上各式得v =wHsina. M R
绳、杆等有长度的物体，在运 动中，其两端点的速度并不一样，但两 速度有联系，称“关联”速度，一般沿 杆、绳的速度分量相等，采用速度的分 解求解，注意按实际效果分解．
本题以圆周运动为情境，要求考生熟练掌 握并灵活应用匀速圆周运动的规律，不仅考查考 生对牛顿第二定律的应用，同时考查考生应用多 种方法解决问题的能力．比如正交分解法、临界 分析法等．综合性强，能考查考生多方面的能力， 能真正考查考生对知识的掌握程度．体现了对考 生分析综合能力和应用数学知识解决物理问题能 力的考查．
(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对 小球作用力的大小； (2)如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应 是多少； (3) 在满足 (2) 的条件下，如果要使小球不能脱离轨 道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条 件；小球最终停留点与起点A的距离．
(1) 设小球经过第一个圆轨道的最高点时的 速度为v1，根据动能定理
福建省漳浦县道周中学2014年高考物理总复习 专题三 曲线运动 万有引力与航天
福建省漳浦县道周中学2014年高考物理总复习 专题三 曲线运动 万有引力与航天一、圆周运动的运动学分析 1．匀速圆周运动(1)特点：线速度的大小不变，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．(2)性质：是线速度大小不变而方向时刻变化的变速曲线运动，是加速度大小不变而方向时刻改变的变加速曲线运动．(3)向心加速度和向心力：仅存在向心加速度．向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．(4)质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．2．传动装置特点(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同．(2)皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．(3)在讨论v 、ω、r 三者关系时，应采用控制变量法，即保持其中一个量不变来讨论另外两个量的关系．【例1】 (宁夏理综高考.30)如图3所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )图3A.从动轮做顺时针转动B.从动轮做逆时针转动C.从动轮的转速为r 1r 2nD.从动轮的转速为r 2r 1n图4[针对训练1] 如图4所示，轮O 1、O 3固定在同一转轴上，轮O 1、O 2用皮带连接且不打滑．在O 1、O 2、O 3三个轮的边缘各取一点A 、B 、C ，已知三个轮的半径比r 1∶r 2∶r 3＝2∶1∶1，求：(1)A 、B 、C 三点的线速度大小之比v A ∶v B ∶v C ； (2)A 、B 、C 三点的角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ； (3)A 、B 、C 三点的向心加速度大小之比a A ∶a B ∶a C . 二、圆周运动中的动力学问题分析 1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2．分析下列各情景中的向心力来源 图形 向心力来源星绕地球做汽车通过拱形桥时(1)圆周可看成是牛顿第二定律应用的进一步延伸．将牛顿第二定律F ＝ma 应用于圆周运动，F 就是向心力，a 就是向心加速度，即得：F ＝ma n ＝m v 2R ＝m ω2R ＝m 4π2T2R(2)基本思路①明确研究对象．②分析运动情况：即做什么性质的圆周运动(匀速圆周运动？变速圆周运动？)；确定轨道所在的平面和圆心位置，从而确定向心力的方向．③分析受力情况(注意不要把向心力作为某一性质的力进行分析)，在向心方向求合外力(即选定向心方向为正方向)．④由牛顿第二定律列方程，根据已知量和要求量选择合适的向心加速度公式． ⑤求解或进行必要的讨论．图5【例2】 (2010·山东省泰安市高三第二轮复习质量检测)如图5所示，物块P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c 沿半径指向圆心，a 与c 垂直，下列说法正确的是( )A ．当转盘匀速转动时，P 受摩擦力方向为b 方向B ．当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为a 方向C ．当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为c 方向D ．当转盘减速转动时，P 受摩擦力方向可能为d 方向图6【例3】 如图6所示，在光滑的水平面上有两个质量相同的球A 和球B ，A 、B 之间以及B 球与固定点O 之间分别用两段轻绳相连并以相同的角速度绕着O 点做匀速圆周运动，如果OB ＝2AB ，则绳OB 与绳BA 的张力之比为( ) A ．2∶1 B ．3∶2 C ．5∶3 D ．5∶2[针对训练2] 2009年10月10日，美国空军“雷鸟”飞行表演队在泰国首都曼谷进行了精彩的飞行表演．飞行员驾机在竖直平面内做圆环特技飞行，若圆环半径为1 000 m ，飞行速度为100 m /s ，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重力的多少倍．(g ＝10 m /s 2) 考点一 同步卫星同步卫星的五个“一定”1．轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面． 2．