长沙市2017届高三年级统一模拟考试数学试题(理科)
则 a + b − c 的取值范围是 a
A．(1， 7 ] 4
B．(1,2]
C． [1，+ ∞)
D． (2，+ ∞)
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分.
11． P 是双曲线 C : x2 − y2 = 1 右支上一点，直线 l 是双曲线 C 的一条渐近线， P 在 l 上
2
的射影为 Q ， F1 是双曲线 C 的左焦点，则 PF1 + PQ 的最小值为
A. 1
B. 2 + 15
C. 4 + 15
D. 2 2 +1
5
5
12．对于满足 0 < b ≤ 3a 的任意实数 a、b ，函数 f (x)=ax2 + bx + c 总有两个不同的零点，
的周长为
A． 6sin( A + π ) + 3 3
B． 6sin( A + π ) + 3 6
C． 2 3 sin( A + π ) + 3 3
D． 2 3 sin( A + π ) + 3 6
i = i+1 x = 7x
否 是
输出 i
结束
理科数学试卷 第 2 页（共 7 页）
10．函数 y = ln x − x2 的图象大致为
A． x = −1
B． y = −1
C． x = −2
D． y = −2
8．某同学为实现“给定正整数 N ，求最小的正整数 i ，
使得 7i > N ”，设计程序框图如右，则判断框中可
开始 输入正整数 N
i = 0，x = 1
填入
A． x ≤ N
B． x < N
C． x > N
D． x ≥ N
9． ΔABC 中， C = 2π ， AB = 3 ，则 ΔABC 3
4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.
姓名 准考证号
绝密★启用前
长沙市 2017 届高三年级统一模拟考试
理科数学
高考湘军
长沙市教科院组织名优教师联合命制 本试题卷共 7 页，分第 I 卷与第 II 卷两部分.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
π
∫ 13． (cos x +1)dx = 0
.
14．空气质量指数（Air Quality Index，简称 AQI）是定量描述空
气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级，0～ 50 为优；51～100 为良；101～150 为轻度污染；151～200 为 中度污染；201～300 为重度污染；大于 300 为严重污染.一环 保人士从当地某年的 AQI 记录数据中，随机抽取 10 个，用
路线d：沿途有 a、b 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为 3 、2 ，若 a 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间 8 分钟；若 b 处遇红灯或黄 45
灯，则导致延误时间 5 分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为 15 分钟. (Ⅰ) 若张老师选择路线c，求他 20 分钟能到校的概率； (Ⅱ) 为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说
C．5 π
D．12 π
6．二项式 (x2 − 1 )6 的展开式中 x
A．不含 x9 项
B．含 x4 项
C．含 x2 项
D．不含 x 项
7．A 是抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当 AF = 4
时， ∠OFA = 120° ，则抛物线的准线方程是
6
3
A． y = sin(2x + 5π ) 6
B． y = －cos 2x
C． y = cos 2x
D． y = sin(2x－π ) 6
4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246 个问题及其解法，其中一
个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之
和为 3 升，下面三节的容积之和为 4 升，求中间两节的容积各为多少？”. 该问题中
45
50 75 4 930 11 7 8 19 9 21 5
茎叶图记录如右.根据该统计数据，估计此地该年 AQI 大于
100 的天数约为
.(该年为 365 天)
理科数学试卷 第 3 页（共 7 页）
15．化简：
2sin(π − α ) + cos2 α
sin 2α
=
.
2
16．平行四边形 ABCD 中，AB = 3, AD = 2 ，∠BAD = 120° ，P 是平行四边形 ABCD
内一点，且 AP = 1.若 AP = x AB + y AD ，则 3x + 2 y 的最大值为
.
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）
已知数列 {an}为等差数列，其中 a2 + a3 = 8 ， a5 = 3a2 . (Ⅰ) 求数列 {an}的通项公式； (Ⅱ) 数列 {bn}中， b1 = 1,b2 = 2 ，从数列 {an}中取出第 bn 项记为 cn ，若 {cn}是等 比数列，求 {bn}的前 n 项和.
明理由.
理科数学试卷 第 4 页（共 7 页）
19．（本小题满分 12 分）
如图，以 A、B、C、D、E 为顶点的六面体中， ΔABC和ΔABD 均为等边三角形 ABC ， EC = 3 , AB = 2 .
2 （Ⅰ）求证： DE ⊥ AB ； （Ⅱ）求二面角 D − BE − A 的余弦值.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.
22．（本题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
⎧x ⎨ ⎩y
= =
2+ 4+
cosα sin α
，以坐标原点
O
为
极点，x 轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线 C2 的方程为 ρ(cosθ − msinθ ) + 1 = 0（ m
第 2 节，第 3 节，第 8 节竹子的容积之和为
A． 17 升 6
C． 113 升 66
B． 7 升 2
D． 109 升 33
理科数学试卷 第 1 页（共 7 页）
5．右图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为 2 的半圆，俯视图是直径
为 2 的圆，则该几何体的表面积为
A．3 π
B．4 π
是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数 3i 对应的点在 1−i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
{ } 2．已知集合 A = {1，2，3}， B = x | x2 − 3x + a = 0,a ∈ A ，若 A ∩ B ≠ ∅ ，则 a 值为
A．1
B．2
C．3
D．1 或 2
3．将函数 y = sin(2x + π ) 的图象向左平移 π 个单位，所得函数的解析式为
科目：数学（理科）
（试题卷）
注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和
该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。 2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草
稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答 题。
3. 本试题卷共 7 页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否 则后果自负。
证明： EB ⋅ FQ = FB ⋅ EQ .
理科数学试卷 第 5 页（共 7 页）
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = ex − a ， a 为实常数.
x
(Ⅰ) 当 a > 0 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(Ⅱ) 若 f (x) 在 (0,+∞) 上存在极值点，且极值大于 ln 4 + 2 ，求 a 的取值范围.
20．（本小题满分 12 分）
如图，P 是直线 x = 4 上一动点，以 P 为圆心的圆 Γ 经定点 B(1,0) ，直线 l 是圆 Γ 在点 B 处的切线，过 A(−1, 0) 作圆 Γ 的两条切线分别与 l 交于 E、F 两点. (Ⅰ) 求证： EA + EB 为定值； (Ⅱ) 设直线 l 交直线 x = 4 于点 Q ，
为常数）.
(Ⅰ) 求曲线 C1, C2 的直角坐标方程；
(Ⅱ) 设 P 点是 C1 上到 x 轴距离最小的点，当 C2 过 P 点时，求 m 的值.
理科数学试卷 第 6 页（共 7 页）
23．（本题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知 f (x) = x − a + x − 3 .
(Ⅰ) 当 a = 1 时，求 f (x) 的最小值； (Ⅱ) 若不等式 f (x) ≤ 3 的解集非空，求 a 的取值范围.
