一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数与面积结合问题解题技巧
解决一次函数与面积结合的问题需要掌握一些基本的数学技巧和思维方法。
一次函数通常表示为y = mx + c的形式，其中m和c 分别代表斜率和截距。
面积问题涉及到计算图形的面积，可以是矩形、三角形、梯形等各种形状的图形。
首先，对于一次函数与面积结合的问题，我们通常需要确定函数的表达式，并根据具体问题建立函数与图形面积之间的关系。
例如，如果要计算一次函数与x轴之间的面积，可以通过积分或几何方法求解。
对于矩形面积问题，可以利用一次函数的性质建立函数与矩形的关系，进而求解面积。
其次，要注意利用一次函数的性质来简化面积计算。
例如，对于一次函数y = mx + c，可以利用其斜率m的正负来判断图形在x 轴上方还是下方，从而简化面积计算的步骤。
另外，利用一次函数的对称性和平移性也能够简化面积计算的过程。
另外，对于特定形状的图形，可以利用一次函数的性质建立函数与图形面积之间的方程，然后通过方程求解面积。
例如，对于三角形，可以利用一次函数的性质建立直线与x轴之间的关系，然后
计算三角形的面积。
对于梯形，可以利用一次函数的性质建立两条直线与x轴之间的关系，然后计算梯形的面积。
总之，解决一次函数与面积结合的问题需要灵活运用一次函数的性质和面积计算的方法，建立函数与图形面积之间的关系，并通过方程求解面积。
同时，需要注意简化计算步骤，利用一次函数的对称性和平移性，以及对特定形状图形的特殊处理，来提高解题效率。
希望以上技巧对你有所帮助。
专题23 专项题型专训：一次函数与面积问题压轴题四种模型全攻略(原卷版)
专题23 专项题型专训：一次函数与三角形面积问题压轴题四种模型全攻略考点一 由一次函数图象求三角形的面积 考点二 由面积求一次函数表达式考点三 一次函数中动点类面积问题 考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题考点一 由一次函数图象求三角形的面积 求AOB 的面积．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）一次函数84=-+y x 的图象与x 轴交点坐标是______，与y 轴交点坐标是_____，与坐标轴围成的三角形面积是_____．2．（2021·云南临沧·八年级期末）直线2y x =+与x 轴的交点坐标是____________，与y 轴交点坐标是____________，图象与坐标轴围成的三角形面积是____________．3．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，一次函数3y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点A 的坐标是(6,0)-，(4,)P n -是一次函数3y kx =+在x 轴上方这部分上的一点，连接PO ．(1)求一次函数的解析式；(2)求OPA 的面积．4．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）如图，直线a 经过点A （1，6）和点B （-3，-2）．(1)求直线a的函数表达式；求ABO的面积．2022·安徽安庆将一块等腰直角三角板ABC 斜靠在两坐标轴上，x轴于点D(1)求点A的坐标；求ABC的面积2022·新疆直辖县级单位求直线AB的解析式；求直线AB与两坐标轴交点的坐标；(3)求直线AB 和坐标轴围成三角形的面积．8．（2022·广东·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，点()0,4A ，点()6,0B ，()3,2C --．(1)求直线AC 的函数表达式；(2)直线AC 与x 轴交于点D ，求点D 的坐标；(3)求ABC ∆的面积．考点二 由面积求一次函数表达式例题：（2022·全国·八年级）直线l 经过点A （2，2），且与y 轴交于点B ，若△AOB 的面积为1，则直线l 的解析式为__________．【变式训练】轴的负半轴上，ABP 的面积为AB．10(1)求点B的坐标；(1)求直线l的解析式；(3)当△POQ 的面积等于20时，在y 轴上是否存在一点C ，使△CPO ＝22.5°，若存在，请求点C 的坐标；若不存在，请说明理由．考点三 一次函数中动点类面积问题 例题：（2022·安徽·淮北一中八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，=3AB ，=4BC ，动点P 从点A 开始按A B C D →→→的方向以每秒1个单位的速度运动到点D ．设动点P 运动的时间为t 秒，三角形APD 的面积为S ．（当点P 与点A 或D 重合时，=0y ）(1)写出S 与t 之间的函数表达式；(2)在图2中画出此函数的图象；(3)根据图象，点P 运动多少时间三角形APD 的面积为4？【变式训练】2．（2022·河南·三门峡市实验中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线=+2y x 与x 轴，y 轴(1)求m 和b 的值；(2)直线y x b =-+与x 轴交于点D ，动点P 从点D 开始以每秒1个单位的速度向x 轴负方向运动（点P 不与点D ，点A 重合）．设点P 的运动时间为t 秒．①若点P 在线段DA 上，且ΔACP 的面积为10，求t 的值；②是否存在t 的值，使ΔACP 为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．3．（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）已知：如图1，线段AB ＝14cm ，PAB △的顶点P 从点A 出发沿折线A -O -B 运动时，PAB △的面积随着点P 运动路程的变化，发生了变化．图2表示这种变化规律．(1)在P 点运动5cm 时，PAB △的面积为______2cm ；当P 点运动路程为______cm 时，PAB △的面积最大为______2cm ；(2)求图1中线段AO 、OB 的长，以及O 到AB 的距离；(3)直接写出a 的值为______．4．（2022·山东济宁·八年级期末）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y =kx -7的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，那么ABO 为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB 的坐标三角形）．(1)如果点C 在x 轴上，将ABC 沿着直线AB 翻折，使点C 落在点()0,18D 上，求直线BC 的坐标三角形的面积；(2)如果一次函数y =kx -7的坐标三角形的周长是21，求k 值；(3)在（1）（2）条件下，如果点E 的坐标是()0,8，直线AB 上有一点P ，使得PDE △周长最小，求此时△PBC 的面积．考点四 一次函数中与面积有关的存在性问题【变式训练】 1．（2022·新疆喀什·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()2,0A -，与y 轴交于点B ，且与正比例函数3y x =的图象交于点()1,C m ．(1)求点C 的坐标；(2)求一次函数y kx b =+的表达式；(3)若点P 是y 轴上一点，且BPC △的面积为3，请直接写出．．．．点P 的坐标．2．（2022·全国·八年级）如图，在平面直角坐标系中，直线()1:0l y kx b k =+≠与直线2:l y x =交于点()2,A a ，与y 轴交于点()0,6B ，与x 轴交于点C ．(1)求直线1l 的函数表达式；(2)求△AOC 的面积；(3)在平面直角坐标系中有一点()5,P m ，使得AOP AOC S S =，请求出点P 的坐标．3．（2022·全国·八年级）图，已知直线1l 与x 轴交于点()4,0A -，与y 轴交于点()0,6B ，将直线1l 向右平移6个单位得到直线2l ，2l 分别交x 轴、y 轴交于点C 、D ，连接BC 、AD ．(1)分别求直线1l 、2l 的函数表达式；(2)求点C 和点D 的坐标；(3)在直线2l 上是否存在点E ，使得2BDE ACD S S =△△？若存在，请求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图1，直线l 1与x 轴交于点A （﹣6，0）、与y 轴交于点B （0，﹣3）．(1)直线l 的表达式为 ；23CDG ACD S S =？。
_北师大版八年级上册 一次函数与面积问题2