周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h. 3．角速度一定：与地球自转的角速度相同．4．高度一定：由G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )得同步卫星离地面的高度h ＝ 3GMT 24π2－R .5．速率一定：v ＝GMR ＋h. 考点二 万有引力定律及其应用 重力与重力加速度1．关于重力(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零．各处位置均有mg ＝GMm R2(2)由于F n ＝mR ω2非常小，所以对一般问题的研究认为F n ＝0，mg ＝GMm R22．重力加速度(1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，G MmR2＝mg ，g ＝GM R2.(R 为星球半径，M 为星球质量)(2)星球上空某一高度h 处的重力加速度：G Mm ＋2＝mg′，g′＝GM ＋2随着高度的增加，重力加速度逐渐减小．【例1】 (2009·江苏单科·3)英国《新科学家(New Scientist )》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ 1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R 约为45 km ，质量M 和半径R 的关系满足M R ＝c22G(其中c 为光速，G 为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( ) A ．108 m /s 2 B ．1010 m /s 2 C ．1012 m /s 2 D ．1014 m /s 2二、天体质量和密度的估算1．解决天体圆周运动问题的一般思路利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤 (1)两条线索①万有引力提供向心力F ＝F n .②重力近似等于万有引力提供向心力．(2)两组公式①G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r②mg r ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r(g r 为轨道所在处重力加速度)2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 进行计算．①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r3GT2；②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr3GT 2R3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．【例2】 已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由G Mm h 2＝m(2πT 2)2h 得M ＝4π2h 3GT 22.(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果． (2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果． 三、对人造卫星的认识及变轨问题 1．人造卫星的动力学特征 万有引力提供向心力，即G Mm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝m(2πT )2r 2．人造卫星的运动学特征(1)线速度v ：由G Mm r 2＝m v 2r 得v ＝ GMr ，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小．(2)角速度ω：由G Mm r2＝m ω2r 得ω＝GMr3，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小． (3)周期：由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝2π r3GM，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期增大．3．卫星的稳定运行与变轨运行分析 (1)什么情况下卫星稳定运行？卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动．满足的公式：G Mm r 2＝mv2r.(2)变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行．①当v 增大时，所需向心力mv2r 增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝GM r知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．②当卫星的速度突然减小时，向心力mv2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v ＝ GMr知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)．图3【例3】 (2010·江苏单科·6)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道 Ⅰ 进入椭圆轨道 Ⅱ ，B 为轨道 Ⅱ 上的一点，如图3所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有( ) A ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的速度小于经过B 的速度B ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的动能小于在轨道 Ⅰ 上经过A 的动能C ．