(高一下数学期末10份合集)浙江省金华市高一下学期数学期末试卷合集
高一下学期期末数学试卷一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．底面半径为1的圆柱表面积为π6，则此圆柱的母线长为( )A ．2B ．3C ．5D ．172．平行六面体1111ABCD A B C D -中，既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知△ABC 的平面直观图△A 1B 1C 1是边长为2的正三角形，则原△ABC 的面积是( )A ．B ．4C ．D ．24．下列函数中最小值为2的是( )A ．1=+y xxB ．2yC ．2=+2+4y x xD ．4,(2)2y x x x =+>-+ 5．经过空间一点P 作与直线l 成45角的直线共有( )条A ．0B ．1C ．2D ．无数6．空间四边形SABC 中，各边及对角线长都相等，若,E F 分别为,SC AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于( ) A ．90 B ．60C ．45D ．307．若)0(,3,47≥-+=+-+=a a a Q a a P ，则,P Q 的大小关系是( )A ．P Q >B ．P Q =C ．P Q <D ．由a 的取值确定8．若一个正三棱柱的三视图如图所示：则这个正三棱柱的高和底面边长分别为( )A ．2,B ．2C ．2,4D ．4,29．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为6的正方形，侧棱⊥PA 底面ABCD ，且8PA =，则该四棱锥的体积是( )A ．288B ．96C ．48D ．14410．已知圆锥的高为1，轴截面顶角为120时，过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为( )AB ．C ．2D ．111．若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是( )A ．(]3,9B ．[)+∞,3C ．()+∞,3D ．[)+∞,912．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4，4，7，若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是( ) A ．π81B ．π36C ．4π81 D ．π324二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．)13．正四面体ABCD 中，,E F 分别是棱,BC AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为__________ 14．设,a b 是两个不重合的平面，,l m 是两条不同的直线，给出下列命题：(1)若l m l ,,αα⊂⊂∥β，m ∥β，则α∥β (2)若l l ,α⊂∥β，m =⋂βα，则l ∥m (3)若,,,l m l ⊥=⋂⊥βαβα则α⊥m(4)若m l ,α⊥∥α,l ∥β，则β⊥m ，其中正确的有__________(只填序号) 15．210,0,4x y x y>>+=且，若6222--≥+m m y x 恒成立，则m 范围是________ 16．已知平面α∥平面β，P 是βα,外一点，过点P 的直线m 与βα,分别交于,A C ，过点P 的直线n 与βα,分别交于,B D 且6,9,8PA AC PD ===，则BD 的长为__________三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图：空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB AD CD CB 上的点，且EF ∥GH ，求证：EF ∥BD ．18．(12分)已知三棱锥P ABC -各侧棱长均为三个顶角均为40，M ，N 分别为PA ，PC 上的点，求BMN△周长的最小值．19．(12分)已知不等式2364ax x -+>的解集为{}1x x x b <>或(1)求,a b 的值；(2)解不等式2()0ax ac b x bc -++<20．(12分)已知关于x 的不等式34x x a -+-<，(1)当2a =时解不等式；(2)如果不等式的解集为空集，求实数a 的范围．21．(12分)如图：平面四边形ABCD 中，AB BC CD a ===，90=∠B ，135=∠BCD，沿对角线AC 将ADC △折起，使面⊥ADC 面ABC ， (1)求证：⊥AB 面BCD ； (2)求点C 到面ABD 的距离．22．(12分)如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ^平面ABCD ，AD AB 2=是线段PD上的点，F 是线段AB 上的点，且(0)PE BFED FAl l ==>(1)判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； (2)当1l =时，证明：面 DEF 平面PAC ．高一下学期期末数学试卷一、选择题（10*5=50分）1．过点(1,0)且与直线220x y --=垂直的直线方程是（ ）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y +-= 2．设1,0a b c >><，给出下列三个结论：①c ca b>；②c c a b <；③log ()log ()b a a c b c ->-，其中所有的正确结论的序号是（ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③3．已知不等式2230x x --<的解集是A ，不等式260x x +-<的解集是B ，不等式20x ax b ++<的解集是A B ⋂，那么a =( )A ．3-B ． 1C ．1-D ．34．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，且cos cos a A b B =，则此三角形为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形5．等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为,,A B C ，则（ ）A ．ABC += B ．2B AC = C ．2()A B C B +=D ．22()A B A B C +=+6． 已知变量,x y 满足约束条件10020y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩， 则24x yz =⋅的最大值为（ ）A ．16B ．32C ．4D ．27． 已知数列{}n a 满足12111,1,||(2)n n n a a a a a n +-===-≥， 则该数列前2018项的和等于（ ） A ．2018 B ．2018 C ．2018 D ．8． 设,,l m n 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是（ ） (1)若//,//,l m m n l α⊥，则n α⊥； (2) 若//,,m l βαβα⊥⊥，则l m ⊥； (3)若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥； (4) 若//,,l m m n αα⊥⊥,则l n ⊥． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 49． 一个体积为的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）A．．8 C．．12 10． 曲线||||123x y -=与直线2y x m =+有二个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．4m >或4m <-B ．44m -<<C ．3m >或3m <-D ．33m -<<俯视图侧视图正视图二、填空题（5*5=25分）11． 已知实数,x y 满足250x y ++= ,_______；12．一个直径为32厘米的园柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为________厘米；13．在ABC ∆中，2,3,1AB AC AB BC ==⋅=，则BC =_______；14．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的对角线长是_____；它的外接球的体积是_____；15．将正奇数排列如下表（第k 行共k 个奇数），其中第i 行第j 个数表示为(,)i j a i j N **∈．例如3311a *=,若2013i j a *=,则i j +=_______．135791113151719三、解答题（共6题）16．（本小题12分）已知两定点(2,5),(2,1)A B -，直线l 过原点，且//l AB ，点M （在第一象限）和点N 都在l上，且||MN =AM 和BN 的交点C 在y 轴上，求点C 的坐标。
17．（本小题12分）已知{}n a 为等比数列，其前项和为n S ，且2()n n S a n N *=+∈（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若n n b na =，求数列{}n b 的前项和n T ．18．（本小题12分）设ABC ∆中的内角所对的边分别为,,a b c 且4cos ,25B b ==． （1）当53a =时，求角A 的度数； （2）求ABC ∆面积的最大值．19．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
已知2,AB AD ==:BD（1）PCD ∆的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小； （3）求三棱锥P ABE -的体积．20．（本小题13分）围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙，（利用的旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示。
已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为()x m ,修建此矩形场地围墙的总费用为y 元。
（1）将y 表示为x 的函数；（2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．21．（本小题14分）已知函数230123()()n n f x a a x a x a x a x n N *=+++++∈，且()y f x =的图像经过点2(1,)n ，1,2,3,n =，数列{}n a 为等差数列；（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当n 为奇数时，设[]1()()()2g x f x f x =--，是否存在自然数m 和M ，使得不等式1()2m g M <<恒成立？若存在，求出M m -的最小值 ；若不存在，请说明理由．一、参考答案CDCCD BCAAA二、11. 5 12。
12 13. 3 14. 147π314 15.6217.解：（Ⅰ）当1n =时，1120S a a ==+≠.当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=.……………………………………………3分因为{}n a 是等比数列，所以111221a a -=+==，即11a =.1a =-所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=*()n ∈N .…………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得12n n n b na n -==⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T .则231112232422n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯++⋅. ① 2312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅. ②①-②得 21111212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅211(222)2n n n -=++++-⋅112(12)2n n n -=---⋅(1)21n n =--⋅-.所以(1)21nn T n =-⋅+.………………………………………………12分18.解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . 因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得21sin =A . …………………4分因为b a <，所以A 是锐角，所以o30=A . ……………………6分 （Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 103sin 21==， ……………………7分 所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 58422-+=. ……………………9分 因为222a c ac +≥，所以8245ac ac -≤，所以10≤ac ，（当a c ==所以ABC ∆面积的最大值为3. ……………………12分（3）由（1）知A D⊥平面PAB ，EF ⊥平面PAB, EF=2 V P-ABE = V E-PAB =13 12222=23220.解 (1)设矩形的另一边长为a m ，则45180(2)1802225360360y x x a x a =+-+⨯=+-，由已知得360xa =，得360a x=.所以2360225360(2)y x x x =+->.……………6分(2)223603600,22510800.22536010440>∴+≥∴=+-≥x x y x x x .当且仅当2360225x x=时，等号成立.即当24x m =，修建围墙的总费用最小，最小总费用是20180元. ……………13分 21．（本小题满分14分）解：（I ）由题意得22102,)1(n a a a a n f n =++++= 即……………………1分 令;3)(4,2,2;1,1102221010=+-==++==+=a a a a a a n a a n 则令则 令.5)(9;3,3210333210=++-==+++=a a a a a a a a n 则设等差数列{a n }的公差为d ，则,0,1,202123==-==-=a d a a a a d ……3分.122)1(1-=⨯-+=∴n n a n ……………………4分易知：使M g m <<)21(恒成立的m 的最大值为0，M 的最小值为2，∴M-m 的最小值为2。
浙江省金华市十校2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)
．
16．已知：| |＝| |＝1，
值为
．
＝ ， ＝λ（
）（λ∈R），|
|＝ ，则|
|的最小
17．已知实数 x，y，z 满足：
，则|x|+|y|+|z|的最大值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知：圆 C 过点 D（0，1），E（﹣2，1），F（﹣1， ），P 是直线 l1：y＝x﹣2 上
sin（ ）﹣sin ＝
，故 D 错误．
故选：B．
4．已知：点 A（1，0），B（3，4），则线段 AB 的中垂线方程是（ ）
A．x+2y﹣6＝0
B．x﹣2y+2＝0
C．2x+y﹣6＝0
D．2x﹣y﹣2＝0
A．4
B．﹣4
C．1
D．﹣1
3．在△ABC 中，下列关系正确的是（ ）
A．sin（A+B）+sinC＝0
B．cos（A+B）+cosC＝0
C．tan（A+B）﹣tanC＝0
D．sin（ ）﹣sin ＝0
4．已知：点 A（1，0），B（3，4），则线段 AB 的中垂线方程是（ ）
A．x+2y﹣6＝0
B．x﹣2y+2＝0
）的值．
20．在锐角△ABC 中，∠ABC＝60°，D 为边 BC 上一点，且 BD＝2DC．
（Ⅰ）已知：sin∠BAC＝ sin∠ACB，AD＝2，求△ADC 的面积；
（Ⅱ）已知：AB＝9，AC＝3 ，求 AD． 21．已知函数 f（x）＝x2﹣2a|x﹣a|﹣2ax+1，a∈R．