一次函数与三角形面积专题姓名：知识要点：一次函数与三角形面积问题，其本质是一次函数的图象在平面直角坐标系与坐标轴或其他直线所形成的三角形面积问题，一类问题是正向求三角形面积，另一类是逆向的根据三角形面积求点坐标.解决此类问题一定要画图，选择合理的计算方法求三角形面积，或列出计算面积的方程.1.正向求面积：通过求点坐标，然后从坐标到距离（要加绝对值），求其面积；例1：直线y =2x +4与坐标轴围成的三角形面积：如图，先求直线与x 、y 轴交点A 、B 的坐标A （-2,0）、B （0,4），S △ABO =4422121=⨯⨯=⋅⋅OB OA .例2：直线y=2x +4、y=－x +1与x 轴围成的三角形面积：如图，先分别求出两条直线与x 轴的交点A 、C 的坐标A （-2,0）、C （1,0），在联立方程组求两出两条直线的交点D 的坐标D （-1,2），S △ACD =32)2(12121=⨯--⨯=⋅⋅D y AC .2.根据面积逆向求坐标（表达式）：一般地，通过求距离到坐标（要注意双解），然后求其坐标（或表达式）；例3：如图，在直线y=－x +1上，求点P 使得.6=∆ACP S 此时4,632121==⨯⨯=⋅⋅=∆P P P ACP y y y AC S ∴P （-3,4）或（5,-4）3.关于双轨平行线：若ABC ABP S S ∆∆=，由同底等高可以得出：点P 在与AB 平行，且到AB 的距离等于点C 到AB 的距离的两条直线上.然后求其直线表达式，求交点坐标.4.关于铅垂高与水平宽：一般的，由三角形的任意顶点向对边作y 轴平行线，该顶点与另一边的交点之间的线段叫铅垂高，另两点之间的水平距离叫水平宽，此时水平宽铅垂高⨯⨯=∆21S .典型练习：1．直线y ＝－2x +4与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，则△AOB 的面积为；过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP ＝2OA ，△PAB 的面积为．2．直线y ＝－x +4、直线y ＝2和直线x=1围成的三角形面积为．3．直线y ＝－2x +4、直线y ＝—x －1与x 轴围成的三角形面积为．4．一次函数y ＝（m +1）x +23的图象与x 轴的相交于点A ，与y 轴相交于点B ，若△OAB 的面积为43，则m 的值为．5．直线y ＝－2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．过点A 作直线AP 与y 轴交于点P ，若S △ABP ＝2S △ABO ，则P 点坐标为；若S △ABP ＝2S △APO ，则直线AP 的表达式为．D C7．如图，已知直线y ＝2x +10，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．若点P （a ，b ）为线段AB 上的一个动点，作PE ⊥y 轴于点E ，PF ⊥x 轴于点F ，连接EF ，则：①若△PBO 的面积为S ，则S 关于a 的函数关系式为；（并写出自变量取值范围）②EF 的最小值为．8．如图，直线y ＝32 x +2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，则点C 的坐标为；若点P （1，a ）为坐标系中的一个动点，要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，则a的值为．9．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1与y 轴交于点A ，点B （﹣3，3）也在直线l 1上，将点B 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 恰好也在直线l 1上．（1）求直线l 1的表达式；（2）若将点C 先向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到点D ，请你判断点D 是否在直线l 1上；（3）已知直线l 2：y ＝x +b 经过点B ，与y 轴交于点E ，那么是否在直线l 2上存在点P ，使得S △AEP =S △AEC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－34x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）求直线CD 的表达式；（2）若直线AB 与直线CD 交于点E ，求△ADE 的面积；（3）直线CD 上是否存在点P ，使得S △ABP ＝2S △ABO ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
一次函数与面积问题
一次函数常与三角形或四边形的面积相结合进行考查，两种类型的题目比较常见：（1）由函数图像求面积；（2）由面积求点坐标。
遇到第一种类型题目时，找准三角形的底和高是解题的关键，特别是遇到钝角三角形。
如果无法直接求解，可以利用割补法、铅锤法等方法进行转化。
遇到第二种类型题目时，要特别注意，很容易出错，不要忘记使用绝对值。
01类型一：由函数图像求图形面积例题1：如图，直线l1：y=-3x+3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（3，-1.5），并与直线l2交于点D．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ABD的面积.分析：求l2的函数解析式，利用待定系数法，已知点B（4，0）、点C （3，-1.5），代入解析式中求出K、b得值即可得到一次函数解析式。
求△ABD的面积，三角形有一边在x轴上，求三角形的面积可直接利用三角形的面积公式，选择x轴上的线段AB为底，那么点D纵坐标的绝对值即为三角形的高，因此需要求出点B坐标。
点B是两直线的交点，联立方程组即可求得点B坐标。
本题主要是有函数图像求得三角形的面积，属于基础题。
02类型二：由面积求点坐标例题2：如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC 的面积是△OAC的面积的14？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）由点C和点A的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求△AOC的面积，由题可知该三角形可选OC作为底，点A的横坐标的绝对值即为该三角形的高，点A与点C坐标已知，可通过三角形的面积公式直接求出。
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的1/4时，根据面积公式即可求得M的横坐标的绝对值，然后代入解析式即可求得M的坐标．由面积求点坐标时，一定要注意绝对值的使用，注意分情况进行讨论。
一次函数与面积问题
一次函数与面积问题一次函数与面积问题结合起来一起考查，是一类常考题型，它要求学生充分理解点的坐标的几何意义，能在坐标系中表示出线段的长度，会将面积问题转化为线段、坐标的关系问题，同时对于较复杂的问题能够依据题意画出图象，并借助图象进行分析与解答.一次函数与面积问题的相关类型如下.三角形的底在坐标轴上 三角形的底在坐标轴上时，利用点到坐标轴的距离求出高后直接求面积即可，注意点到坐标轴的距离要带绝对值． 如图①，S △OAC =21·OA ·CH=21·︱x A ︱·︱y C ︱； 如图②，S △OBC =21·OB ·CH=21·︱y B ︱·︱x A ︱三角形的底平行于坐标轴三角形的底平行于坐标轴时，利用平行于坐标轴的直线上的两点间距离求出底和高，最后用面积公式求出面积 如图①，S △ABC =21·AB ·CH=21·︱x B -x A ︱·︱y C -y H ︱；如图②，S △ABC =21·AB ·CH=21·︱y B -y A ︱·︱x C -x H ︱补形法或分割法如果三角形的边都不平行于坐标轴，可以采用补形法构造出有边平行于坐标轴的三角形或四边形后再求解． 如图①，S △ABC = S △OBC + S △OAC + S △AOB ； 如图②，S △ABC = S 梯形OACD + S △BCD + S △AOB ；如图③，S △ABC = S 梯形BOEC + S △ACE -S △AOB ； 如图④，S △ABC = S 矩形OAFD - S △BCD - S △ACF - S △AOB ；通过作平行于坐标轴的直线将三角形分成左右两个三角形或上下两个三角形来求解面积.作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法.如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽a ”，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高h ”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =0.5ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.