A题—D题(2015年深圳杯夏令营题目)

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2015年“深圳杯”数学建模夏令营D题

请自行收集数据并研究以下问ห้องสมุดไป่ตู้：
（1）上述结论是否正确？
（2）我国航班延误的主要原因是什么？
（3）有什么改进措施？
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2015年“深圳杯”数学建模夏令营
D题航班延误问题
香港南华早报网根据的统计称：中国的航班延误最严重，国际上航班延误最严重的10个机场中，中国占了7个。其中包括上海浦东、上海虹桥、北京国际、杭州萧山、广州白云、深圳宝安、成都双流等机场。

2015年清华大学夏令营试题解析

2015年清华大学夏令营试题解析01一质量为m 、长为L 的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤的秤盘接触，如图1所示.某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数.解析设t 时刻落到秤盘的绳长为x ，此时绳速为v =在(0)t t ∆∆→时间内，有质量为m x ρ∆=∆的绳落到盘秤上，其中ρ为绳的线密度.取向上为正方向，根据动量定理，有0()F t m v x v ρ∆=--∆⋅=∆⋅（忽略微元段绳本身的重力冲量）.解得22xF vv gx tρρρ∆===∆. 故3N F gx gx ρρ=+=.所以台秤的最大读数为3mg ，出现在软绳将要全部掉到盘秤上时.02单位面积带电量为σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为R 的圆板，如图2所示.求圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度.解析无限大平板挖去一个圆板所产生的场强E 可以等效为一个无限大平板产生的场强1E 减去一个半径为R 的圆板产生的场强2E .根据高斯定理，有102E σε=. 由积分可求得带电圆板产生的场强为20(12E σε=. 所以合场强为120001222E E E σσσεεε⎛⎫=-=-= ⎝.03如图3所示，一对等量异号点电荷q +和q -的间距为l ，求两电荷延长线上一点1P 和中垂面上一点2P 的场强，1P 和2P 到两电荷连线中点O 的距离都是r .解析 1P 点的场强为12211()()22E kq l l r r ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢-+⎥⎣⎦ 2P 点的场强为2222232222cos 244.()4l q q E kkl l r r qlkl r θ=⋅⋅=⋅++=+对于电偶极子，q ±之间的距离l 远比场点到它们的距离r 小得多.当l r <<时，有 222222232211222222224l l r r lr l r l l l l l r r r r r ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==≈⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 332224l l rl r ≈⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以在电偶极子延长线上，1E 的大小为132qlE kr ≈. 在中垂面上，2E 的大小为23ql E kr ≈. 04推导点电荷的电势表达式.解析在正点电荷Q 的电场中，把正试探电荷q 沿电场线从a 点移到b 点，我们来计算在此过程中库仑力所做的功.我们把ab 分成很多足够小的小段，其中任一小段的两端到场源电荷的距离分别为1i r -和i r ，则试探电荷在该段所受的平均力为1i i iQqF kr r -=. 于是库仑力在这一小段里做的功为11111()i i i i i i i i i QqW F r kr r kQq r r r r ---⎛⎫=∆=⋅-=- ⎪⎝⎭.对各小段的功求和，就得到库仑力对试探电荷所做的总功，即11111i i i a b W W kQq kQq r r r r -⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.于是a 、b 两点的电势差为11a b ab a b WU kQ q r r ϕϕ⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. 规定离场源电荷无穷远处（即b r →∞）为电势零点，则在离场源电荷()a r r r =处的电势为Qkrϕ=. 05如图4所示，某质子加速器使每个质子获得动能k E ，很细的质子束射向一个远离加速器、半径为r 的金属球，从球心到质子束延长线的垂直距离为2rd =.假定质子与金属球相碰后将其电荷q 全部交给金属球，经足够长时间后，求金属球的最高电势值（以无穷远处的电势为零）.解析设质子初速度为0v ，当金属球充电到电势为U 时，质子与金属球相切而过，此时速度设为v.由于质子在向金属球运动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故质子对球心O 的角动量守恒，有0mv d mvr =. 解得2v v =. 根据动能定理，有2201122qU mv mv -=-. 解得20313424k U mv E q q=⋅=.06如图5所示，质量为M 的足够长金属导轨abcd 放在光滑的绝缘水平面上.一电阻不计、质量为m 的导体棒PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形.棒与导轨间的动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱.导轨bc 段长为L ，开始时PQ 左侧导轨的总电阻为R ，右侧导轨单位长度的电阻为0R 。