（Ⅰ）求当 a＝1 时，函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 f（x）有 2 个零点，求 a 的取值范围． 22．已知：公差不为零的等差数列{an}，其前 n 项和为 Sn，S6＝30，等比数列{bn}的前三项 分别是 a2，a3，a5．
(高一下数学期末30份合集)浙江省金华市高一下学期数学期末试卷合集
高一下学期期末数学试卷一、本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 在数列{}n a 中，12n n a a +=+，且11a =，则4a 等于（ ） （A ）8 （B ）6 （C ）9 （D ）72. 将一根长为3m 的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1m 的概率是 （ ）（A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）233. 在△ABC 中，若222a b c +<，则△ABC 的形状是（ ）（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不能确定 4. 若0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ） （A ）33a b > （B ）a b < （C ）11a b > （D ）11a b< 5. 若实数x ，y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值是（ ）（A ）12-（B ）0 （C ）1 （D ）－1 6. 执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）（A ）2 （B ）12- （C ）3 （D ）237. 已知100件产品中有5件次品，从中任意取出3件产品，设A 表示事件“3件产品全不是次品”，B 表示事件“3件产品全是次品”，C 表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（ ）（A ）B 与C 互斥 （B ）A 与C 互斥（C ）任意两个事件均互斥 （D ）任意两个事件均不互斥8. 口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次。
则“两次取球中有3号球”的概率为（ ）（A ）59 （B ）49 （C ）25 （D ）129. 设O 为坐标原点，点A （4，3），B 是x 正半轴上一点，则△OAB 中OBAB的最大值为（ ） （A ）43 （B ）53 （C ）54 （D ）4510. 对于项数为m 的数列{}n a 和{}n b ，记b k 为12,(1,2,,)k a a a k m ⋯=⋯中的最小值。
浙江省金华市十校高一数学下学期期末调研考试试题
金华十校 2017-2018 学年第二学期期末调研考试高一数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1. 已知会合 A { x | x 2 0} ， B {1,2,3} ，则 A B （）A．{1,2,3} B ． {1} C ． {3} D ．2. 直线 ax 2 y 1 0 与直线2x 3y 1 0 垂直，则 a 的值为（）A．3 B ．4C．2 D ． 3 33. 函数y 2sin 2 x41是（）A．最小正周期为的奇函数 B ．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D ．最小正周期为的偶函数2 24. 在同一坐标系中，函数y e x与函数 y ln x 的图象可能是（）A ．B．C．D．5. 已知数列{ a n}是各项均为正数的等比数列，数列{ b n } 是等差数列，且a5b6，则（）A．a3a7 b4b8B．a3a7b4b8- 1 -C．a3a7b4b8D．a3a7b4b86. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为 a ，b， c ，若sin Asin Bsin C（ k 为非k 3 4零实数），则以下结论错误的选项是（）A．当C．当k 5 时，ABC 是直角三角形 B ．当k 2 时，ABC 是钝角三角形 D ．当k 3 时， ABC 是锐角三角形k 1时，ABC 是钝角三角形2x y 07. 设实数x，y知足拘束条件x 2 y 3 0 ，则z x y 1的取值范围是（）x 1A．1, 4 B ． 0,4 C ．1,1 D ． 0,1 2 28. 已知数列{ a n}知足a1 1 ， a n 1 a n 2n ( n N * ) ， S n是数列 { a n } 的前 n 项和，则（）A．a2018 22018 B ． S2018 3 21009 3C．数列{ a2n 1}是等差数列 D ．数列 { a n} 是等比数列9. 记max{ x, y, z}表示x，y，z中的最大数，若a 0 ， b 0 ，则max a, b, 1 3 的最a b小值为（）A． 2 B ． 3 C ． 2 D ． 310. 设AB 10 ，若平面上点 P 知足对随意的R ，恒有2AP AB 8 ，则必定正确的是（）A．PA 5 B ． PA PB 10 C ． PA PB 9 D ． APB 90 二、填空题：本大题有 7 涉题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分，把答案填在答题卷的相应地点 .11. 设函数f ( x) lg x ，则函数的定义域是，若 f (2 x) f (2) ，则实数 x 的取值范围是．12. 直线l：x y 2 3 0( R) 恒过定点，点 P(1,1) 到直线 l 的距离的最大值为．- 2 -13. 已知函数 f ( x)sin 2x3，则 f ( x) 的最小正周期是，当 x, 时，6 2f ( x) 的取值范围是．14. 在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c . 若 a 2b 2c 2 ab ，且 c 2 ，则角 C， S ABC 的最大值是．15. 已知 a2 ， b 1， a 2b 23 ，则向量 a ， b 的夹角为．16. 已知公差不为零的等差数列 { a n } 中， a 1 1，且 a 2 ， a 5 ， a 14 成等比数列， { a n } 的前 n 项和为 S n ， b n( 1)n S n . 则数列 { b n } 的前 2n 项和 T 2n．17. 若对随意的 x [1,4] ，存在实数 a ，使 x 2 ax bx2a( Rb,0) 恒建立， 则实数 b 的最大值为．三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 在平面直角坐标系 xOy 中， A(2, 4) 是 M ： x2y 2 12x 14 y 60 0 上一点 .（ 1）求过点A 的M 的切线方程；（ 2）设平行于OA 的直线 l 与 M 订交于 B ， C 两点，且 BC 2 OA ，求直线 l 的方程.19. 已知函数f x4cos x sin xa 的最大值为3.6（ 1）求a 的值及f ( x) 的单一递减区间； （ 2）若0,， f211，求 cos 的值 .2 520. 在ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c ， c 2b .- 3 -（ 1）若 a2 ， b 1，求 ABC 的面积；（ 2）若 a2 ，求 ABC 的面积的最大值 .21. 已知 a,b R ，函数 f (x) a x 2 1 x 2bx .（ 1）当 a 2 时，函数 f ( x) 在 [0,) 上单一递加，务实数 b 的取值范围； （ 2）当 a1时，对随意的 x [1,) ，都有 f ( x 2)f ( x) 恒建立，求 b 的最大值 .22. 已知各项为正的数列 { a n } 知足 a 1 1 ， a n 2 1 2a n . （ 1）若0 ，求 a 2 ， a 3 ， a 4 的值；n 2（ 2）若31a n 3.，证明： 32- 4 -金华十校 2017-2018 学年第二学期调研考试高一数学卷参照答案一、选择题1-5: BDACB6-10: DABCC 二、填空题11. (0, ) ， (1,)12.(2,3) ， 5 13.，[0,1] 14.60 ， 315.12016.n(2 n 1)17.9三、解答题18. 解：（ 1）圆 M 的标准方程： ( x 6)2 ( y 7) 2 25 ，圆心 M (6,7) ，半径 r5 ，∵ k AM74 3，∴切线方程为 y 4 4 ( x 2) ，即 4x 3y 20 0 .6 2 43（ 2）∵ k OA 2 ，∴可设直线 l 的方程为 y 2xm ，即 2x y m 0 .又 BC2 OA 2 22 424 5 ，∴圆心 M (6,7) 到直线 l 的距离22 67 mD52BC5 ， 2 5 ，即22( 1)2解得 m10 或 m 0 （不合题意，舍去） ，∴直线 l 的方程为 y2x 10 .19. 解：（ 1） f x4cos x sin x6a 4cos x3sin x1cos x a222 3sin x cos x 2cos 2 xa3 sin 2x cos2x1 a 2sin 2x1 a .6当 sin 2x6 1时，fxmax2 1 a3 ，∴ a 2 .由2k2x3 2k ， k Z . 获得 kx 5k ， k Z .23626因此 f ( x) 的单一递减区间为3 k ,5k， kZ .6（ 2）∵ f x2sin 2 x1 ， f11，∴ sin63 ，6255- 5 -又0, 2 ，∴6 6 , ，∴ cos64 ，35∴ coscos3cos 1 4 3 36 62sin610 .6220. 解：（ 1）∵ a2 ， b 1 ， c 2b 2 ，∴ cos Ab 2c 2 a 2 1 42 32bc4，43 27 . ∴ sin A144∴ S ABC1bc sin A 1 1 2 7 7 .2 24 4（ 2）∵ S1 b 2b sin A b2 sin A .2又 4b 2 b 24 2 2b b cos A ，∴ cos A∴ S 2 b 4 sin 2 A b 4 (1 cos 2 A)b 4 15 1 .4 b 225 14 b 2b 4( 5 b 21)29 (b 2 20)2 16 16 .416 99 9∴ S4 （当且仅当 b 25 时取等号） . 3 321. 解：（ 1）当 a 2 时， f ( x)2 x 21 x 2bx3x 2 bx 2, x1 .x 2 bx 2,0x 1b1由函数 f ( x) 在 [0,) 上单一递加，得6 ，化简得 b2 .b12∴实数 b 的取值范围 b 2 .（ 2）当 a1且 x [1, ) 时， f (x)x 21 x2 bx bx 1 ，f (x 2)(x 2)21 (x2)2 b( x 2) ，由 f ( x 2)f ( x) 得， ( x 2)2 1 (x 2)2b(x 2) bx 1，- 6 -化简得： 2b x2 4x 3 x20, x 34x 32)2，2( x 2,1 x 3∴ 2b 2 ，解得 b 1.∴实数 b 的最大值是1.22. 解：（ 1）a1 1，0 ，∴a n2 1 2a n，又数列 { a n } 各项为正. ∴ a2 2 2 ，a2 2 ；a323 3 2a2 2 2 22， a3 24；a423 7 72a3 2 24 24， a4 28.（ 2） 3 时，a n21 2a n 3 . （ i ）先证：a n 3 .∵ a n2 1 9 2(a n 3) ，∴an1 32 0 ，a n 3 a n 1 3∴ a n 1 3与 a n 3同号，又 a1 3 0 ，∴ a n 3 0 ，∴ a n 3 .1 （ ii ）再证：a n32 n 2.∵ a n21 2a n 3 3 ，∴a n 13 1，∴an 1 3 2 2 1 ，a n 3 a n 1 3 1 3 2当 n 2 时， 3 a n 1(3 a n 1 ) ，2(3 a ) 1 n 1∴ 3 a 1 n 1 2 2 n 2，1n 21∴a n . 又a1 1，∴a n3 32 2 n 2.- 7 -。
浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试题含答案
金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题卷（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则A B = （）A.{}|12x x << B.{}|03x x << C.{}|23<<x x D.{}3|1x x <<【答案】A 【解析】【分析】直接求交集即可.【详解】集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则{}|12A B x x ⋂=<<.故选：A.2.“π6θ=”是“1sin 2θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由π6θ=，可得1sin 2θ=成立，即充分性成立；反正：若1sin 2θ=，可得π2π6k θ=+或5π2π,6k k Z θ=+∈，即必要性不成立，所以π6θ=是1sin 2θ=的充分不必要条件.故选：A.3.数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【解析】【分析】根据中位数的求解方法可得【详解】这组数据是按从小到大的顺序排列的，且共有10个数据，又最中间两个数的平均数为454.52+=，该组数据的中位数为4.5故选：C 4.复数13i1iz -=+，则z =（）A.5B.C. D.32【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算化简得出复数，再结合复数的模长公式计算即可.【详解】因为()()()()2213i 1i 13i 1i 3i 3i 24i12i 1i 1i 1i 1i 2z -----+--=====--++--,所以z ==故选：B.5.已知,OA a OB b == ，点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，则PQ =uu u r（）A.a b+ B.22a b + C.b a - D.22b a- 【答案】D 【解析】【分析】根据向量加、减法的法则可得【详解】因为点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，所以22,22OP OM OA a OQ OM OB b +==+==，两式相减可得所以PQ =uu u r OQ OP -= 22b a - ，故选：D6.某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（）A.20πB.30πC.60πD.90π【答案】C【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可.【详解】如图所示，设球O 与圆锥底面相切于点N ，与母线BS 相切于点M ，根据已知得6,3BN OM ==，设母线长BS l =，则在直角△SBN 中SN ==因为SNB SMO △∽△，所以OS BSOM BN=即36336l =，化简得24600l l --=，解得10l =，或6l =-(舍去)，所以圆锥的侧面积为：ππ610=60πBN l ⋅⋅=⨯⨯.故选：C.7.若函数()()22e e 4e e 2xx x x f x b --=+-++（b 是常数）有且只有一个零点，则b 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由已知条件可判断()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，由函数有且只有一个零点，()f x 过坐标原点即可求解.【详解】函数的定义域为R ，因为()()()22ee 4e e 2xx x x f x b f x ---=+-++=，所以函数()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，因为函数有且只有一个零点，所以函数()f x 过坐标原点，()024220f b =-⨯+=，解得3b =.故选：B .8.已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222224a b c ++=，则ABC 面积的最大值为（）A.8B.4C.2D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用两次基本不等式得到2162ABC S ≤ ，从而得解.