图①中，S △ABC =21·︱x A -x B ︱·︱y C -y M ︱，如图②，S △ABC = S △ACM + S △BCM ；如图③，S △ABC = S △ABN + S △BCN 平行线转移法通过作平行线，利用平行线间的距离处处相等和底高关系转移三角形面积．如图④，AB ∥CG ，S △ABC =S △ABG例题1：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，2）和点B（0，4）．（1）求出这个一次函数的解析式；（2）画出一次函数图象；（3）求一次函数图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积？分析：（1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可；（2）用两点法画函数的图象（确定两点，描点，连线）．（2）利用交点点坐标求出三角形面积可．解：（1）依题意得：，解得，所以该一次函数的解析式为y＝2x+4；（2）画出一次函数图象；（3）一次函数图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积为：S＝×2×4＝4．例题2：已知直线y＝﹣3x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点．（1）求A，B两点的坐标；（2）求直线y ＝﹣3x+6与坐标轴围成的三角形的面积．分析：（1）分别令x＝0、y＝0求解即可得到与坐标轴的交点；（2）根据三角形的面积公式列式计算即可得解：（1）当x＝0时，y＝﹣3x+6＝6，当y＝0时，0＝﹣3x+6，x＝2．所以A（2，0），B（0，6）；（2）直线与坐标轴围成的三角形的面积＝S△ABO＝×2×6＝6．例题3：求一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴围成的三角形面积．分析：分别设一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴的交点为A、B，两函数图象的交点为C，则可分别求得A、B、C的坐标，则可求得△ABC的面积．解：设一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴的交点为A、B，两函数图象的交点为C，在y＝x+中，令y＝0可解得x＝﹣1，故A（﹣1，0），在y＝﹣2x+6中，令y＝0可解得x＝3，故B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，联立两函数解析式可得，解得，故C（2，2），∴在△ABC中，AB边上的高为2，∴S△ABC ＝×4×2＝4，即一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴围成的三角形面积为4．例题4：已知一次函数的图象与x轴交于点A（6，0），又与正比例函数的图象交于点B，点B在第一象限，且横坐标为4，如果△AOB（O为坐标原点）的面积为15，求这个一次函数与正比例函数的函数关系式．分析:如图作BC⊥OA于C，先根据三角形面积公式求出BC＝5，则B点坐标为（4，5），然后利用待定系数法分别求正比例函数和一次函数解析式．解：如图，作BC⊥OA于C，∵S△OAB＝OA•BC，∴×6×BC＝15，∴BC＝5，∴B点坐标为（4，5），设正比的解析式为y＝kx+b，把A（6，0）、B（4，5）代入得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+15．例题5：如图，已知一次函数图象交正比例函数图象于第二象限的A点，交x轴于点B（﹣6，0），△AOB的面积为15，且AB＝AO，求正比例函数和一次函数的解析式分析：作AC⊥OB于C点，如图，根据等腰三角形的性质得BC＝OC＝BC＝3，则C（﹣3，0），再利用三角形面积公式得×6•AC＝15，解得AC＝5，所以A（﹣3，5），然后利用待定系数法分别求直线OA的解析式和直线AB的解析式即可．解：作AC⊥OB于C点，如图，∵AB＝AO，∴BC＝OC＝BC＝3，∴C（﹣3，0），∵△AOB的面积为15，∴OB •AC＝15，即×6×AC＝15，解得AC＝5，∴A（﹣3，5），设直线OA的解析式为y＝kx，把A（﹣3，5）代入得﹣3k＝5，解得k＝﹣，∴直线OA的解析式为y＝﹣x；设直线AB的解析式为y＝ax+b，把A（﹣3，5）、B （﹣6，0）分别代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+10，即正比例函数和一次函数的解析式分别为y＝﹣x，y＝x+10例题6：已知函数y＝（m+1）x+2m﹣6，（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y＝2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y＝﹣3x+1的交点，并求出这两条直线与y轴所围成三角形的面积．分析：（1）将点（﹣1，2）代入函数解析式求出m即可；（2）根据两直线平行即斜率相等，即可得关于m 的方程，解方程即可得；（3）联立方程组求得两直线交点坐标，再求出两直线与y轴的交点坐标，根据三角形面积公式列式计算即可．解：（1）∵函数y＝（m+1）x+2m﹣6的图象过（﹣1，2），∴2＝（m+1）×（﹣1）+2m﹣6，解得：m＝9，故此函数的解析式为：y＝10x+12；（2）由函数图象与直线y＝2x+5平行知二者斜率相等，即m+1＝2，解得：m＝1，故函数的解析式为：y＝2x﹣4；（3）如图，由题意，得：，解得：，∴两直线的交点A（1，﹣2），y＝2x﹣4与y轴交点B（0，﹣4），y＝﹣3x+1与y轴交点C（0，1）∴S△ABC＝×5×1＝．例题7：如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣3，0），点A的坐标为（﹣2.5，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当点P运动到什么位置（求点P 的坐标）时，△OPA的面积为5，并说明理由．分析:（1）由直线与x 轴的交点的坐标，代入即可求出k 的值；（2）过点P 作x 轴的垂线段，能够发现P 点到x 轴的距离为P 点的纵坐标，代入直线方程用x 表示出来P 点的纵坐标，再套用三角形面积公式即可得出结论，再由点P 在第二象限，即可确定x 的取值范围；（3）分两种情况，一种P 点在x 轴上方，一种在x 轴下方，分类讨论即可得出结论．解：（1）∵点E （﹣3，0）在直线y ＝kx+6的图象上，∴有0=-3k+6，解得：k ＝2．故k 的值为2．（2）过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为点B ，如图1．∵点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，∴P 点横坐标介于E 、F 的横坐标之间，∴﹣3＜x ＜0．∵点P 在直线y ＝2x+6上，∴y ＝2x+6．∵PB ⊥x 轴，且P 点在第二象限，且点A 的坐标为(-2.5,0)，∴PB ＝y ＝2x+6，OA ＝2.5．∴△OPA 的面积S ＝21·OA •PB ＝2.5x+7.5．故△OPA 的面积S 与x 的函数关系式为S ＝2.5x+7.5（-3＜x ＜0）．（3）∵令（2）中的关系式中x ＝0，解得S ＝7.5＞5，∴若点P 在x 轴上方时，必在第二象限，点P 在x 轴下方时，必在第三象限．①当点P 在x 轴上方时，有△OPA 的面积S ＝2.5x+7.5，令S ＝5，即2.5x+7.5，解得：x=-1．此时点P 的坐标为(-1,4)；②当点P 在x 轴下方时，如图2，此时PB=-y=-2x-6，△OPA 的面积S ＝21·OA •PB ＝0.5·×2.5×（﹣2x ﹣6）＝﹣2.5x ﹣7.5＝5，解得：x=-5．此时点P 的坐标为（-5，-4）．综上可知：点P 运动到(-1,4)或(-5,-4)时，△OPA 的面积为5．例题8：如图，已知l 1：y ＝2x+m 经过点（﹣3，﹣2），它与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，直线l 2：y ＝kx+b 经过点（2，﹣2）且与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于点D ．（1）求直线l 1，l 2的解析式；（2）若直线l 1与l 2交于点P ，求S △ACP ：S △ACD 的值分析:（1）利用待定系数法求得两直线的解析式即可；（2）观察两个三角形，它们具有相同的底边，因此它们面积的比就是它们高的比，即点P 和点D 横坐标绝对值的比．解：（1）∵l 1：y ＝2x+m 经过点（﹣3，﹣2），∴﹣2＝2×（﹣3）+m ，解得：m ＝4，∴l 1：y ＝2x+4；∵l 2：y ＝kx+b 经过点（2，﹣2）且与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：k ＝，b ＝﹣3，∴l 2：y ＝x ﹣3；（2）令，解得：，∴点P （﹣，），∵△ACP 和△ABD 同底，∴面积的比等于高的比，∴S ：S ＝PM ：DO ＝：6＝7：9．