有限元公式集——03
材料的物理方程：④边界条件：
，弹性问题中系统势能的表达式：3，梁弯曲问题近似求解的Galerkin加权残值法所得到的线性
方程组：
5，有限元问题中物理量的表达：其中ωi为加权函数，一般可取1.
并有：
，梁单元
一般坐标系中的平面梁单元：③平面梁单元的坐标变换：
单元的坐标变换矩阵：局部坐标系中的空间梁单元的刚度矩阵：⑤空间梁单元坐标变换：梁单元的常用节点等效载荷：
其中： ）表示下标轮换，如1→2，2→3，3→1。
α3=x 1y 2-x 2y 1
β3=y 1-y 2
四节点矩形单元的刚度矩阵：
变形协调方程 ：y x x
y xy
yy xx ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2
2
222
单元刚度矩阵：。
有限元直接公式法
以上形式为：
R K u F
即表示
{反作用力矩阵}=[刚度矩阵]{位移矩阵}-{负荷矩阵}
2014年11月5日星期三 Introduction to ANSYS - Release 7.0
由于杆的上端是固定的，节点1的位移量是零，因此方程的 第一行应为u1＝0。所以应用边界条件将得到如下的矩阵方程：
Introduction to ANSYS - Release 7.0
在矩阵中将反作用力和负荷区分开来得到：
R1 k1 0 k1 0 0 0 0 0 0
k1 k1 k2 k2 0 0
2014年11月5日星期三
Introduction to ANSYS - Release 7.0
总结
以上我们通过一个例题说明了直接公式法的步骤，由 直接公式法和理论计算结果的比较可以发现，使用直接 公式法进行计算是有效的。 在后续的学习当中还会接触到其它几种用公式描述 有限元问题的方法，这些有限元的基本概念将会为更 好地使用ANSYS打下坚实的基础。
(1)
f 4445.25 29.39MPa Aavg 0.00015 f 4445.25 33.82MPa Aavg 0.00014 f 4445.25 40.01MPa Aavg 0.00011
(2)
(3)
(4)
f 4445.25 48.87 MPa Aavg 0.00009
2014年11月5日星期三
Introduction to ANSYS - Release 7.0
直接公式法
w1
例: 变横截面杆的一端固 定，另一端承受负荷P。杆的 上边宽度为w1，下边宽度为 w2。杆的厚度为t，长度为L。 弹性模量为E。
第三讲 有限元分析过程及例题讲解
→
Q2
Ke 23
→
K25
注意要用累加运算！
K25
=
K25
+
Ke 23
累加前总刚要清零！
长安大学汽车学院车辆工程系 王童
⎡ K11 K12
⎢ ⎢
K21
K22
⎢ K31 K32
⎢ ⎢
K41
K42
⎢ ⎢ ⎢
K51 K61
K52 K62
⎢ ⎢ ⎣
K71 K81
K72 K82
Tel：17792594186
K13 K14 K15 K16 K17 K18 ⎤
Ve
Ve
Ve
令： {Pbe}= ∫∫∫ [N ]T {Fb}⋅ dV 称单元等效体力载荷向量 Ve
{ } { } 单元体力虚功可以表示为： Wbe = Qe T Pbe
2）表面力虚功
W
e s
=
∫∫
{u}T {Fs }⋅ dA
=
∫∫
{Q e }T
[N ]T {Fs }⋅ dA
=
{Q e }T
∫∫
[N
]T {Fs }⋅ dA
y
Q6
③
Q5
3
4
Q7
①
Q2
②
④
Q4
1
Q1
2
Q3
x
长安大学汽车学院车辆工程系 王童 Tel：17792594186 Email：wangtong@
以单元①为例
①
Qe 2
Qe 1
Qe 4
Qe 3
⎧Q1e → Q1
局部自由度与整体自由 度的对应关系为
⎪⎪⎪⎨QQ32ee
→ →
有限元-结构静力学分析
03
结果优化
如果结果不满足设计要求，需要对有 限元模型进行优化设计，如改变梁的 截面尺寸、增加支撑等。
THANKS
谢谢您的观看
结构静力学的求解方法
解析法
解析法是通过数学方法求解结构在静载荷作用下的响应的求解方法。它通常 适用于具有简单几何形状和载荷条件的结构，如梁、板、壳等。
数值法
数值法是一种通过数值计算方法求解结构在静载荷作用下的响应的求解方法 。它通常适用于具有复杂几何形状和载荷条件的结构，如飞机、汽车等。
结构静力学的基本假设和简化
问题描述和基本方程
问题描述
弹性地基梁是支撑在弹性地基上的梁，受到垂直荷载的作用。该问题可描述为求 解地基反力和梁的挠度。
基本方程
该问题的基本方程包括梁的平衡方程、几何方程和物理方程。这些方程描述了梁 在受力后的变形和应力分布情况。
利用有限元法进行每个单元之间通过节点相连。每个节点具有三个自由度：沿 x、y、z方向的移动。
系统方程的建 立
将所有单元的平衡方程 和变形协调方程组合起 来，得到整个结构的系 统方程。
求解系统方程
利用数值方法（如高斯 消元法）求解系统方程 ，得到每个节点的位移 和应力。
结果分析和讨论
01
结果输出
输出每个节点的位移、应力、应变和 弯矩等结果。
02
结果评估
根据输出结果，对框架结构的强度、 刚度和稳定性进行评估，判断是否满 足设计要求。
连续性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是连续的， 即结构的内部没有空隙和缺陷。