【详解】因为222224a b c ++=，则222122b c a +=-，24a <，即2222322b c a a +-=-，由余弦定理可得232cos 22bc A a =-，又2sin 4ABC bc A S = ，所以2222234cos 22b c A a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭①，22224sin 16ABC b c A S = ②，①+②可得22222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，又()22222221422b c b ca ⎛⎫≤+=- ⎪⎝⎭，即2222231216222ABC a S a ⎛⎫⎛⎫-+≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()22222221316222222ABCSa a a a ⎛⎫⎛⎫≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222a a ⎛⎫+-≤= ⎪⎝⎭，即2162ABC S ≤ ，即0ABC ABC S S ⎛+-≤ ⎝，解得04ABC S <≤=，当且仅当22222b c a a⎧=⎨=-⎩时，即21a =，2234b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为24.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用余弦定理与三角形的面积公式得到2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，从而结合基本不等式即可得解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.对于事件A 和事件B ，()0.4P A =，()0.5P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.4=P ABB.若A 与B 互斥，则()0.9P A B ⋃=C.若A B ⊂，则()0.1P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.2P AB =【答案】BD 【解析】【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB ，由A B ⊂，则AB A =，即可判断C ，由相互独立事件的定义，即可判断D【详解】因为()0.4P A =，()0.5P B =，若A 与B 互斥，则()0P AB =，()()()0.9P A B P A P B ⋃=+=，故A 错误，B 正确；若A B ⊂，则AB A =，所以()()0.4P AB P A ==，故C 错误；若A 与B 相互独立，则()()()0.40.50.2P AB P A P B ==⨯=，故D 正确；故选：BD10.已知,O A 与,B C 分别是异面直线a 与b 上的不同点，E ，F ，G ，H 分别是线段OA ，OB ，BC ，CA 上的点.以下命题正确的是（）A.直线OB 与直线AC 可以相交，不可以平行B.直线EH 与直线BC 可以异面，不可以平行C.直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交D.直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交【答案】BCD 【解析】【分析】A 可假设直线OB 与直线AC 相交，推出矛盾；B 先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾；C 根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交；D 由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行.【详解】A 选项，若直线OB 与直线AC 相交，则,,,O B A C 四点共面，则直线a 与b 共面，与题目条件直线a 与b 异面矛盾，故直线OB 与直线AC 不可以相交，A 错误；B 选项，当,E H 分别和,O A 重合时，直线EH 与直线BC 异面，直线EH 与直线BC 不可以平行，假如直线EH 与直线BC 平行，EH ⊂平面OAH ，BC ⊄平面OAH ，故//BC 平面OAH ，但BC 与平面OAH 有交点C ，显然这是不可能的，假设不成立，B 正确；C 选项，当,E F 均与O 重合，此时直线EG 与直线FH 相交，当调整,E G 的位置，可能有EG ⊥OA ，且令,F H 分别与,O A 重合，此时满足直线EG 与直线FH 垂直，故直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交，C 正确；D 选项，当,E H 均与A 重合，或,GF 均与B 重合时，直线EF 与直线GH 相交，当OE OF OA OB =时，EF 与AB 平行，当CG CHCB CA=时，GH 与AB 平行，此时EF 与GH 平行，其他情况，直线EF 与直线GH 异面，故直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交，D 正确.故选：BCD11.小明在研究物理中某种粒子点(),P x y 的运动轨迹，想找到y 与x 的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现y 和x 都与某个变量()t t ∈R 有关联，且有sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩.小明以此为依据去判断函数()y f x =的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于原点对称B.函数()y f x =是以2π为周期的函数C.函数()y f x =的图象存在多条对称轴D.函数()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD 【解析】【分析】根据y 的取值情况判断A 选项，根据正弦余弦函数周期性判断B 选项，根据圆的特性判断C 选项，应用复合函数单调性判断D 选项.【详解】对于A ：由题意知1cos 0y t =-≥，故()f x 不可能关于原点对称，A 选项错误；对于B:sin ,cos y x y x ==周期为2π，则()y f x =是以2π为周期的函数，B 选项正确；对于C ：当π,Z t k k =∈时，πsin ππ,Z x k k k k =-=∈,此时1cos y t =-有多条对称轴，C 选项正确；对于D:sin ,x t t =-设()()()sin ,1cos 0,h t t t h t t h t =-=-≥'单调递增，()11cos ,0,2g t t t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭单调递增，根据复合函数的单调性可得()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：根据对称中心及对称轴定义判对称性即可.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，则()()1ff =_____________.【答案】2【解析】【分析】根据定义域代入相应的解析式可得答案.【详解】因为()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，所以()211213f =+⨯=，()()()()2213log 31log42f f f ==+==.故答案为：2.13.甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发向北偏东60 的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为_____________千米.【答案】【解析】【分析】根据已知条件用余弦定理将甲、乙两船的距离表示出来，再求最小值即可求解.【详解】如图所示，设甲船航行到点C ，同时乙船航行到点D ，由已知得10AB =，120ABD ∠=︒，设BD AC x ==，则10BC x =-，在△BCD 中，由余弦定理得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅⋅︒，代入得222221(10)2(10)(10100(5)752CD x x x x x x x =-+---=-+=-+，所以当5x =时，CD =千米.故答案为：.14.在ABC 中，3AB =，6AC =，60BAC ∠= ，D 在边BC 上，延长AD 到E ，使15AE =.若32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则BD =_____________.【答案】4【解析】【分析】建系标点，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据向量的坐标运算解得3cos 5θ=，进而可得4tan 3θ=，结合图形即可得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()()(0,0,3,0,3,33A B C ，可知AB BC ⊥，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()15cos ,15sin ,315cos ,15sin ,315cos ,3315sin EA EB EC θθθθθθ=--=--=--，因为32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()3315cos 315cos 15cos 2t t θθθ⎛⎫-+--=-⎪⎝⎭，解得3cos 5θ=，且π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4sin 5θ==，sin 4tan cos 3θθθ==，所以tan 4BD AB θ=⋅=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：建系，根据15AE =可设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而结合题意运算.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知21,e e 是夹角为60的两个单位向量，()12122,2a e e b e e λλ=-=-∈R .（1）若,a b可以作为一组基底，求实数λ的取值范围；（2）若,a b垂直，求实数λ的值；（3）求b的最小值.【答案】（1）()(),44,-∞⋃+∞（2）0λ=（3【解析】【分析】（1）根据向量不平行，21,e e 的系数比值不相等可解；（2）根据0a b ⋅=，结合数量积运算性质即可得解；（3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质可得.【小问1详解】因为,a b 可以作为一组基底，所以,a b不平行，又21,e e 不共线，所以212λ≠--，即4λ≠，所以，实数λ的取值范围为()(),44,∞∞-⋃+.【小问2详解】因为,a b 垂直，所以()()1212220a b e e e e λ⋅=-⋅-=，即()2211222420e e e e λλ-+⋅+= ，又22121211,11cos 602e e e e ==⋅=⨯⨯︒= ，所以()124202λλ-++=，解得0λ=.【小问3详解】因为()()22222221211222442413be e e e e e λλλλλλ=-=-⋅+=-+=-+ ，所以，当1λ=时，2b 取得最小值3，所以b.16.已知函数()cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和其图象的对称中心；（2）在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足()f A =2a =，b =，求ABC 的面积S 的值.【答案】（1）值域为[]22-,，ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.（2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得值域，利用整体代入法求解可得对称中心；（2）根据()f A =A ，利用余弦定理求出c ，然后由面积公式可得.【小问1详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以值域为[]22-,，令ππ6x k k +=∈Z ，，得ππ,6x k k =-+∈Z ，所以()f x 的对称中心坐标为ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.【小问2详解】由()π2sin 6f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πA << ，ππ7π666A ∴<+<，所以ππ63A +=或2π3，即π6A =或π2A =，2a b =<=，π6A ∴=，由余弦定理得2π4122cos 6c =+-⨯，即2680c c -+=，解得2c =或4.当2c =时，11222S =⨯⨯=；当4c =时，11422S =⨯⨯=故所求ABC 的面积S 17.在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格.（1）求a 的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.【答案】（1）0.07a =，20.32小时（2）21.73小时（3）25【解析】【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出a ，利用平均数的定义进行计算；（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为y ，从而得到方程，求出答案；（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率.【小问1详解】由()0.020.060.0750.02541a ++++⨯=，解得0.07a =，因为()0.02120.06160.075200.07240.02528420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=小时，所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.【小问2详解】时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格，由题意知，即求60百分位数，又()0.020.0640.32+⨯=，()0.020.060.07540.62++⨯=，所以60百分位数位于18~22之间，设60百分位数为y ，则180.60.3222180.3y --=-，解得561821.7315y =+≈小时.故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.【小问3详解】易知，5名学生中，优秀有452442⨯=++人，设为,A B ，良好有452442⨯=++人，设为,C D ，合格有251442⨯=++人，设为E .任选3人，总共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B C A B D A B E A C D A C E A D E ()()()(),,,,,,,,,,,B C D B C E B D E C D E ，10种情况，其中符合的有()()()(),,,,,,,,,,,A C E A D E B C E B D E ，共4种，故概率为42105p ==.18.在四棱台1111ABCD A B C D -中，BC AD ∥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，2AD =，CD =，1111AB BC AA A D ====，1120A AB ∠= .（1）求证：1//A B 平面11CDD C ；（2）求直线1AA 与直线CD 所成角的余弦值；（3）若Q 是1DD 的中点，求平面QAC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24（3）75555.