18．（本小题满分 12 分） 张老师开车上班，有路线c与路线d两条路线可供选择，
路线c：沿途有 A、B 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为 1 、2 ，若 A 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间 2 分钟；若 B 处遇红灯或黄 23
【湖南省长沙市一中】2017届高三月考数学(理科)试卷(五)-答案
湖南省长沙市一中2017届高三月考数学（理科）试卷（五）答案1~5．ABDCB 6~10．ACDBA 11~12．CA．13．21014．1 215 16．223,5B ⎛⎫⎪⎝⎭则(0,,BQ t =，(1,EQ =-，(1,AF =-的法向量为(1,,)n t =-0，则由0n BQ ==，且0n EQ ==，得，则(,)n t t =1,，，则须(,n AF t =1,，即线段AD 的法向量为1111()n x y z =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则1(1)n =，1，1，∴11153333cos 1133333n n ++<>===，， Q BE --为锐二面角，所以其余弦值为33上的靠近点D 的一个三等分点）33121211(MA MBy y kx k x x ++==⊥MB ，即MD ⊥ME ．k 221121111111|||1|1|1||22||k MB k k k k k +=++-=0=得2211480)(1k x k x -+= 12)||4)k k + ，解得24k =或湖南省长沙市一中2017届高三月考数学（理科）试卷（五）解析1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（3﹣4i）z=1+2i，得=，∴．2．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥﹣1或x≤﹣3，即A=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞），由B中不等式变形得：2x＜1=20，即x＜0，∴B=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0），3．【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2﹣x+1≥0，则D正确；4．【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”⇔a＜b＜c⇔sinA＜sinB＜sinC⇔sin2A＜sin2B＜sin2C⇔1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C⇔“cos2A＞cos2B＞cos2C”．∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要条件．5．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．6．【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k﹣5即可得到．【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n= a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k﹣5=5分钟，即m=5．7．【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①可得sin（x+α）=cos（﹣x+β）=sin（x+﹣β），…②，选项代入验证，所以C正确．8．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，9．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△ABC故黄豆落在△APC内的概率为，10．【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【解答】解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．11．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．12．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m＜1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，当m=1时，t=﹣2，此时由m2+m﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=﹣2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，则t＜﹣2，综上t≤﹣2，13．【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．【解答】解：∵n=10sinxdx=﹣10cosx=﹣10（cos﹣cos0）=10，∴展开式中通项T r+1=••=（﹣1）r••，令5﹣=0，解得r=6，∴展开式中的常数项为T6+1=（﹣1）6•==210．14．【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos＜＞，再代入投影公式计算．【解答】解：∵=4，（）=﹣=﹣3，∴=1，∴cos＜＞==，∴在方向上的投影为||cos＜＞=．15．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b 的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=﹣令x=0，则f′（0）=﹣又f（0）=﹣，则切线方程为y+=﹣，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a＞0，b＞0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．16．【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：﹣=﹣，于是=﹣=3﹣．由，a2＜1，a3＜1，a4＞1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N*，，∴=，可得：﹣=﹣，∴=﹣﹣﹣…﹣=﹣=3﹣．∵a2==，a3==，a4==＞1，∴n≥4时，∈（0，1），∴3﹣∈（2，3）．∴的整数部分是2．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．44（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100 km/h 的车辆的概率为4021005=，X 可取值是0，1，2，3，，有：00332327(0)()()55125P X C ===，11232354(1)()()55125P X C ===，22132336(2)()()55125P X C ===，3303238(3)()()55125P X C ===，则(0BQ =，，(1EQ =-，，(1AF =-，的法向量为(1n t =-，，，则由0n BQ ==，且0n EQ ==，得，则(n t =，1，，则须(n AF t =，1AD 上存在一点的法向量为1111()n x y z =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则1(1)n =，1，1，∴11153333cos 1133333n n ++<>===，，33121211(MA MBy y kx k x x ++==⊥MB ，即MD ⊥ME ．）设直线MA 的斜率为k 1，则直线221121111111|||1|1|1||22||k MB k k k k k +=++-=0=得2211480)(1k x k x -+= 12)||4)k k + ，解得24k =或1故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x 和y=﹣x ．（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．π解得3x ≥或3x ≤- 则解集为3{}3|x x x ≥≤-或（Ⅱ）由()0f x =得，23||6x ax -=-+ 令||236y x y ax =-=-+，，作出它们的图象， 可以知道，当22a -<<时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，当22a -<<时，函数22a -<<有两个不同的零点．。
【湖南省长沙一中】2017届高三上学期月考数学试卷(理科)(五)
10．设实数 满足 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
11．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若 ，记椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
平均车速超过
100km/h人数
平均车速不超过
100km/h人数
合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若 是直线l与圆面 的公共点，求 的取值范围．
【选修4—5：不等式选讲】
23．已知
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）如果函数 恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
12．已知函数 ，若关于x的方程 有三个不同的实根，则t的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设 ，则 展开式中的常数项为______（用数字作答）
14．已知向量 满足 ， ，则向量 在 方向上的投影为______．
15．若函数 的图象在 处的切线与圆 相切，则 的最大值是______．
16．数列 满足 ，对任意 ， ，则 的整数部分是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
【湖南省长沙一中】2017届高三上学年期月考数学年试题(理科)(五)
cos a A)cos cos A a B =由正弦定理，)cos sin cos A A B =．cos sin cos sin cos C A B A A B -=．cos sin()sin C A A B C =+=．中，sin 0C ≠1π,2A =∠=60，Q 是,PQ BQ Q =∴AD PAD ⊂平面解：（2）APD 平面∴以Q 为原点，(0,0,0),(0,3,0),Q B2(0,3,0),(,333QB QM ==-的法向量(,,)n x y z =323233n QB y n QM x y z ⎧==⎪⎨=-+⎪⎩(3,0,1),n =得BQC 的法向量(0,0,1)n =，M BQ C --°||1,602||||m n m n θ==，BQ C --的大小为60．12540.40.6125=22360.40.6125=；3380.4125=1 3 103,x ＜＜在圆中，M ）2,a b ==1-=0,()F x '＞单调递增，11ln 12x x =∴2ln x ∴-令()H x =22x ρ=+∴C 的极坐标方程为x α，湖南省长沙市2017年高考四县联考理科数学模拟试卷解析1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合A，求函数定义域得出集合B，再根据交集与补集的定义写出A∩（∁U B）．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁U B={x|x≥1}，所以A∩（∁U B）={x|1≤x＜3}．故选：A．【点评】本题考查了集合的基本运算与不等式和函数定义域的应用问题，是基础题目．2．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法求出复数z，然后求解结果即可．【解答】解：复数z满足zi=﹣1+i，可得z===1+i．复数z的实部与虚部的和是：1+1=2．故选：C．【点评】本题考查复数的基本运算以及基本概念，考查计算能力．3．【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．【解答】解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可得，故③正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选A【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线线关系，线面关系及面面关系的判定，性质，及几何特征是解答本题的关键．4．【考点】几何概型．【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，故选：A．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点P的横坐标．【解答】解：由题意，可知F（1，0），∵过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的横坐标为2，故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．