2015年广东省深圳市中考物理试卷答案与解析

2015年广东省深圳市中考物理试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16小题，每小题0分，满分0分）．2．（2015•深圳）把一瓶矿泉水放在物理课本上，看到的情景如图所示，下列光学设备中，成像情况与它相同的是（）．此时的温度计显示温度为11℃．6．（2015•深圳）将木块放在小车上，向右匀速直线运动（不计空气阻力）说法正确的是（）P= t=8．（2015•深圳）下列说法错误的是（）分析受力面积和压强的关系；p=B10．（2015•深圳）如图所示，将边长10cm 的正方体木块放入装有水的烧杯中，木块静止时，上表面距离水面4cm ，g 取10N/kg ，则（）==1.0==0.6．．12．（2015•深圳）当教室使用投影仪时，灯泡十分烫，要使用电风扇进行降温．在使用投影仪时，要先打开风扇确保风扇正常工作后，才通电使灯泡发光，M为电风扇．下面正确的B13．（2015•深圳）如图，保持电源电压不变，开关S由断开到闭合．下列说法正确的是（）14．（2015•深圳）下列说法正确的是（）15．（2015•深圳）对下列现象的描述不合理的是（）二、解答题（共6小题，满分0分）17．（2015•深圳）实验探究题①在探究“滑动摩檫力的大小与哪些因素有关”的实验中，小明的两次实验如图1甲、乙所示．a、用弹簧测力计在水平方向向右匀速拉动物体．b、如乙图所示，若拉动的木块上再放一个砝码，则发现弹簧测力计示数变大，说明在接触面积粗糙程度相同时，压力越大滑动摩擦力越大．②如图2是探究“动能大小与哪些因素有关”的实验装置．a、运用质量不同的两个小球，从高度相同的斜面上滑下，为的是让它们在达到水平面时速度相同．b、通过观察物体被撞击后向前滑行距离的远近可看出动能与质量的关系，上述过程中，出了转换法，还用了控制变量法的方法．③小明用调节好的天平测金属块的质量，天平平衡时，右盘中所加的砝码和游码位置如图3所示，则所测金属块的质量是76.4g．18．（2015•深圳）如图1所示，用图1甲的电路图测量定值电阻R x的阻值大小，图乙是未完成的实验电路．①该实验原理为：R=②根据图1甲的电路图连接实物图连接电路另一条线，应接在C（选填“A”或“C”）接线柱．③闭合电路前，应把滑动变阻器滑到A端（选填“A”或“B”），闭合开关，发现电压表示数接近电源电压，电流表没示数，则电阻断路（选填“短路”或“断路”）．④滑动变阻器除了保护电路外，还有一个作用是改变电阻两端电压．⑤测量电阻值，将滑动变阻器换成两个阻值电阻R1和R2（R1＜R2），分别进行了3次不同的实验，并记录下来，如图2所示，第三次数是图甲（选题“甲”或“乙”或“丙”）中进行R=R=R=；19．（2015•深圳）同学用滑轮组提升一边长为0.2m的正方体物块，物块质量为20kg，如图所示：（1）人未拉动细绳时，物块静止在水平面地面上，求对地面的压强？（g=10N/kg）（2）当人用125N的力拉动细绳使物体升高1m，求此时的机械效率？p==5100%=20．（2015•深圳）如图，是某电热水器的内部电路图，电源电压为220V，R1，R2为定值电阻，R1=22欧，R2=198欧．其中R1为电热丝，给水加热；R2控制电路，使电路处于加热或者保温状态．求：（1）当S1闭合时为保温状态，求此时电路中的电流．（2）当S1、S2都闭合时为加热状态，求此时电路的电功率．P==1A=21．（2015•深圳）A、B两个用电器分别接入甲图的电路中，经测量，用电器A、B的I与U关系如图乙所示，写出从乙图所示的中获得的信息．①A用电器的电阻R A=10Ω．②B用电器的电阻R B随电压的增大而增大．（选填“增大”、“减小”或“不变”）③另外写出一条从乙图获得的物理信息电压3V时，A与B电阻相等．（①②除外）计算，==1022．（2015•深圳）近年来，频繁发生轮船翻沉事件，以下是关于此事的一些材料信息．请你模仿样例格式，从材料原方中摘抄出涉及到物理知识的内容，并写出对应的物理知识或规律．①救援队抵达轮船翻沉现场后，首先进行水下摸索搜救工作，潜水员进入深水区时，需穿好潜水装备；之后救援队利用多台装有多个滑轮组的起吊机器，把船体打捞出水面；在清理船舱时，搜救员利用重锤砸开损坏变形的门窗，用撬棒撬开堵塞通道的重物，为了进一步进行水下搜救，救援队利用起吊机器，把船体脱离出事水域．②专家建议：如乘客以外落水，一定要穿好救生衣迅速离开船体，以防被漩涡再次吸入船只；同时应仰起头，保持身体倾斜，借助救生衣的强大浮力，慢慢浮出水面，浮上水面后，不要将手举出水面，要放在水下划水，。

2015年清华大学夏令营试题解析

2015年深圳市高三年级第一次调研考试参考答案

2015年深圳市高三年级第一次调研考试参考答案12筛选整合A B A项，混淆充分、必要条件。

原文为‚只有人们的社会实践，才是人们对于外界认识的真理性的标准‛，而选项将‚只有……才‛（必要条件）转换成‚只要……就‛（充要条件）。

B以偏概全。

原文为‚马克思主义的唯物论，第一次正确地解决了这个问题，唯物地而且辩证地指出了认识的深化的运动‛，选项少了‚正确‛‚唯物而且辩证地‛。

C项原文为‚感觉只解决现象问题，理论才解决本质问题。

这些问题的解决，一点也不能离开实践‛，语言转换后语意没有发生变化，故正确。

D项原文为‚主要地是他们亲自参加了当时的阶级斗争和科学实验的实践，没有这后一个条件，任何天才也是不能成功的‛，语言转换后语意没有发生变化，故正确。

E项原文为‚所以，一个人的知识，不外直接经验的和间接经验的两部分。

而且在我为间接经验者，在人则仍为直接经验。

因此，就知识的总体说来，无论何种知识都是不能离开直接经验的‛，语言转换后语意无变化。

13观点理解B B项原文为‚‘秀才不出门，全知天下事’，在技术不发达的古代只是一句空话，在技术发达的现代虽然可以实现这句话‛，强调了‚在技术不发达的古代‛和‚在技术发达的现代‛，故错。