【解析】【分析】（1）根据平行直线的传递性可得11A B CD ∥，然后根据线面平行的判定可得（2）方法一，取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角，然后在直角三角形中求出余弦即可，方法二，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式1cos cos AA CD θ=，求出即可（3）利用二面角的定义找出QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角，求出平面QAC 的法向量()m x y z = ，，和平面ABCD 的法向量()001n = ，，，利用cos cos ,n m θ= 求解即可.【小问1详解】连接1CD ，111BC A D == ，11BC AD A D ∥∥，11A BCD ∴是平行四边形，11AB CD ∴∥.又1⊄A B 面11CDD C ，1CD ⊂面11CDD C ，故1//A B 平面11CDD C 【小问2详解】法一：取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角.在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥平面11ABB A ，BC ∴⊥平面1CED ，1BC CD ∴⊥，12BD ∴=，1cos 4BED ∠∴==-，所以，直线1AA 与直线CD所成角的余弦值为4.法二：在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥面11ABB A ，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，()020D ，，，11022AA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，()110CD =-，，1cos cos 4AA CD θ∴==，.【小问3详解】法一：过1D 作CE 延长线的垂线于O ，连接OD ，取OD 中点H ，连接QH ，过H 作HM AC ⊥，连接QM .易证QH ⊥面ABCD ，则QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角.11324QH OD ==，728MH =，所以1108MQ =，故cos 55MH QMH MQ ∠==.法二：()11010A D BC == ，，，11122D ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，，13424Q ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，设()m x y z = ，，是平面QAC的法向量，则0130424x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，，令x =，得)m =-，又()001n =，，是平面ABCD 的法向量，所以cos cos ,55n m θ===.19.假设()G x 是定义在一个区间I 上的连续函数，且(){|}G x x I I ∈⊂.对0x I ∀∈，记()()1100x G x G x ==，()()()()22100x G x G G x G x ===，…，()()()100n n n x G G x G x -== .若某一个函数()G x 满足()()()21000n n n Gx pG x qG x ++=+，则有n n n x s t αβ=+（其中α，β为关于x 的方程2x px q =+的两个根，s ，t 是可以由0x ，1x 来确定的常数）.（1）若02x =，13x =且满足()()()212222n n n G G G ++=-+.（ⅰ）求2x ，3x 的值；（ⅱ）求n x 的表达式；（2）若函数()G x 的定义域为A ，值域为B ，且()0,A B ∞==+，且函数()G x 满足()()()216n n n G x G x G x ++=-+，求()G x 的解析式.【答案】（1）（ⅰ）21x =，35x =；（ⅱ）()71233n n x =-⋅-（2）()2G x x =【解析】【分析】（1）（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，利用递推关系即可求解；（ⅱ）由题意知n nn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根可得()2nn x s t =+-，从而可得()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，求解即可；（2）由题意得()32nnn x s t =⋅-+⋅，又由值域为()0,B ∞=+可得0s =，从而可得0x t =，再由()10022x G x t x ===即可求解.【小问1详解】（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，又02x =，13x =，所以2102341x x x =-+=-+=，32121235x x x =-+=-+⨯=.（ⅱ）由题意知，nnn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根1，2-，()2n n x s t ∴=+-.又()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，所以7313s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()71233n n x ∴=-⋅-.【小问2详解】由题意知，α，β为关于x 的方程26x x =-+的两个根，所以3,2αβ=-=，则()32nnn x s t =⋅-+⋅，因为值域为()0,B ∞=+，易知0s =；2n n x t ∴=⋅，则002x t t =⋅=，()10022x G x t x ∴===，()2G x x ∴=.。
浙江省金华市高一下学期期末数学试卷
浙江省金华市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高一上·如东期中) 已知集合U={2，4，5，7，8}，A={4，8}，则∁UA=________．2. （1分）(2020·南京模拟) 某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成绩的方差为________．3. （1分）(2012·江苏理) 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．4. （1分） (2016高二下·姜堰期中) 掷一枚硬币，出现正面向上的概率为________．5. （1分） (2020高一下·湖北期末) 在中，，，对应边分别为a，b，c，且，，，则的边 ________.6. （1分）按下列程序框图来计算：如图，应该运算________次才停止．7. （1分）已知数列中，,则数列的前9项和等于________ .8. （1分） (2016高一上·沈阳期中) 设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣2）=0，则x•f（x）＜0的解集是________．9. （1分）(2018·长安模拟) 已知实数，满足不等式组且的最大值为，则 =________．10. （1分） (2017高二下·瓦房店期末) 在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为________．11. （1分） (2019高二上·四川期中) 设x，y满足约束条件，则的最小值为________.12. （1分） (2016高一上·江北期中) 已知函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是________．13. （1分）(2020·江苏模拟) 如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC ， CD 与BE交于点O ，若OB＝ OC ，则△ABC面积的最大值为________．14. （1分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a2 ， a4+2，a5成等差数列，a1=2，则an=________．二、解答题 (共6题；共55分)15. （5分） (2016高一上·广东期中) 已知A={x|a≤x≤2a﹣4}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0}，若A∩B=A，求a的取值范围．16. （10分） (2016高一下·攀枝花期中) 在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若• =4，b=4 ，求边a，c的值．17. （10分） (2015高一下·兰考期中) 已知向量 =（sinθ，cosθ﹣2sinθ）， =（1，2）．（1）若∥ ，求tanθ的值；（2）若，求θ的值．18. （10分） (2019高一下·黑龙江月考) 某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．（1）求包装盒的容积关于的函数表达式，并求函数的定义域；（2）当为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？19. （10分） (2019高一下·安庆期末) 已知正项数列前项和为，（1）求的值，并求数列的通项公式 ;（2）设，数列前项和为，求使不等式成立的正整数组成的集合.20. （10分）(2018·邵东月考) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共55分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
金华市十校2023-2024学年高一下学期6月期末试题(含答案)
金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合AA={xx|0<xx<2}，BB={xx|1<xx<3}，则AA∩BB=A．{xx|1<xx<2}B．{xx|0<xx<3}C．{xx|2<xx<3}D．{xx|1<xx<3} 2．“αα=π6”是“sinαα=12”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为A．3.5 B．4 C．4.5 D．54．复数zz=1−3i1+i，则|zz|=A．5 B．�5C．4√2D．32�����⃗=aa，OOBB�����⃗=bb，点PP关于点AA的对称点为MM，点MM关于点BB的对称点为QQ，则PPQQ�����⃗=5．已知OOAAA．aa+bb B．2aa+2bb C．bb−aa D．2bb−2aa6．某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为A．20πB．30πC．60πD．90π7．若函数ff(xx)=ee2xx+ee−2xx−4(ee xx+ee−xx)+2bb（bb是常数）有且只有一个零点，则bb的值为A．2 B．3 C．4 D．58．已知△AABBAA三个内角AA，BB，AA的对边分别是aa，bb，cc，且满足aa2+2bb2+2cc2=4，则△AABBAA面积的最大值为A．√28B．√24C．√22D．�2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．对于事件AA和事件BB，PP(AA)=0.4，PP(BB)=0.5，则下列说法正确的是A．若AA与BB互斥，则PP(AABB)=0.4B．若AA与BB互斥，则PP(AA∪BB)=0.9C．若AA⊂BB，则PP(AABB)=0.1D．若AA与BB相互独立，则PP(AABB)=0.210．已知OO，AA与BB，AA分别是异面直线aa与bb上的不同点，EE，FF，GG，HH分别是线段OOAA，OOBB，BBAA，AAAA上的点.以下命题正确的是A．直线OOBB与直线AAAA可以相交，不可以平行B．直线EEHH与直线BBAA可以异面，不可以平行C．直线EEGG与直线FFHH可以垂直，可以相交D．直线EEFF与直线GGHH可以异面，可以相交11．小明在研究物理中某种粒子点PP(xx,yy)的运动轨迹，想找到yy与xx的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现yy和xx都与某个变量tt(tt∈RR)有关联，且有�xx=tt−sin tt,yy=1−cos tt.小明以此为依据去判断函数yy=ff(xx)的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是A．函数yy=ff(xx)的图象关于原点对称B．函数yy=ff(xx)是以2π为周期的函数C．函数yy=ff(xx)的图象存在多条对称轴D．函数yy=ff(xx)在(0,12)上单调递增非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数ff(xx)=�log2(xx+1),xx>2,xx2+2xx,xx≤2.则ff(ff(1))= .13．甲船在BB岛的正南方向AA处，AABB=10千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自BB岛出发向北偏东60∘的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为千米.14．在△AABBAA中，AABB=3，AAAA=6，∠BBAAAA=60∘，DD在边BBAA上，延长AADD到EE，使AAEE=15.若EEAA�����⃗=ttEEBB�����⃗+ (32−tt)EEAA�����⃗，则BBDD= .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本题满分13分）已知ee1，ee2是夹角为60∘的两个单位向量，aa=2ee1−ee2，bb=λλee1−2ee2(λλ∈RR).（1）若aa，bb可以作为一组基底，求实数λλ的取值范围；（2）若aa，bb垂直，求实数λλ的值；（3）求|bb|的最小值.16．（本题满分15分）已知函数ff(xx)=√3sin xx+cos xx.（1）求函数ff(xx)的值域和其图象的对称中心；（2）在△AABBAA中，三个内角AA，BB，AA的对边分别是aa，bb，cc，满足ff(AA)=√3，aa=2，bb=2√3，求△AABBAA的面积SS的值.17．（本题满分15分）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格.（1）求aa的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.18．（本题满分17分）在四棱台AABBAADD−AA1BB1AA1DD1中，BBAA//AADD，平面AABBBB1AA1⊥平面AABBAADD，AADD=2，AADD=√2，AABB=BBAA= AAAA1=AA1DD1=1，∠AA1AABB=120∘.（1）求证：AA1BB//平面AADDDD1AA1；（2）求直线AAAA1与直线AADD所成角的余弦值；（3）若QQ是DDDD1的中点，求平面QQAAAA与平面AABBAADD的夹角的余弦值.19．（本题满分17分）假设GG(xx)是定义在一个区间II上的连续函数，且{GG(xx)|xx∈II}⊂II.对∀xx0∈II，记xx1=GG(xx0)=GG1(xx0)，xx2= GG(xx1)=GG(GG(xx0))=GG2(xx0)，…，xx nn=GG(GG nn−1(xx0))=GG nn(xx0)⋯.若某一个函数GG(xx)满足GG nn+2(xx0)= ppGG nn+1(xx0)+qqGG nn(xx0)，则有xx nn=ssααnn+ttββnn（其中αα，ββ为关于xx的方程xx2=ppxx+qq的两个根，ss，tt是可以由xx0，xx1来确定的常数）.（1）若xx0=2，xx1=3且满足GG nn+2(2)=−GG nn+1(2)+2GG nn(2).（ⅰ）求xx2，xx3的值；（ⅱ）求xx nn的表达式；（2）若函数GG(xx)的定义域为AA，值域为BB，且AA=BB=(0,+∞)，且函数GG(xx)满足GG nn+2(xx)=−GG nn+1(xx)+ 6GG nn(xx)，求GG(xx)的解析式. 【参考答案】金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．B 8．