7．【考点】函数的图像．【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（﹣2，﹣1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图像的位置后可可排除C答案．【解答】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选A【点评】本题考查的知识点是函数的图像，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．8．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S=+++…++的值，用裂项法即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得N=10，S=0，k=1S=，满足条件k＜10，k=2，S=+，满足条件k＜10，k=3，S=++，…满足条件k＜10，k=10，S=+++…++=+…+=﹣1，不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基本知识的考查．9．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130.0，a13=14．8，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130.0，a13=14．8，则130.0+12d=14．8，解得d=﹣9．6．∴a6=130.0﹣9．6×5=82．0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82．0寸．故选：C．【点评】本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由向量减法法则和数量积的运算性质，可得==c，从而得到△PF1F2是以为F1F2斜边的直角三角形．由此结合，运用勾股定理算出c，c，再根据双曲线的定义得到2a的值，即可得到该双曲线的离心率．【解答】解：∵=∴，得﹣=0，所以==c∴△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥∵，∴设，，（λ＞0）得（3λ）2+（2λ）2=4c2，解得λ= c∴c， c由双曲线的定义，得2a=||= c∴双曲线的离心率为e==故选A【点评】本题给出双曲线上一点P满足∠F1PF2为直角，且两直角边之比为，求双曲线的离心率，着重考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．11．【考点】集合的表示法．【分析】利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图像上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图像相交即可．【解答】解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足：对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图像上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图像相交于点B．对于①：M={（x，y）|y=}，其图像是过一、二象限，且关于y轴对称，所以对于图像上的点A，在图像上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；对于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图像，在图像上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图像沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图像相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；对于③：M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图像过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图像上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=e x﹣2的图像相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．故③符合题意；对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图像的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．故选：D．【点评】本题考查“垂直对点集”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x﹣1）的函数图像是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图像根据题意求出参数的范围即可【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x 所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图像是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图像与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题13．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】将已知等式平方得到的模的关系及，然后利用向量的数量积公式求出的夹角．【解答】解：∵==∴，∴（+）•（﹣）=﹣2||2，设的夹角为θcosθ=∵θ∈[0°，180°]∴θ=120°故答案为120°【点评】求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为[0°，180°]14．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出r与a的值．【解答】解：（﹣）5展开式的通项公式为：T r+1=••=（﹣a）r••，令=，解得r=1；所以展开式中含x项的系数为：（﹣a）•=30，解得a=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．15．【考点】数列递推式．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值．【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66．故答案为：66．【点评】本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误．16．【考点】简单线性规划．【分析】做出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，做出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤k BA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．18．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，从而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．19．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知：2a=6，，求得a和c的值，由b2=a2﹣c2，求得b，写出椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；分析法和综合法．【分析】（1）由a=2，b=﹣3，知，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值．（2）设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，由此入手，能够证明（x1+x2）g（x1+x2）＞2．22．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）利用等价转化思想，可得|x﹣a|≤3，从而可得，即可求出实数a的取值范围．。
2017年湖南省长沙市四县联考高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
2017年湖南省长沙市四县联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U为实数集，集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={x|y=ln（1-x）}，则A∩（∁U B）为（）A.{x|1≤x＜3}B.{x|x＜3}C.{x|x≤-1}D.{x|-1＜x＜1}【答案】A【解析】解：全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|y=ln（1-x）}={x|1-x＞0}={x|x＜1}，则∁U B={x|x≥1}，所以A∩（∁U B）={x|1≤x＜3}．故选：A．解不等式求出集合A，求函数定义域得出集合B，再根据交集与补集的定义写出A∩（∁U B）．本题考查了集合的基本运算与不等式和函数定义域的应用问题，是基础题目．2.i是虚数单位，若复数z满足zi=-1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：复数z满足zi=-1+i，可得z===1+i．复数z的实部与虚部的和是：1+1=2．故选：C．利用复数的乘法求出复数z，然后求解结果即可．本题考查复数的基本运算以及基本概念，考查计算能力．3.已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A.②③B.①②③C.②④D.①②④【答案】A【解析】解：或nα，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可得，故③正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选A由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线线关系，线面关系及面面关系的判定，性质，及几何特征是解答本题的关键．4.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A.1-B.C.D.1-【答案】A【解析】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-，故选：A．由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.已知点A（3，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B，若|PB|=|PA|，则点P的横坐标为（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】解：由题意，可知F（1，0），∵过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的横坐标为2，故选：C．利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点P的横坐标．本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A.4πB.πC.πD.20π【答案】B【解析】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．7.函数f（x）=的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】解：若使函数的解析式有意义＞，即＞则即函数的定义域为（-2，-1）∪（-1，+∞）可排除B，D答案当x∈（-2，-1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选A由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（-2，-1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．8.执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A.2B.-1C.-1D.2-1【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得N=10，S=0，k=1S=，满足条件k＜10，k=2，S=+，满足条件k＜10，k=3，S=++，…满足条件k＜10，k=10，S=+++…++=+…+=-1，不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为-1．故选：C．模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S=+++…++的值，用裂项法即可得解．