9．（10分）（1）【文言翻译】（7分）①（他）推荐（或“举荐”、“推举”）勋阳巡抚林富代替自己（宾语前置），不等朝廷的批复就回去了。

【“举”“自代”“俟”三个词译对各给1分；共3分。

】②（他）慨然感叹（或“长叹一口气”）说：“道就在这里呀。

”从此深信不疑。

当世学者聚集在一起跟从他，社会上于是就有“阳明学”的称法（说法）。

【“喟然”、“是”、“从之”译对各给1分；“大意” 1分；共4分。

】（2）【信息筛选与概括】（3分）①天资聪颖；②阅读广泛；③静处体悟（勤于思考）。

【3分。

答对一条1分，意思对即可。

】10.【古诗鉴赏】（7分）（1）（3分）①鲜嫩清新（“仙山灵雨行云湿”）；②天生丽质（“洗遍香肌粉未匀”）；③清香可人（“清风吹破武林春”）；④本质高雅（“要知冰雪心肠好”）；⑤朴实无华（“不是膏油首面新”）。

深圳二模理科数学试题及答案

绝密★启用前试卷类型：A2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）2015．4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：如果柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积为Sh V =；如果随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则,()()d baP a X b x x μσφ<≤=⎰，其中22()2,()x x μσμσφ--=，),(∞+-∞∈x ，μ为均值，σ为标准差．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数2015i 等于A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =-b ，若a // b ，则x 等于A ．4B ．4-C ．1-D ．23．下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是A ．2x y =B ．x y 2=C ．x y 2log =D ．x y 2sin =4．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计） A ．π8+ B ．π48+C ．π16+D ．π416+5．若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩,则2x y +的取值范围是A ．[0,6]B ．[1,6]C ．[1,5]D ．[0,5]6．如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入3a ，2a ，1a ，0a 的值依次是1，3-，3，1-，则输出v 的值为 A ．2- B ．2C ．8-D ．87．从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取五个，组成五位数，则不同的五位数共有A ．50个B ．60个C ．100个D ．120个8．设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义}),(|)1,1{(*X y x x y X ∈--=．若X X =*，则称点图11正视图侧视图俯视图图2集X “关于运算*对称”．给定点集}1|),{(22=+=y x y x A ，}1|),{(-==x y y x B ，}1|||1||),{(=+-=y x y x C ，其中“关于运算*对称”的点集个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．不等式5|2||1|≤-+-x x 的解集为．10．已知随机变量X 服从正态分布),1(2σN ，若(01)0.3P X <≤=，则=≥)2(X P ．11．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与抛物线24y x =的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于．12．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知153=S ，1539=S ，则=6S ． 13．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2ab c >”是“π3C <” 的条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l ：12x sy s=+⎧⎨=-⎩（s 为参数）与曲线C ：23x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ．若60BAC ∠=︒，6BC =，则⊙O 的半径为．A三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设函数)2cos()(ϕ+=x x f （其中π0<<ϕ，R ∈x ）．已知21)0(-=f ．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若角θ满足)()3πsin(θθf =+，且π0<≤θ，求角θ的值．17．（本小题满分12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）如图4，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形，M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．（1）证明：OB OA =；（2）证明：平面⊥PAB 平面POC ；（3）若PA =，OP =，求二面角B OA P --的余弦值．19．（本小题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ，且42,,321+a S a 成等比数列．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有++2143a a …12<++na n ．20．（本小题满分14分）已知平面上的动点P 与点(0,1)N 连线的斜率为1k ，线段PN 的中点与原点连线的斜率为2k ，1221k k m =-(1m >)，动点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）是否存在同时满足以下条件的圆：①以曲线C 的弦AB 为直径；②过点N；③直径AB =．若存在，指出共有几个；若不存在，请说明理由．O图4BCPM•21．（本小题满分14分）已知函数x b ax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1()(=+xf x f ，其中b a ,为常数．（1）若)(x f 的图像在1=x 处切线过点)5,0(-，求a 的值；（2）已知10<<a ，求证：0)2(2>a f ；（3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．[]2,3-10．0.211．12．6613．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 1415．（几何证明选讲选做题）三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设函数()cos(2)f x A x =+ϕ（其中0A >，0π<<ϕ，R ∈x ）．已知π6x =时，()f x 取得最小值2-．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若角θ满足π2sin()()3f +=θθ，且π0<≤θ，求πsin()3θ+的值．解：（1）由()f x 最小值2-且0A >，所以2A =．…………………………………………1分因为π()26f =-，所以πcos()13ϕ+=-，……………………………………………………2分由0π<<ϕ可得ππ4π333ϕ<+<，所以ππ3ϕ+=，………………………………………3分所以2π3ϕ=．……………………………………………………………………………………4分故)(x f 的解析式为2π()2cos(2)3f x x =+．…………………………………………………5分（2）（法1）由（1），得)3π22cos()3πsin(+=+θθ，即)3π(sin 21)3πsin(2+-=+θθ，01)3πsin()3π(sin 22=-+++θθ， ……………………8分所以1)3πsin(-=+θ或21)3πsin(=+θ． ………………………………………………10分又0πθ≤<，所以ππ4π333θ≤+<． …………………………………………………11分所以21)3πsin(=+θ． ………………………………………………………………………12分（法2）由（1），得)3π22cos()3πsin(+=+θθ，即)3π22cos()6πcos(+=-θθ． ………………………………………………………8分充分非必要所以θθ-+=+6ππ23π22k 或θθ+-=+6ππ23π22k ，Z ∈k ． …………………………10分即6π3π2-=k θ或65ππ2-=k θ，Z ∈k ．