在轨道 Ⅱ 上运动的周期小于在轨道 Ⅰ 上运动的周期D ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的加速度小于在轨道 Ⅰ 上经过A 的加速度 四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星 1．环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度v ＝ G MR＝gR ＝7.9 km /s ，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v ＝ G Mr，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大． 2．地球同步卫星特点(1)地球同步卫星只能在赤道上空．(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期． (3)地球同步卫星相对地面静止． (4)同步卫星的高度是一定的．【例4】 我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的运行轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的181，月球的半径约为地球半径的14，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km /s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )A ．0.4 km /sB ．1.8 km /sC ．11 km /sD ．36 km /s 五、双星问题【例5】 (2010·重庆理综)月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比约为( ) A ．1∶6 400 B ．1∶80C．80∶1 D．6 400∶1六、万有引力定律与抛体运动的结合【例6】(2011·象山北仓两城适应性考试)在太阳系中有一颗行星的半径为R，若在该星球表面以初速度v0竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计(万有引力常量G未知)．则根据这些条件，可以求出的物理量是( )A.该行星的密度B.该行星的自转周期C.该星球的第一宇宙速度D.该行星附近运行的卫星的最小周期。
曲线运动分析与应用研究
曲线运动分析与应用研究曲线运动在我们的日常生活中无处不在，从车辆行驶的路径到球类运动的轨迹，在物理学、工程学、生物学等领域中都有着广泛的应用。
曲线运动的研究对于理解自然现象和设计高效的运动系统具有重要意义。
本文将分析曲线运动的特点和应用研究，并探讨其在不同领域中的重要性。
首先，我们来探讨曲线运动的特点。
曲线运动是指物体在运动过程中沿着一条曲线轨迹运动的现象。
与直线运动相比，曲线运动具有更高的复杂性和多样性。
曲线运动的特点主要包括曲率变化、速度变化和加速度变化等。
曲线的曲率是曲线运动最基本的特征之一，它描述的是曲线的弯曲程度。
速度和加速度则描述了物体在曲线上的运动状态。
通过对曲线运动特点的分析，我们可以深入理解物体在不同路径上的运动规律。
曲线运动在物理学中有着广泛的应用。
例如，研究天体运动中的椭圆轨道可以帮助我们理解行星运行的规律。
根据开普勒定律，行星绕太阳的轨道呈椭圆形，而不是简单的圆形。
通过对行星运动轨迹的分析，我们可以预测行星在不同位置和时间的位置，进一步研究宇宙的演化。
类似地，曲线运动还被应用于研究物体在磁场中的运动、电子在电路中的流动等。
另外，曲线运动在工程学中也有重要的应用。
例如，曲线运动的分析可以帮助设计高频率电路中的导线走线，使信号传输更加稳定。
工程师通常使用曲线运动的数学模型来优化导线路径，减少信号传输时的损耗和干扰。
此外，对曲线运动的研究还可以应用于流体力学中，改善管道系统的设计和运行。
通过对流体在曲线管道中的运动特性的研究，可以减小流体的阻力、降低能源消耗，提高系统的效率。
生物学领域也有许多涉及曲线运动的研究。
例如，研究动物的游泳、飞行和奔跑等运动过程中的曲线路径可以帮助我们理解它们的运动机制。
曲线路径的选择往往与动物体型、运动速度、环境条件等因素密切相关。
通过对曲线运动的分析，我们可以深入探究生物力学以及相关的进化适应问题。
除了上述领域，曲线运动还存在于计算机图形学、交通规划、经济学等多个学科中。
初中物理运动知识点整理之曲线运动
初中物理运动知识点整理之曲线运动曲线运动是物理学中的一个重要知识点。
在初中物理学习中，我们经常会遇到曲线运动的问题。
了解和掌握曲线运动的相关知识，对于解决这类问题非常重要。
本文将系统整理和介绍初中物理中与曲线运动相关的知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握。
首先，我们来了解一下曲线运动的概念。
曲线运动是指物体在运动过程中轨迹为曲线的运动。
相对于直线运动来说，曲线运动更加复杂，需要我们对物体在不同时间的位置、速度和加速度等进行综合分析。
曲线运动中常见的一种曲线是抛物线运动。
抛物线运动是一个非常重要的曲线运动，主要是由于作用力和重力的相互作用导致的。
沿着抛物线运动的物体有一个竖直方向上的变速运动和一个水平方向上的匀速运动。
在抛物线运动中，物体的重力和空气阻力是很重要的因素，它们会影响物体的轨迹和速度。
另一种曲线运动是圆周运动。
圆周运动是指物体以圆周轨道运动的运动形式。