各向同性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是各向同性 的，即结构的各个方向具有相同的材料性质。
均匀性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是均匀的， 即结构的各个部分具有相同的材料性质。
有限元三大方程公式
有限元三大方程公式有限元方法是一种重要的数值分析技术，用于求解结构力学、流体力学和热传导等工程学问题。
有限元方法基于有限元法，将连续的问题离散化成为微小的单元，并利用数值技术求解单元边界上的方程，最终通过组合这些边界方程得到整个问题的解。
在有限元方法中，三个常见的方程是：平衡方程、力学方程和能量方程。
下面将详细介绍这三个方程的公式及其意义。
一、平衡方程平衡方程是指物体在受到外力作用时，各部分之间保持力的平衡。
在力学中，平衡方程可表示为：∑F=0其中，∑F代表物体的所有外力的矢量和。
这个方程表明，在平衡状态下，物体上各个部分所受的外力的合力为零。
通过将平衡方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的平衡方程。
二、力学方程力学方程是用于描述物体内部受力情况的方程，一般由胡克定律得到。
对于线性弹性材料，力学方程可表示为：σ=(E/ν)[ε-α(T-T0)]其中，σ代表应力，E代表弹性模量，ν代表泊松比，ε代表应变，α代表线膨胀系数，T代表温度，T0代表参考温度。
这个方程表明，应力取决于应变、温度和材料性质。
在有限元分析中，常将力学方程表示为单元应变和单元应力之间的关系，即：σ=Dε其中，D代表弹性模量矩阵，包含了材料性质的信息。
通过将力学方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的力学方程。
三、能量方程能量方程是用于描述物体内部能量传递和转化的方程。
∂T/∂t=α∇²T其中，T代表温度，t代表时间，α代表热扩散率。
这个方程表明，温度随时间和空间的变化率取决于热传导率。
在有限元分析中，常将能量方程离散化为每个有限元单元的能量方程，即：∂T_i/∂t=∑(N_i∇T)其中，T_i代表单元i的温度，N_i代表形函数，∇T代表温度梯度。
通过将能量方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的能量方程。
综上所述，有限元分析中的三大方程包括平衡方程、力学方程和能量方程。
这些方程为结构力学、流体力学和热传导等工程学问题的求解提供了重要的数学模型，通过将这些方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的方程组，从而得到问题的数值解。
动力学问题的有限元法
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
T
V
dV VuT(fu u)dV SuTTdS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离
散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
Ma(t)Ca(t)Ka(t)Q(t)
方程中的系数矩阵分别为：系统质量矩阵，阻尼 矩阵，整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。
u N ae
u(x, y, z,t) u来自v(x,
y,
z, t)
w( x, y, z, t)
a
e
a a
1 2
a n
ai
uvii
(t) (t)
(i
1,2,, n)
wi (t)
• 为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原
理，在每个时刻 t，将连续介质中质点加上惯性力 u 和阻尼力 u ，则系统的动力学问题转化为等效静
• 如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：
Ma(t) Ka(t) Q(t)
• 上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动 方程。
• 从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元 分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而 引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动方程是耦合的二阶常 微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元 半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连 续的。
有限元分析法第3章 杆单元
提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第三章
杆单元
§ 3 –1
习题2：
一维等截面杆单元
已知：
求：杆两端的支反力
解
第三章 杆单元
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：
第三章
杆单元
§ 3 –2
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