又0πθ≤<，所以2π=θ． …………………………………………………………11分所以21)3πsin(=+θ． ………………………………………………………………………12分【说明】本题主要考查cos()y A x ωϕ=+的性质，倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值，考查学生的运算能力． 17．（本小题满分12分）深圳市于2014年12月29日起实施汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，在全市有购车意向的市民中，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了抽样调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体有购车意向的市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：50150010=、150350010=、300650010=． ………………………………………2分所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：110110⨯=人、310310⨯=人、610610⨯=人． ……………………………………4分（2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为650030010=⨯人，所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为734102426=C C C ． …………………………………6分（3）4=n ，ξ的可能取值为4,3,2,1,0． ………………………………………7分因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为511000200==p ，……………8分所以，随机变量ξ服从二项分布，即ξ～)51,4(B ． …………………………………………9分62525651151)0(4004=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，62525651151)1(3114=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， 6259651151)2(2224=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，6251651151)3(1334=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， 625151151)4(0444=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ．即ξ的分布列为：……………………………………………………………………………11分ξ的数学期望为：54514=⨯==np E ξ．…………………………………………12分【说明】本题主要考查分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布等知识，考查了考生读取图表、数据处理的能力． 18．（本小题满分14分）如图4，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形，M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．（1）证明：OB OA =；（2）证明：平面⊥PAB 平面POC ；（3）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值．证明：（1）因为OA ，OB ，OC 两两垂直，所以222AC OC OA =+，222BC OC OB =+．又△ABC 为等边三角形，BC AC =，所以=+22OC OA 22OC OB +，故OB OA =． …………………………………………………………………………3分（2）因为OA ，OB ，OC 两两垂直，所以，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥OAB OB OA O OB OA OB OC OAOC 平面,I ⊥⇒OC 平面OAB ，而⊂AB 平面OAB ，所以OC AB ⊥． …………………………………………………………5分取AB 中点D ，连结OD ，PD ．由（1）知，OB OA =，所以OD AB ⊥．由已知PB PA =，所以PD AB ⊥．所以，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥POD PD OD D PD OD PD AB ODAB 平面,I ⊥⇒AB 平面POD ，而⊂PO 平面POD ，所以PO AB ⊥． …………………………………………………7分所以，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⊥⊥POC PO OC O PO OC PO AB OCAB 平面,I ⊥⇒AB 平面POC ，又PAB AB 平面⊂，所以，平面⊥PAB 平面POC ． …………………………………………9分解：（3）（法一）由（2）知AB ⊥平面POD ，所以平面OAB ⊥平面POD ，且平面OAB I 平面POD OD =，过点P 作PH ⊥平面OAB ，且交OD 的延长线于点H ，连接AH ，因为OC PA 5=，OC OP 6=，由（1）同理可证OC OB OA ==，在△POA 中，222OP PA OA =+，所以OA PA ⊥，又因为PH ⊥OA ，所以OA ⊥平面PAH ，所以PAH ∠为二面角B OA P --的平面角， ………………………………………………11分在直角△PHA 中，cos AHPAH PA∠=， ……………………………………………………12分由（2）知45AOD ∠=︒，所以△OAH 为等腰直角三角形，图4OABCPM•DH所以AH OA OC ==，所以cos 5AH PAH PA ∠==，所以，二面角B OA P --…………………………………………………14分（法2）如图6，以OA ，OB ，OC 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．由（1）同理可证OC OB OA ==，设1===OC OB OA ，则)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C ，(1,0,0)OA =u u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r．设),,(z y x P ，其中0>x ，0>y ，0>z ．由(,,)OP x y z =u u u r ，(1,,)AP x y z =-u u u r．由（2）知OP AB ⊥u u u r u u u r，且PA ==u u u r，OP ==u u u r得()222222(1)0615x y x y z x y z ⎧-⨯+=⎪⎪++=⎨⎪-++=⎪⎩．解之，得1x y ==，2z =．……………………………11分所以，(1,1,2)OP =u u u r设平面POA 的法向量为),,(1111z y x =n ，由1OA ⊥u u u r n ，1OP ⊥u u u r n ，得1111020x x y z =⎧⎨++=⎩．取11=z ，得12y =-，1(0,2,1)=-n ．由（2）知，平面OAB 的法向量为2(0,0,1)OC ==u u u rn ， ………………………………………13分记二面角P OA B --的平面角为θ，由图可得θ为锐角，所以12cos |cos ,|θ=〈〉==n n ．所以，二面角B PC A -- ……………………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，线面垂直、面面垂直的判定与性质，用空间向量求二面角，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 19．（本小题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ，且42,,321+a S a 成等比图6Pz数列．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）设2n n n a b =，*N ∈n ，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有++2143a a (12)<++na n ．解：（1）由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+=+.68,20,)()42(3212122131a a a a a a a a a …………………………………………2分解之，得41=a ，242=a ，963=a ． …………………………………………………4分（2）（法1）因为4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ，……① 所以42)1(21-⋅--=+-n n n n a S ，其中2≥n ．……②②，并整理得212)1(2++⋅++=n n n n a a ，2≥n ， ……………………………6分即12(1)n n b b n +=++，2≥n ．