高等数学第六章向量代数与空间解析几何习题
向量代数与空间解析几何习题详解
坐标平面所围成； （ 3 ） z = 0, z = a(a > 0) , y = x,x 2 + y 2 = 1 及 x
z x 2 y 2 , z 8 x 2 y2 所围 .
0 在 第 一 卦 限 所 围 成 ；（ 4 ）
解：（1 ）平面 3x 4 y 2z 12 0 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；
，化为 y
1
3 cos t (0 t 2 ) ；
2
99
z 3 sin t
x 1 3 cos
（ 2） y 3 sin
(0
z0
2 ).
x a cos 6、 求螺旋线 y a sin 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程 .
zb
x2 y2 解：
z0
a2
z y a sin
z x a cos
；
b；
b.
x0
y0
第六章 向量代数与空间解析几何
习 题 6—3
1、 已知 A(1,2,3) ， B(2, 1,4) ，求线段 AB 的垂直平分面的方程 .
解 ：设 M ( x, y, z) 是所求平面上任一点，据题意有 | MA | | MB |,
x 12 y 2 2 z 32
x 2 2 y 12 z 4 2,
化简得所求方程 2x 6 y 2 z 7 0 .这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程
6、 设平面过原点及点 (1,1,1) ，且与平面 x y z 8 垂直，求此平面方程 .
解： 设所求平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过点 (1,1,1) 知平 A B C D 0, 由
r 平面过原点知 D 0 ， Q n {1, 1,1},
A B C 0 A C, B 0 ，所求平面方程为
向量代数与空间解析几何(18)
m
n
p
s {m, n, p},
: Ax By Cz D 0, n {A, B,C},
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin
cos
2
cos
2
.
20
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
y
x
• ••
L
24
旋转曲面方程
总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以 这样得到 :
曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可.
25
如 yOz坐标面上的已知曲线f ( y, z) 0 绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程:
第六章 向量代数与空间解析 几何(二)
主要内容 典型例题 堂上练习题
小结
1
一、主要内容
第4节 平面的方程
关键确定平面的法向量
一、平面的点法式方程
经过点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 法向量为 n {A, B, C} 的平面的点法式方程为:
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
z
O
y
x
28
z
5. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O
6. 单叶双曲面
x
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
7. 双z叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x
y
z
第六章向量代数与空间解析几何(424).
4、设有三向量
B—
4
r rr
b、c满足关系a
1, 2,1点关于原点对称点是
1,2, 1
B 1,
2,
、向量a与三坐标轴的夹角分别为
A cos cos cos 1
C cos2cos2
cos2
、两个非零向量a和b平行，则
A其必要条件是a b0
C充分必要条件是a b
）；
r
0时必有
）；
）；
1,
2,
1,2,1
、选择题
第六章
向量代数与空间解析几何
习题
1、向量a与三坐标轴的夹角分别为
，则
);
A cos cos cos 1
B cos2
cos2
cos2
C cos2
cos2
cos2
f 2D cos
2cos
2
COS
2、两个非零向量a和b平行，则
()；
r r r
A其必要条件是a b 0
其必要条件是
r r
C充分必要条件是a b0
垂直的平面
y z0
相交，试求它们的交线在
xoy坐标平面上的投影方程。
五、证明题
r
已知a 3,
r
2, a
习题
」、选择题
ir
1、已知a =2，
rJ—r r
b =J2,ago 2,则
）；
B2^2
2、二次曲面z
笃与平面z h相截,b
其截痕是空间中的
（）；
A抛物线
B双曲线
C椭圆
直线
3、直线L1:x
2y
间的夹角为
，则
2
cos2
高等数学 空间解析几何与向量代数练习题与答案(优选.)
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参考答案一 填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,1162、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。
高等数学第06章 向量代数与空间解析几何习题详解
ab AC 2 AM 即 (ab) 2 MA 于是 MA 1 (ab) 2 因为 MC MA 所以
MC 1 (ab) 又因ab BD 2 MD 所以 MD 1 (ba) 2 2
2 2
M1M 3 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6 ，即 M1M 3 M 2 M 3 ， 因此结论成立.
11、 在 yoz 坐标面上，求与三个点 A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标. 解：设 yoz 坐标面所求点为 M (0, y, z ) ，依题意有 | MA || MB || MC | ，从而
14 14 ，故所求点为 (0,0, ) . 9 9
13、 求 使向量 a { ,1,5} 与向量 b {2,10,50} 平行.
2
第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
解：由 a // b 得
2
1 5 1 得 . 10 50 5
14、 求与 y 轴反向，模为 10 的向量 a 的坐标表达式. 解： a = 10 ( j ) 10 j = {0, 10,0} .
7、已知点 A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐
1
第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
标）. 解：分别为 (a, b,0), (0, b, c), (a,0, c), (a,0,0), (0, b,0), (0,0, c) .
