【K12教育学习资料】[学习](全国通用版)2019高考数学二轮复习 12+4分项练9 直线与圆 文

12＋4分项练9 立体几何1．已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是( )A．必存在平面α，使得a∥α，b∥αB．必存在平面α，使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α，使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α，使得a，b与α的距离相等答案 C解析由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O(不在a，b上)，过点O分别作a，b的平行线，则由过点O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A正确；在B中，平移b至b′与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b′夹角的平分线，明显可以作出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面使得a，b′与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以．故B正确；在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α，使得a⊂α，b⊥α，故C错误；在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故D正确．故选C. 2．(2018·泸州模拟)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β答案 D解析由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质得a∥β，故D正确．3．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正(主)视图是( )答案 A解析取DD1的中点F，连接AF，C1F，平面AFC1E为截面．如图所示，所以上半部分的正(主)视图，如A选项所示，故选A.4．(2018·昆明模拟)一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正(主)视图和侧(左)视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为( )A．13π B．12π C．11π D．23π答案 B解析 由三视图可知，该几何体是一个圆台，内部挖去一个圆锥．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，圆锥底面为圆台的上底面，顶点为圆台底面的圆心． 圆台侧面积为π(1＋2)×2＝6π， 下底面面积为π×22＝4π， 圆锥的侧面积为π×1×2＝2π.所以该几何体的表面积为6π＋4π＋2π＝12π.5．(2018·洛阳统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.233B.152C.476 D ．8 答案 A解析 根据题中所给的几何体的三视图，可以得到该几何体是由正方体切割而成的， 记正方体为ABCD －A 1B 1C 1D 1，取A 1D 1的中点M ，取D 1C 1的中点N ， 该几何体就是正方体切去一个三棱锥D －MND 1之后剩余的部分， 故其体积为V ＝23－13×12×1×1×2＝233.6．现有编号为①，②，③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 B解析 根据题意可得三个立体几何图形如图所示：由图一可得侧面ABD ，ADC 与底面垂直，由图二可得面ACE 垂直于底面，由图三可知，无侧面与底面垂直．7．(2018·漳州模拟)在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，A 1B 1＝3，B 1C 1＝4，A 1C 1＝5，AA 1＝2，则其外接球与内切球的表面积的比值为( ) A.294 B.192 C.292 D ．29 答案 A解析 如图1，分别取AC ，A 1C 1的中点G ，H ，连接GH ， 取GH 的中点O ，连接OA ， 由题意，得A 1B 21＋B 1C 21＝A 1C 21， 即△A 1B 1C 1为直角三角形，则点O 为外接球的球心，OA 为半径， 则R ＝OA ＝1＋254＝292；如图2，作三棱柱的中截面，则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心，中截面三角形的内切圆的半径r ＝3＋4－52＝1，也是内切球的半径，因为R ∶r ＝29∶2，则其外接球与内切球的表面积的比值为4πR 24πr 2＝294.8．(2018·南昌模拟)已知E ，F ，H ，G 分别是四面体ABCD 棱AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝EB ，BF ＝FC ，CH ＝2HD ，AG ＝2GD ，则下列说法错误的是( ) A ．AC ∥平面EFH B ．BD ∥平面EFGC ．直线EG ，FH ，BD 相交于同一点 D ．FE ∥GH答案 B解析对于A，EA＝EB，BF＝FC，CH＝2HD，AG＝2GD，可得到GH∥AC，EF∥AC，又AC⊄平面EFH，故AC∥平面EFH，选项A正确．对于B，因为BD和FH不平行，而且两条直线在同一平面内，故得到两直线相交，可得到BD 与平面EFG是相交的关系．选项B不正确．对于C，由A选项，结合平行线的传递性得到GH∥EF，则E，F，G，H四点共面，且为梯形，延长EG和FH相交于点M，则点M在FH的延长线上，故在面BCD内，同理M点也在平面ABD 内，故M应该在两个平面的交线上，即在直线BD上，故得证．选项C正确．对于D，由选项A，C可知选项D正确．9.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案 D解析对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确．10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝60°，AC＝4，E为AA1的中点，点F为BE的中点，点H在线段CA1上，且A1H＝3HC，则线段FH的长为( )A．2 3 B．4C.13 D．3答案 C解析 由题意知，AB ＝8，过点F 作FD ∥AB 交AA 1于点D ，连接DH ，则D 为AE 中点，FD ＝12AB＝4， 又A 1H HC ＝A 1DDA＝3，所以DH ∥AC ，∠FDH ＝60°， DH ＝34AC ＝3，由余弦定理得FH ＝42＋32－2×4×3×cos 60°＝13，故选C.11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈3163V ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈36031V B ．d ≈32VC ．d ≈3158V D ．d ≈32111V 答案 D解析 根据球的体积公式V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫d 23，得d ＝36V π，设选项中的常数为a b ，则π＝6ba， 选项A 代入得π＝31×660＝3.1，选项B 代入得π＝62＝3，选项C 代入得π＝6×815＝3.2，选项D 代入得π＝11×621＝3.142 857，D 选项更接近π的真实值，故选D.12．已知四边形ABCD 为边长等于5的正方形，PA ⊥平面ABCD ，QC ∥PA ，且异面直线QD 与PA 所成的角为30°，则四棱锥Q －ABCD 外接球的表面积等于( )A.12524π B ．25π C.1256π D.1252π 答案 B解析 因为PA ⊥平面ABCD ，QC ∥PA ，所以QC ⊥平面ABCD ，且异面直线QD 与PA 所成的角即∠DQC ， 所以∠DQC ＝30°， 又CD ＝5，所以QC ＝15. 由于CB ，CQ ，CD 两两垂直，所以四棱锥Q －ABCD 的外接球的直径就是以CB ，CQ ，CD 为棱的长方体的体对角线，设四棱锥Q －ABCD 外接球的半径为R ，则R ＝52，所以外接球的表面积为4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π.13.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．答案 2解析 因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在Rt△PAC 中，AC ＝12AB ＝12PA ，所以tan∠PCA ＝PAAC＝2.14.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为________．答案 60°解析 因为几何体是棱柱，BC ∥B 1C 1，则∠A 1CB 就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝2，则BA 1＝AA 21＋AB 2＝2，CA 1＝AA 21＋AC 2＝2，所以△BCA 1是正三角形，故异面直线所成的角为60°.15．(2018·南昌模拟)已知正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底边长分别为33，43，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O 的球面上，且球心O 在正三棱台ABC －A 1B 1C 1内，则球O 的表面积为________． 答案 100π解析 因为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底边长分别为33，43， 取正三棱台的上、下底面的中心分别为E ，E 1， 则正三棱台的高为h ＝EE 1＝7，在上下底面的等边三角形中， 可得AE ＝23AD ＝3，A 1E 1＝23A 1D 1＝4，则球心O 在直线EE 1上，且半径为R ＝OA ＝OA 1， 所以OE 2＋32＝OE 21＋42，且OE ＋OE 1＝7， 解得OE ＝4，所以R ＝OE 2＋32＝5， 所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝100π.16．已知三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，若球O 的体积为256π3，则三棱锥O —ABC 的体积是________．答案54解析 三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，则AC ＝3，∴S △ABC ＝12×1×1×sin 120°＝34，设球半径为R ，由球的体积V 1＝43πR 3＝256π3，解得R＝4.设△ABC 外接圆的圆心为G ，∴外接圆的半径为GA ＝32sin 120°＝1，∴OG ＝R 2－GA 2＝42－12＝15， ∴三棱锥O —ABC 的体积为V 2＝13S △ABC ·OG ＝13×34×15＝54.。