三角形的五心向量结论证明
完整版三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。
2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。
三角形五心的向量表示
三角形五心的向量表示J DZ 小飞在空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面或在一个平面内，则称这个向量平行于该平面.我们把平行于同一平面的一组向量称为共面向量，不平行于同一平面的一组向量称为不共面向量.定理1（平面向量基本定理）：如果向量,a b 不共线，那么向量r 与向量,a b 共面的充要条件是λµ=+r a b ，（1）其中,λµ是被向量,a b 和r 唯一确定的数量.推论1：三个向量a b c 、、共面的充要条件是存在三个不全为零....的实数λµν、、，使λµν++=a b c 0.（2）推论2：三个向量a b c 、、其中无二者共线，则共面的充要条件是存在三个全不为零....的实数λµν、、，使λµν++=a b c 0.（3）推论3：如果三个不共面向量a b c 、、满足：λµν++=a b c 0，其中,,R λµν∈，那么0λµν===.推论4：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在平面OAB 上的充要条件是OC OA OB λµ=+������������，（4）其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����唯一确定的数量.【注意】《共面向量·推论4》与《共线向量·推论4》是有区别的。
《共线向量·推论4》：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在直线AB 上的充要条件是OC OA OB λµ=+������������，其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����唯一确定的数量，且1λµ+=.定理2(平面向量基本定理的面积表示)：已知ABC ∆，则点M 在平面ABC 上的充要条件是.AMC ABMABC ABCS S AM AB AC S S ∆∆∆∆=+�������������i i （5）其中ABM S ∆、AMC S ∆和ABC S ∆是有向面积。
初中的几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
完整版三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。
2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。
三角形五心(外心内心重心旁心)相关结论与应用汇总(精品)
(h
a)
b
(h
b)
a
h
(b
a)
0.
(h b) a 0
AH BC.
垂心
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．
例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
可以大显神通了.
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB.
3答案
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB =( 90 －∠1)+( 90 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK， ∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 180 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º .由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
三角形各心的向量表示及证明
【一些结论】：以下皆是向量1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)}, AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
三角形各个心的有关向量结论
三角形各个心的有关向量结论三角形是初中数学的重点之一，它们在几何的许多领域都有应用。
除了三条边之外，三角形还有很多其他有趣的属性和结论。
今天，我们将重点关注与三角形各个心的有关向量结论。
首先，让我们来介绍一下三角形的“心”。
一个三角形的“心”是它的重心、外心、内心、垂心和费马点。
这五个点都具有特殊的几何意义，它们与三角形的性质密切相关。
现在，我们来看一些关于这五个“心”的向量结论。
这些结论包括：1. 重心：三角形的三条中线的交点是三角形的重心。
向量表示为$$\overrightarrow{G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A}+\overrigh tarrow{B}+\overrightarrow{C})$$其中，A、B、C分别是三角形的三个顶点的向量表示。
2. 外心：三角形外接圆的圆心是三角形的外心。
向量表示为$$\overrightarrow{O}=\frac{\overrightarrow{a}\times\overright arrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}+\overrigh tarrow{b}\times\overrightarrow{c}}{2\overrightarrow{a}\cdot\o verrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}}$$其中，a、b、c分别是三角形的三个边的向量表示。
3. 内心：三角形内切圆的圆心是三角形的内心。
向量表示为$$\overrightarrow{I}=\frac{a\overrightarrow{A}+b\overrightarr ow{B}+c\overrightarrow{C}}{a+b+c}$$其中，a、b、c分别是三角形的三个边的长度；A、B、C分别是三角形的三个顶点的向量表示。
4. 垂心：三角形的三条高线交于垂心，它与对应的顶点相连的线段垂直。
三角形五心的证明
三角形五心的证明
三角形五心证明
三角形五心是一个普遍存在的几何定理，它说明在任何一个三角形中，其内部总是存在三条中垂线相交的心形，在每个角上还有两个凹点，就形
成了五点的心形。
在推导三角形五心定理前，我们先来看看三角形的基本概念：
定义1：三角形是由三条有限直线构成的面，这三条直线两两相交构
成三个点。
定义2：三角形的角是三条有限直线在其共同点处所形成的角，三角
形的三个角一定都是小于180°的角。
定义3：三角形的高是连接其三个顶点的直线与其对边的中垂线，每
一条高垂线将它所连接的对边截成两部分，称之为垂足。
现在我们开始推导三角形五心定理：
步骤一：证明存在三角形内部心形
同样，我们也可以在三角形B和三角形C的内角处做高为b/2和c/2
的垂线。
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若O是△ＡBC的外心,则S△ＢOC：Ｓ△ＡOC：S△ＡOB=siｎ∠BOＣ:sｉn∠AOC：sin∠AＯB＝sin∠２A:sｉn∠2B：ｓｉn∠２Ｃ
故sin∠2A· +sｉn∠2B· +sin∠2Ｃ· ＝
直线 的方程是 ,由于点 与点 必在直线 的同侧，且 ,因此有 ,得 .
于是，容易验证， ,
又 , , ， 又 ,则所证成立.