8、过点 P(a, b, c) 分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xOy 面的平面，问它们上面的点的 坐标各有什么特点？ 解：平行于 z 轴的直线上面的点的坐标： x a, y b,z R ；平行于 xOy 面的平面上的 点的坐标为 z c, x, y R . 9、求点 P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离 . 解：到原点的距离为 3 5 ，到 x 轴的距离为 41 ，到 y 轴的距离为 2 5 ,到 z 轴的距离 为 29 .
高数AII第6章答案
（二）曲面与曲线
1．空间曲面方程 a．一般方程： F ( x, y, z ) 0 ；b．显式方程： z f ( x, y ) ；
x x (u , v ) c．参数方程 y y (u , v ) ，其中 (u , v) D ， D 为 uv 平面上某一区域． z z (u , v )
3
直线的方向向量． 直线的上述 3 种方程可互相转化． 2．点、直线、平面之间的关系 （1）两条直线之间的关系： x x1 y y1 z z1 x x2 y y 2 z z 2 设直线 l1 : ， l2 : ，且其方向向量分别为 m1 n1 p1 m2 n2 p2 s1 (m1 , n1 , p1 ) 和 s2 (m2 , n2 , p2 ) ，两直线的夹角是指两直线的方向向量 s1 、 s2 之间的夹 角（取锐角）记为 ．则 |s s | | m1 m2 n1 n2 p1 p2 | π （0≤ ≤ ) ． cos 1 2 2 2 2 2 2 2 | s1 | | s2 | 2 m1 n1 p1 m2 n2 p2 由此可知： a．两直线平行（含重合） ： l1 // l2
第六章
向量代数与空间解析几何 一、内容提要
（一）向量
1．方向角与方向余弦 若 a = ( x, y, z ) ， 则有 cos 2．向量的线性运算及其性质 （1）加减法运算： 向量加法运算遵循平行四边形法则或三角形法则． 设 a ( x1 , y1 , z1 ) ， b ( x2 , y2 , z2 ) ，则 a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ) ． （2）数乘运算： 向量 a 与实数 的乘积，记为 a ．设 a ( x, y, z ) ，则 a ( x, y, z ) ，
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空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。
1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。
线代习题
<向量代数与空间解析几何>习题1. 求点),,(c b a 的关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴的对称点的坐标.2. 设(3,,2)B(124)A x --与，，点间的距离为29，试求x .3. 在yoz 平面上，求与三个已知点(3,1,2)B(422)051A C --、，，和（，，）等距离的点.4. 求平行于向量}6,7,6{-的单位向量.5. 已知两点(1,3,3)B(421)A --与，，，求向量AB 的模与方向余弦.6. 已知||122||,10||βαβαβα⨯=⋅==，求，.7. 求与)1,0,1(M 110M )0,1,1(M 321）、，，（、三点所在平面垂直的单位向量.8. 求过点012-5z 7y -3x (3,0,-1)=+且与平面平行的平面方程.9. 一平面过点(2,-1,3)4,1,5),x 2y 3z 50+++=和(且垂直于平面,求此平面方程.10. 将平面的一般式方程012-3z y -2x =+化为截距式方程.11．指出下列各平面的特殊位置：（1）04-2y =（2）0z -2y 3x =+（3）4y -2x =（4）02z 3y =+12. 求平面0D Cz By Ax 1=+++与平面0D Cz By Ax 2=+++的距离.13. 一平面过z 轴且与平面07-z 5-y 2x =+成3π角，求此平面方程.14. 已知点,121-xA(5,1,4)zy L ==：及直线求： （1）求过A 且与L 平行的直线；（2）求过点A 且与L 及向量}1,4,3{--=AB 垂直的直线；（3）求过点A 且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩平行的直线.15.求直线123121-x -+=+=z y 与平面0z y 23x =++的交点.16．求直线3211-x zy ==在平面01-z y 4x =+-上的投影直线方程.17．求下列旋转曲面方程：（1）平面z x o 内抛物线x =2z 绕x 轴旋转；（2）平面y x o 内双曲线164x 22=-y 分别绕x 轴及y 轴旋转.18.判断11462x 222=-+-++z y x z y 是否表示球面方程，若是，求出球心坐标及球半径.19.指出下面方程所表示的曲面的名称，并作出草图：（1）;1941x 222=++z y （2）04x 222=-+z y ；（3）22x 20y z -+=.20.指出下列方程所表示的曲线：（1）⎩⎨⎧==++325222x z y x （2）⎩⎨⎧==++13694222y z y x21.求曲线C ：)0(,0,222222>⎩⎨⎧=-+=++a ax y x a z y x 在y x o 平面和z x o 平面上的投影曲线方程.<矩阵及其初等变换>习题1. 当。
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d = M1M0 ⋅ n n
= Ax0 + B y0 + C z0 + D
M0
A2 + B2 + C 2
d
n
Π M1
*(3) 点 M0( x0 , y0 , z0 ) 到直线
L : x − x1 = y − y1 = z − z1
m
n
p
的距离为
L
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d = M0M1 × s s
曲曲线线
直直 线线
曲曲面面
平平 面面
旋旋转转曲曲面面 柱柱 面面
二二次次曲曲面面
参参数数方方程程 对对称称式式方方程程 点点法法式式方方程程 一一般般方方程程
一、内容小结
1. 向量的乘法运算 1）数量积（点积、内积）
a ⋅ b = | a || b | cosθ = axbx + a yby + azbz
m
n
p
参数式
⎧ ⎪ ⎨
x y
= =
x0 y0
+ +
mt nt
⎪⎩ z = z0 + p t
( x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
s = ( m , n, p ) 为直线的方向向量.