在圆周运动中，物体保持恒定的速度，并且总是朝向圆心的方向运动。
圆周运动可以分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种形式。
匀速圆周运动是指物体在圆周轨道上以恒定的速度运动；而变速圆周运动是指物体在运动过程中速度发生变化的圆周运动。
除了抛物线运动和圆周运动之外，还有其他一些曲线运动的特殊情况。
例如，椭圆运动是指物体以椭圆轨道运动的运动形式。
椭圆运动是圆周运动和抛物线运动的一种特殊情况，它的轨迹是一个椭圆。
另外，螺旋线运动也是一种曲线运动形式。
螺旋线运动是指物体在同一方向上既有线性运动，又有旋转运动的运动形式。
螺旋线运动在生活和科学研究中都有广泛的应用，比如天体运动和蛞蝓的运动等。
在曲线运动中，我们常常需要计算物体在不同时间的位置、速度和加速度等物理量。
其中，位置是指物体所处的位置或者位置变化的大小。
速度是指物体单位时间内所移动的距离，也可以理解为物体单位时间内位置变化的大小。
加速度是指物体单位时间内速度变化的大小。
在抛物线运动中，我们可以通过抛体运动的公式来计算物体在竖直和水平方向上的位置、速度和加速度等物理量。
动力学解析曲线运动
动力学解析曲线运动动力学是研究物体运动及其原因的学科，而曲线运动是指物体在运动过程中所描述的轨迹为曲线的运动。
因此，动力学解析曲线运动的研究对于理解物体的运动行为以及推导出合适的运动方程具有重要意义。
一、曲线运动的基本概念曲线运动是相对于直线运动而言的，物体在运动过程中所描述的轨迹呈曲线形状。
曲线运动包括了各种不同的曲线形状，如圆周运动、抛物线运动等。
曲线运动的特点是运动轨迹的半径、速度以及加速度均随着位置的变化而发生改变。
因此，研究曲线运动需要运用动力学原理解析其运动规律。
二、圆周运动的动力学解析圆周运动是一种常见的曲线运动，例如地球绕着太阳的公转以及物体在圆周轨道上的旋转等。
在研究圆周运动时，我们可以使用牛顿的运动定律以及牛顿的万有引力定律来进行分析。
1. 圆周运动的运动方程对于物体在圆周上运动的情况，我们可以使用运动方程来描述其运动状态。
根据牛顿的第二定律和牛顿的万有引力定律，我们可以得到圆周运动的运动方程为：F = ma = mrω^2其中，F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度，r表示运动的半径，ω表示物体的角速度。
根据上述运动方程，我们可以推导出物体在圆周上运动的加速度和速度与半径之间的关系。
2. 圆周运动的速度与加速度根据上述运动方程，我们可以得到物体在圆周上运动的速度和加速度与半径之间的关系。
具体而言：v = rωa = rω^2其中，v表示物体的线速度，r表示运动的半径，ω表示角速度。
这两个公式告诉我们，物体在圆周运动中的速度与半径成正比，而加速度与半径成反比。
三、抛物线运动的动力学解析抛物线运动是一种常见的曲线运动，例如自由落体运动以及抛体在抛出后的运动等。
在研究抛物线运动时，我们同样可以运用牛顿的运动定律来分析其运动规律。
1. 抛物线运动的运动方程对于抛物线运动，物体在竖直方向上的运动受到重力的作用，而在水平方向上的运动则是匀速直线运动。
因此，我们可以得到抛物线运动的运动方程为：y = v0t - (1/2)gt^2x = v0t其中，y表示物体在竖直方向上的位移，v0表示物体的初速度，t表示运动的时间，g表示重力加速度，x表示物体在水平方向上的位移。
模块一专题三曲线运动万有引力
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模 块 一 力 与 运 动 图3－6 (2010 年高考全国卷Ⅰ)一水平抛出的小球落 到一倾角为 θ 的斜面上时，其速度方向与斜面垂 直，运动轨迹如图 3－6 中虚线所示．小球在竖直 方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为 ( ) A．tan θ B．2tan θ 1 1 C. D. tan θ 2tan θ
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模 块 一 力 与 运 动
二、竖直平面内圆周运动分析 1．两种典型模型 (1)“绳模型” 如图 3－3 所示， 没有物体支撑的小球在竖直平 面内做圆周运动过最高点的情况：
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图 3－3 ①临界条件： 绳子的拉力(或轨道的弹力)恰好为 零， 小球的重力提供其做圆周运动所需要的向心力， v2临界 即 mg＝m ， 临界＝ gr即是小球通过最高点的 v r 最小速度．
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模 块 一 力 与 运 动
(2)当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的 距离达到最大，从抛出开始计时，设经过 t1 时间最 大距离为 H. v0tanθ 因 vy1＝gt1＝v0tanθ，所以 t1＝ g v20tanθ x＝v0t1＝ ， g 1 2 v20tan2θ y＝ gt 1＝ . 2 2g H 又 y/tan θ＋H/sin θ＝x 即 ＋y＝xtanθ， cosθ v2sinθtanθ 0 解得最大距离为：H＝ . 2g
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专题三 曲线运动的分析要点提炼1.曲线运动与力的关系——运动性质的判断加速度(或合外力)⎩⎨⎧ 变化：非匀变速运动不变：匀变速运动加速度(或合外力)方向与速度方向⎩⎨⎧共线：直线运动不共线：曲线运动2．解决曲线运动的一般方法——运动的合成与分解(1)明确合运动或分运动的运动性质；(2)明确是在哪两个方向上的合成或分解；(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度)；(4)运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解。