所以，3243123242n n b b b b b b n -=+⨯⎫⎪=+⨯⎪⎬⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪=+⎭相加，得()()223n b b n n =+-+． ……………………………8分由（1）知242=a ，所以26b =，所以2≥n 时，()1n b n n =+， ……………………9分又41=a ，12b =也符合上式，所以，数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………10分（法2）因为4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ，……① 所以42)1(21-⋅--=+-n n n n a S ，其中2≥n ．……②②，并整理得212)1(2++⋅++=n n n n a a ，2≥n ，即12(1)n n b b n +=++，2≥n ． ……………………………………………………………6分由（1）知22141⨯⨯==a ，2223224⨯⨯==a ，3324396⨯⨯==a ．可得1212b ==⨯，2623b ==⨯，31234b ==⨯．猜想()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………………………………8分以下用数学归纳法证明之：（i ）当1=n 时或2=n 时，猜想显然正确．（ii ）假设k n =（2≥k ）时，猜想正确，即()1n b k k =+．那么1+=k n 时，12(1)k k b b k +=++(1)2(1)k k k =+++(1)(2)k k =+⋅+．[](1)(1)1k k =+++即1+=k n 时，猜想也正确．由（i ）（ii ），根据数学归纳法原理，对任意的*N ∈n ，猜想正确．所以，数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………10分（3）对一切正整数n ，因为nn n n n n n n n a n 2)1(1212)1(221⋅+-⋅=⋅++=+-， …………12分所以，++2143a a …+⨯⨯+⨯⨯=++21232422132n a n …nn n n 2)1(2⋅++++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯=2110231221221211…⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-⋅+-n n n n 2)1(1211 12)1(11<⋅+-=nn ． ………………………………………14分【说明】本题主要考查等比数列的定义，处理n S 与n a 的递推公式，用累加法求数列通项，数学归纳法，理解裂项求和，考查考生运算求解、推理论证、归纳猜想的能力． 20．（本小题满分14分）已知动点(,)M x y 和定点(0,1)N ，MN 的中点为P ．若直线MN ，OP 的斜率之积为常数λ(其中O 为原点，10λ-<<)，动点M 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 上是否存在两点A 、B ，使得△NAB 是以N 为顶点的等腰直角三角形？若存在，指出这样的三角形共有几个；若不存在，请说明理由．解：（1）设直线MN ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，因为1(,)22x y P +， ………………1分所以11y k x-=（0x ≠），2122y k x +=（0x ≠）， ……………………………………3分由12k k λ=可得：()1122y y x x λ+⎛⎫-⋅⎪⎝⎭=⋅（0x ≠），……………………………………4分化简整理可得221x y λ-+=（0x ≠），所以，曲线C 的方程为221x y λ-+=（0x ≠）．………………………………………5分（2）由题意()0,1N ，且NA NB ⊥，当直线NA 的斜率为0，则N 与A 重合，不符合题意，所以直线NA 、NB 的斜率都存在且不为0，设直线NA 的斜率为k ，所以直线NB 的斜率为1k-，不妨设0k >，所以直线NA 的方程为1y kx =+，直线NB 的方程为11y x k=-+，………………………6分将直线NA 和曲线C 的方程联立，得2211y kx x y λ=+⎧⎨-+=⎩，消y 整理可得()2220k x kx λ-+=，解得22A k x k λ=--，所以22k NA k λ=-，以k 1-替换k，可得222211kNB k kλλ==--，…………………………8分由NA NB =22221k k k λλ=--，………………………………9分所以320k k k λλ+--=，即()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦，……………………………10分（1）当113λ-<<-时，方程()210k k λλλ+++=有()()()22143110λλλλ∆=+-=-+-<，所以方程()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦有唯一解1k =；……………………………11分（2）当13λ=-时，()()211k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦()31103k --=，解得1k =；………12分（3）当103λ-<<时，方程()210k k λλλ+++=有()()()22143110λλλλ∆=+-=-+->，且()2111310λλλλ⨯++⨯+=+≠，所以方程()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦有三个不等的根．综上，当113λ-<≤-时，有一个圆符合题意；当103λ-<<时，有三个符合题意的圆．……………………………………………………………………………………14分（注：（3）也可直接求解：当103λ-<<时，方程()210k k λλλ+++=，因为()()()22143110λλλλ∆=+-=-+->，所以1,2k =，又因为()2111310λλλλ⨯++⨯+=+≠，所以1,21k ≠，故方程()()2110k k k λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦有三个不等的根．）【说明】本题主要考查曲线与方程，直线与椭圆的位置关系，弦长问题，一元二次方程根的个数问题，考查考生数形结合、函数与方程的数学思想方法及运算求解能力． 21．（本小题满分14分）已知函数x b ax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1()(=+xf x f ，其中b a ,为常数．（1）若)(x f 的图象在1=x 处的切线经过点)5,0(-，求a 的值；（2）已知10<<a ，求证：0)2(2>a f ；（3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．解：（1）在0)1()(=+xf x f 中，取1=x ，得0)1(=f ，又b a b a f +-=+-=1ln )1(，所以a b =．……………………………………1分从而x a ax x x f +-=ln )(，)11(1)(2xa x x f +-='，a f 21)1(-='．又510)1(5)1(=---='f f ，所以521=-a ，2-=a ．………………………………………………………………3分（2）2ln 22ln 2222ln)2(3322--+=+-=a a a a a a a f ．令2ln 22ln 2)(3--+=x x x x g ，则24222)1(432322)(xx x x x x x g -+-=--='．所以，)1,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减，…………………………………5分故)1,0(∈x 时，1()(1)2ln 21ln e 02g x g >=-->-=．所以，10<<a 时，0)2(2>a f ．……………………………………………………7分（3）222)11(1)(xax ax x a x x f -+-=+-='． ①当0≤a 时，在),0(∞+上，0)(>'x f ，)(x f 递增，所以，)(x f 至多只有一个零点，不合题意；…………………………………………8分 ②当21≥a 时，在),1(∞+上，0)(≤'x f ，)(x f 递减，所以，)(x f 也至多只有一个零点，不合题意；……………………………………10分 ③当210<<a 时，令0)(='x f ，得124111<--=a a x ，124112>-+=a a x ．此时，)(x f 在),0(1x 上递减，),(21x x 上递增，),(2∞+x 上递减，所以，)(x f 至多有三个零点．…………………………………………………………12分因为)(x f 在)1,(1x 上递增，所以0)1()(1=<f x f ．又因为0)2(2>a f ，所以),2(120x a x ∈∃，使得0)(0=x f ．……………………………13分又0)()1(00=-=x f x f ，0)1(=f ，所以)(x f 恰有三个不同的零点：0x ，1，01x ．综上所述，当)(x f 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是)21,0(．………………14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.。