例题9：如图，已知直线y＝x+4与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，并把△AOB的面积分为2：3两部分，求直线l的解析式．分析:根据直线y＝x+4的解析式可求出A、B两点的坐标，当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，可分别求出△AOB与△AOC的面积，再根据其面积公式可求出两直线交点的坐标，从而求出其解析式；当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，同（1）．解：直线l的解析式为：y＝kx，对于直线y＝x+4的解析式，当x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0）、B（0，4），∴OA＝4，OB＝4，∴S△AOB＝×4×4＝8，当直线l把△AOB的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，S△AOC＝，作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，∴×AO•CF＝，即×4×CF＝，∴CF＝．当y＝时，x＝﹣，则＝﹣k，解得，k＝﹣，∴直线l的解析式为y＝﹣x；当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S △BOC＝3：2时，同理求得CF＝，解得直线l的解析式为y＝﹣x．故答案为y＝﹣x或y＝﹣x．例题10：如图，直线l1的解析表达式为：y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标分析:（1）已知l1的解析式，令y＝0求出x的值即可；（2）设l2的解析式为y＝kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC；（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到AD的距离．解：（1）由y＝﹣3x+3，令y＝0，得﹣3x+3＝0，∴x＝1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，由图象知：x＝4，y＝0；x＝3，，代入表达式y＝kx+b，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD＝3，∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到直线AD的距离，即C纵坐标的绝对值＝|﹣3|＝3，则P到AD距离＝3，∴P纵坐标的绝对值＝3，点P不是点C，∴点P纵坐标是3，∵y＝1.5x ﹣6，y＝3，∴1.5x﹣6＝3x＝6，所以P（6，3）．跟踪练习1.如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6,0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABO的面积为15，求直线OA的解析式2.点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO的面积为2，求点B的坐标3.如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P.(1)求点P的坐标；(2)求△PAB的面积4.已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5．（1）求这两条直线的函数关系式（2）求它们与x轴围成的三角形面积5.已知两条直线y=2x-3和y=6-x.(1)求出它们的交点A的坐标；(2)求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积6.已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B．（1）求两直线交点C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积为6，求出点P的坐标，若不能请说明理由.7.如图，已知直线y＝x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点．（1）求点A、点B的坐标和△AOB的面积．（2）求线段AB的长．（3）若直线l经过原点，与线段AB交于点P（P为一动点），把△AOB的面积分成2：1两部分，求直线L的解析式．8.已知如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，另一直线l2：y＝kx+b（k≠0）经过点C（4，0），且把△AOB分成两部分．（1）若l1∥l2，求过点C的直线的解析式．（2）若△AOB被直线l2分成的两部分面积相等，求过点C的直线的解析式．9.已知：如图，直线y＝kx+6与x轴y轴分别交于点E，F．点E的坐标为（8，0），点A的坐标为（6，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第一象限内的直线y＝kx+6上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA 的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由10.如图，直线y＝kx+12与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标（16，0），点A的坐标为（12，0）．点P （x，y）是第一象限内的直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）．（1）求k的值；（2）在点P运动的过程中，求出△OPA的面积S与x的函数关系式．（3）是否存在点P（x，y），使△OPA的面积为△OEF的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在请说明理由．11.已知正比例函数y＝k1x和一次函数y＝k2x+br的图象如图所示，它们的交点A（﹣3，4），且OB＝OA．（1）求正比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积和周长．12.直线PA 是一次函数y=x+n 的图像，直线PB 是一次函数y=-2x+m （m ＞n ＞0）的图像，（1）用m 、n 表示A 、B 、P 的坐标（2）直线PB 交y 轴于点Q ，四边形PQOB 的面积是65，AB=2，求直线PA 、直线PB 的解析式13.△AOB 的顶点O （0，0）、A （2，1）、B （10，1），直线CD⊥x 轴且△AOB 面积二等分，若D （x ，0），求x 的值14.如图，已知由x 轴、一次函数y ＝kx+4（k ＜0）的图象及分别过点C （1，0）、D （4，0）两点作平行于y 轴的两条直线所围成的图形ABDC 的面积为7，试求这个一次函数的解析式．15.已知长方形ABCD 的边长AB ＝9，AD ＝3，现将此长方形置于平面直角坐标系中，使AB 在x 轴的正半轴上，经过点C 的直线y ＝x ﹣2与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ．（1）求点E 、B 的坐标；（2）求四边形AECD 的面积；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使△PEF 为等腰三角形？若存在，则求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16.正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）．（1）直线y ＝x经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；（2）若直线l 经过点E ，且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式；（3）若直线l 1经过点F （﹣，0），且与直线y ＝3x 平行，将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移个单位交轴x 于点M ，交直线l 1于点N ，求△NMF 的面积．17.直线L 1：y=kx+b 过点B （-1,0）与y 轴交于点C,直线L 2：y=mx+n 与L1交于点P （2,5）,且过点A （6,0）,过点C 与L 2平行的直线交x 轴与点D ．（1）求直线CD 的函数解析式（2）求四边形APCD 的面积．18.直线y=-33x+1与x 轴y 轴分别交点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=900，点P （a ，1／2）在第二象限，△ABP 的面积与△ABC 面积相等，求a 的值.19.