本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基本知识的考查．9.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（）A.72.4寸B.81.4寸C.82.0寸D.91.6寸【答案】C【解析】解：设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，则130.0+12d=14.8，解得d=-9.6．∴a6=130.0-9.6×5=82.0．∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选：C．设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设F1、F2是双曲线＞，＞的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵=∴，得-=0，所以==c∴△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥∵，∴设，，（λ＞0）得（3λ）2+（2λ）2=4c2，解得λ=c∴c，c由双曲线的定义，得2a=||=c∴双曲线的离心率为e==故选A由向量减法法则和数量积的运算性质，可得==c，从而得到△PF1F2是以为F1F2斜边的直角三角形．由此结合，运用勾股定理算出c，c，再根据双曲线的定义得到2a的值，即可得到该双曲线的离心率．本题给出双曲线上一点P满足∠F1PF2为直角，且两直角边之比为，求双曲线的离心率，着重考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．11.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③={（x，y）|y=2x-2}；④M={（x，y）|y=log2x}其中是“垂直对点集”的序号是（）A.②③④B.①②④C.①③④D.①②③【答案】D【解析】解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足：对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．对于①：M={（x，y）|y=}，其图象是过一、二象限，且关于y轴对称，所以对于图象上的点A，在图象上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；对于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；对于③：M={（x，y）|y=2x-2}，其图象过点（0，-1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=2x-2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x-2}是“垂直对点集”．故③符合题意；对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．故选：D．利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．本题考查“垂直对点集”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12.定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x；记函数g（x）=f （x）-k（x-1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A.[1，2）B.，C.，D.，【答案】C【解析】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f （x）=2-x所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为＜故选C．根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k （x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若两个非零向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角是 ______ ． 【答案】 120° 【解析】解：∵==∴ ，∴（ + ）•（ - ）=-2| |2， 设 与 的夹角为θ cos θ=∵θ∈[0°，180°]∴θ=120° 故答案为120° 将已知等式 平方得到 ， 的模的关系及 ，然后利用向量的数量积公式求出 与 的夹角． 求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为[0°，180°]14.已知（ - ）5的展开式中含x的项的系数为30，则实数a = ______ ． 【答案】 -6【解析】解：（ - ）5展开式的通项公式为：T r +1= • • =（-a ）r• •，令=，解得r =1；所以展开式中含x项的系数为：（-a ）•=30， 解得a =-6． 故答案为：-6．根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出r 与a 的值． 本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．15.我们可以利用数列{a n }的递推公式a n =为偶数时为奇数时（n ∈N +），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 64+a 65= ______ ． 【答案】 66【解析】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3… ∴a 64+a 65=a 32+65=a 16+65=a 8+65=a 4+65=1+65=66．故答案为：66．借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值．本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误．16.实数x、y满足，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，则a的取值范围是______ ．【答案】[-1，1]【解析】解：由z=ax+y得y=-ax+z，直线y=-ax+z是斜率为-a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（-3，3），C（3，-3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=-a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足-a≥k BC=-1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=-a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得-a≤k BA=1∴-1≤a＜0，综上a∈[-1，1]故答案为：[-1，1]．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵，所以（2c-b）•cos A=a•cos B由正弦定理，得（2sin C-sin B）•cos A=sin A•cos B．整理得2sin C•cos A-sin B•cos A=sin A•cos B．∴2sin C•cos A=sin（A+B）=sin C．在△ABC中，sin C≠0．∴，∠．（Ⅱ）由余弦定理，．∴b2+c2-20=bc≥2bc-20∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．∴三角形的面积．∴三角形面积的最大值为．【解析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上且满足PC=3PM，求二面角M-BQ-C的大小．【答案】证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．PA=PD，∴BD=AD=AB，PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）∵平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，解：点M在线段PC上且满足PC=3PM，∴以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，Q（0，0，0），B（0，，0），P（0，0，），C（-2，，0），M（-，，），=（0，，0），=（-，，），设平面BQM的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，，），平面BQC的法向量=（0，0，1），设二面角M-BQ-C的平面角为θ，则cosθ==，θ=60°，∴二面角M-BQ-C的大小为60°．【解析】（1）推导出PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，从而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）【答案】40；120；70；80；150；50【解析】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：…2分K2=≈11.111＞10.828…4分故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．…5分（2）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3．其中P（X=0）=0.63=；P（X=1）=C31•0.4•0.62=；…7分P（X=2）=C32•0.42•0.6=；P（X=3）=C33•0.43=．…9分X的分布列为：…10分②由于X～B（3，0.4），则E（X）=3×0.4=1.2，D（X）=3×0.4×0.6=0.72…12分．（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题．20.已知椭圆的长轴长为6，离心率为，F2为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．【答案】解：（I）根据已知，设椭圆的标准方程为＞＞，∴2a=6，a=3，，c=1；b2=a2-c2=8，（4分）（II）△PF2Q的周长是定值，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，（7分）在圆中，M是切点，∴，（11分）∴，同理|QF2|+|QM|=3，（13分）∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q的周长是定值6．…（14分）【解析】（Ⅰ）由题意可知：2a=6，，求得a和c的值，由b2=a2-c2，求得b，写出椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2-|OM|2，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=的图象为曲线C，函数g（x）=ax+b的图象为直线l．（1）当a=2，b=-3时，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2．【答案】解：（1）∵，，，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，∴F（x）max=F（1）=2（2）不妨设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证＞，＞＞，＞，∵，，∴＞，即＞，∴＞，令，x∈（x1，+∞）．只需证＞，，令，则＞，G（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．G（x）＞G（x1）=0，∴H （x）＞0，∴H（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．H（x）＞H（x1）=0，H（x）=（x+x1）ln-2（x-x1）＞0，∴（x1+x2）g（x1+x2）＞2．【解析】（1）由a=2，b=-3，知，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）-g（x）的最大值．（2）设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证＞，由此入手，能够证明（x1+x2）g（x1+x2）＞2．本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．22.在直角坐标系x O y中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，【答案】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，∴圆心C（-6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．【解析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．23.设函数f（x）=|x-a|-2|x-1|．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）若f（x）-|2x-5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x-3|-|2x-2|≥1x时，3-x+2x-2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；1＜x＜3时，3-x-2x+2≥1，∴x≤，∴1＜x≤；x≥3时，x-3-2x+2≥1，∴x≤-2∴1＜x≤，无解，…（4分）所以f（x）≥1解集为[0，]．…（5分）∴，…（8分）∴-1≤a≤4．…（10分）【解析】（Ⅰ）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）利用等价转化思想，可得|x-a|≤3，从而可得，即可求出实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想、分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．。