广东深圳市2015届高三下学期第二次调研考试数学理试题word版含解析

2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)第I卷(共40分)一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的•1.设i为虚数单位，则复数i2015等于A. 1B. -1C. iD. - i【答案】D【解析】试题分析：i2015 =i2012?i3 i3 =-i，故选D.考点：复数的运算•2.平面向量a 二(1, -2) , b = (-2, x)，若a // b，则x 等于A. 4 B . -4 C . -1 D . 2【答案】A【解析】试题分析：根据向量共线的条件，可知1?x (- 2)?( 2) =4，所以x = 4.考点：向量共线的坐标表示•3.下列四个函数中，在闭区间［-1,1］上单调递增的函数是A. y =x2B. y =2xC. y=log2xD. y=sin2x【答案】B【解析】试题分析：y = x2在［-1,0］上是减函数，故A不对，y = log2x在［-1,0］上没有意义，故C 不对，y二si n2x在［p,1］上是减函数，故D不对，只有y = 2x在［-1.1］上是增函数，故选 B.4考点：函数的单调性的判断.侧视图卜1- 2 - 1-正视图俯视图4.如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸,则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）A. 8 nB. 8 4 nC. 16 nD. 16 4 n【答案】C【解析】试题分析：根据所给的三视图，可知该几何体为一个长方体和一个圆柱的组合体，故其容积2为V =4鬃2+P鬃1=16+p，故选C.考点：根据几何体的三视图求其体积•11三x v三35.若实数x，V满足约束条件，则2x v的取值范围是—1兰x —y兰1A [0,6]B . [1,6]C. [1, 5] D . [0,5]【答案】C【解析】试题分析：i^2x+ v = m（jr+ + = + 则有彳，解得*= 11 ix+y£3 S 3 a 1 1 1根据* - ” 一「所以-（“刃丘―一]，-<x-j）e[—所以有2工十川[1.5]・故选U2 2 2 2 2 2考点：不等式的性质•6.如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入-1 ,则输出v的值为侧视图卜1 ”，2…1 ‘A. -2B. 2C. -8D. 8【答案】D【解析】试题分析：起始值i = 3，输入a3= 1, v = 0?3 1 = 1 , i = 2，输入a? = - 3, v = 1 ?3 3 = 0 , i =1，输入= 3 , v = 0 ?3 3 = 3 , i = 0 输入a0= -1, v = 3?3 1 =8 , i = -1，输出v =8，故选D.考点：程序框图•7.从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取五个，组成五位数，则不同的五位数共有A. 50 个B. 60 个C . 100 个 D. 120 个【答案】B【解析】试题分析主当选定的五个数为22363时，组成册五位数为©-@ = 10个,当选定的五个数兀U33* 时，组成的五位魏为思当选定的五位数为12 233时，组戚的五位鞭沟© W = 个, 所以总共有10十20十范=60个.故选E考点：两个计数原理，排列组合数•8.设X是直角坐标平面上的任意点集，定义X*={(1-y,x-1)|(x,y)・X}.若X^X ,则称点集X “关于运算*对称”.给定点集A二{(x,y)|x2 y—1} , B 二{( x, y)| y = x-1} , C 二{( x, y)||x-1| | y"},其中“关于运算*对称”的点集个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】a3, a2 , a1试题分析：将(1- y,x- 1)带入x2+ y2=1，化简得x + y=1，显然不行，故集合A不满足关于运算*对称，将(1- y,x- 1)带入y = x - 1，即x-1 =1 -y-1 ,整理得x + y =1 ,显然不行，故集合B不满足关于运算*对称，将(1- y,x- 1)带入x- 1 +y = 1，即1 - y-1 + x- 1 =1 ,化简得x- 1 + y =1，故集合C满足关于运算*对称，故只有一个集合满足关于运算*对称,贝U P(X _2)= 【答案】0.2 【解析】试题分析：根据正态分布的特定，可知P(X ?1) 0.5，而1P(X ? 2) P(X ? 0)-- P(0 < X ? 1) =0.5- 0.3 = 0.2. 2考点：正态分布.故选B.考点：新定义问题的求解•二、填空题(本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分•本大题分为必做题和选做题两部分，将答案填在答题纸上)9.不等式|x-1| |x-2|乞5的解集为【答案】[-1,4]【解析】试题分析：原不等式等价于如下不等式组:a x <1(1) 'i ? 1?x?1- x + 2- x? 5(2) 21 #x 2蓿 1x?2, (3)?x- 1+2 - x ? 5a x>2 '1?x- 1所以原不等式的解集为[-1,4] • 考点：绝对值不等式的解法 10.已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,二 2)，若 P(0 :: X <1^0.3 ,11.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与抛物线y 2 =4x 的准线围成的三角形面积为1,则此双曲线的离心率等于【答案】2【解析】试题分析：抛物线的准线x = -1与双曲线的渐近线y=?b x的交点分别为（-1,- -）,（-1,b）, a a' a 所以对应的三角形的面积为丄鬃2b = b = 1,所以该双曲线为等轴双曲线，故其离心率为2 a a2.考点：双曲线的离心率•12.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 =15，S g =153，则S6 = .【答案】66【解析】试题分析：根据等差数列的性质，可知禺;心-禺;国-片成等差数列，即2（^-15）= 15十153■心,解得盼66考点：等差数列的性质n 13.已知△ ABC的内角A、B、C所对的边为a、b、c，则“ ab c2”是“ C ：：：—”3的条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）.【答案】充分非必要【解析】2 2 2 2 2试题分析：由余弦定理可知cosC = a +b -c ?g^- =ab+ab-c >辿=1，所以ab 2ab 2 ab 2abC <P，故满足充分性，取三角形的边长为3,4,5，令cosC =- , C <P，但是，3 5 3ab = 3?5 15<16= c2，所以不满足必要性，故为充分非必要条件.考点：余弦定理，重要不等式，充要条件的判断（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分.1 x = 1 亠S14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l : （S为参数）与曲ly = 2 — s"x =t +3线C ： <2（t 为参数）相交于 A 、B 两点，贝U AB = ________7 =t【答案】2【解析】所以 AB 二 J i 2 +12 S i - S 2 二 J2.考点：直线的参数方程，曲线的参数方程，直线被曲线截得的弦长问题15. （几何证明选讲选做题）如图3, AB 、AC 是O O 的两条切线，切点分别为 B 、C •若EBAC =60 , BC = 6，则O O 的半径为【答案】2,3 【解析】试题分析：连结 BO,CO ，则？ BOC所以RS .；* 考点：圆的性质三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题满分12分)设函数 f (x) = Acos(2x +9)(其中 A A 0 , 0< n , R ).已知 x =— 时，f (x)取得 6最小值-2 .（1）求函数f （x ）的解析式;nn (2)若角二满足2si n(r) = f L)，且0空汗n ,求sin (二-)的值.332 n【答案】(1) f(x) =2cos(2x —)3(2) sin( v -卫)=丄3 2试题分析:x = 1 s曲线C 可化为y = (x-3)2，将 l y = 2 -s带入 y = (x- 3)2，化简解得 s 1 =1,S 2 =2，C【解析】试题分析：对于第一问，根据函数的性质，结合题的条件，确定出相应的参数的值，从而求出函数的解析式，对于第二问，可以用倍角公式，结合着角的取值范围，求出相应的三角函数值，也可以用诱导公式求解，结合着角的范围求出角的三角函数值试题解析：(1)由f(x)最小值一2且A .0 ,所以A = 2•1分n n因为f(—)=—2，所以cos(—1, (2)6 3分由0 ：：：•「：：n可得亠上」：：匕，所以丄•「二n, (3)3 3 3 3分所以，二® (4)3分2 n故f (x)的解析式为f (x) = 2cos(2 x ——)• (5)3分（2）（法1）由（1）,得sin（日 +丄）=cos（2日+2n）,3 3即sin（日+n） =1 —2sin2（B +-）, 2sin2（日+n） +sin（0 + -）-^0 ,3 3 3 38分所以sin（丁f） = 一1 或sin（）” = 1 •10分又0 " ::: n,所以-- n■■■：.士.3 3 3所以sin（日+」）=—•......3 212分即cos(-日)=cos(2日十手)•11分= cos（"爭（法2）由（1）,得sin（v所以 2「3= 2k n 或 2k n-, k ・ Z . ............................... 10 分3636即二=2kn _n 或门-2k n-5n , k ・ Z .3 6 6又0 *：： v ::: n 所以二-上........................................... ii 分2所以 sin （B + 兀）=1 .....................................................................................3 212分考点：y 二Acos （，x •的性质，倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值 17.（本小题满分12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策.根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占 20%通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半.政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从 30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取 4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为•，求的分布列和数学期望.【答案】（1）抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为:3人、6人1人、试题分析：第一问注意分层抽样的条件，注意把握随机事件发生的概率，对于第三问，注意(3)分布列略, 【解析】 Ex =4人数占总体的比例分另U 为50500 110150 3 500 一 10300 6 500 _10所以，抽取的人 10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为:—10 =1 人、 10 —10 =3 人、—10 =6 人;10 10 (2)由题意可知，在上述 10人中有竞价申请意向的人数为10型=6人,500所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为Cf >C；Cw(3) n =4 , ■的可能取值为0, 1, 2, 3,4. 因为用样本估计总体，任取一人,其摇号电动小汽车意所以，随机变量•服从二项分布,即〜B(4,1 ).5P(=。