3．平抛运动与类平抛运动平抛运动和类平抛运动均为匀变速曲线运动。
求解时，一般需要在初速度方向上列匀速直线运动的方程：v x ＝v 0，x ＝v 0t ；在合力方向上列初速度为0的匀加速直线运动方程：v y ＝at ，y ＝12at 2。
4．圆周运动圆周运动必然是非匀变速运动，加速度必然变化。
匀速圆周运动，合外力即向心力；变速圆周运动，向心力不是合外力，而是合外力沿半径方向的分力。
向心力改变速度方向，切向分力改变速度的大小。
关键是掌握向心力公式F ＝ma＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r 。
5．天体和卫星的运动(1)开普勒行星运动定律①开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
②开普勒第二定律(面积定律)：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
③开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即a 3T 2＝k 。
(2)卫星的各物理量随轨道半径变化的规律高考考向1 匀变速曲线运动及运动的合成与分解命题角度1 平抛运动及类平抛运动例1 (2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和v 2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。
甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍解析 设甲球落至斜面时的速率为v 1，乙球落至斜面时的速率为v 2，由平抛运动规律，x ＝v t ，y ＝12gt 2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tan θ＝y x ，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，12m v 2＋mgy ＝12m v 21，联立解得：v 1＝1＋4tan 2θ·v ，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比。
同理可得，v 2＝1＋4tan 2θ·v 2，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，A正确。
答案 A(1)平抛运动的时间完全由高度决定，t ＝2h g ，水平射程x ＝v 0t ＝v 02h g 。
(2)落地速度v＝v2x＋v2y＝v20＋2gh，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝v yv x＝2ghv0。
(3)速度改变量：做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下。
(4)平抛(或类平抛)运动的推论①任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tanθ＝2tanφ。
(5)求解平抛(或类平抛)运动的技巧①处理平抛(或类平抛)运动的基本方法是把运动分解为相互垂直的匀速直线运动和匀加速直线运动，通过研究分运动达到研究合运动的目的。
②要善于确定平抛(或类平抛)运动的两个分速度和分位移与题目呈现的角度之间的联系，这往往是解决问题的突破口。
备课记录：1－1(2019·湖北八校联合二模)在空间中水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平，A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2BC，如图所示。
由此可知()A．小球从A到B再到C的整个过程中机械能守恒B．电场力大小为2mgC．小球从A到B与从B到C的运动时间之比为2∶1D．小球从A到B与从B到C的加速度大小之比为2∶1答案 C解析小球从A到B再到C的过程中，存在电场力做功，故机械能不守恒，A错误；设AC连线与水平方向的夹角为θ，小球从A经B到C的过程中，水平方向上做匀速直线运动，所以C点速度与A点的速度相同，动能变化为零，根据动能定理得：mg·L AC sinθ－F电场·L BC sinθ＝0，解得：F电场＝3mg，故B错误；由于小球在水平方向做匀速直线运动，且AB＝2BC，所以AB、BC的水平位移分量之比为2∶1，所以从A到B的时间与从B到C的时间之比为2∶1，故C正确；小球从A到B过程只受重力作用，故加速度为g，小球从B到C过程，所受合力为F电场－mg＝ma，解得a＝2g，故小球从A到B与从B到C的加速度大小之比为1∶2，故D错误。
1－2(2019·山东青岛二模)如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝37°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，则v1、v2大小之比为()A．9∶8 B．8∶9 C．3∶2 D．2∶3答案 A解析两球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，它们在竖直方向的位移相等，小球在竖直方向做自由落体运动，由于竖直位移h相等，它们的运动时间t＝2hg相等；对球Q：tan37°＝yx＝12gt2v2t＝gt2v2，解得：v2＝23gt；球P垂直打在斜面上，则有：v1＝v y tanθ＝gt tan37°＝34gt，则：v1v2＝34gt23gt＝98，故A正确，B、C、D错误。