已知直线y=-x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线y=kx+b （k ≠0）经过点C （1，0），且把△AOB 分为两部分，（1）若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；（2）若△AOB 被分成的两部分面积为1：5，求k 和b 的值20.直线y=-32x+3交x 、y 两坐标轴分别于点A 、B ，交直线y=2x-1于点P ，直线y=2x-1交x ，y 坐标轴分别为C 、D ，求△PAC 和△PBC 的面积各是多少？21.如图，直线l 1的解析式为y ＝3x ﹣3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A 、B ，直线l 1，l 2相交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求△ADC 的面积．22.已知直线l 1：y ＝k 1x+b 1经过点（-1,6）和（1，2），它和x 轴、y 轴分别交于B 和A ；直线l 2：y ＝-0.5x-3，它和x 轴、y 轴的交点分别是D 和C ．（1）求直线l 1的解析式；（2）求四边形ABCD 的面积；（3）设直线l 1与l 2交于点P ，求△PBC 的面积23.如图，直角坐标系xoy 中，一次函数y=-0.5x+5的图像l 1分别与x ，y 轴交于A 、B 两点，正比例函数的图像l 2与l 1交于点C （m ，4）.（1）求m 的值及l 2的解析式；（2）求S △AOC -S △BOC 的值；（3）一次函数y=kx+1的图像为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值一次函数与面积问题答案1.解：过点A 作AC ⊥OB 于点C ，设AC ＝m （m ＞0）由△AOB 的面积为15，OB ＝6得21OB ×m ＝15，即21×6×m ＝15，∴m ＝5，得A （－4，5）．设正比例函数解析式y ＝k 1x （k 1≠0）把x ＝－4，y ＝5代入得k 1＝−45，∴y ＝−45x ．设一次函数解析式y ＝k 2x ＋b （k 2≠0），把x ＝－4，y ＝5和x ＝－6，y ＝0代入得：⎩⎨⎧+-=+-=b k b k 226045，解得k 2=25,b=15．∴y ＝25x+15． 2.点B 在直线y=-x+1上，且点B 在第四象限，点A （2，0）、O （0，0），△ABO 的面积为2，求点B 的坐标解：过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，∵△ABO 的面积为2，∴21OA ×BC=2，OA ×BC=4,∵OA=2,∴BC=2,∵B 点在第四象限，∴B 点的纵坐标是-2，∵B 点在y=-x+1上，∴当y=-2时，-x+1=-2，x=3，∴B 的坐标是（3，-2）3.分析:（1）联立两个解析式，组成方程组，再解方程即可得到P 点坐标；（2）分别利用函数解析式计算出A 、B 两点的坐标，在求△APB 的面积即可．解：（1），解得，故P （﹣1，2）；（2）∵函数y ＝（）x+2.5中，当y ＝0时，x ＝﹣5，∴A （﹣5，0），∵函数y ＝﹣x+1中，当y ＝0时，x ＝1，∴B （1，0），∴S △APB ＝×6×2＝6．4.(1)y=kx 过M(2,3),∴3=2k,k=32,∴y=32x.∵y=ax+b 过M(2,3),则2a+b=3,b=3-2a,∴y=ax+(3-2a),∵S ΔOMN =21×|3-2a|×2=|3-2a|=5,∴2a-3=±5,a=4或a=-1,∴直线y=ax+b 的解析式为y=4x+5或y=-x-5；(2)①当y=4x+5时,令y=0得x=-5/4,∴y=4x+5与x 轴交于A(-5/4,0),S ΔOAM =21×45×3=15/8；②当y=-x-5时,令y=0得x=-5,∴y=-x-5与x 轴交于B(-5,0),S ΔOBM =21×5×3=15/2 5.分析:（1）根据两直线相交的问题，通过解方程组即可得到两直线的交点坐标；（2）先根据x 轴上点的坐标特征求出两直线与x 轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．解：（1）解方程组得，所以两直线的交点坐标为（3，3）；（2）当y ＝0时，2x ﹣3＝0，解得x ＝，则直线y 1＝2x ﹣3与x 轴的交点坐标为（，0）；当y ＝0时，6﹣x ＝0，解得x ＝6，则直线y 2＝6﹣x 与x 轴的交点坐标为（0，6）；所以这两条直线与x 轴所围成的三角形面积＝×（6﹣）×3＝． 6.分析:（1）解方程组即可得出交点坐标；（2）分别求出A ，B 的坐标即可求出三角形的面积；（3）假设在直线y ＝﹣2x ﹣1上存在点P 使得S △APC ＝6，设点P （x ，y ），分类讨论x 的取值后即可得出答案；解：（1）解方程组解得：x ＝﹣1，y ＝1，所以点C 的坐标为（﹣1，1）；（2）直线y ＝2x+3与y 轴的交点A 的坐标为（0，3），直线y ＝﹣2x ﹣1与y 轴的交点B 的坐标为（0，﹣1），所以AB ＝4，S △ABC ＝×4×|﹣1|＝2；（3）假设在直线y＝﹣2x﹣1上存在点P使得S△APC＝6，设点P（x，y），则①当x＜﹣1时，有S△APB﹣S △ABC＝6，即×4×|x|﹣2＝6,解得x＝4（舍去）或x＝﹣4，把x＝﹣4代入y＝﹣2x﹣1，得y＝7,②当x＞0时，有S△APB+S△ABC＝6，即×4×x+2＝6,解得x＝2，把x＝2代入y＝﹣2x﹣1得y＝﹣5,所以在直线y＝﹣2x﹣1上存在点P（﹣4，7）和P（2，﹣5），使得S△APC＝6．7.分析:（1）把x＝0，和y＝0代入解析式y＝x+6解答即可，再利用三角形的面积公式计算即可；（2）利用两点间的距离公式计算即可；（3）设P点的坐标为（m，m+6），然后分两种情况求得P的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线L的解析式．解：（1）∵直线y＝x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点，∴A（0，6）B（﹣6，0），∴OA＝6，OB＝6，∴S△AOB ＝OA•OB＝×6×6＝18；（2）∵A（0，6）B（﹣6，0），∴AB＝＝6；（3）设P点的坐标为（m，m+6），∴S△POB＝OB•（m+6）＝3（m+6），∵把△AOB的面积分成2：1两部分，∴S△POB：S△AOB＝2：3或1：3，∴＝或，解得m＝﹣2或﹣4，∴P（﹣2，4）或（﹣4，2），设直线L的解析式为y＝kx，∴4＝﹣2k或2＝﹣4k，解得k＝﹣2或k＝﹣，∴直线L的解析式为或y＝﹣2x．8.分析:（1）当l1∥l2时，k＝﹣，然后将C（4，0）代入l2的解析式中即可求出b的值．（2）容易求得C（4，0），且C是OA的中点，所以直线l2是△AOB的中线，从而求出C的直线解析式．解：（1）由题意可知：k＝﹣,∴直线的解析式为：y＝﹣x+b,把（4，0）代入上式，∴b＝2,∴直线的解析式为：y＝﹣x+2;（2）令y＝0代入y＝﹣x+4，∴x＝8，∴点A（8，0）,令x＝0代入y＝﹣x+4，y＝4，∴B （0，4）,∴C是OA的中点,若△AOB被直线l2分成的两部分面积相等，则直线l2与△AOB的中线重合，即直线l2过点B把（0，4）和（4，0）代入y＝kx+b，∴,解得：,∴直线l2的解析式为：y＝﹣x+4 9.分析:（1）直接把E的坐标为（8，0）代入y＝kx+6就可以求出k的值；（2）根据三角形的面积公式S△OPA＝，然后把y转换成x，△OPA的面积S与x的函数关系式就可以求出了；（3）直接把S＝9代入（2）中的解析式里．就可以求出x，然后确定P的坐标．解：（1）把点E（8，0）代入y＝kx+6，得8k+6＝0，解得，k＝；（2）∵点P（x，y）在第一象限内的直线y＝x+6上,∴点P的坐标为（x，x+6）且x＞0，x+6＞0,过点P作PD⊥x轴于点D，则△OPA的面积＝OA×PD,即.∴（0＜x＜8）；（3）由S＝9得，，解得x＝4，把x＝4代入y＝x+6，得y＝×4+6＝3,这时，P有坐标为（4，3）；即当P运动到点（4，3）这个位置时，△OPA的面积为9．10.分析:（1）直接把点E的坐标代入直线y＝kx+12求出k的值即可；（2）过点P作PD⊥OA于点D，用x表示出PD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；（3）把△OPA的面积为△OEF的面积的，得出△OPA的面积代入（2）中关系式，求出x的值，把x的值代入直线y＝﹣x+12即可得出结论．解：（1）∵直线y＝kx+12与x轴交于点E，且点E的坐标（16，0）,∴16k+12＝0，解得k＝﹣，∴y＝﹣x+12；（2）过点P作PD⊥OA于点D，∵点P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点,∴PD＝﹣x+12．