2017年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编 专题06 数列(第01期) 含解析
一．基础题组1。
【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知等差数列{}na 的前n 项和nS 满足350,5SS ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 。
【答案】20164031-考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）(开学考试）】已知等比数列{}na 中,262,8a a ==，则345a a a =( ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==，而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．3。
【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一)（开学考试）】 数列{}na 满足()121112n n an N a a *+=+=∈,记212n n n b a =，则数列{}nb 的前n 项和nS = ．【答案】2332nn +-【解析】 试题分析：11n a +=得221112n n a a +-=,且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则212nnn b-=， 所以21321222nn n S-=+++，231113232122222nn n n n S +--=++++, 两式相减,得2111111121222222n n n n S -+-=++++-1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332nnn S+=-. 考点：错位相减法求和．【名师点睛】利用错位相减法求数列的前n 项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的1n -项是一个等比数列．4。
【湖南省长沙市一中】2017届高三月考数学(理科)试卷(五)
A．2000MP =B ．42000MP =C ．2000NP =D ．42000NP =6．将甲桶中a 升水慢慢注入空桶乙中，tmin 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线mt y ae =，假设5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再经过mmin 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．5B ．8C ．9D ．107．已知函数()()()sin ,0,cos ,0,x x f x x x αβ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．,44ππαβ== B ．2,36ππαβ== C ．,36ππαβ==D ．53,63ππαβ==8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．252πC ．12πD ．414π9．已知P 是ABC △所在平面内一点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r．现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在内PBC △的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1410．设实数,x y 满足20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z x y =-的取值范围是（ ）A ．33,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．31,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，这两条曲线在第一象限的交点为P ，12,PF △是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,+∞则12e e g 的取值范围是（ ） A ．1,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,+∞12．已知实数()(),0,lg ,0,xe xf x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x f x t ++=有三个不等的实根，则t 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞-B ．[)1,+∞C ．[]2,1-D ．(][),21,-∞-+∞U第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设2010sin n xdx π=⎰，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数为______（用数字作答）． 14．已知向量,a b r r 满足()2,3a a b a =-=-r r r r g ，则向量b r 在a r方向上的投影的数量为______．15．若函数()()10,0ax f x e a b b=->>的图像在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是______．16．数列{}n a 满足113a =，对任意n *∈N ，21n n n a a a +=+，则2016111i n a =+∑的整数部分是______．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin cos a b C C =+（1）求角B 的大小；（2）若2A π=，D 为ABC △外的一点，DB =2，DC =1，求四边形ABDC 的面积的最大值．18．（本小题满分12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有40人，不超过100 km/h 的有15人，在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有20人，不超过100 km/h 的有25人． （1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 与性别有关；平均车速超过 100 km/h 人数平均车速不超过100 km/h 人数合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数合计（2）用上述数据样本估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100 km/h 的车辆数是X ，若每次抽取的结果是独立的，求X 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=o ，腰长为2，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，将BDE △沿DE 翻折，得到四棱锥B-ADEC ，且F 为棱BC 的中点， 2.BA =（1）求证：EF ⊥平面BAC ；（2）)在线段AD 上是否存在一点Q ，使得AF //平面BEQ ？若存在，求二面角Q-BE-A 的余弦值，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长．。
2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷与解析PDF(理科)
2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}2．（5分）已知非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是（）A．∀x∈M，x∉P B．∀x∈P，x∈MC．∃x1∈M，x1∈P且∃x2∈M，x2∉P D．∃x0∈M，x0∉P3．（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）A．B．C．D．4．（5分）已知实数x，y满足，设z=x+y，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．25．（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等．中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强．但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）=，则函数y=f（e﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π8．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C 上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．329．（5分）已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，BC=2AD，则sinC的值为（）A．B．C．D．10．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，若对任意实数λ，|+λ|min=1，则下列说法正确的是（）A．若θ确定，则||唯一确定 B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定 D．若||确定，则θ唯一确定11．（5分）已知球O与棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是△ACB1的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，] D．[，]12．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，下列说法中错误的是（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）在（﹣10，10）内所有零点之和为0C．f（x）的任何一个极大值都大于1D．f（x）在（0，10）内所有极值点之和小于55二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若复数z为纯虚数，且（i为虚数单位），则z=．14．（5分）已知过点（，4）的双曲线的两条渐近线为2x±y=0，则该双曲线的方程为．15．（5分）若当x=θ时，函数f（x）=3cosx﹣sinx取得最小值，则cosθ=．16．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f'（x），若对任意x∈R，不等式f（x）≥f'（x）恒成立，则的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=5，a4+a6=22，数列{b n}中，b1=3，b n=2b n +1（n≥2）．﹣1（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）定义x=[x]+（x），[x]是x的整数部分，（x）是x的小数部分，且0≤（x）＜1，记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区．消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点．（Ⅰ）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程y=x+（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（Ⅱ）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：=，==，，．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE 的长．