命题角度2 运动的合成与分解例2(2019·全国卷Ⅱ)(多选)如图a，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。
某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v-t图象如图b所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。
则()A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大解析v-t图象中图线与t轴包围的面积表示位移的大小，第二次滑翔过程中v-t图线与t轴所围面积比第一次的大表示在竖直方向上的位移比第一次的大，A错误；由图a知落在雪道上时的水平位移与竖直位移成正比，再由A项分析知，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次滑翔过程中竖直方向的速度变化比第二次的大，时间比第二次的短，由a＝ΔvΔt，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，C错误；v-t图象的斜率表示加速度，竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上的加速度比第一次的小，设在竖直方向上所受阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在竖直方向上受到的阻力比第一次的大，D正确。
答案BD(1)曲线运动问题的一般解决方法本例题看似是平抛问题，但由于考虑到阻力，运动员做的不是平抛运动，而是一般曲线运动。
2017年全国卷Ⅱ第25题、2018年全国卷Ⅰ第18题也是复杂的曲线运动，应引起重视。
解决这类问题的关键是明确各分运动的性质，运用运动的合成与分解以及功能关系等知识求解。
(2)关联速度问题对于用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，两物体的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。
常用的解答思路：先确定合速度的方向，然后分析合运动所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向(作出分速度与合速度的矢量关系的平行四边形)。
备课记录：2－1(2018·全国卷Ⅰ) 如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点。
一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动。
重力加速度大小为g。
小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为()A．2mgR B．4mgR C．5mgR D．6mgR答案 C解析小球始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，机械能的增量ΔE 机＝W除G外力，机械能的增量等于水平外力在从a点开始运动到其轨迹最高点过程做的功。
设小球运动到c点的速度为v c，由动能定理有：F·3R－mg·R＝12m v2c，解得：v c＝2gR。
小球运动到c点后，根据小球受力情况，可分解为水平方向初速度为零的匀加速运动，加速度为a x＝g，竖直方向的竖直上抛运动加速度也为g，小球上升至最高点时，竖直方向速度减小为零，时间为t＝v cg＝2gRg，水平方向的位移为：x＝12a x t2＝12g⎝⎛⎭⎪⎫2gRg2＝2R，综上所述小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为ΔE机＝F·(3R＋x)＝5mgR，C正确。
2－2(2019·济南模拟)曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转换的主要运动零件。
如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。
在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是()A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0C．当OPQ在同一直线时，活塞运动的速度等于v0D．当OPQ在同一直线时，活塞运动的速度大于v0答案 A解析当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将曲轴在P点的速度v0分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，则此时v0cosθ＝v cosθ，即v＝v0，A正确，B 错误；当OPQ在同一直线时，曲轴沿杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，C、D错误。
高考考向2圆周运动问题命题角度1 水平面内的圆周运动例3(2019·陕西省汉中一模)(多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的两倍。
现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是()A．B受到的静摩擦力一直增大B．B受到的静摩擦力是先增大后减小再增大C．A受到的静摩擦力是先增大后减小D．A受到的合外力一直在增大解析由杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等知，A、B质量相等，设为m。