B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．BD 10．BCD 11．BCD非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．213．5√314．4四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（1）解：由题意得：aa，bb不平行，故2−1≠λλ−2，有λλ≠4.…………4分（2）aa⋅bb=2λλee12−(4+λλ)ee1⋅ee2+2ee22=0，∵ee12=ee22=1，ee1⋅ee2=12.∴2λλ−(4+λλ)12+2=0，解得λλ=0.…………9分（3）bb2=λλ2ee12−4λλee1⋅ee2+4ee22=λλ2−2λλ+4=(λλ−1)2+3当λλ=1时，(|bb|)min=√3.…………13分16．（1）解：ff(xx)=2sin(xx+π6)，所以值域为[−2,2]，…………2分令xx+π6=kkπ,kk∈ZZ，得xx=−π6+kkπ，所以其图象的对称中心坐标为(−π6+kkπ,0),kk∈ZZ.…………5分（2）由ff(AA)=2sin(AA+π6)=√3得sin(AA+π6)=√32，∵0<AA<π，∴π6<AA+π6<7π6，所以AA+π6=π3或2π3，即AA=π6或AA=π2，∵aa=2<bb=2√3，∴AA=π6，…………9分由余弦定理得4=12+cc2−2×2√3cc cos30∘，cc=2或4.…………12分当cc=2时，SS=12×2×2√3×12=√3；当cc=4时，SS=12×4×2√3×12=2√3.故所求△AABBAA的面积SS为√3或2√3.…………15分17．（1）解：由(0.02+0.06+0.075+aa+0.025)×4=1，解得aa=0.07，…………2分因为(0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28)×4=20.32，所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.…………5分（2）由题意可知，即求60百分位数，又∵(0.02+0.06)×4=0.32，(0.02+0.06+0.075)×4=0.62，∴60百分位数位于18~22之间，设60百分位数为yy，则yy−1822−18=0.6−0.320.3，解得yy=18+5615≈21.73.故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.…………10分（3）易知，5名学生中，优秀的2人，良好的2人，合格的1人.任选3人，总共有10种情况，其中符合的有4种，故pp=25.…………15分18．（1）解：连接AADD1，∵BBAA=AA DD1=1，BBAA//AA1DD1，∴AA1BBAADD1是平行四边形，∴AA1BB//AADD1.又AA1BB⊄面AADDDD1AA1，AADD1⊂面AADDDD1AA1，故AA1BB//平面AADDDD1AA1.…………5分（2）法一：取AADD中点EE，连DD1EE，AAEE，BBDD1，则AAAA1//DD1EE，BBEE//AADD，所以∠BBEEDD1就是直线AAAA1与AADD所成的角.在梯形AABBAADD中，由已知可得AABB⊥AADD，又平面AABBBB1AA1⊥平面AABBAADD，AABB是交线，∴AADD⊥面AABBBB1AA1，∴BBAA⊥面AAEEDD1，∴BBAA⊥AADD1，∴BBDD1=2，∴cos∠BBEEDD1=1+2−42√2=−√24，所以，直线AAAA1与直线AADD所成角的余弦值为√24.…………11分法二：平面AABBBB1AA1⊥平面AABBAADD，AABB是交线，∴AADD⊥面AABBBB1AA1，如图，以AA为坐标原点，AABB所在直线为xx轴，AADD所在直线为yy轴，建立空间直角坐标系.则AA(0,0,0)，BB(1,0,0)，AA(1,1,0)，DD(0,2,0)，AAAA1�������⃗=(−12,0,√32)，AADD�����⃗=(−1,1,0)∴cosθθ=|cos⟨AAAA1�������⃗,AADD�����⃗⟩|=√24.…………11分（3）过DD1作AAEE延长线的垂线于OO，连接OODD，取OODD中点HH，连接QQHH，过HH作HHMM⊥AAAA，连接QQMM.易证QQHH⊥面AABBAADD，则∠QQMMHH就是二面角QQ−AAAA−DD的平面角.QQHH=12OODD1=√34，MMHH=7√28，所以MMQQ=√1108，故cos∠QQMMHH=MMMM MMMM=7√5555.…………17分AA1DD1����������⃗=BBAA�����⃗=(0,1,0)，∴DD1(−12,1,√32)，∴QQ(−14,32,√34)设mm =(xx ,yy ,zz )是面QQAAAA 的法向量，则�xx +yy =0,−14xx +32yy +√34zz =0, 令xx =√3，得mm =(√3,−√3,7)， 又nn =(0,0,1)是面AABBAADD 的法向量，所以cos θθ=|cos ⟨mm ,nn ⟩|=7√55=7√5555.…………17分 19．（1） （ⅰ） 解：由题意可知，xx nn+2=−xx nn+1+2xx nn ， 又xx 0=2，xx 1=3，∴xx 2=−xx 1+2xx 0=−3+4=1，…………2分xx 3=−xx 2+2xx 1=−1+2×3=5.…………4分 （ⅱ） 由题意可知，xx nn =ss ⋅ααnn +tt ⋅ββnn ，又αα，ββ为xx 2=−xx +2的两个根1，−2，∴xx nn =ss +tt (−2)nn .…………6分又�xx 0=ss +tt =2,xx 1=ss +tt ×(−2)=3,所以�ss =73,tt =−13, ∴xx nn =73−13⋅(−2)nn .…………8分（2） 由（ⅱ）可知，xx nn =ss ⋅(−3)nn +tt ⋅2nn ，…………10分 因为值域为BB =(0,+∞)，∴ss =0；…………12分 ∴xx nn =tt ⋅2nn ，又xx 0=tt ⋅20=tt ，…………14分 xx 1=GG (xx 0)=2tt =2xx 0，∴GG (xx )=2xx .…………17分。
2019-2020学年金华市十校高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年金华市十校高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合M={x|x2−x<0}，N={y|y=a x(a>0,a≠1)}，R表示实数集，则下列选项错误的是()A. M∩N=MB. M∪N=RC. M∩∁R N=⌀D. ∁R M∪N=R2.已知平面向量a⃗=(λ,−3)与b⃗ =(3,−2)平行，则λ的值是()A. −2B. 2C. −92D. 923.已知且，则=()A. B. C. D.4.若直线(a+2)x+(1−a)y−3=0与直线(a−1)x+(2a−3)y+2=0互相垂直．则a的值为()A. 1B. −1C. ±1D. −325.甲：函数f(x)是奇函数；乙：函数f(x)在定义域上是增函数．对于函数①f(x)=tanx，②f(x)=−1x ，③f(x)=x|x|，④f(x)={2x−1,x≥0−2−x+1,x<0能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是()A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④6.命题p：变量(x,y)满足约束条件{y≤3x≤4x+y−5≥0，则z=yx的最小值为14，命题q：直线x=2的倾斜角为π2，下列命题正确的是()A. p∧qB. (￢p)∧(￢q)C. (￢p)∧qD. p∧(￢q)7.若x+2y=4，则2x+4y的最小值是()A. 4B. 8C. 2√2D. 4√28.等比数列{a n}的前n项和为S n，且S m=x，S2m=y，S3m=z，则()A. x+y=zB. y2=x⋅zC. x2+y2=xy+xzD. 2y=x+z9.在△ABC中，B=π4，若b=2√2，则△ABC面积的最大值是()A. 4+4√2B. 4C. 4√2D. 2+2√210. 已知数列{a n }满足a n =n(sin nπ2+cos nπ2)(n ∈N ∗)，若该数列的前n 项和为S n ，则S 2018=( )A. 2018B. 1C. −2018D. −1二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知函数f(x)={x 2−2ax +12,x ≤1x +4x +a,x >1，若f(x)的最小值为f(1)，则实数a 的取值范围是______． 12. 在△ABC 中，D 为AC 的中点，若cos∠DBC =35，cos∠DBA =725，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．13. 已知x ≥0，y ≥0，x +y =3，则x 2+y 2的最小值为 ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1=1，且a 2，a 5，a 14成等比数列，{a n }的前n 项和为S n ，b n =(−1)n S n .则a n = (1) ，数列{b n }的前n 项和T n = (2) ．15. 已知直线l ：x +(m +1)y =2−m ，则当m =0时，直线l 的倾斜角为 (1) ；当m 变化时，直线l 过定点 (2) ．16. 在锐角△ABC 中，BC =1，B =2A ，则的值等于 (1) ，AC 的取值范围为 (2) ． 17. 已知向量a ⃗ =m i +5j −k ⃗ ,b ⃗ =3i +j +r k ⃗ ,若a ⃗ //b ⃗ 则实数m = (1) ，r = (2) 。
2019-2020学年浙江省金华市十校高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省金华市十校高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U（A∩B）＝（）A．{1，4，5}B．{2，3}C．{5}D．{1}2．已知：向量＝（1，2），＝（﹣2，m），若∥，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．1D．﹣13．在△ABC中，下列关系正确的是（）A．sin（A+B）+sin C＝0B．cos（A+B）+cos C＝0C．tan（A+B）﹣tan C＝0D．sin（）﹣sin＝04．已知：点A（1，0），B（3，4），则线段AB的中垂线方程是（）A．x+2y﹣6＝0B．x﹣2y+2＝0C．2x+y﹣6＝0D．2x﹣y﹣2＝0 5．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，则下列函数中一定是奇函数的是（）A．y＝x•f（x）B．y＝2x•f（x）C．y＝sin x•f（x）D．y＝cos x•f（x）6．若实数x，y满足不等式，则z＝x﹣2y的最小值为（）A．2B．3C．﹣3D．﹣17．已知x，y＞0，则x+y++的最小值为（）A．4B．6C．2D．38．已知数列{a n}的前n项和S n＝2•3n+9，则（）A．{a n}是等比数列B．{a n}是递增数列C．a1、a6，a11成等比D．S10﹣S5、S15﹣S10、S20﹣S15成等比9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，若S＝，则（）A．bc＝a B．tan A＝C．的最大值为D．的最大值为110．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝3n﹣1，S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S2020是定值，a1+a2020是定值B．S2020不是定值，a1+a2020是定值C．S2020是定值，a1+a2020不是定值D．S2020不是定值，a1+a2020不是定值二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在答题卷的相应位置．11．1和4的等差中项是；4和的等比中项是±1．12．已知直线l：x+（m+1）y＝2﹣m，则当m＝0时，直线l的倾斜角为；当m变化时，直线l过定点．13．若P（﹣1，2）是角α终边上一点，则tanα＝；tan（）＝．14．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点O是AD的中点，若＝+μ，则λ+μ＝；若⊥，则cos A＝．15．已知函数f（x）＝，则f（x）的最小值是．16．已知：||＝||＝1，＝，＝λ（）（λ∈R），||＝，则||的最小值为．17．已知实数x，y，z满足：，则|x|+|y|+|z|的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知：圆C过点D（0，1），E（﹣2，1），F（﹣1，），P是直线l1：y＝x﹣2上的任意一点，直线l2：y＝x+1与圆C交于A、B两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）求|PA|2+|PB|2的最小值．19．已知函数f（x）＝sin（2x+）﹣cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）已知α为锐角且f（α）＝，求sin（2）的值．20．在锐角△ABC中，∠ABC＝60°，D为边BC上一点，且BD＝2DC．（Ⅰ）已知：sin∠BAC＝sin∠ACB，AD＝2，求△ADC的面积；（Ⅱ）已知：AB＝9，AC＝3，求AD．21．已知函数f（x）＝x2﹣2a|x﹣a|﹣2ax+1，a∈R．（Ⅰ）求当a＝1时，函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有2个零点，求a的取值范围．22．已知：公差不为零的等差数列{a n}，其前n项和为S n，S6＝30，等比数列{b n}的前三项分别是a2，a3，a5．（Ⅰ）求数列{}的前n项和；（Ⅱ）设∁n＝，是否存在正整数k和实数x，使得∁k，C k+1，C k+2，x按适当顺序排列后可以构成等差数列，若存在，求出所有满足条件的x的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U（A∩B）＝（）A．{1，4，5}B．{2，3}C．{5}D．{1}解：集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}所以A∩B＝{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}；∁U（A∩B）＝{1，4，5}；故选：A．2．已知：向量＝（1，2），＝（﹣2，m），若∥，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．1D．﹣1解：∵∥，∴m﹣2×（﹣2）＝0，解得m＝﹣4．故选：B．3．在△ABC中，下列关系正确的是（）A．sin（A+B）+sin C＝0B．cos（A+B）+cos C＝0C．tan（A+B）﹣tan C＝0D．sin（）﹣sin＝0解：在A+B+C＝π，故C＝π﹣（A+B）．∴sin（A+B）+sin C＝sin（π﹣C）+sin C＝2sin C≠0，故A错误；cos（A+B）+cos C＝cos（π﹣C）+cos C＝﹣cos C+cos C＝0，故B正确；tan（A+B）﹣tan C＝tan（π﹣C）﹣tan C＝﹣2tan C≠0，故C错误；sin（）﹣sin＝，故D错误．故选：B．4．已知：点A（1，0），B（3，4），则线段AB的中垂线方程是（）A．x+2y﹣6＝0B．x﹣2y+2＝0C．2x+y﹣6＝0D．2x﹣y﹣2＝0解：∵点A（1，0），B（3，4），∴线段AB的中点坐标为（2，2），直线AB的斜率k＝＝2，∴线段AB的中垂线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣2），整理得：x+2y﹣6＝0．故选：A．5．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，则下列函数中一定是奇函数的是（）A．y＝x•f（x）B．y＝2x•f（x）C．y＝sin x•f（x）D．