3). 线面之间的相互关系
面与面的关系
平面 Π1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, n1 = ( A1, B1,C1)
cosθ = aib =
axbx + a yby + azbz
| a || b | ax2 + a y2 + az2 bx2 + by2 + bz2
a⊥b
axbx + a yby + azbz = 0
2）、向量积 (叉积、外积)
| c |=| a || b | siபைடு நூலகம்θ 其中θ 为a 与b 的夹角
1) 空间平面
一般式 点法式 截距式
三点式
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C 2 ≠ 0 )
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
x+ y+z =1 a bc
点 : ( x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n = ( A, B , C )
50
50
50
例3. 求过直线L:
⎧ ⎨ ⎩
x+5y+ z = 0 x−z+4=0
且与平面
x − 4y − 8z
+
12
=
0
夹成
π
4
角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
π
n1 4 n L
(1 + λ )x + 5 y + (1 − λ )z + 4λ = 0
线与线的关系
直线
L1：x
− x1 m1
=
y − y1 = z − z1 ,
n1
p1
直线
L2：x
− x2 m2
=
y − y2 n2
=
z − z2 , p2
s1 = (m1, n1, p1) s2 = (m2 , n2 , p2 )
垂直: s1 ⋅ s2 = 0
m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0
平面 Π2 : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0, n2 = ( A2 , B2 ,C2 )
垂直: n1 ⋅ n2 = 0
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
平行: n1 × n2 = 0
A1 = B1 = C1 A2 B2 C2
夹角公式: cosθ = n1 ⋅ n2 n1 n2
平行: s1 × s2 = 0
m1 = n1 = p1 m 2 n 2 p2
夹角公式: cosθ = s1 ⋅ s2
s1 s2
面与线间的关系
平面: Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A, B , C )
直线: x − x = y − y = z − z , s = (m , n, p)
的方向余弦.
提示: 已知平面的法向量 n1 = (7, − 1, 4) 求出已知直线的方向向量 s = (1 , 1 , 2)
取所求平面的法向量
i jk
n = s × n1= 1 1 2 = 2(3, 5, − 4)
7 −1 4
所求为 cosα = 3 , cos β = 5 , cosγ = − 4
λ1 ( A1x + B1 y + C1z + D1) + λ 2 ( A2 x + B2 y + C2z + D2 ) = 0
( λ 1 ,λ 2 不全为 0 )
( A1x + B1 y + C1z + D1) + λ ( A2 x + B2 y + C2z + D2 ) = 0
(2)点 M0( x0, y0, z0 ) 到平面 Π ：A x+B y+C z+D = 0 的距离为
习题课、空间解析几何
一、内容小结 二、实例分析 三、思考与练习 四、作业
（一）向量代数
向向量量的的 表表示示法法
向向量量概概念念
向量的积
向向量量的的 线线性性运运算算
数数量量积积
混混合合积积
向向量量积积
（二）空间解析几何
空空间间直直角角坐坐标标系系
一一般般方方程程 参参数数方方程程 一一般般方方程程
x − x1 y − y1 z − z1
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
2) 空间直线
一般式
⎧ ⎨ ⎩
A1 x A2 x
+ +
B1 B2
y y
+ +
C1z C2z
+ +
D1 D2
= =
0 0
对称式 x − x0 = y − y0 = z − z0
m
n
p
垂直： s × n = 0
m=n= p ABC
平行： s ⋅ n = 0
m A+ nB + pC = 0
夹角公式： sinϕ = s ⋅ n
sn
4). 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
⎧ ⎨ ⎩
A1 x A2 x
+ +
B1 B2
y y
+ +
C1z C2z
+ +
D1 D2
= =
0 0
的平面束方程
=
1
m2 + n2 + p2
s = (m,n, p) ϕ
M1(x1, y1, z1)
i x1 − x0
m
j y1 − y0
n
k z1 − z0
p
二、实例分析
向量概念题 例1：练习册判断题, 选择题
例2.
设一平面平行于已知直线
⎧ 2x − z = 0
⎨ ⎩
x
+
y
−
z
+
5
=
0
且垂直于已知平面7 x − y + 4z − 3 = 0, 求该平面法线的
i jk
a × b = ax ay az bx by bz
a// b
ax = ay = az bx by bz
3）、混合积
ax ay az [abc ] = (a × b ) ⋅ c = bx by bz = a ⋅ (b × c)
cx cy cz
a,b,c 共面
(a × b)⋅ c = 0
2. 空间直线与平面的方程