一次函数与四边形面积问题例题
一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数与面积结合问题解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数与面积结合问题解题技巧一次函数是初中数学中最基本的一种函数形式，通常表示为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
面积问题是数学中常见的问题类型之一，需要运用数学知识来求解。
当一次函数与面积结合在一起时，往往需要运用数学知识和解题技巧来解决问题。
本文将为大家介绍一次函数与面积结合问题解题的技巧，并通过实例来解释具体的解题方法。
一、如何将一次函数与面积联系起来在解决一次函数与面积结合问题时，我们需要先找到函数表达式和面积之间的联系。
通常，我们可以通过一次函数的图像和面积来建立它们之间的关系。
若给定一次函数y = 2x + 1，要求计算函数图像在一定区间内与x 轴之间的面积，我们可以先绘制函数的图像，然后找出其与x轴之间的面积。
二、一次函数与矩形面积的关系在一次函数与面积结合问题中，经常会出现与矩形面积有关的题目。
矩形的面积等于长乘以宽，即S = l*w。
如果给定一个矩形的长度为x，宽度为y = kx + b（k和b为常数），我们可以通过一次函数的表达式计算出矩形的面积。
三、利用一次函数的特性解决面积问题如果一个图形可以通过两条一次函数的交点来确定，我们也可以通过两条函数的表达式来求出图形的面积。
四、实例解析为了帮助大家更好地理解一次函数与面积结合问题的解题方法，我们来看一个实例：例：已知一次函数y = 2x + 3和直线y = x + 1的交点A、B、C、D，求由四个点构成的四边形的面积。
解：我们可以通过求解两条直线的交点来确定四个点的坐标。
将两条直线的表达式相等，得到x = -2，将x = -2代入其中一条直线的表达式中，得到交点坐标为(-2, -1)。
接下来，根据交点的坐标，我们可以求得四边形的边长，进而计算出四边形的面积。
将四个点连接起来可以得到一个平行四边形，根据平行四边形面积公式S = 底边长*高得到面积。
2020年中考二轮专题复习：一次函数综合题(与面积有关)及答案解析
2020年中考二轮专题复习：一次函数综合题（与面积有关）1．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B，C两点，∠ABO＝30°，OB＝3OC．（1）证明：AC⊥AB；（2）将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，求直线BD的函数解析式；（3）在（2）的条件下，设直线BD交x轴于点E，嘉淇认为△ADE的面积与△AOB的面积相同，请判断嘉淇的观点是否正确．2．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．3．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC 的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．一次函数y＝kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且sin∠ABO＝．△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．5．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝2x+6交x轴于点B，交y轴于点A，且AO＝BC．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，点P在线段AC上，连接PB交OA于点D，设点P的横坐标为t，△ABP 的面积为S，求S与t之间的函数解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作∠CAO的平分线交DP于点E，点L在BP的延长线上，连接CE、CL，若∠ABP＝2∠ACE，CL＝AC，求DL的长．6．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+4交x轴、y轴分别于点A、点B，且△ABO的面积为8．（1）如图2，求k的值；（2）如图3，点P是第一象限直线AB上的一个动点，连接PO，将线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，设点P的横坐标为t，点C的横坐标为m，求m与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B作直线BM⊥OP，交x轴于点M，垂足为点N，点K在线段MB的延长线上，连接PK，且PK+KB＝OP，∠PMB＝2∠KPB，连接MC，求四边形BOCM的面积．7．如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（﹣2，0），且2OA ＝OB．（1）求直线AB解析式；（2）如图，将△AOB向右平移6个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；（3）求（2）中△AOB扫过的面积．8．如图：一次函数y＝﹣x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y＝﹣x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．9．如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝﹣5与x轴交于点D，直线y＝﹣x﹣与x轴及直线x＝﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；（2）设面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO，求S的值；（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．10．如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+＝0（OA＞OC），直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD＝（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB 的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．