y＝cos x•f（x）解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x•f（x），其定义域为R，有（﹣x）f（﹣x）＝x•f（x），函数y＝x•f （x）是偶函数，不符合题意；对于B，y＝2x•f（x），其定义域为R，有2﹣x•f（﹣x）＝﹣2﹣x•f（x）≠﹣（2x•f （x）），函数y＝2x•f（x）不是奇函数，不符合题意；对于C，y＝sin x•f（x），其定义域为R，有sin（﹣x）f（﹣x）＝sin x•f（x），函数y＝sin x•f（x）是偶函数，不符合题意；对于D，y＝cos x•f（x），其定义域为R，有cos（﹣x）f（﹣x）＝﹣cos x•f（x），函数y＝cos x•f（x）是奇函数，符合题意；故选：D．6．若实数x，y满足不等式，则z＝x﹣2y的最小值为（）A．2B．3C．﹣3D．﹣1解：由实数x，y满足不等式，作出可行域如图，联立，解得A（，），化目标函数z＝x﹣2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2×＝﹣3．故选：C．7．已知x，y＞0，则x+y++的最小值为（）A．4B．6C．2D．3解：∵x，y＞0，∴x+y++＝（x+）+（y+）≥2+2＝4+2＝6，（当且仅当x＝2，y＝1时“＝”成立），故选：B．8．已知数列{a n}的前n项和S n＝2•3n+9，则（）A．{a n}是等比数列B．{a n}是递增数列C．a1、a6，a11成等比D．S10﹣S5、S15﹣S10、S20﹣S15成等比解：由S n＝2•3n+9，则a1＝S1＝15．n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2•3n+9﹣（2•3n﹣1+9）＝4×3n﹣1，a2＝12，a6＝4×35，a11＝4×310．由于n＝1时不成立，因此此数列不是等比数列，也不是递增数列．由﹣a1a11＝（4×35）2﹣15×4×310＝﹣44×310≠0，因此a1，a6，a11不呈等比数列．﹣（S10﹣S5）（S20﹣S15）＝（2×315+9﹣2×310﹣9）2﹣（2×310+9﹣2×35﹣9）×（2×320+9﹣2×315﹣9）＝4×320×（35﹣1）2﹣4×320×（35﹣1）2＝0，∴S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15成等比，因此正确．故选：D．9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，若S＝，则（）A．bc＝a B．tan A＝C．的最大值为D．的最大值为1解：∵△ABC的面积为S，若S＝bc sin A＝，可得bc sin A＝a2，∴bc＝，故A错误；由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝bc sin A，∴＝＝，故B错误；∵b2+c2＝bc（sin A+2cos A），∴sin A+2cos A＝＝＝，（θ为辅助角），故C正确；＝＝≥1，即最小值1，故D错误．故选：C．10．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝3n﹣1，S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S2020是定值，a1+a2020是定值B．S2020不是定值，a1+a2020是定值C．S2020是定值，a1+a2020不是定值D．S2020不是定值，a1+a2020不是定值解：当n＝2k（k∈N*），则a2k+1+a2k＝6k﹣1①，a2k+2﹣a2k+1＝6k+2，②①+②，得：a2k+2+a2k＝12k+1，③，∴a2＝13﹣a4，在③中，令k为k+1（k∈N*）得，a2k+4+a2k+2＝12k+13④，④﹣③，得：a2k+4﹣a2k＝12，∴a2020＝a4+3×2016＝（13﹣a2）+6048＝6061﹣a2，∴a1+a2020＝6061+a1﹣a2，令n＝1，得a2﹣a1＝2，∴a1+a2020＝6061﹣2＝6059为定值，S2020＝（a1+a2020）+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2018+a2019）＝6059+是定值．故选：A．二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在答题卷的相应位置．11．1和4的等差中项是；4和的等比中项是±1．解：1和4的等差中项是＝，设4和x的等比中项是±1，可得4x＝1，解得x＝，故答案为：，．12．已知直线l：x+（m+1）y＝2﹣m，则当m＝0时，直线l的倾斜角为；当m 变化时，直线l过定点（3，﹣1）．解：当m＝0时，直线l：x+（m+1）y＝2﹣m化为x+y＝2，直线的斜率k＝﹣1，设倾斜角为θ（0≤θ＜π），由tanθ＝﹣1，得θ＝；化直线l：x+（m+1）y＝2﹣m为x+y﹣2+m（y+1）＝0．联立，解得．∴当m变化时，直线l过定点（3，﹣1）．故答案为：；（3，﹣1）．13．若P（﹣1，2）是角α终边上一点，则tanα＝﹣2；tan（）＝．解：∵P（﹣1，2）是角α终边上一点，∴tanα＝﹣2，∴．14．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点O是AD的中点，若＝+μ，则λ+μ＝﹣；若⊥，则cos A＝．解：由题意得＝＝﹣+（）＝﹣+，∴λ+μ＝﹣＝﹣．∵，∴＝（﹣+）＝﹣+＝0，∴﹣+＝0，解得cos A＝．故答案为：﹣．15．已知函数f（x）＝，则f（x）的最小值是．解：当x≥0时，y＝x3+1≥1；当x＜0时，t＝3x∈（0，1），32x﹣3x+1＝t2﹣t+1＝（t﹣）2+．则f（x）的最小值是．故答案为：16．已知：||＝||＝1，＝，＝λ（）（λ∈R），||＝，则||的最小值为．解：设，，＝，＝，则OA＝OB＝1，∵＝1×1×cos∠AOB＝，∴∠AOB＝，∴△AOB是边长为1的等边三角形，∵＝＝λ（）＝λ，∴OC∥AB，∵||＝||＝||＝，∴D在以A为圆心，以为半径的圆上，∵平行线AB与OC之间的距离为等边三角形△OAB的高，圆A的半径为，∴||＝||的最小值为．故答案为：．17．已知实数x，y，z满足：，则|x|+|y|+|z|的最大值为6．解：由柯西不等式可得：（|x|2+|y|2+|z|2）（12+12+12）≥（|x|+|y|+|z|）2，⇒36×3≥（|x|+|y|+|z|）2，∴|x|+|y|+|z|≤6．则|x|+|y|+|z|的最大值为6，故答案为：6三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知：圆C过点D（0，1），E（﹣2，1），F（﹣1，），P是直线l1：y＝x﹣2上的任意一点，直线l2：y＝x+1与圆C交于A、B两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）求|PA|2+|PB|2的最小值．解：（Ⅰ）易得C在直线x＝﹣1上，不妨设C（﹣1，b），因为CE＝CF，即＝，解得b＝0，故C（﹣1，0），半径r＝＝，则圆C的方程为：（x+1）2+y2＝2；（Ⅱ）联立，解得，，即A（0，1），B（﹣2，﹣1），设P（a，a﹣2），则|PA|2+|PB|2＝a2+（a﹣2﹣1）2+（a+2）2+（a﹣2+1）2＝4a2﹣4a+14＝4（a2﹣a）+14＝4（a﹣）2+13，则当a＝时，|PA|2+|PB|2取最小值13．19．已知函数f（x）＝sin（2x+）﹣cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）已知α为锐角且f（α）＝，求sin（2）的值．解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x+）﹣cos2x+1＝sin2x cos+cos2x sin﹣cos2x+1＝sin2x﹣cos2x+1＝sin（2x﹣）+1，若x∈[0，]，则2x﹣∈[﹣，]，所以sin（2x﹣）∈[﹣，1]，sin（2x﹣）+1∈[，2]，函数f（x）的值域为[，2]；（Ⅱ）由α为锐角，即α∈（0，），所以2α﹣∈（﹣，）；又f（α）＝，所以sin（2α﹣）＝，且＜，所以2α﹣∈（0，），所以cos（2α﹣）＝＝，所以sin（2）＝sin[（2α﹣）+]＝sin（2α﹣）cos+cos（2α﹣）sin＝×+×＝．20．在锐角△ABC中，∠ABC＝60°，D为边BC上一点，且BD＝2DC．（Ⅰ）已知：sin∠BAC＝sin∠ACB，AD＝2，求△ADC的面积；（Ⅱ）已知：AB＝9，AC＝3，求AD．解：（I）∵sin∠BAC＝sin∠ACB，∴BC＝AB，∵BD＝2DC，∴BD＝BC＝AB，又∠ABC＝60°，AD＝2，∴△ABD是边长为2的等边三角形，故BD＝2，CD＝1，∠ADC＝120°，∴△ADC的面积为：×＝．（II）在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sin C＝＝，∴cos C＝，∴cos∠BAC＝﹣cos（B+C）＝﹣×+＝，∴BC＝＝＝6，∴BD＝4，在△ABD中，由余弦定理可得AD＝＝＝．21．已知函数f（x）＝x2﹣2a|x﹣a|﹣2ax+1，a∈R．（Ⅰ）求当a＝1时，函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有2个零点，求a的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2|x﹣1|﹣2x+1＝，所以函数f（x）在（1，2），（﹣∞，0）上单调递减，函数f（x）在（0，1），（2，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当x≥a时，f（x）＝x2﹣4ax+2a2+1，当x＜a时，f（x）＝x2﹣2a2+1，①当a＝0时，f（x）＝x2+1有两个零点，符合题意；②当a＞0时，f（x）的草图如下：若函数f（x）有两个零点，则f（0）＝f（2a）＝1﹣2a2＝0或f（a）＝1﹣a2＜0，解得a＝或a＞1．③当a＜0时，f（x）的草图如下：若函数f（x）有两个零点，则f（a）＝1﹣a2＜0，解得a＜﹣1，综上所述，a的取值范围为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{}．22．已知：公差不为零的等差数列{a n}，其前n项和为S n，S6＝30，等比数列{b n}的前三项分别是a2，a3，a5．（Ⅰ）求数列{}的前n项和；（Ⅱ）设∁n＝，是否存在正整数k和实数x，使得∁k，C k+1，C k+2，x按适当顺序排列后可以构成等差数列，若存在，求出所有满足条件的x的值，若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）等比数列{b n}的前三项分别是a2，a3，a5，则a32＝a2a5，∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+4d），∵d≠0，∴a1＝0，∵S6＝30，∴＝30，∴d＝2，∴a n＝2（n﹣1），∴a2，a3，分别为2，4，∴等比数列{b n}公比为2，∴b n＝2n，∴＝2（n﹣1）（）n＝（n﹣1）（）n﹣1，设数列{}的前n项和为T n，则T n＝0×（）0+1×（）1+2×（）2+…+（n﹣1）（）n﹣1，①T n＝0×（）1+1×（）2+2×（）3+…+（n﹣1）（）n，②由①﹣②可得T n＝（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣（n﹣1）（）n＝﹣（n﹣1）（）n＝1﹣（）n﹣1﹣（n﹣1）（）n＝1﹣（n+1）（）n，∴T n＝2﹣；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n＝n2﹣n，∴∁n＝＝（n2﹣n+1）（）n，假设存在正整数k和实数x，使得∁k，C k+1，C k+2，x按适当顺序排列后可以构成等差数列，∴C n+1﹣∁n＝（n2+n+1）（）n+1﹣（n2﹣n+1）（）n＝（﹣n2+3n﹣1）（）n+1，易知n≤2时，C n+1﹣∁n＞0，n≥3时，C n+1﹣∁n＜0，∴数列{∁n}中C1，C2，C3递增，从C3开始递减，C3是最大项，若k≥3，则∁k＞C k+1＞C k+2，则∁k，C k+1，C k+2，x按适当顺序排列后可以构成等差数列的顺序不变（或相反）由于C k+1﹣∁k＝（﹣k2+3k﹣1）（）k+1，C k+2﹣C k+1＝（﹣k2+k﹣1）（）k+2，若（﹣k2+3k﹣1）（）k+1＝（﹣k2+k﹣1）（）k+2，则k2﹣5k+3＝0，无整数解，∴∁k，C k+1，C k+2不可能是新等差数列相邻三项，因此x插在∁k，C k+1，C k+2之间，是新等差数列的第二项或第三项，若（﹣k2+3k﹣1）（）k+1＝2×（﹣k2+k﹣1）（）k+2，解得k＝1不合题意，舍去，若2×（﹣k2+3k﹣1）（）k+1＝（﹣k2+k﹣1）（）k+2，则3k2﹣11k+5＝0无整数解，当k＝1时，C1，C2，C3分别为，，，则，，，成等差数列，此时x＝，当k＝2时，C2，C3，C4分别为，，，则，，，成等差数列，，，，成等差数列，此时x＝或，综上所述当k＝1时，x＝，当k＝2时，x＝或．。
浙江省金华市高一下学期期末数学试卷
浙江省金华市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共13分)1. （1分） (2017高一上·保定期末) 函数的最小正周期是________．2. （1分）(2017·上海) 定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为________．3. （1分） (2016高一下·南汇期末) 已知x=sina，且a∈[﹣， ]，则arccosx的取值范围是________．4. （1分） (2016高一下·广州期中) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤ ）的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2 ，且过点（2，﹣），则函数f（x）=________．5. （1分）函数y= 的最大值为________．6. （1分） (2017高一上·长春期末) 已知则 =________．7. （1分） (2019高三上·无锡月考) 在中，，，，则边c的长________.8. （1分） (2019高一下·汕头月考) 如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．9. （1分）关于函数f（x）=2sin（3x﹣），有下列命题：①其表达式可改写为y=2cos（3x﹣）；②y=f（x）的最小正周期为；③y=f（x）在区间（，）上是增函数；④将函数y=2sin3x的图象上所有点向左平行移动个单位长度就得到函数y=f（x）的图象．其中正确的命题的序号是________（注：将你认为正确的命题序号都填上）．10. （2分） (2017高二下·西城期末) 若函数则f（1）+f（﹣1）=________；不等式的解集为________．11. （1分）已知，则 =________．12. （1分）设定义在区间(0,)上的函数y=sin2x的图象与y=cosx图象的交点横坐标为α，则tanα的值为________二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分）在△ABC中，，则△ABC为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 无法判定14. （2分） (2015高一下·正定开学考) 函数的单调增区间为（）A .B . （3，+∞）C .D . （﹣∞，2）15. （2分） (2018高一上·佛山期末) 将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于直线对称，则的最小正值为（）A .B .C .D .16. （2分）(2017·山东) 函数y= sin2x+cos2x的最小正周期为（）A .B .C . πD . 2π三、解答题 (共5题；共50分)17. （5分） (2019高一下·浦东期中) 已知一个扇形的周长为20cm,当它的圆心角为多大时,该扇形的面积最大?并求面积的最大值．18. （10分） (2019高一上·钟祥月考) 请解决下列问题（1）求的值；（2）已知，用表示的值.19. （10分） (2020高一下·太原期中) 设向量，为锐角．（1）若，求的值；（2）若，求的值20. （10分） (2020高二下·都昌期中) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A，B.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设，求的取值范围.21. （15分） (2019高一上·武功月考) 已知函数f(x)＝（1）求的值；（2）求，求的值；（3）画出函数的图像．参考答案一、填空题 (共12题；共13分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。