u1 v1 u2
v2
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
单元2：2-3
135，l
按公式计算杆应力：
二维空间中的杆单元
得：
0 E 2 L 0 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 1 L 2 EA P 2A 1 P2
P 1 E 2 L P2 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 2 L 2 EA 0 2 A 0
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：
~ d i Tdi
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
有限元基础知识归纳
有限元基础知识归纳有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处Ni=1,其它节点Ni=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
有限元法PPT课件
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
有限元隐式欧拉法计算公式
有限元隐式欧拉法计算公式有限元隐式欧拉法是一种常用的数值计算方法，它在工程学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍有限元隐式欧拉法的计算公式，并探讨其在实际问题中的应用。
有限元隐式欧拉法是一种数值求解微分方程的方法，它通过将微分方程离散化，然后利用数值方法求解离散化后的方程，从而得到微分方程的数值解。
有限元隐式欧拉法的基本思想是将微分方程的解表示为一系列离散的节点上的值，然后利用这些节点上的值来逼近微分方程的解。
有限元隐式欧拉法的计算公式可以表示为如下形式：\[ M \frac{d^2u}{dt^2} + C \frac{du}{dt} + Ku = F \]其中，\( M \)、\( C \)、\( K \) 分别表示质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，\( u \) 表示位移向量，\( F \) 表示外力向量。
有限元隐式欧拉法通过对上述微分方程进行离散化，得到如下形式的方程：\[ M \frac{u_{n+1} 2u_n + u_{n-1}}{\Delta t^2} + C \frac{u_{n+1} u_n}{\Delta t} + Ku_n = F_n \]其中，\( u_n \) 表示第 \( n \) 个时间步的位移向量，\( \Delta t \) 表示时间步长。
有限元隐式欧拉法的计算公式可以通过求解上述离散化后的方程得到位移向量\( u_{n+1} \)。
具体求解方法通常采用迭代法或者直接求解线性方程组的方法。
在实际应用中，有限元隐式欧拉法通常与有限元方法结合使用，通过有限元方法将连续的物理问题离散化，然后利用有限元隐式欧拉法求解离散化后的方程。
有限元隐式欧拉法在工程学和物理学中有着广泛的应用。
例如，在结构动力学中，有限元隐式欧拉法可以用来求解结构的动力响应，从而分析结构的振动特性和动态响应。
在地震工程中，有限元隐式欧拉法可以用来模拟地震对结构的影响，从而评估结构的抗震性能。
在流体力学中，有限元隐式欧拉法可以用来模拟流体的运动，从而分析流体的流动特性和压力分布。
弹性力学与有限元分析
m α 式中： = ∑i ， α1,α2 ,⋯ 2m 为待定系数。把位移函
i=1
n+1
数的这种描述形式称为广义坐标形式。 在确定二维多项式的项数时，需参照二维帕斯卡三 角形，即在二维多项式中，若包含帕斯卡三角形对称轴 一侧的任意一项，则必须同时包含它在对称轴另一侧的 对应项。
1 x x2 x3 x4 y xy y2 y3
1、结构的离散化——单元划分 2、假设单元的位移插值函数和形函数 3、计算单元刚度矩阵 4、载荷移置——把非节点载荷等效地移置 到节点上 5、计算结构刚度矩阵，形成结构刚度方程 6、引入位移边界条件，求解方程 7、计算应力与应变
三、两种平面问题
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两大类。 体力——指分布于物体体积内的外力，它作用于 物体内部的各个质点上，如重力、磁力 和运动时的惯性力等。 面力——指均布于物体表面上的外力，它作用于 物体表面的各个质点上，如物体间的接 触力和气体压力等。
f (x, y)，把位移函数的这种描述形式称为插值函数形
式。 形函数具有以下两个性质： 1、形函数 Ni在节点 处的值为0。 2、在单元中任意一点，3个形函数之和为1，即：
i处的值为1，而在其余两个节点
Ni (x, y) + N j (x, y) + Nm (x, y) = 1
六、计算单元刚度矩阵
U(x, y) Ni f (x, y) = = V(x, y) 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
Ui V i 0 U j Nm Vj Um Vm
其中 Ni , N j , Nm 称为单元位移的形状函数，简称形函 数，其值为：
1、用单元节点位移表示单元中任一点的应变，得