2014年数学二真题及答案解析

2014年数学二真题及答案解析

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

• • •

1 ________________________________________ (1)当X 0时，若In (1 2x)，(1 cosx)—均是比X咼阶的无

2

(A) (2, )(B) (1,2)(C)(2,1)

(D)囲)

⑵下列曲线中有渐近线的是()

(A) y x sin x (B) 2 .

y x sin x

(C) y x sin 1 x (D) y 2 . 1

x sin

x

⑶设函数f( x)具有2阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，贝y 在区间［0,1］上( )

(A)当f(x)0 时，f (x) g(x) (B)当f (x) 0时，

f(x) g(x)

(C)当f(x) 0 时，f (x) » g(x) (D)当f (x) 0时，f(x) g(x)

⑷丄 2

曲线x t2 y t27上对'

4t 1

应于t 1的点处的曲率半径是

3

2

4

(D) 5.10

(D )1 (6)设函数u(x,y)在有界闭区域D 上连续，在D 的内部

2

2

2

具有2阶连续偏导数，且满足」0及-u -4 0，则

x y

x y

( )

(A) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) u(x,y)

的最大值和最小值都在D 的内部上取得

(C)

u(x,y)

的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的

边界上取得

(A)

10 50

■ 10 100

(C) 10.10

(5) 设函数 f (x) arctan x ,

f(x) xf ()

,

lim 2 x 0

x 2

(A)

1

(叫 (C)1

(D)u(x, y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得

5

2 6

(C) a 2d 2

b 2e 2

(D) b 2e 2

a 2d 2

(8)设

1, 2,

3

均为3维向量，则对任意常数k,l ,向量 组

1

k 3, 2

l 3

线性无关是向量组

无 关 的

要条件

非必要条件

1、填空题：9： 14小题,每小题4分,共24分.请将 答案写在答题纸指定位置上.

• • •

dx

2x 5

(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且

f(x) 2(x 1), x [0,2]

，贝V f(7)

_________________

.

⑺

行

列

(

)

(A)

2

(ad bc)

0 a b 0 式

a 0 0

b 0

c

d 0

c

0 0 d

(A)必要非充分条件 (B)充分非必 (C)充分必要条件 (D)既非充分也

((9)

(B) (ad be)2

7

(11) 设z z(x,y)是由方程e

2yz

x y 2 z 4

确定的函数，则

dz

(2$ --------------------------------------------------------------

.

(12) 曲线r r()的极坐标方程是r ，则L 在点

(r ，)(-.-)

处的切线的直角坐标方程是 _______________ .

(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间［0,1］上，若其 线密度 x x 2

2x 1 ,则该细棒的质心坐标

x _________________

.

(14) 设二次型 f x 1

,x,,x 3

x ,

2

x,2

2ax ,

x 4乂2

冷的负惯性指

数为1,则a 的取值范围为 ________ .

三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在 答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过

• • •

程或演算步骤. (15)(本题满分10分)

(16)(本题满分10分)

已知函数y y x 满足微分方程x 2

y 2y 1 y ，且y 2 0 ,

求极限

x lim

1

X 2 t t e ' 1 t dt

1

x 2ln 1

丄

x

8

求y x 的极大值与极小 值.

(17) (本题满分10分) 设平面区域D

xsin 、x 2 y 2 dxdy .

D x y

(18) (本题满分10分)

设函数f (u)具有二阶连续导数, 三乍

(4z excosy)e2x

，若

f(0) 0'f

(0) 0

，

(19)(本题满分10分) 设函数f(x),g(x)的区间［a,b ］上连续，且f(x)单调增

加，0 g(x) 1.证明: (I) 0 a

g(t)dt x a,x [a,b],

(20)(本题满分11分)

f 1(x) f(x), f 2(x) f(f 1(x)), L f n (x) f(f n 1(x) ),L

，记 S n

是由曲线 y 围

成平面图形的面积，求极限

x, y 1

x 2 y

4,x 0, y 0 ,

计算

z f (e x cosy)满足 f

(u)

的表达式.

(II)

g(t)dt

a

f(x)dx f (x)g(x)dx . 设函数 f(x) —,x 0,1

1 x

定义函数列 f n (x)

，直线x 1及x 轴所

lim nS n

n