2022-2023学年浙江省金华一中高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省金华一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M ＝{x |√x ＜4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |0≤x ＜2}B ．{x |13≤x ＜2}C ．{x |3≤x ＜16}D ．{x |13≤x ＜16}2．已知向量a →=（1，0），b →=（1，1），若a →+λb →与λa →+b →共线，则实数λ的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．±1D ．03．函数y =2sin 2(x −π4)−1是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．“辛普森（Simpson ）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V 等于其上底面的面积S 、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积S 0的4倍、下底面的面积S '之和乘以高h 的六分之一，即V =16ℎ(S +4S 0+S′)．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面．中国古代名词“刍童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体．已知某“刍童”尺寸如图所示，且体积为1063，则它的高为（ ）A ．5315B ．5312C ．9+3√2D ．45．设x ∈R ，则“|x ﹣1|≤1”成立的必要不充分条件是（ ） A ．0≤x ≤2B ．x ≤2C ．0＜x ＜2D ．x ＞06．已知函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A．f（x）＝sin x•ln|x|B．f（x）＝﹣sin x•ln|x|C．f（x）＝sin x•lnx D．f（x）＝|sin x•lnx|7．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则（）A．A与D互斥B．C与D对立C．A与B相互独立D．A与C相互独立8．已知二次函数f（x）＝a（x2﹣x）+c（a≠0），存在互不相同的三个实数x1，x2，x3，使得f（x1）﹣ax2＝f（x2）﹣ax3＝f（x3）﹣ax1＝0，则（）A．a＜c B．a＞c C．a2＜ac D．a2＞ac二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b都成立的是（）A．ab≥1B．√a+√b≤√2C．a2+b2≥2D．1a +1b≥210．函数f（x）＝3sin（2x+φ）的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A．f（x）的最小正周期为πB．f(2π3)是f（x）的最小值C．f（x）在区间[0，π2]上的值域为[−32，32]D．把函数y＝f（x）的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数y＝3sin2x的图象11．已知函数f（x）＝2x+x﹣2，g（x）＝log2x+x﹣2，h（x）＝x3+x﹣2的零点分别为a，b，c，则有（）A．c＝1，a＞0，b＞1B．b＞c＞aC ．a +b ＝2，c ＝1D ．a +b ＜2，c ＝112．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为侧面BCC 1B 1（不含边界）内的动点，Q 为线段A 1C 上的动点，若直线A 1P 与A 1B 1的夹角为45°，则下列说法正确的是（ ） A ．线段A 1P 的长度为√2B ．√33A 1Q +PQ 的最小值为2C ．对任意点P ，总存在点Q ，使得D 1Q ⊥CPD ．存在点P ，使得直线A 1P 与平面ADD 1A 1所成的角为60° 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．复数z 满足i •z ＝﹣1+i ，则|z |＝ ．14．已知f （x ）={12x +1，x ≤0−(x −1)2，x ＞0，使f （x ）≥﹣1成立的x 的取值范围是 ．15．已知各棱长均为1的四面体ABCD 中，E 是AD 的中点，P 为直线CE 上的动点，则|BP |+|DP |的最小值为 ．16．已知函数f （x ）={|a|x 3−1，(x ≤0)x 2−ax +|x −2|，(x ＞0)的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，BC 上，且满足AE =13AB ，AF =13AD ，BG =23BC ，设AB →=a →，AD →=b →． （1）用a →，b →表示EF →，EG →；（2）若EF ⊥EG ，AB →⋅EG →=2a →⋅b →，求角A 的值．18．（12分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）+√3cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜|φ|＜π2)为奇函数，且函数y ＝f （x ）的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2．（Ⅰ）求f （π6）的值；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g （x ）的图象，求函数g （x ）的单调递增区间．19．（12分）已知函数f(x)=√3sin(2π3−2x)−sin(5π6+2x)． （Ⅰ）若方程f （x ）＝m 在x ∈[−π4，π4]上有且只有一个实数根，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）在△ABC 中，若f （B ）＝﹣2，内角A 的角平分线AD =√3，AB =√2，求AC 的长度． 20．（12分）江门市某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数；（2）若按照分层随机抽样的方法从成绩在[60，70），[80，90）的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的成绩在[60，70）内的概率．21．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 等边三角形，AB ⊥AD ，且AB ＝AD ＝2． （Ⅰ）记AC 中点为M ，若面ABC ⊥面ABD ，求证：BM ⊥面ADC ； （Ⅱ）当二面角D ﹣AB ﹣C 的大小为5π6时，求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+x |x ﹣2a |，其中a 为实数． （1）当a ＝﹣1时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）在[﹣1，1]上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）对于a ∈（﹣∞，﹣4]，若存在两个不相等的实数x 1，x 2（x 1＜x 2，x 2≠0）使得f （x 1）＝f （x 2），求x 1x 2+x 1的取值范围．（结果用a 表示）2022-2023学年浙江省金华一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M ＝{x |√x ＜4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |0≤x ＜2}B ．{x |13≤x ＜2}C ．{x |3≤x ＜16}D ．{x |13≤x ＜16}解：由√x ＜4，得0≤x ＜16，∴M ＝{x |√x ＜4}＝{x |0≤x ＜16}， 由3x ≥1，得x ≥13，∴N ＝{x |3x ≥1}＝{x |x ≥13}， ∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜16}∩{x |x ≥13}＝{x |13≤x ＜16}．故选：D ．2．已知向量a →=（1，0），b →=（1，1），若a →+λb →与λa →+b →共线，则实数λ的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．±1D ．0解：∵向量a →=（1，0），b →=（1，1）， ∴a →+λb →=（ 1+λ，λ），λa →+b →=（λ+1，1）．当1+λ＝0时，即λ＝﹣1时，a →+λb →=（ 0，﹣1），λa →+b →=（0，1），满足条件a →+λb →与λa →+b →共线． 当1+λ≠0时，由a →+λb →与λa →+b →共线，可得λ+1λ+1=λ1，∴λ＝1．综上可得，λ＝±1， 故选：C ．3．函数y =2sin 2(x −π4)−1是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解：函数y ＝2sin 2（x −π4）﹣1＝﹣[1﹣2sin 2（x −π4）]＝﹣cos （2x −π2）＝﹣sin2x ， 故函数是最小正周期为2π2=π的奇函数．故选：A ．4．“辛普森（Simpson ）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V 等于其上底面的面积S 、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积S 0的4倍、下底面的面积S '之和乘以高h 的六分之一，即V =16ℎ(S +4S 0+S′)．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面．中国古代名词“刍童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体．已知某“刍童”尺寸如图所示，且体积为1063，则它的高为（ ）A ．5315B ．5312C ．9+3√2D ．4解：上底面S ＝3×2＝6，下底面S '＝3×4＝12，所以中截面是过高的中点，且平行于底面的截面， 其中A ，B ，C ，D 分别是对应棱上的中点，如图所示，根据中位线定理得DC =BA =12×(3+4)=72，BC =AD =12×(3+2)=52， 所以S 0=72×52=354，（6+12+4×354）×16h =1063， 解得h ＝4． 故选：D ．5．设x ∈R ，则“|x ﹣1|≤1”成立的必要不充分条件是（ ） A ．0≤x ≤2B ．x ≤2C ．0＜x ＜2D ．x ＞0解：由|x ﹣1|≤1得﹣1≤x ﹣1≤1，即0≤x ≤2，对应集合为[0，2]， 则“|x ﹣1|≤1”成立的必要不充分条件对应的集合A ⫌[0，2]， 则x ≤2满足条件．， 故选：B ．6．已知函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A．f（x）＝sin x•ln|x|B．f（x）＝﹣sin x•ln|x|C．f（x）＝sin x•lnx D．f（x）＝|sin x•lnx|解：由函数图象可知，函数定义域为{x|x≠0}，而选项C、D所给函数的定义域为{x|x＞0}，故排除选项CD；当x→0+时，ln|x|→﹣∞，sin x→0+，此时ln|x|sin x→0﹣，而由图象可知，此时f（x）→0﹣，故选项A符合题意．故选：A．7．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则（）A．A与D互斥B．C与D对立C．A与B相互独立D．A与C相互独立解：连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．其中事件A包括：（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3）．事件B包括：（1，4），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），事件C包括：（1，1），（12），（1，3），（1，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），事件D包括：（12），（1，4），（2，2），（2，4），（3，2），（3，4），（4，2），（4，4），对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，（1，2），（1，4），（2，3），（3，2），故A与D互斥不成立，故A错误；对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，（1，2），（1，4），（3，2），（3，4），故C与D对立不成立，故B错误；对于C：因为P（A）=816=12，P（B）=1016=58，P（AB）=616=38，因为P（AB）≠P（A）P（B），所以A与B不是相互独立，故C错误；对于D：因为P（A）=816=12，P（C）=816=12，而P（AC）=416=14，因为两个事件的发生与否互不影响且P（AC）＝P（A）P（C），所以A与C相互独立，故D正确．故选：D．8．已知二次函数f（x）＝a（x2﹣x）+c（a≠0），存在互不相同的三个实数x1，x2，x3，使得f（x1）﹣ax2＝f（x2）﹣ax3＝f（x3）﹣ax1＝0，则（）A．a＜c B．a＞c C．a2＜ac D．a2＞ac解：因为f（x1）﹣ax2＝f（x2）﹣ax3＝f（x3）﹣ax1＝0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）﹣ax1﹣ax2﹣ax3＝0，又f（x）＝a（x2﹣x）+c（a≠0），则a（x12﹣2x1）+a（x22﹣2x2）+a（x32﹣2x3）+3c＝0配方可得，a[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2]﹣3a+3c＝0，所以a[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2]＝3（a﹣c），两边同乘以a，可得a2[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2]＝3（a2﹣ac）＞0，所以a2＞ac．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b都成立的是（）A．ab≥1B．√a+√b≤√2C．a2+b2≥2D．1a +1b≥2解：对于A，若a＞0，b＞0，a+b＝2，则ab≤(a+b2)2=1，当且仅当a＝b＝1时取“＝”，所以选项A错误；对于B，a＝1，b＝1时，√a+√b=2＞√2，所以选项B错误；对于C，由ab≤2知，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2ab≥4﹣2×1＝2，当且仅当a＝b＝1时取“＝”，选项C正确；对于D，1a +1b=a+bab=2ab，由0＜ab≤1，所以2ab≥2，选项D正确．故选：CD．10．函数f（x）＝3sin（2x+φ）的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f(2π3)是f （x ）的最小值 C ．f （x ）在区间[0，π2]上的值域为[−32，32]D ．把函数y ＝f （x ）的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数y ＝3sin2x 的图象解：由题意f （x ）＝3sin （2x +φ）的图象过点（π6，3），可得3sin （2×π6+φ）＝3， 可得sin （2×π6+φ）＝1， 利用五点作图法可得φ=π6， 可得f （x ）＝3sin （2x +π6）， 对于A ，f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，正确； 对于B ，f(2π3)=3sin （2×2π3+π6）＝﹣3，正确； 对于C ，由x ∈[0，π2]，可得2x +π6∈[π6，7π6]，可得sin （2x +π6）∈[−12，1]，可得f （x ）＝3sin （2x +π6）∈[−32，3]，错误；对于D ，把函数y ＝f （x ）的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数y ＝3sin[2（x −π12）+π6]＝3sin2x 的图象，正确． 