与三角形“四心”相关的向量结论
随着新课程对平面几何推理与证明的引入,三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一,与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时,能引起一些启示。
三角形的五心向量结论证明
———————————————————————————————— 作者：
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ﻩ
三角形的五心向量结论证明
1. 是 的重心 （其中 是 三边)
证明:充分性: 是 的重心
若 ，则 ，以 , 为邻边作平行四边形 ，设 与 交于点 ,则 为 的中点，有 ,得 ，即 四点共线，故 为 的中线,同理， 亦为 的中线,所以, 为的重心。
( + )· =（ ＋ )· =( + ）· ＝0（O为三边垂直平分线的交点)
*若点O为△ABC所在的平面内一点，满足 ，则点O为△ABＣ的外心。
证明：因为 ，所以
同理得 由题意得 ,所以 ,得 。故点O为△ABＣ的外心。
* 两点分别是 的边 上的中点,且
若Ｏ是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC:S△ＡOB＝siｎ∠BOＣ:ｓｉn∠ＡＯＣ:sｉｎ∠AOB=ｓin∠2A:sin∠2B:sin∠２C故sin∠2A· +ｓin∠２B· +ｓin∠2C· =
结论２： 为 内心,则
分析：内心在三角形的内部，且易证Ｓ△BOC:S△COＡ:Ｓ△AＯＢ＝
结论3： 为 的外心，则
分析：易证S△BＯC：S△ＣOA:S△AOB＝sｉｎ2A：ｓｉn2B：sｉn２C.
由结论3及结论: 为 的外心， 为 的垂心，则 可得结论4。
结论４:若 为 垂心，则
即
证明:∵对任意 有 ,其中 为外心， 为垂心，
4. 是 的内心 。(其中 是 三边）
证明:充分性: 是 的内心
=
所以 ,而 ， 分别是 , 方向上的单位向量，所以向量 平分 ,即 平分 ，同理 平分 ，得到点 是 的内心。
＊ 为 的内心 .内心（角平分线交点）
证明: 分别为 方向上的单位向量, 平分 ,
),
同理：
得 代入 解得 ，
（ )
化简得 ,
问题：设点 在 内部，且有 ,则 与 的面积的比值是_＿__.
分析:∵ 设 ，则 ，
则点 为 的重心.∴ ．
而 ,∴ ．
探究：实际上,可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。
结论：设 点在 内部,若 ,则
证明：已知 点在 内部,且
设： ，则点 为△DEF的重心,
又 ， , ，
∴
说明：此结论说明当点 在 内部时，点 把 所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。
*设 ，则向量 必平分∠BＡC，该向量必通过△AＢC的内心;
*设 ，则向量 必平分∠BAC的邻补角
*
*O是△ＡＢC的内心充要条件是
*若O是△ＡBC的内心，则S△ＢOC:S△AＯＣ:S△AOB=a：ｂ:c
故ａ· +ｂ· +c· ＝ 或sinA· ＋sｉnB· +ｓinC· = ;
*设 为△ＡBＣ所在平面内任意一点，Ｉ为△AＢC的内心，
应用举例:设点 在 内部,且 ，则 的面积与 的面积之比是：
A．２：1Ｂ．3：1C．４:3D．３:2
分析：由上述结论易得: ,所以 ，故选D
当把这些点特定为三角形的“四心”时,我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。
引申：设 点在 内部，且角 所对应的边分别为
结论１:若 为 重心，则
分析：重心在三角形的内部，且重心把 的面积三等分.
＊△ＡＢC中 一定过 的中点,通过△ABＣ的重心
＊ 为△ABＣ的重心(P是平面上任意点)．
证明
∵G是△AＢＣ的重心
∴ ＝ ＝ ，即
由此可得 .（反之亦然(证略))
＊若O是 的重心，则
2.
*点 是 的垂心
证明: 是 的垂心 ,
同理
故当且仅当 .
*O是△AＢC所在平面内一点
则Ｏ是△ABC的垂心
证明：由 ,得 ,所以 。同理可证 。容易得到 由以上结论知O为△ABC的垂心。
由结论3可得： ,又易得 ,
∴．
点评：此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组:
解方程组可得结果。
例３:设 是 的垂心，当 时， ，求实数 的值.
分析:由结论4可得: .
而 ，整理后得:
由 ,可得 ,
∴ .而 ，
解得 ，∴ ．
∴ ,
则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数 ，使得 ,
即 ，由结论3得：
所以有: ，
所以可得：
化简后可得：
应用举例:
例１：已知 为 的内心，且 ,则角 的余弦值为。
分析：由结论2可得 ,所以由余弦定理可得：
例2:已知 的三边长为 ,设 的外心为 ，若 ，
求实数 的值。
分析： ，整理后即得: .
＊设 ,则向量 必垂直于边BC,该向量必通过△ＡBC的垂心
*若H是△ＡBＣ(非直角三角形)的垂心,
则
ＢHC:Ｓ△AＨC：S△AHＢ=tanＡ：tａnB:tanＣ
故ｔaｎA· +ｔaｎB· ＋tanＣ· =
３.点 是 的外心 ．
证明:O是△ABC的外心 ｜ |=| |=| |(或 2= ２＝ 2）(点Ｏ到三边距离相等）
*
内心I（,）
证明：由 是 的内心 。(其中 是 三边)（见内心的充要条件的证明）
, ∴I（, ）.
是 的内心 。(其中 是 三边)
5.若o为三角形的旁心,则a =b +c （abc是三边）
*已知 为 的外心，求证: ．
分析构造坐标系证明．如图3，以 为坐标原点， 在 轴的正半轴， 在 轴的上方. ,直线 的方程是 ,由于点 与点 必在直线 的同侧，且 ，因此有 ,得 ．