2015宝安区第二次调研考试参考答案及评分标准

1 1 x 2 ，则可设直线 l 的解析式为： y x n 2 2
l
y G C A Q B H x
① 如图 10-3，当直线 l 与⨀ M 相切于 x 轴上方时易知： MQ 2, OG 2 ， G(0, n), H (2n,0) 则 GH 5n, MH 2n 2 易知： HQM
综上所述： S 6(t 2)
…3 分（没有分两段讨论扣 1 分）（说明：其它解法请参照评分标准酌情给分）
（3）如图 3，当 EF CD 时，过点 E 作 EN AB 于点 N ，过点 C 作 CT AB 于点 T ，则 AE 4t ，
AC AN 4 16t ，，∴ AN AB AE 5 5 BC EN 3 12t ∵ sin A ，∴ EN AB AE 5 5 16t ∴ NF AB AN BF 10 5t ………1 分 5
∵ KTR CAO, KRT COA 90
1 KT BC …………1 分 2 KT KR ∴ KRT COA ， ∴ AC OC
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KR AC 即 KT OC
∴ S S四边形KCTB

1 m 1 m 4 5 5 2 m 1 m 4 2 4
图 10-1

1 3 1 1 2 3 m m 2 ， KR m2 m 2 (m 1)(m 4) 2 2 2 2 2
∴ AC BC AB ，则 ACB 90
2 2 2
∵ AC 5, BC 2 5, AB 5 又∵ KT
AC ，则 KT BC ，∴ S S四边形KCTB
21．（1）解：如图 8，过点 C 作 CH⊥AB 于 H,设 CH=x, ………………1 分由已知有∠EAC=60°，∠FBC=45° E 则∠CAH=30°，∠CBH=45° 在 Rt△CBH 中，CH=HB=x, 在 Rt△CAH 中，tan∠CAH=

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2015年“深圳杯”数学建模夏令营
A题：医保欺诈行为的主动发现
医疗保险欺诈，是指公民、法人或者其他组织在参加医疗保险、缴纳医疗保险费、享受医疗保险待遇过程中，故意捏造事实、弄虚作假、隐瞒真实情况等造成医疗保险基金损失的行为。