故选：ABD ．11．已知函数f （x ）＝2x +x ﹣2，g （x ）＝log 2x +x ﹣2，h （x ）＝x 3+x ﹣2的零点分别为a ，b ，c ，则有（ ） A ．c ＝1，a ＞0，b ＞1 B ．b ＞c ＞aC ．a +b ＝2，c ＝1D ．a +b ＜2，c ＝1解：f （x ）在R 上单调递增，f （0）＝﹣1，f （1）＝1，所以0＜a ＜1． g （x ）在（0，+∞）上单调递增，g （1）＝﹣1，g （2）＝1，所以1＜b ＜2． h （x ）在R 上单调递增，h （1）＝0，所以c ＝1，则b ＞c ＞a ，AB 选项正确； 由f （x ）＝2x +x ﹣2＝0，得2x ＝﹣x +2， 由g （x ）＝log 2x +x ﹣2＝0，得log 2x ＝﹣x +2， 由{y =x y =−x +2，解得{x =1y =1，由于y ＝2x 与y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称，y ＝x 与y ＝﹣x +2互相垂直，所以a +b ＝2×1＝2，故C 正确，D 错误． 故选：ABC ．12．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为侧面BCC 1B 1（不含边界）内的动点，Q 为线段A 1C 上的动点，若直线A 1P 与A 1B 1的夹角为45°，则下列说法正确的是（ ） A ．线段A 1P 的长度为√2B ．√33A 1Q +PQ 的最小值为2C ．对任意点P ，总存在点Q ，使得D 1Q ⊥CPD ．存在点P ，使得直线A 1P 与平面ADD 1A 1所成的角为60°解：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0）D 1（0，0，1），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），设 P （x 1，1，z 1） Q （x 2，y 2，z 2），由直线 A 1 P 与 A 1B 1 的夹角为 45°，得到：A 1P →=(x 1−1，1，z 1﹣1），A 1B 1→=(0，1，0)， 因为直线 A 1 P 与 A 1B 1 的夹角为 45°， 所以cos45°=A 1P →⋅A 1B 1→|A 1P →||A 1B 1→|=√(x1−1)2+1+(z 1−1)2，解得 (x 1−1)2+(z 1−1)2=1，因为Q 为线段 A 1C 上的动点，则 A 1Q →=λA 1C →（0≤λ≤1）， 解得Q （1﹣λ，λ，1﹣λ），对于A ：|A 1P →|=√(x 1−1)2+(z 1−1)2+1=√2，故A 正确； 对于B ：过点Q 作平面ABCD 的垂线，垂足为R ，所以 sin ∠ACA 1=AA 1A 1C =√33，所以√33A 1Q +PQ 的最小值等价于求QP ﹣QR +1， 因为|QR →|＝1﹣λ，|QP →|=√(1−λ+x 1)2+(λ−1)2+(1−λ−z 1)2，所|QP |2＝（1﹣λ﹣x 1）2+（λ﹣1）2+（1﹣λ﹣z 1）2≥（λ﹣1）2＝|QR →|2，当且仅当x 1＝z 1＝1﹣λ 时成立， 结合 (x 1−1)2+(z 1−1)2=1，可得此时 λ=√22，故B 错误；对于C ：若D 1Q ⊥CP ，则由 D 1Q →=（1﹣λ，λ，﹣λ），CP →=(x 1，0，z 1）， 所以D 1Q →•CP →=x 1（1﹣λ）﹣z 1λ＝0， 又(x 1−1)2+(z 1−1)2=1， 所以 (λ2A−1)2+1) z 12+(2λλ−1−2)z 1+1=0， Δ=(2λλ−1−2)2−4×(λ2(A−1)2+1)×1=−8λλ−1≥0， 所以对任意点P ，总存在Q ，使得D 1Q ⊥CP ，故C 正确； 对于D ：平面 ADD 1A 1 的法向量为 m →=(0，1，0)，若直线 A 1 P 与平面 ADD 1A 1 所成的角为 60°，即直线 A 1P 与平面 ADD 1A 1 的法向量成 30° 角， 所以cos30°=A 1PA 1P→=1√(x1−1)2+1+(z 1−1)2，解得√32=√2，矛盾，故D 错误， 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．复数z 满足i •z ＝﹣1+i ，则|z |＝ √2 ． 解：i •z ＝﹣1+i ， 则z =−1+ii=1+i ， 故|z|=√12+12=√2． 故答案为：√2．14．已知f （x ）={12x +1，x ≤0−(x −1)2，x ＞0，使f （x ）≥﹣1成立的x 的取值范围是 [﹣4，2] ．解：∵f （x ）≥﹣1， ∴{x ≤012x +1≥−1或{x ＞0−(x −1)2≥−1∴﹣4≤x ≤0或0＜x ≤2， 即﹣4≤x ≤2．∴使f （x ）≥﹣1成立的x 的取值范围是[﹣4，2]， 故答案为：[﹣4，2]．15．已知各棱长均为1的四面体ABCD 中，E 是AD 的中点，P 为直线CE 上的动点，则|BP |+|DP |的最小值为 √1+63 ．解：由于各棱长均为1的四面体是正四面体把平面BEC 及平面CED 以CE 为折线展平，三角形CED 是正三角形的一半， CE =√32，DE =12，CD ＝1，BE =√32，BC ＝1故在平面DEBC 中，连接BD ，与EC 相交于P 点，则DP +BP 为最短距离， 在三角形BEC 中，根据余弦定理， cos ∠BEC =34+34−12×√32×√32=122×34=13，∴sin ∠BEC =2√23，cos ∠DEB ＝cos （90°+∠BEC ）＝﹣sin ∠BEC =−2√23， ∴BD 2＝BE 2+DE 2﹣2BE •DE •cos ∠DEB ＝（√32）2+（12）2﹣2×√32×12×（−2√23）＝1+√63．∴BD =√1+63，即|BP |+|DP |的最小值是√1+√63． 故答案为：√1+√63．16．已知函数f （x ）={|a|x 3−1，(x ≤0)x 2−ax +|x −2|，(x ＞0)的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是 （2√2−1，+∞） ．解：若a ＝0时，f （x ）={−1，x ≤0x 2+|x −2|，x ＞0，图象经过一三象限，不符题意；则当x ≤0时，f （x ）＝|a |x 3﹣1递增，且位于第三象限； 当x ＞0时，f （x ）的图象经过一四象限即可． x ≥2时，f （x ）＝x 2﹣（a ﹣1）x ﹣2，则f （2）＜0，即4﹣2（a ﹣1）﹣2＜0，解得a ＞2；当0＜x ＜2时，f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +2， 则f （2）≥0，0＜a+12＜2，Δ＝（a +1）2﹣8＞0， 或f （2）＜0，即4﹣2（a +1）+2＜0， 解得a ＞2√2−1或a ＜﹣1﹣2√2， 综上可得a ＞2√2−1，则a 的取值范围是（2√2−1，+∞）． 故答案为：（2√2−1，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，BC 上，且满足AE =13AB ，AF =13AD ，BG =23BC ，设AB →=a →，AD →=b →． （1）用a →，b →表示EF →，EG →；（2）若EF ⊥EG ，AB →⋅EG →=2a →⋅b →，求角A 的值．解：（1）EF →=AF →−AE →=13AD →−13AB →=13b →−13a →，EG →=EB →+BG →=23AB →+23AD →=23b →+23a →，（2）若EF ⊥EG ，则EF →⋅EG →=0，即29（b →−a →）（b →+a →）=29（b →2−a →2）＝0，∴|a →|＝|b →|，又AB →⋅EG →=a →⋅23（a →+b →）=23a →2+23a →⋅b →=2a →⋅b →， ∴a →2=2a →⋅b →，∴|a →|2＝2|a →||b →|cos A ，即cos A =12， ∴A =π3．18．（12分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）+√3cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜|φ|＜π2)为奇函数，且函数y ＝f （x ）的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2．（Ⅰ）求f （π6）的值；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g （x ）的图象，求函数g （x ）的单调递增区间．解：（Ⅰ）f(x)=sin(ωx +φ)+√3cos(ωx +φ)=2[12sin(ωx +φ)+√32cos(ωx +φ)]=2sin(ωx +φ+π3)． 因为f （x ）为奇函数，所以f(0)=2sin(φ+π3)=0，又0＜|φ|＜π2，可得φ=−π3． 所以f （x ）＝2sin ωx ，由题意得2πω=2⋅π2，所以ω＝2．故f （x ）＝2sin2x ，因此f(π6)=2sin π3=√3．（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移π6个单位后，得到f(x −π6)的图象，所以g(x)=f(x −π6)=2sin[2(x −π6)]=2sin(2x −π3)． 当2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2（k ∈Z ），即kπ−π12≤x ≤kπ+5π12（k ∈Z ）时，g （x ）单调递增， 因此g （x ）的单调递增区间为[kπ−π12，kπ+5π12]（k ∈Z ）． 19．（12分）已知函数f(x)=√3sin(2π3−2x)−sin(5π6+2x)．（Ⅰ）若方程f （x ）＝m 在x ∈[−π4，π4]上有且只有一个实数根，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）在△ABC 中，若f （B ）＝﹣2，内角A 的角平分线AD =√3，AB =√2，求AC 的长度． 解：（1）∵f(x)=√3sin(2π3−2x)−sin(5π6+2x) =√3(√32cos2x +12sin2x)−(12cos2x −√32sin2x) =√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π)，当x∈[−π4，π4]时，2x+π6∈[−π3，2π3]，要使方程f（x）＝m有且只有一个实数根，则需f(−π3)≤f(x)＜f(2π3)或f(x)=f(π2)，即−√3≤m＜√3或m＝2，∴实数m的取值范围为{m|−√3≤m＜√3或m＝2}；（2）当f（B）＝﹣2时，有2sin(2B+π6)=−2，∴2B+π6=−π2+2kπ，k∈Z，∴B=−π3+kπ，k∈Z，∵B∈（0，π），∴B=23π，在△ABD中，由正弦定理知，ADsin2π3=ABsin∠ADB，∴sin∠ADB=AB×sin2π3AD=√22，∵∠ADB∈(0，π3)，∴∠ADB=π4，∴∠BAD=∠DAC=π12，∴∠ACD=π6，∠BAC=π6，∴△ABC为等腰三角形，∴AB=BC=√2，在△ABC中，由余弦定理：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+2−2×√2×√2×(−12)=6，∴AC=√6．20．（12分）江门市某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数；（2）若按照分层随机抽样的方法从成绩在[60，70），[80，90）的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的成绩在[60，70）内的概率．解：（1）由频率分布直方图的性质可得：10（0.005+0.030+0.035+a +0.010）＝1， 解得a ＝0.020，因为10×0.005＝0.05，10×0.030＝0.3，10×0.035＝0.35，10×0.02＝0.2，10×0.01＝0.1， 所以成绩在80分以下的频率为0.05+0.3+0.35＝0.7＜0.8， 成绩在90分以下的频率为0.05+0.3+0.35+0.2＝0.9＞0.8， 所以估计本次竞赛成绩的第80百分位数为p =80+10×0.8−0.70.2=85； （2）因为成绩在[60，70），[80，90）的两组频率为3：2， 所以从成绩在[60，70）中抽3人，从[80，90）中抽2人，所以从这5人中随机抽取3人，至少有2人的成绩在[60，70）内的概率为P =C 33+C 32C 21C 53=710．21．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 等边三角形，AB ⊥AD ，且AB ＝AD ＝2． （Ⅰ）记AC 中点为M ，若面ABC ⊥面ABD ，求证：BM ⊥面ADC ； （Ⅱ）当二面角D ﹣AB ﹣C 的大小为5π6时，求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）∵△ABC 为等边三角形，AC 中点为M ，∴BM ⊥AC ， 又∵面ABC ⊥面ABD ，其交线为AB ，直线AD 在面ABD 内， 由AD ⊥AB ，得AD ⊥面ABC ， 而直线BM 在面ABC 内，∴BM ⊥AD ， 又AD ∩AC 于点A ，∴BM ⊥面ADC ．解：（Ⅱ）过A 作AB 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，连结DE ，∵AB ⊥AD ，AE ⊥AB ，∴BA ⊥面AED ，∴∠DAE 是二面角D ﹣AB ﹣C 的平面角，∴∠DAE =5π6， 过A 作AF ⊥DE 交于F 点，连结BF ，作AG ⊥BF 交于点G ，连结DG ， 由BA ⊥面AED ，得DE ⊥BA ， 又∵AF ⊥DE ，∴DE ⊥面ABF ，∵直线DE 在面BDE 内，∴面ABF ⊥面BDE ， ∵BF 是面ABF 和面BCD 所成角的平面角， 由题意：AD ＝AB ＝2，AE ＝2√3，∠DAE =5π6， 则DE ＝2√7，AF =√217，AG =2√3√31，∴∠ADG =AG AD =√9331，∴直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为√9331．22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+x |x ﹣2a |，其中a 为实数． （1）当a ＝﹣1时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）在[﹣1，1]上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）对于a ∈（﹣∞，﹣4]，若存在两个不相等的实数x 1，x 2（x 1＜x 2，x 2≠0）使得f （x 1）＝f （x 2），求x 1x 2+x 1的取值范围．（结果用a 表示）解：（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝x 2+x |x +2|={−2x(x ＜−2)2x 2+2x(x ≥−2)，所以函数的最小值为−12．（2）函数f(x)=x 2+x|x −2a|={2x 2−2ax ，x ≥2a2ax ，x ＜2a，若a ＞0，则f （x ）在R 上为增函数，符合题意；若a ＝0，不合题意；若a ＜0，则a2≤−1，从而a ≤﹣2，综上，实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）；（3）因为a ≤﹣4，则f （x ）在(−∞，a2)上为减函数，在(a2，+∞)上为增函数， 所以x 1＜a2＜x 2，令x 1x 2+x 1=M ，若2a ≤x 1＜a 2，则x 1+x 2＝a ， 由x 2≠0知a2＜x 2≤−a 且x 2≠0所以x 1x 2+x 1=a−x 2x 2+a −x 2=a x 2−x 2−1+a ，令g(x)=ax−x −1+a ， 则g （x ）在(0，√−a]，[−√−a ，0)上为增函数，在[√−a ，+∞)，(−∞，√−a]上为减函数， 当a ≤﹣4时，a2≤−√−a 且−a ＞√−a ，则g （x ）在(0，√−a]，[−√−a ，0)上为增函数，在[√−a ，−a]，[a2，−√−a]上为减函数， 从而当a2＜x 2＜−a 且x 2≠0，所以g(x 2)≥2√−a −1+a 或g(x 2)≤−2√−a −1+a ； 所以当a ≤﹣4时，x 1x 2+x 1的取值范围为(−∞，−2√−a −1+a]∪[2√−a −1+a ，+∞)．。