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，0）是它的一个顶点，过点P作圆C2：x2+y2=r2的切线PT，T为切点，且|PT|=．（Ⅰ）求椭圆C1及圆C2的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2与圆交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e ax ln（x+1），其中a∈R．（Ⅰ）设F（x）=e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆x2+y2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为：ρsin（θ+）=，且直线l在直角坐标系中与x，y轴分别交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）问在曲线C上是否存在点P，使得△ABP的面积S=3，若存在，求出点△ABPP的坐标，若不存在，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）设函数f（x）=|ax+b|（a，b∈R）．（Ⅰ）若a=2，b=1，求不等式f（x）+f（﹣x）≤4的解集；（Ⅱ）若对任意满足0≤x≤1的实数x，都有f（x）≤1成立，求证：|a|≤2．2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，∴∁U A={2，5}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={2，4，5}．故选：A．2．（5分）已知非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是（）A．∀x∈M，x∉P B．∀x∈P，x∈MC．∃x1∈M，x1∈P且∃x2∈M，x2∉P D．∃x0∈M，x0∉P【解答】解：非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题⇒∃x0∈M，x0∉P．反之也成立．∴非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是∃x0∈M，x0∉P．故选：D．3．（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出s=++++的值，由于s=++++=．故选：C．4．（5分）已知实数x，y满足，设z=x+y，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．故选：B．5．（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等．中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强．但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜；当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下：双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，∴田忌获胜的概率p=．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=，则函数y=f（e﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=在x=e处不连续，且在（﹣∞，e]上为凹函数，在（e，+∞）上为凸函数；函数y=f（e﹣x）的图象与函数f（x）的图象关于直线x=对称；故函数y=f（e﹣x）的图象在x=0处不连续，且在（﹣∞，0）上为凸函数，在[0，+∞）上为凹函数；故选：B．7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选：B．8．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C 上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：∵抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），准线为x=﹣2∴K（﹣2，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0）∵，又AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2∴由BK2=AK2﹣AB2得y02=（x0+2）2，即8x0=（x0+2）2，解得A（2，±4）∴△AFK的面积为故选：B．9．（5分）已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，BC=2AD，则sinC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，则：在△ABD中，利用余弦定理：==，由于0＜A＜π，则：，在△ABC中，利用正弦定理：，AB=AD，BC=2AD，解得：．故选：A．10．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，若对任意实数λ，|+λ|min=1，则下列说法正确的是（）A．若θ确定，则||唯一确定 B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定 D．若||确定，则θ唯一确定【解答】解：令g（λ）==+2λ•+λ2，且△=4﹣4•≤0恒成立．当且仅当λ=﹣=﹣时，二次函数g（λ）取得最小值1，∴+2×（﹣）ו+×=1，化为：sin2θ=1；∴θ确定时，||唯一确定．故选：A．11．（5分）已知球O与棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是△ACB1的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，] D．[，]【解答】解：设与正方体的各棱都相切的球的球心为O，其半径为r=2，正方体的外接球为O1，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，其半径R=．∵点M在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径，线段MN长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径，由此可得线段MN的取值范围是[2﹣2，2+2]．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，下列说法中错误的是（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）在（﹣10，10）内所有零点之和为0C．f（x）的任何一个极大值都大于1D．f（x）在（0，10）内所有极值点之和小于55【解答】解：∵f（x）是偶函数，f（0）=2是一个极大值，故A，B显然成立，对于C，下面考虑x＞0的情况，f（x）=e﹣x+cosπx，f′（x）=﹣e﹣x﹣πsinπx，考虑h（x）=﹣e﹣x，g（x）=πsinπx的图象交点可知，在每个区间（2k﹣2，2k），（k∈N+）上，f′（x）=0有2个解x2k﹣1，x2k，故当x∈（x2k﹣1，x2k），（k∈N+）时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x∈（x2k，x2k+1），（k∈N+）时，f′（x）＜0，f（x）递减，而x2k＜2k＜x2k+1，故f（x）的极大值是f（x2k）＞f（2k）=e﹣2k+1＞1，故C正确，在（0，10）内有10个极值点，其中x1+x2＞3，x3+x4＞7，x5+x6＞11，x7+x8＞15，x9+x10＞19，故x i＞55，故D错误，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若复数z为纯虚数，且（i为虚数单位），则z=±i．【解答】解：设z=mi（m≠0），则|z|=，得|z|=1，即|m|=1，则m=±1．∴z=±i．故答案为：±i14．（5分）已知过点（，4）的双曲线的两条渐近线为2x±y=0，则该双曲线的方程为﹣x2=1．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线为2x±y=0，设其方程为x2﹣=t，（t≠0）又由双曲线经过点（，4），则有3﹣=t，解可得t=﹣1；则双曲线的方程为﹣x2=1；故答案为：﹣x2=1．15．（5分）若当x=θ时，函数f（x）=3cosx﹣sinx取得最小值，则cosθ=﹣．【解答】解：f（x）=3cosx﹣sinx==（x﹣φ），（cosφ=，sinφ=）．当x﹣φ=时，f（x）有最小值，此时x=+φ+2kπ，∴cosθ=cos（φ）=﹣sinφ=．故答案为：．16．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f'（x），若对任意x∈R，不等式f（x）≥f'（x）恒成立，则的最大值为﹣2．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，∴≤=，∵4ac﹣4a2≥0，∴≥1，令t=﹣1，则t≥0，∴≤==≤=﹣2，当且仅当t=，即=+1时取等号，故的最大值为﹣2故答案为：﹣2三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=5，a4+a6=22，数列{b n}中，b1=3，b n=2b n +1（n≥2）．﹣1（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）定义x=[x]+（x），[x]是x的整数部分，（x）是x的小数部分，且0≤（x）＜1，记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=5，a4+a6=22，∴a 1+d=5，2a 1+8d=22， 联立解得a 1=3，d=2． ∴a n =3+2（n ﹣1）=2n +1．数列{b n }中，b 1=3，b n =2b n ﹣1+1（n ≥2）． 化为：b n +1=2（b n ﹣1+1）（n ≥2）．∴数列{b n +1}为等比数列，公比为2，首项为b 1+1=4． ∴b n +1=4×2n ﹣1，化为：b n =2n +1﹣1． （II ）n ≥1时，2n +1=2（1+1）n ≥=2（1+n ）＞2n +1．∴=， ∴S n =+…+，=+…++，相减可得：=2﹣=+2﹣，∴S n =﹣．18．（12分）2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区．消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点．（Ⅰ）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归方程y=x +（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（Ⅱ）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：=，==，，．【解答】解：（Ⅰ）由已知有=（10+20+30+40+50+60+70+80）=45，=（8+17+25+31+39+47+55+66）═36，=≈0.80，a=36﹣0.80×45=0，变量y关于变量x的线性回归方程为=0.80x，∴当x=2500时，y=2500×0.8=2000．（Ⅱ）由题意得X的可能取值有1，2，3，4，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为：E（X）=1×=．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE 的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊆平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，…（1分）在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BC•CC1•cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，所以B1C=，…（3分）故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，…（5分）又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，）（7分），，令，∴，，设平面AB 1E的一个法向量为．，令z=，则x=，y=，∴，．∵AB⊥平面BB1C1C，是平面的一个法向量，|cos＜＞|=，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或．∴CE=CC 1=2或CE=CC1=3．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，0）是它的一个顶点，过点P作圆C2：x2+y2=r2的切线PT，T为切点，且|PT|=．