骗保人进行医保欺诈时通常使用的手段，一是拿着别人的医保卡配药，二是在不同的医院和医生处重复配药。

下面这些情况都有可能是医保欺诈：单张处方药费特别高，一张卡在一定时间内反复多次拿药等。

请根据附件中的数据，找出可能的欺诈记录。

注：数据中病人姓名、身份证号、电话号码、医保卡号为非真实数据。

数据见2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
B题：DNA序列的k-mer index 问题
这个问题来自DNA序列的k-mer index问题。

给定一个DNA序列，这个系列只含有4个字母ATCG，如S =“CTGTACTGTAT”。

给定一个整数值k，从S的第一个位置开始，取一连续k个字母的短串，称之为k-mer（如k= 5，则此短串为CTGTA），然后从S的第二个位置，取另一k-mer（如k= 5，则此短串为TGTAC），这样直至S的末端，就得一个集合，包含全部k-mer 。

如对序列S来说，所有5-mer为
｛CTGTA，TGTAC，GTACT，TACTG，ACTGT，TGTAT｝
通常这些k-mer需一种数据索引方法，可被后面的操作快速访问。

例如，对5-mer来说，当查询CTGTA，通过这种数据索引方法，可返回其在DNA序列S中的位置为｛1，6｝。

问题
现在以文件形式给定100万个DNA序列，序列编号为1-1000000，每个基因序列长度为100 。

（1）要求对给定k，给出并实现一种数据索引方法，可返回任意一个k-mer所在的DNA序列编号和相应序列中出现的位置。

每次建立索引，只需支持一个k值即可，不需要支持全部k值。

（2）要求索引一旦建立，查询速度尽量快，所用内存尽量小。

（3）给出建立索引所用的计算复杂度，和空间复杂度分析。

（4）给出使用索引查询的计算复杂度，和空间复杂度分析。

（5）假设内存限制为8G，分析所设计索引方法所能支持的最大k值和相应数据查询效率。

（6）按重要性由高到低排列，将依据以下几点，来评价索引方法性能
∙索引查询速度
∙索引内存使用
∙8G内存下，所能支持的k值范围
∙建立索引时间
C题：福田红树林自然保护区湿地生态系统模型框架的构建
及应用实例研究
与国内外其他大规模湿地生态系统相比，福田红树林自然保护区因其面积小，湿地生态系统的生态健康更加脆弱，迫切需要构建湿地动态监测、生态健康评估及预警系统来支撑其保护、管理工作。

但目前的生态健康评价主要采用基于抽样监测数据和专家经验的静态方法，仅仅围绕主要生物因子开展调查而没有覆盖到噪声、大气等环境因子，而且监测点信息的时间、空间离散度较大（时间间隔较长、测点密度过于稀疏），致使难以完全满足福田红树林自然保护区科学管理的实际需要。

因此，保护区准备用三至五年的时间完成保护管理数字化支撑平台建设，其中构建新型的生态系统动态监测和健康评估及预警科学管理支撑体系是重要工作内容。

鉴于上述情况，请你们查询相关资料，为福田红树林湿地构建一体化生态系统模型框架，为生态系统动态监测提供大数据管理支撑平台，为生态系统健康评估及预警提供动态模拟分析支撑平台。

例如，模型框架可由若干生态场景模型组成，生态场景模型以量化方式描述红树林湿地中各种生物、生境的空间结构和生态功能；模型框架应能通过刻画生态场景模型之间的关系实现对湿地生态系统能量流动、物质循环等物种依存竞争关系的动态描述；依托具体的生态场景模型可建设具体的保护、管理业务场景信息系统；全体保护、管理业务场景信息系统基于一体化生态系统模型框架，可以形成完整的生态系统动态监测和健康评估及预警科学管理支撑体系。

然后，请你们基于自己构建的模型框架完成下述工作：
1、如果福田红树林自然保护区采用你们设计的模型框架来构建湿地动态监测和健康评估预警系统，你们如何根据模型框架的数据构成要求设计保护区未来的生态环境监测方案？你们对自己模型框架的后续完善工作有何建议？
2、请查阅相关资料、收集数据，选取一个你们认为当下福田红树林最迫切需要解决的生态系统问题，基于你们构建的模型框架从健康预警的角度出发对其生态发展趋势进行预测分析，并给出具体的保护、管理建议。

为方便大家，本题目附件给出部分参考资料，其中大部分为经由网络获得的公开资料:
附件1：福田红树林自然保护区及红树林知识简介.doc
附件2：2012.4-2013.4福田红树林保护区生物多样性监测报告（缩略版）.docx
附件3：红树林湿地健康评价指标体系.caj
附件4：森林生态系统服务功能评估规范.pdf
附件5：深圳福田红树林自然保护区的生态问题及修复对策研究.caj
附件6：深圳福田红树植物海桑种群生态学研究.nh
附件7：深圳湾河床演变及其对湿地生态系统的影响.caj
附件8：海桑资料.docx
附件9：福田红树林湿地生态系统EWE模型的构建.pdf
附件10：国内外湿地研究进展与展望.caj
附件11：广西近海生态系统健康评价.caj
附件12：无瓣海桑的引种及生态影响.pdf
D题: 航班延误问题
香港南华早报网根据的统计称：中国的航班延误最严重，国际上航班延误最严重的10个机场中，中国占了7个。

其中包括上海浦东、上海虹桥、北京国际、杭州萧山、广州白云、深圳宝安、成都双流等机场。

请自行收集数据并研究以下问题：
（1）上述结论是否正确？
（2）我国航班延误的主要原因是什么？
（3）有什么改进措施？。