∵点A的坐标为（12，0）,∴S＝×12×（﹣x+12）＝﹣x+72；（3）∵y＝﹣x+12，∴当y＝0时，x＝16，∴OF＝16，OE＝16，∵△OPA的面积为△OEF的面积的，∴△OPA的面积＝，∴﹣x+72＝36，解得x＝8，将x＝8代入y＝﹣x+12得y＝6，∴P（8，6）．11.分析：（1）先利用两点间的距离公式计算出OA＝5，易得OB＝3，则B（3，0），然后利用待定系数分别求正比例函数和一次函数的解析式；（2）先利用两点间的距离公式计算出AB，然后根据三角形面积公式和周长的定义求解．解：（1）∵点A（﹣3，4），∴OA＝＝5，而OB＝OA，∴OB＝3，∴B（3，0），把A（﹣3，4）代入y＝k1x得﹣3k1＝4，解得k1＝﹣，∴自变量函数解析式为y＝﹣x；把A（﹣3，4）、B（3，0）分别代入y＝k2x+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；（2）AB＝＝2，△AOB的面积＝×3×4＝6，△AOB的周长＝3+5+2＝8+2．12.分析:二元一次方程组与一次函数的综合运用，再加上四边形的面积．首先根据一次函数求出点的坐标，求第（2）问时，设PB与y轴交于一点M，四边形面积等于三角形MOB的面积﹣三角形MQP的面积，从而得出结果．解：（1）设A（a，0），B（b，0），P（x，y）．由题意得：a+n＝0①，﹣2b+m＝0②，由①②得a＝﹣n，b＝．解方程组，得．故A（﹣n，0），B（，0），P（，）；（2）设PB与y轴交于一点M，则M（0，m），Q（0，n）．则S MOB＝m＝，S MQP＝＝．所以＝③，又＝2④,由③④联立，解得．∴点P的坐标为（，），直线PA的解析式为y＝x+1，直线PB的解析式为y＝﹣2x+2．13.分析：先用待定系数法求出直线OB的解析式，再设CD交AB于点E，交OB于点F，故可得出F点的坐标及EF、EB、AB的长，再根据S△BEF＝S△AOB即可得出x的值，进而得出结论．解：设直线OB的解析式为y＝kx（k≠0），∵B（10，1），∴1＝10k，解得k＝，∴直线OB的解析式为y＝x，∵D（x，0），∴F（x，），∴EF＝1﹣，EB＝10﹣x，AB＝10﹣2＝8，∴S△BEF＝××（10﹣x）＝，∴S△AOB＝×8×1＝2×，解得x＝10﹣2．14.分析：根据点A、B在一次函数y＝kx+4的图象上得出A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，根据四边形ABDC的面积为7代入即可求出k的值．解：∵点A、B在一次函数y＝kx+4的图象上，∴A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，∵四边形ABDC 的面积为7，∴[（k+4）+（4k+4）]•3＝7，∴k＝﹣，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4．15.分析：（1）对于直线y＝x﹣2，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出E与F坐标，根据四边形ABCD为矩形，得到对边相等，求出BC的长，即为C纵坐标，代入直线解析式求出C横坐标，即可确定出B坐标；（2）由B与E的横坐标之差求出EB的长，四边形AECD面积＝矩形ABCD面积﹣三角形ECB面积，求出即可；（3）在y轴上存在一点P，使△PEF为等腰三角形，如图所示，分三种情况考虑：若P1F＝EF；若EF＝P2F；若P3F＝P3E；分别求出P的坐标即可．解：（1）对于直线y＝x﹣2，令x＝0，得到y＝﹣2；令y＝0，得到x＝4，∴E（4，0），F（0，﹣2），∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝3，DC ＝AB ＝9，把y ＝3代入直线y ＝x ﹣2，得：x ＝10，即B （10，0）；（2）∵E （4，0），B （10，0），∴EB ＝10﹣4＝6，∴S 四边形AECD ＝S 矩形ABCD ﹣S △ECB ＝9×3﹣×6×3＝27﹣9＝18；（3）存在，如图所示，分三种情况考虑：若P 1F ＝EF ＝＝2，∴OP 1＝OF+P 1F ＝2+2，此时P 1（0，﹣2﹣2）；若EF ＝P 2F ＝2，∴OP 2＝P 2F ﹣OF ＝2﹣2，此时P 2（0，2﹣2）；若P 3F ＝P 3E ，此时P 3在线段EF 垂直平分线上，线段EF 垂直平分线为y+1＝﹣2（x ﹣2），即y ＝﹣2x+3，令x ＝0，得到y ＝3，此时P 3（0，3），综上，在y 轴上存在一点P ，使△PEF 为等腰三角形，此时P 的坐标为（0，﹣2﹣2）或（0，2﹣2）或（0，3）．16.分析：（1）求得C 的坐标，以及E 的坐标，则求得AE 的长，根据直角梯形的面积公式即可求得四边形的面积；（2）经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分的直线与CD 的交点F 到C 的距离一定等于AE ，则F 的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得直线EF 的解析式；（3）根据直线l 1经过点F （﹣，0）且与直线y ＝3x 平行，知k ＝3，把F 的坐标代入即可求出b 的值即可得出直线11，同理求出解析式y ＝2x ﹣3，进一步求出M 、N 的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△MNF 的面积．．解：（1）在y ＝x 中，令y ＝4，即x ＝4，解得：x ＝5，则B 的坐标是（5，0）；令y ＝0，即x ＝0，解得：x ＝2，则E 的坐标是（2，0）．则OB ＝5，OE ＝2，BE ＝OB ﹣OA ＝5﹣2＝3，∴AE ＝AB ﹣BE ＝4﹣3＝1，边形AECD ＝（AE+CD ）•AD ＝（4+1）×4＝10；（2）经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，则直线与CD 的交点F ，必有CF ＝AE ＝1，则F 的坐标是（4，4）．设直线的解析式是y ＝kx+b ，则，解得．则直线l 的解析式是：y ＝2x ﹣4；（3）∵直线l 1经过点F （﹣，0）且与直线y ＝3x 平行，设直线11的解析式是y 1＝kx+b ，则k ＝3，代入得：0＝3×（﹣）+b ，解得b ＝，∴y 1＝3x+，已知将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移个单位，则所得的直线的解析式是y ＝2x ﹣4+，即：y ＝2x ﹣3，当y ＝0时，x ＝，∴M （，0），解方程组得：，即：N （﹣7，﹣19），S △NMF ＝×[﹣（﹣）]×|﹣19|＝．答：△NMF 的面积是．17.将B 和P 点带入y=kx+b 中,得：0=-k+b,5=2k+b 即：k=b=35，所以L1为：y=35 x+35，C 的坐标：(0,5/3) 将P 和A 带入y=mx+n 中，得5=2m+n ，0=6m+n ，解得：m=-5/4,n=15/2，即L 2的方程为：y=-45x+215，∵CD ∥AP ， ∴CD 直线的解析式可以设为：y=-45x+b ′，∵x=0时，y=35×0+35=35，∴C 的坐标是（0，35），把C 的坐标带入CD 的解析式中，得b ′=35，∴CD 的直线解析式为y=-45x+35，由y=-45x+35与x 轴交于点D ，得D 坐标为：(4/3,0)，由P 做PM ⊥x 轴于M ，则PM=5，∵A 的坐标是（6,0），B 的坐标是（-1,0），D 的坐标是(4/3,0)，C 的坐标是（0，35），∴AB=7，BD=37，OC=35，∴四边形APCD 的面积=三角形BAP 面积-三角形BDC 面积=21×7×5-21×37×35=9140 18.分析：由已知求出A 、B 的坐标，求出三角形ABC 的面积，再利用S △ABP ＝S △ABC 建立含a 的方程，把S △ABP 表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案．解：连接OP ，∵直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴A （，0），B （0，1），AB ＝＝2，∴S △ABP ＝S △ABC ＝2，又S △ABP ＝S △OPB +S △OAB ﹣S △AOP ，∴﹣a ×1+×1﹣＝4，解得a ＝．答：a 的值为a ＝．19.分析：（1）△AOB 被分成的两部分面积相等，那么被分成的两部分都应该是三角形AOB 的面积的一半，那么直线y ＝kx+b （k ≠0）必过B 点，因此根据B ，C 两点的函数关系式可得出，直线的函数式．（2）若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么被分成的两部分中小三角形的面积就应该是大三角形面积的，已知了直线过C 点，则小三角形的底边是大三角形的OA 边的一半，故小三角形的高应该是OB 的，即直线经过的这点的纵坐标应该是．