（Ⅰ）求椭圆C1及圆C2的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2与圆交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，则a=2，e==，则c=，b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的标准方程：；由已知r==，则圆C2的方程：x2+y2=2；（Ⅱ）设直线l1的斜率存在，直线l1的方程：y=k（x+2），则，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，则x P+x D=﹣，由x P=﹣2，则x D=，则|DP|=|x P﹣x D|=，直线l2的方程y=﹣（x+2），即x+ky+2=0，则|AB|=2=2，=×|AB||PD|=×2×=，则△ABD面积S△ABD==≤=，当且仅当=，即k=±时取等号，∴△ABD面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e ax ln（x+1），其中a∈R．（Ⅰ）设F（x）=e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是{x|x＞﹣1}，f′（x）=a•e ax ln（x+1）+e ax•=e ax（aln（x+1）+），故F（x）=aln（x+1）+，则F′（x）=，若a=0，则F′（x）＜0，F （x）在（﹣1，+∞）递减，若a≠0，则令F′（x）=0，解得：x=﹣1，（i）当a＜0时，则x=﹣1＜﹣1，故在（﹣1，+∞）上恒有F′（x）＜0，即F（x）在（﹣1，+∞）递减；（ii）a＞0时，x=﹣1＞﹣1，因而在（﹣1，﹣1）上，F′（x）＜0，在（﹣1，+∞）上，F′（x）＞0，故F（x）在（﹣1，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x=e ax ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），g′（x）=e ax（aln（x+1）+）﹣1=e ax F（x）﹣1，设h（x）=g′（x）=e ax F（x）﹣1，则h′（x）=e ax（a2ln（x+1）+），（i）若a≤0，由x＞0可知0＜e ax≤1，另可证当x＞0时，ln（x+1）＜x，∴g（x）=e ax ln（x+1）﹣x＜x（e ax﹣1）≤0，故g（x）＜0对任意x∈（0，+∞）都成立，故g（x）在（0，+∞）上无零点，因此a＞0，；（ii）当0＜a＜时，考查函数h′（x），由于h′（0）=2a﹣1＜0，h′（）＞0，故h′（x）在（0，+∞）上必存在零点，设h′（x）在（0，+∞）的第一个零点是x0，则当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，x0）递减，又h（x0）＜h（0）=0，故x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（0，x0）递减，故在（0，x0）上恒有g（x）＜g（0）=0，即g（x0）＜0，注意到e ax＞ax，故g（x）＞axln（x+1）﹣x=x（aln（x+1）﹣1），令x=，则g（x）＞0，由零点存在定理可知函数y=g（x）在（x0，）上有零点，符合题意；（iii）若a≥，则由x＞0，可得h′（x）＞0恒成立，从而h（x）在（0，+∞）上递增，也即g′（x）在（0，+∞）递增，故g′（x）＞g′（0）=0，即g（x）在（0，+∞）递增，从而g（x）＞g（0）=0恒成立，综上，a的范围是（0，）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆x2+y2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为：ρsin（θ+）=，且直线l在直角坐标系中与x，y轴分别交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；=3，若存在，求出点（Ⅱ）问在曲线C上是否存在点P，使得△ABP的面积S△ABPP的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）圆x2+y2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C：，转化为参数方程为：（θ为参数）．线l的坐标方程为：ρsin（θ+）=，转化为直角坐标方程为：x+y﹣6=0．（Ⅱ）设曲线C上的点P（4cosα，3sinα），则：点P到直线的距离d=．故：=3，当sin（α+θ）=1时，即，cos，此时P（），=3，故存在点P使△ABP的面积S△ABP故点P坐标为：（）．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）设函数f（x）=|ax+b|（a，b∈R）．（Ⅰ）若a=2，b=1，求不等式f（x）+f（﹣x）≤4的解集；（Ⅱ）若对任意满足0≤x≤1的实数x，都有f（x）≤1成立，求证：|a|≤2．【解答】解：（Ⅰ）由a=2，b=1得：令g（x）=f（x）+f（﹣x）=|2x+1|+|2x﹣1|=，故或或，解得：﹣1≤x≤1，故f（x）+f（﹣x）≤4的解集是[﹣1，1]；（Ⅱ）证明：由对任意0≤x≤1，都有|ax+b|≤1，令x=0，得|b|≤1，令x=1得|a+b|≤1，故|a|=|﹣b+a+b|≤|﹣b|+|a+b|≤2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
湖南省长沙市2017届高三年级统一模拟考试(理科)
湖南省长沙市2017届高三年级统一模拟考试（理科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 在复平面内，复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合，，若，则的值为A. B. C. D. 或3. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为A. B.C. D.4. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了个问题及其解法，其中一个问题为“现在一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为升，下面三节的容积之和为升，求中间两节的容积各为多少?”该问题中第节，第节，第节竹子的容积之和为A. 升B. 升C. 升D. 升5. 如图是某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为的半圆，俯视图是直径为的圆，则该几何体的表面积为A. B. C. D.6. 的展开式中A. 不含项B. 含项C. 含项D. 不含项7. 是抛物线上一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，当时，，则抛物线的准线方程是A. B. C. D.8. 某同学为实现“给定正整数，求最小的正整数，使得”，设计程序框图如图，则判断框中可填入A. B. C. D.9. 中，，，则的周长为A. B.C. D.10. 函数的图象大致为A. B.C. D.11. 是双曲线：右支上一点，直线是双曲线的一条渐近线，在上的射影为，是双曲线的左焦点，则的最小值为A. B. C. D.12. 对于满足的任意实数，，函数总有两个不同的零点，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. ______．14. 空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，优；良；为轻度污染；为中度污染；为重度污染；大于为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于的天数为______．（该年为天）15. 化简： ______．16. 平行四边形中，，，，是平行四边形内一点，且，若，则的最大值为______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知数列为等差数列，其中，．（1）求数列的通项公式；（2）数列中，，，从数列中取出第项记为，若是等比数列，求的前项和．18. 张老师开车上班，有路线①与路线②两条路线可供选择．路线①：沿途有，两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，，若处遇红灯或黄灯，则导致延误时间分钟；若处遇红灯或黄灯，则导致延误时间分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为分钟．路线②：沿途有，两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，，若处遇红灯或黄灯，则导致延误时间分钟；若处遇红灯或黄灯，则导致延误时间分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为分钟．（1）若张老师选择路线①，求他分钟能到校的概率；（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线?并说明理由．19. 如图，以，，，，为顶点的六面体中，和均为等边三角形，且平面平面，平面，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．20. 如图，是直线上一动点，以为圆心的圆过定点，直线是圆在点处的切线，过作圆的两条切线分别与交于，两点．（1）求证：为定值；（2）设直线交直线于点，证明：．21. 已知函数，为实常数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若在上存在极值点，且极值大于，求的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线的方程为（为常数）．（1）求曲线的普通方程，的直角坐标方程；（2）设点是上到轴距离最小的点，当过点时，求的值．23. 已知．（1）当时，求的最小值；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．答案第一部分1. B2. B3. A4. A5. A6. D7. A8. C9. C 10. A11. D 12. D第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）设等差数列的公差为，依题意有解得，，从而的通项公式为．（2），，从而等比数列的公比为，因此．另一方面，，所以，因此．记的前项和为，则．18. （1）走路线①，分钟能到校意味着张老师在，两处均遇到绿灯，记该事件发生的概率为，则．（2）设选择路线①的延误时间为随机变量，则的所有可能取值为，，，．则，，，．的数学期望．设选择路线②的延误时间为随机变量，则的所有可能取值为，，，．则，，，．的数学期望．因此选择路线①平均所花时间为分钟，选择路线②平均所花时间为分钟，所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②．19. （1）设的中点为，连接，．因为，均为等边三角形，所以，，因此平面．因为平面平面，，所以平面，又平面，所以，从而平面，因此平面，所以．（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系．，，，．于是，，．设平面的法向量为，平面的法向量为，则有故取，．于是，所以二面角的余弦值为．20. （1）设切圆于点，直线与轴的交点为，故．从而所以为定值．（2）由（1）同理可知，故，均在椭圆上．设直线的方程为．令，求得，即点纵坐标．由得，．设，，则有，．因为，，，在同一条直线上，所以等价于，即，等价于．将，代入，知上式成立．所以．21. （1）的定义域为，而，当时，，故的单调递增区间为，，无单调递减区间．（2）当时，由（1）知，无极值点；当时，令，则．对恒成立，故在上单调递增．当时，，，故在上存在实数，使得，从而在上存在实数使得；当时，，，故在上存在实数，使得，从而在上存在实数使得．因此在上有唯一零点，设为．于是当时，，时，，从而在（）上存在唯一的极小值点，且极值．由知，因此，令，则，故在上单调递增．而，所以．令，则，故时，，单调递减．从而，故所求的取值范围是．22. （1）由知，故曲线的普通方程为．将，代入中，知曲线的直角坐标方程为．（2）曲线是圆心为，半径为的圆，故点坐标为，代入，求得．23. （1）当时，，故的最小值为，当且仅当时取得最小值．（2），若不等式的解集非空，则，即，因此，所以的取值范围是．。
湖南省长沙市长郡中学2017届高考模拟试卷(一)数学(理)答案
# + 槡 由得'1 ' 代入中 可得* ( 1 & & 选择 , 项! 二 填空题 )+1! ' ,2 ' " & " ) " ' # ) " ( !" ! ! & 三 解答题 #槡 ( &槡 " $ 解析 5 6 7 # -1 % # -1 " % 0 5 6 7 % %$ ( " $ $ % 中 # - % # - 为锐角 8在$# %$ % ( " $ 分 槡 槡 8 7 9 : # -1 % # -1 7 9 : & %$ % ( " $ #槡 ( &槡 " $ 槡 ( 槡 " $ 槡 # # %1 5 6 7 # -2% % # - 1 ; ! ; 1 5 6 7 %$ %$ ( " $ ( " $ # 0 $ # %& &%$
2 单调递增 $ 极大值 ! 单调递减
" 2
( & 槡 &
(& & 槡 " 2 2< " ! &
2 单调递增
$ 极小值
& (& 槡 ( & ( & (& & & & 槡 槡 槡 所以:! 的单调递减区间为 " 单调递增区间为 !<& ," ! " 2 " ! " 2 2< ! & & & & '分 理科数学试题参考答案! 长郡版" !& !