那么这点应该在y 轴和AB 上，可分这两种情况进行计算，运用待定系数法求函数的解析式．解：（1）由题意知：直线y ＝kx+b （k ≠0）必过C 点，∵C 是OA 的中点，∴直线y ＝kx+b 一定经过点B ，C ，如图（1）所示，把B ，C 的坐标代入可得：，解得k ＝﹣2，b ＝2；（2）∵S △AOB ＝×2×2＝2，∵△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么直线y ＝kx+b （k ≠0）与y 轴或AB 交点的纵坐标就应该是：2×2×＝，①当y ＝kx+b （k ≠0）与直线y ＝﹣x+2相交时，交点为D ，如图（2）所示，当y ＝时，直线y ＝﹣x+2与y ＝kx+b （k ≠0）的交点D 的横坐标就应该是﹣x+2＝，∴x ＝，即交点D 的坐标为（，），又根据C 点的坐标为（1，0），可得：，∴，②当y ＝kx+b （k ≠0）与y 轴相交时，交点为E ，如图（3）所示，∴交点E 的坐标就应该是（0，），又有C 点的坐标（1，0），可得：，∴，因此：k ＝2，b ＝﹣2或k ＝﹣，b ＝．20.解：过P 分别向x 轴、y 轴分别做PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，由y=-32x+3和y=2x-1联立可得x=23，y=2，∴p 的坐标是（23，2），∴PM=23，PN=2，易求得A 、B 、C 、D 的坐标分别为（29，0），（0,3），（21，0），（0，-1），∴AC=4，BD=4，OC=21，∴S △PAC =21AC ·PM=3，S △PBC =S △PBD -S △BCD =21BD ·PN-21BD ·OC=4-1=3. 21.分析：（1）利用直线l 1的解析式令y ＝0，求出x 的值即可得到点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法求出直线l 2的解析式，得到点A 的坐标，再联立直线l 1，l 2的解析式，求出点C 的坐标，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．解：（1）∵直线l 1的解析式为y ＝3x ﹣3，且l 1与x 轴交于点D ，∴令y ＝0，得x ＝1，∴D （1，0）；（2）设直线l 2的解析式为y ＝kx+b （k ≠0），∵A （4，0），B （3，），∴，解得，∴直线l 2的解析式为y ＝﹣x+6．由，解得，∴C （2，3）．∵AD ＝4﹣1＝3，∴S △ADC ＝×3×3＝．22.分析:（1）因为点（﹣1，6）和（1，2）在直线l 1：y ＝k 1x+b 1，所以把这两点的坐标代入解析式求出k 1、b 1的值就可以了．（2）知道直线l 2的解析式就可以求出C 、D 的坐标，根据l 1的解析式就可以求出A 、B 的坐标就可以求出BD 、OA 、OC 的长利用三角形的面积公式求出四边形ABCD 的面积．（3）利用l 1、l 2的解析式求出交点坐标P ，就可以求出△PDB 的面积，然后求出三角形DCB 的面积，这两个三角形的面积之差就是△PBC 的面积． 解：（1）∵直线l 1：y ＝k 1x+b 1经过点（﹣1，6）和（1，2）,∴，解得，∴直线l 1的解析式为：y ＝﹣2x+4；（2）∵直线l 1的解析式为：y ＝﹣2x+4,当x ＝0时，y ＝4，∴A （0，4）,∴OA ＝4,当y ＝0时，x ＝2，∴B （2，0）,∴OB ＝2,∵直线l 2：y ＝﹣x ﹣3,当x ＝0时，y ＝﹣3，即C （0，﹣3）.∴OC ＝3,当y ＝0时，x ＝﹣6，即D （﹣6，0）,∴OD ＝6,∴BD ＝8,∴S 四边形ABCD ＝+＝12+16＝28；（3）过点P 作PE ⊥BD 于E ，由l 1、l 2的解析式得：解得：，∴P （，﹣）,∴OE ＝，PE ＝,∴S △PBC ＝﹣＝﹣12＝．23.分析：（1）先求得点C 的坐标，再运用待定系数法即可得到l 2的解析式；（2）过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD ＝4，CE ＝2，再根据A （10，0），B （0，5），可得AO ＝10，BO ＝5，进而得出S △AOC ﹣S △BOC 的值；（3）分三种情况：当l 3经过点C （2，4）时，k ＝1.5；当l 2，l 3平行时，k ＝2；当11，l 3平行时，k ＝﹣0.5；故k 的值为1.5或2或﹣0.5．解：（1）把C （m ，4）代入一次函数y ＝﹣0.5x+5，可得4＝﹣0.5m+5，解得m ＝2，∴C （2，4），设l 2的解析式为y ＝ax ，则4＝2a ，解得a ＝2，∴l 2的解析式为y ＝2x ；（2）如图，过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD ＝4，CE ＝2，y ＝﹣0.5x+5，令x ＝0，则y ＝5；令y ＝0，则x ＝10，∴A （10，0），B （0，5），∴AO ＝10，BO ＝5，∴S △AOC ﹣S △BOC ＝0.5×10×4﹣0.5×5×2＝20﹣5＝15；（3）一次函数y ＝kx+1的图象为l 3，且11，l 2，l 3不能围成三角形，∴当l 3经过点C （2，4）时，k ＝1.5；当l 2，l 3平行时，k ＝2；当11，l 3平行时，k ＝﹣0.5；故k 的值为1.5或2或﹣0.5．。
与一次函数有关的面积问题
与一次函数有关的面积问题作者：梁雄来源：《新课程学习·下》2014年第03期将一次函数与面积综合在一起进行考查，是目前的一类热点题型，充分体现了数形结合与分类讨论的思想。
下面针对一次函数解析式与面积互求的两个类型举例介绍。
类型一：利用一次函数解析式求面积例1：如图1，已知直线y=kx+b经过点A（0，6），且平行于直线y=-2x。
（1）求该函数的解析式；（2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值；（3）求直线y=kx+b和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。
解析：（1）因为所求的直线与已知直线y=-2x平行，又因为该直线经过点A（0，6），易求该函数的解析式：y=-2x+6；（2）因为直线y=-2x+6经过点P（m，2），所以m=2；（3）由直线y=-2x+6可以求出C（3，0）与坐标轴围成的图形有两种可能：一种是与x轴围成的△OPC，则S△OCP= OC·yp= ×3×2=3；另一种是与y轴围成的△OPA，则S△OCA= OA·xp= ×6×2=6。
例2.如图2，直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一条直线l经过点C（2，0），且把△AOB分成两部分。
（1）若△AOB被分成面积相等的两部分，求直线l的表达式；（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1∶7，求直线l的表达式；解析：（1）由直线y=-x+4可得A（4，0），B（0，4），当直线l把△AOB分成面积相等的两部分时，易求直线l的解析式为：y=-2x+4。
（2）当直线l把△AOB分成的两部分面积比为1∶7时，要分两种情况：设当直线l的斜率k>0时，直线l将与AB相交于D点，如图3，由题意知：S△CDA=S△AOB因为S△AOB= AO·BO=8，所以S△CDA=1，又因为AC=3，所以S△CDA的AC边上的高为1，即D点的纵坐标为1，代入直线AB 解析式中知此点坐标为（3，1）则直线l的解析式为：y=x-2设当直线l的斜率k如图3，由面积关系可得交点E坐标为（0，1），同理可求出直线l的解析式为：y=-2x+1。
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
一次函数面积问题——已知面积求解析式(一)
l
在直线 l 上求两点 M、N（M 在左） ，使得 MN=a，并使 AM+MN+NB 最短。 将 A 向右平移 a 个单位到 A’，对称 A’到 A’’，连结 A’’B 与 l 交点即为 N， 左平移 a 个单位即为 M.
4.
L1
L2
在直线 L1、L2 上分别求点 M、N,使△PMN 周长最小。 分别将点 P 关于两直线对称到 P’、P’’，连结 P’P’’与两直线交点即为 M、 N. 5.
已知直线 PA ： y x n(n 0) 与 x 轴交于 A, 与 y 轴交于 Q, 另一条直线
y 2 x m(m n)与x 轴交于 B,与直线的坐标(用 m 或 n 表示) 5 (2)若 AB=2,且 S 四边形 PQOB= ,求两个函数的解析式. 6
L1
L2
在直线 L1、L2 上分别求点 M、N，使四边形 PMNQ 周长最小。 将 P、Q 分别对称到 P’、Q’，连结 P’Q’与直线的交点即为 M、N. 6.
l
在直线 l 上求点 P，使|AP-BP|最大。 作直线 AB 与 l 的交点即为点 P. 7.
l
在直线 l 上求点 P，使|AP-BP|最大。 将点 B 对称到 B’，作直线 AB’与 l 的交点即为点 P. 8.
y A
y A
y A
O
B x
O
B x
O
B
x
① 点 A 坐标为_____________， P、 Q 两点相遇时交点的坐标为________________; ② 当 t=2 时， S△OPQ ____________;当 t=3 时， S△OPQ ____________; ③ 设△OPQ 的面积为 S，试求 S 关于 t 的函数关系式;
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一次函数与面积结合问题解题技巧
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数是初中数学中最基本的一种函数形式，通常表示为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
面积问题是数学中常见的问题类型之一，需要运用数学知识来求解。
当一次函数与面积结合在一起时，往往需要运用数学知识和解题技巧来解决问题。
本文将为大家介绍一次函数与面积结合问题解题的技巧，并通过实例来解释具体的解题方法。
一、如何将一次函数与面积联系起来
在解决一次函数与面积结合问题时，我们需要先找到函数表达式和面积之间的联系。
通常，我们可以通过一次函数的图像和面积来建立它们之间的关系。
若给定一次函数y = 2x + 1，要求计算函数图像在一定区间内与x 轴之间的面积，我们可以先绘制函数的图像，然后找出其与x轴之间的面积。
二、一次函数与矩形面积的关系
在一次函数与面积结合问题中，经常会出现与矩形面积有关的题目。
矩形的面积等于长乘以宽，即S = l*w。
如果给定一个矩形的长度为x，宽度为y = kx + b（k和b为常数），我们可以通过一次函数的表达式计算出矩形的面积。
三、利用一次函数的特性解决面积问题
如果一个图形可以通过两条一次函数的交点来确定，我们也可以
通过两条函数的表达式来求出图形的面积。
四、实例解析
为了帮助大家更好地理解一次函数与面积结合问题的解题方法，
我们来看一个实例：
例：已知一次函数y = 2x + 3和直线y = x + 1的交点A、B、C、D，求由四个点构成的四边形的面积。
解：我们可以通过求解两条直线的交点来确定四个点的坐标。
将
两条直线的表达式相等，得到x = -2，将x = -2代入其中一条直线的表达式中，得到交点坐标为(-2, -1)。
接下来，根据交点的坐标，我们可以求得四边形的边长，进而计
算出四边形的面积。
将四个点连接起来可以得到一个平行四边形，根
据平行四边形面积公式S = 底边长*高得到面积。
五、总结
希望本文能够帮助大家更好地理解一次函数与面积结合问题解题
的技巧，并在学习数学过程中取得更好的成绩。
愿大家都能在数学的
海洋中游刃有余，享受数学的乐趣！
第二篇示例：
一次函数与面积结合问题是数学题目中常见的类型之一，在解题
过程中往往需要运用一些技巧和方法。
一次函数是指次数为一的代数式，其图像为一条直线。
面积则是平面内的一个区域，可以通过计算
尺寸来求得。
当将一次函数与面积结合起来时，可以涉及到很多有趣
的问题，比如求解两个函数相交的面积、利用函数图像求面积，等等。
接下来，我们将详细介绍一些解题技巧。
一、确定函数图像和区域范围
在解决一次函数与面积结合问题时，首先要确定函数的图像和要
计算的区域范围。
通过画出函数的图像，我们可以更直观地理解函数
的走势和区域的特点，从而有助于后续的解题过程。
根据题目所给的
条件，确定区域的范围，如确定积分区间、求交点等，这也是解题的
关键步骤之一。
二、利用积分计算面积
在一次函数与面积结合的问题中，可以通过积分的方法求解面积。
积分是微积分的一项重要概念，表示函数的定积分可以得到曲线与x轴之间的面积。
对于一次函数，可以利用积分计算函数图像与x轴所围成的面积，这也是解决一些特殊问题的有效方法。
三、函数之间的关系
在一次函数与面积结合问题中，常常需要探讨函数之间的关系，
特别是在函数图像相交的情况下。
通过确定函数的交点，我们可以进
一步求解出函数图像之间的面积。
我们还可以利用函数之间的比较关
系来解决一些复杂的问题，比如确定两个函数的相对位置、判断面积
的大小等。
四、利用几何知识求解
在解题过程中，我们还可以结合几何知识来求解一次函数与面积
问题。
比如利用几何图形的性质，将函数图像分割为几个简单的形状，再利用面积的计算公式求解出整体面积。
通过将函数图像与几何图形
相结合，可以更灵活地解决问题，提高解题效率。
五、多维问题的拓展
除了一维情况下的一次函数与面积结合问题外，我们还可以将问
题拓展到多维情况下。
比如在二维平面上，通过将函数表示为二元一
次函数的形式，可以求解出图像与坐标轴所围成的面积。
在三维情况下，可以通过类似的方法求解立体图形的体积。
通过将一次函数与面
积的问题拓展到多维情况下，可以进一步丰富解题的内容，提高解题
的难度。
一次函数与面积结合问题是数学中一个有趣且应用广泛的问题类型。
在解题过程中，我们可以运用一些技巧和方法来提高解题效率，
比如确定函数图像和区域范围、利用积分计算面积、探讨函数之间的
关系等。
通过不断练习和积累，我们可以更好地掌握解题技巧，提高
数学解题能力。
希望以上内容能够对读者有所帮助，引导大家更好地
理解和应用一次函数与面积结合的问题。
第三篇示例：
一次函数与面积结合问题是高中数学中的重要内容之一，也是学
生在解题过程中常常会遇到的类型。
一次函数是指函数中只包含常数
项和一次项的函数，通常可以表示为y=ax+b的形式，其中a和b是常数。
而面积问题则是指在平面几何中，求图形所围成的面积的问题。
将一次函数与面积结合起来，就可以进一步拓展解题的思路，让学生
更好地理解数学问题的本质。
解题技巧一：画图加建立函数关系
在解决一次函数与面积结合问题时，第一步是要画出图形，并建
立图形中各个部分之间的函数关系。
有一道题目如下：
已知一边长为x的正方形，将其顶点沿对角线分别连接到对角线的中点，形成一个小正方形和四个等边三角形。
求四个三角形的面积之
和S关于x的表达式。
画出正方形和分割后的图形。
然后，根据等边三角形的特点，可
以得到小正方形的边长为x/2。
接着，根据函数关系建立方程，可以得到四个三角形的面积之和S为3x²/4。
解题技巧二：利用一次函数的图像性质
一次函数的图像是一条直线，具有很好的可视化效果。
在解决与
面积结合的问题时，可以利用一次函数的图像性质构建方程或者推导
出结果。
有一道题目如下：
已知一次函数y=3x+2在区间[1,3]上的图像，与x轴、y轴以及直线x=1、x=3围成一个四边形，求该四边形的面积S。
绘制出函数y=3x+2在区间[1,3]上的图像。
然后，根据横轴与函
数曲线所围成的图形部分为三角形，可求出三角形面积为3。
接着，根据给定直线和函数曲线的交点，可以得到矩形的边长为2和4，面积为8。
根据函数的定义域，计算得到矩形的面积为6，并将三角形的面积加上矩形的面积即可得到所求四边形的面积S为9。
通过以上的解题技巧，在解决一次函数与面积结合的问题时，可
以更加灵活地运用数学知识，巧妙地解决复杂题目。
加强对一次函数
和面积概念的理解，提高数学问题解决的能力和技巧。
希望同学们在
学习数学的过程中，能够不断挑战自己，提高自己的解题能力，更好
地掌握数学知识。
【文章达到2000字】。
第四篇示例：
一次函数是我们在数学中很常见的一种函数，它的形式通常为y = kx + b，其中k和b是常数。
而面积则是我们在几何中经常遇到的概念，表示平面内的某一固定区域。
一次函数与面积结合问题解题技巧就是
在解题过程中将这两个概念结合起来，通过建立函数关系和几何图形
的面积关联来解决问题。
我们来看一个简单的问题：一个矩形的长是x，宽是y，面积为10。
如果要求出这个矩形的周长，我们可以先写出面积和周长的关系式：
面积= 长× 宽= 10，周长= 2 × (长+ 宽)。
接下来，我们可以
建立一个关于周长的一次函数：L(y) = 2(x + y)。
这样，我们就可以通过一次函数来表示周长与宽度之间的关系，进而解决问题。
在解题过程中，我们还可以通过计算导数的方式来求解面积最大
或最小值的问题。
若给定一个矩形的周长，如何使得其面积最大？我
们可以建立周长和面积的关系式，并计算出面积的导数。
通过对导数
的分析，我们可以找到面积最大值对应的条件，从而得出解答。
一次函数与面积结合问题也可以运用到实际生活中的经济学、物
理学等领域。
某公司生产一种产品，生产成本和销售价格可以表示为
一次函数，通过分析两个函数的关系，可以找到使利润最大的生产和
销售策略。
在物理学中，运动的距离、速度等概念也可以用一次函数
来表示，进而解决各种与面积和一次函数相关的问题。
一次函数与面积结合问题解题技巧是一种灵活应用数学知识的方法，它不仅能帮助我们解决具体的数学问题，还可以在现实生活中发
挥重要作用。
通过理解一次函数与面积的关系，我们可以更好地应用
数学知识解决实际问题，提高解决问题的效率和准确性。
希望以上内
容能对对读者有所帮助。