【湖南省长沙】2017届高三上学年期期末(理科) 数学年试题
()n n ++=11n n ++-+5)9.091≈9.091 6.635>19．（1）证明：作∵EH =AD =BC =BG ，EF ∥BC ，∠ABC =90°． 82BC BE =-1(83BCF AE =-83234M m a =，所以有,1D x k =-相似，所以湖南省长沙一中2017届高三上学期月考数学试卷（文科）（五）解析1．【分析】由已知中，集合A={x|x2-2x≤0}，解二次不等式求出集合A，再由B={x|x≤a}，A⊆B，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x2-2x≤0}=[0，2]，B={x|x≤a}，A⊆B，∴a≥2．2．【分析】利用复数的周期性、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：i2017=（i4）504•i=i，复数===+i，则z的共轭复数=-i，3．【分析】先由列举法求出“三人在同一个社团”的概率，再由对立事件概率计算公式求出“三人不在同一个社团”的概率．【解答】解：∵某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，a，b，c三名学生各自随机选择参加其中的一个社团，∴a，b，c三名学生选择社团的结果有：（A，A，A），（A，A，B），（A，B，A），（B，A，A），（A，B，B），（B，A，B），（B，B，A），（B，B，B），共8个等可能性的基本事件，三人在同一个社团的结果有：（A，A，A），（B，B，B），共两个，∴“三人在同一个社团”的概率为p1==，而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件，∴“三人不在同一个社团”的概率为p=1-=．4．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得cos（+2α）的值．【解答】解：∵tanα=2，α∈（0，π），则cos（+2α）=cos（+2α）=-sin2α=-2sinαcosα=-=-═-=-，5．【分析】利用三角形的知识计算CD，∠BCD，利用平面向量的数量积的定义计算数量积．【解答】解：∵AB=BC=3，∠BAC=30°，CD⊥AB，∴∠ABC=120°，∠BCD=30°，∴AC==3，∴CD=ACsin∠CAB=，∴==．6．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环输出的点的坐标，当满足条件，退出循环体，从而得到判定框中应填．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，y=0x=1，y=1，i=2，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上，不满足条件，x=0，y=1，i=3，输出点（0，1）不满足条件，x=-1，y=0，i=4，输出点（-1，0）不满足条件，x=0，y=0，i=5，输出点（0，0），此输出的点恰落在直线y=x上不满足条件，x=1，y=1，i=6，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上由题意，此时，应该满足条件，退出循环，故判断框中可填写的条件是i>5？．7．【分析】由于f（-x）=-f（x）推出函数是奇函数，f（x-2）=f（x+2），得到函数f（x）为周期为4的函数，求出log220的范围，再由已知表达式，和对数恒等式，即可得到答案．【解答】解：由于定义在R上的函数f（x），满足f（-x）=-f（x）所以函数是奇函数，f（x-2）=f（x+2），所以函数f（x）为周期为4的函数，log220∈（4，5），x∈（-1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=f（log220-4）=-f（4-log220）===-1，8．【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【解答】解：根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1，故组合体的体积V=1+，9．【分析】设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{a n}是等差数列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积．【解答】解：设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{a n}是等差数列，设公差为d，由题意得，解得a1=1．4，d=-0.1，∴中间两节的容积为：a4+a5=（1．4-0.1×3）+（1．4-0.1×4）=2．1（升）．10．【分析】先研究函数的奇偶性知它是奇函数，从而排除两个选项，再由x=-时，f′（0）>0，排除C，即可得解．【解答】解：∵g（x）=2cos（x-）cos（x+）=cos2x，∴将函数g（x）的图象上各点的坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到h（x）=cosx的图象，∴f（x）=x2+h（x）=x2+cosx，可得：f′（x）=x-sinx，∴可得：f′（-x）=（-x）-sin（-x）=-（x-sinx）=-f′（x），故此函数奇函数，排除B，D．又当x=-时，f′（0）=-+1=1->0，结合选项函数的图象，排除C．11．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B．C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B．C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，12．【分析】分情况讨论，当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0，求出x1=1；当x>2时，f（x）=lg（x-2），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（x-2）]2+blg（x-2）-b-1=0，解得lg（x-2）=1，或lg（x-2）=b，从而求出x2和x3；当x＜2时，f（x）=lg（2-x），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]2+blg（2-x）-b-1=0），解得lg（2-x）=1，或lg（2-x）=b，从而求出x4和x5，5个不同的实数解x1．x2．x3．x4．x5都求出来后，就能求出f（x1+x2+x3+x4+x5）的值．【解答】解：当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0.∴x1=2，c=-b-1．当x>2时，f（x）=lg（x-2），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（x-2）]2+blg（x-2）-b-1=0，解得lg（x-2）=1，x2=12或lg（x-2）=b，x3=2+10B．当x＜2时，f（x）=lg（2-x），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]2+blg（2-x）-b-1=0），解得lg（2-x）=1，x4=-8或lg（2-x）=b，x5=2-10B．∴f（x1+x2+x3+x4+x5）=f（2+12+2+10b-8+2-10b）=f（10）=lg|10-2|=lg8=3lg2．13．【分析】研究知点M（1，2）在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．【解答】解：验证知点M（1，2）在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（3，4）∵k CM==1，∴k l=-1∴l：y-2=-（x-1），整理得x+y-3=014．【分析】由③可知，C在散步，A在跳舞，由②④，可知，B在打篮球，D在画画，即可得出结论．【解答】解：由③可知，C在散步，A在跳舞，由②④，可知，B在打篮球，D在画画，15．【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性质确定AD•DC的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值．【解答】解：在△ACD中，cos∠ADC===-，整理得AD2+CD2=48-AD•DC≥2•AD•DC，∴AD•DC≤16，AD=CD时取等号，∴△ADC的面积S=AD•DC•sin∠ADC=AD•DC≤4，16．【分析】营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪．1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费35元；而1kg 食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费28元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？设每天食用xkgA食物，ykgB食物，总成本为z．建立约束条件，利用线性规划的知识进行求解．【解答】解：设每天食用xkgA食物，ykgB食物，总成本为z．则目标函数为z=28x+21y不等式组化简为如图作出可行域（阴影部分）把z=28x+21y 变形为y=-x+，解方程组得M 的坐标为（，）（2）求出数列{b n }的前n 项和为T n ，利用裂项相消法求得数列的前n 项和为H n ，则H 2017可求．31-()n n ++=11n n ++-+5)9.091≈…9.091 6.635>19．【分析】线面垂直的性质证得线线垂直；∵EH =AD =BC =BG ，EF ∥BC ，∠ABC =90°．82BC BE=-1(83BCFAE=-8320．【分析】（1）过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M=a+c，|BF|的最小值是m=a-c，结合M•m=a2即可求出离心率；234M m a=，所以有,1Dxk=-相似，所以4⎩23．【分析】（1）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）≥|a|+||，再利用基本不等式证得|a|+||≥2，从而证得结论．（2）f（2）＜3，即|2+|+|2-a|＜3，再分类讨论求得a的范围，综合可得结论．a>。