11．直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BO向O点移动（不考虑点E与B、O两点重合的情况），过点E作EF ∥AB，交x轴于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠后，与点A对应的点记作点C，与点B对应的点记作点D，得到四边形CDEF，设点E的运动时间为t秒．（1）画出当t＝2时，四边形ABEF沿直线EF折叠后的四边形CDEF（不写画法）；（2）在点E运动过程中，CD交x轴于点G，交y轴于点H，试探究t为何值时，△CGF 的面积为；（3）设四边形CDEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．12．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B．点C（0，t）是线段OB 上一点，作直线AC．（1）若BC＝2，求直线AC的函数解析式；（2）当1≤t≤4时，求△ABC面积的取值范围；（3）若AC平分∠OAB，记△ABC的周长为m，△AOC的周长为n，求m﹣n的值．13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OA在y轴正半轴上，且顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（1，2），直线y＝﹣x+b过点C，与x轴交于点B，与y轴交于点D．（1）B点的坐标为，D点的坐标为；（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→C的路线向点C运动，同时动点Q从点B出发，以相同速度沿BO的方向向点O运动，过点Q作QH⊥x轴，交线段BC或线段CO于点H．当点P到达点C时，点P和点Q都停止运动，在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒：①设△CPH的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．14．阅读下列两则材料，回答问题：材料一：定义直线y＝kx+b（kb≠0）与直线y＝bx+k（kb≠0）互为“对称直线”．例如，直线y＝x+2与直线y＝2x+1互为“对称直线”；直线y＝kx+b中，k称为斜率，若A（x1，y1），B（x2，y2）为直线y＝kx+b上任意两点（x1≠x2），则斜率k＝材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点（x1，y1），B（x2，y2），定义一种新的运算：L（A，B）＝x1x2+y1y2，例如：A（﹣3，1）、B（2，4），（A，B）＝﹣3×2+1×4＝﹣2（1）若点A（﹣3，1）、B（2，4）在直线y＝kx+b上，则k＝；直线y＝2x+3上的一点P（x，y）又是它的“对称直线”上的点，求点P的坐标．（2）对于直线y＝kx+b上的任意一点M（m，n），都有点N（2m，6n﹣34）在y＝kx+b 的“对称直线”上：横坐标互不相同的三个点C，D，E满足L（C，D）＝L（D，E），且D点的坐标为（2，2），过点D作DF∥y轴，交直线CE于点F，若DF＝6，请求出直线CE、直线y＝kx+b与x轴围成的三角形的面积．15．问题探究（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请你过点A作一条直线AD，其中点D为BC上一点，使直线AD平分△ABC的面积；（2）如图②，点P为▱ABCD外一点，AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，请过点P作一条直线l，使其平分▱ABCD的面积，并求出▱ABCD的面积；问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形OABC是李爷爷家一块土地的示意图，其中OA∥BC，点P处有一个休息站点（占地面积忽略不计），李爷爷打算过点P修一条笔直的小路l（路的宽度不计），使直线l将四边形OABC分成面积相等的两部分，分别用来种植不同的农作物．已知点A（8，8）、B（6，12）、P（3，6）．你认为直线1是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB ＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t＝秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．18．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，0）．动点M，N 同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒．连接MN．（1）求直线BC的解析式；（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t 值及点D的坐标；（3）当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．19．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．20．如图，等腰梯形OBCD中，DC∥OB，OD＝CB，∠DOB＝∠CBO，BD⊥OD，在平面直角坐标系中，等腰梯形OBCD的下底OB在x轴正半轴上，O为坐标原点，点B的坐标为（a，0），C、D两点落在第一象限，且BD＝2a．点P以每秒1个单位长度的速度在对角线BD上由点B向点D运动（点P不与点B、点D重合），过点P作PE⊥BD，交下底OB于点E，交腰BC（或上底CD）于点F．（1）线段BC的长是（用含a的代数式表示）；（2）已知直线PE经过点C时，直线PE的解析式为y＝2x﹣，求a的值，并直接写出点B、C、D的坐标；（3）在（2）的条件下，设动点P运动时间为t（秒），在点P运动过程中，请直接写出△BEF为等腰三角形时t的值（或取值范围），并直接写出等腰△BEF面积的最大值．参考答案1．解：（1）证明：∵A（﹣，0），则OA＝，∵∠ABO＝30°，∴OB＝＝3，∵OB＝3OC，∴OC＝1，∴点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（0，﹣1），∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝60°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB．（2）∵△ABD是由△ABC折叠得到的，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠DBC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝4，如图1，过点D作DF⊥BC于F，则BF＝2，DF＝2，∴点D的坐标为（﹣2，1），设直线BD的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将点B，D的坐标代入得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝x+3．（3）如图2，∵点E是直线BD与x轴的交点，∴令y＝x+3＝0，解得x＝﹣3，故OE＝3，而AO＝，∴AE＝EO﹣AO＝3﹣＝2，∴S△AED＝AE•y D＝×2×1＝，∵S△AOB＝AO•OB＝××3＝，∴S△AED≠S△AOB，∴嘉淇的观点错误．2．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线l的表达式为：；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝AB2＝；（3）连接BP，PO，P A，则：①若点P在第一象限时，如图1：∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得；②若点P在第四象限时，如图2：∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP＝，即，解得a＝﹣3；故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．3．解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0可得x＝2或x＝4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC，∴BC＝2，OC＝4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OD＝OC＝4，DE＝BC＝2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y＝kx+b，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+；（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y＝mx，把E点坐标代入可求得m＝，∴直线OE解析式为y＝x，令﹣x+＝x，解得x＝，∴H点到y轴的距离为，又由（1）可得F（0，），∴OF＝，∴S△OFH＝××＝；（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，∴△DFM为直角三角形，①当∠MFD＝90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，由（2）可知OF＝，OD＝4，则有△MOF∽△FOD，∴＝，即＝，解得OM＝，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），设N点坐标为（x，y），则＝，＝0，解得x＝，y＝﹣，此时N点坐标为（，﹣）；②当∠MDF＝90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，则有△FOD∽△DOM，∴＝，即＝，解得OM＝6，∴M（0，﹣6），且F（0，），∴MG＝MF＝，则OG＝OM﹣MG＝6﹣＝，∴G（0，﹣），设N点坐标为（x，y），则＝0，＝﹣，解得x＝﹣4，y＝﹣，此时N（﹣4，﹣）；③当∠FMD＝90°时，则可知M点为O点，如图3，∵四边形MFND为矩形，∴NF＝OD＝4，ND＝OF＝，可求得N（4，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．4．解：（1）作MN⊥BO，由垂径定理得：点N为OB的中点，∴MN＝OA，∵MN＝3，∴OA＝6，即A（﹣6，0），∵sin∠ABO＝，OA＝6，∴OB＝，即B（0，），设y＝kx+b，将A、B代入得：，（2）NB＝OB＝，MN＝3，tan∠BMN＝＝，则∠BMN＝30°，∴∠ABO＝60°，∴∠AMO＝120°∴阴影部分面积为．5．解：（1）由题可求A（0，6），B（﹣3，0），∴AO＝6，BO＝3，∵AO＝BC，∴BC＝6，∴CO＝BC﹣BO＝3，∴C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点C与A代入，可得，∴，∴y＝﹣2x+6；（2）过点P作PM⊥x轴交于点M，∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣2t+6），∴PM＝﹣2t+6，∴S△PBC＝BC•PM＝×6×（﹣2t+6）＝﹣6t+18，S△ABC＝BC•AO＝18，∴S＝S△ABC﹣S△PBC＝6t；（3）过点B作BF平分∠ABD，且BF＝CE，连接AF ∵∠ABD＝2∠ACE，∴∠ABF＝∠ACE∵BO＝CO，AO⊥BC，∴AB＝AC，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∵AE平分∠OAC，∴∠OAE＝∠CAE，∵∠BAO＝∠CAO，∴∠BAF＝∠F AO，过点F作FG⊥AB于点G，FK⊥AD于点K，FH⊥BD于点H，∵AF平分∠BAD，∴FG＝FK，∵BF平分∠ABD，∴FG＝FH，∴FH＝FK，∴DF平分∠ADB，∴∠BDF＝∠ADF，∵AF＝AE，∠F AD＝∠EAD，AD＝AD，∴△AFD≌△AED（SAS），∴∠ADF＝∠ADE，∴∠ADF＝∠ADE＝∠BDF＝60°，∴∠CDP＝∠CDO＝60°，过点C作CN⊥BP于点N，∵CO⊥AO，∴CN＝CO＝3，∵CA＝CL，∴△AOC≌△LNC（HL），∴NL＝AO＝6，∵tan∠NDC＝，∴＝，∴DN＝，∴DL＝6+．6．解：（1）把x＝0代入y＝kx+4，y＝4，∴OB＝4，∵△ABO的面积为8，∴＝8，∴AO＝4，∴A（﹣4，0），把x＝﹣4，y＝0代入y＝kx+4，∴k＝1；（2）把x＝t代入y＝x+4，∴P（t，t+4），如图1，过点P作PD⊥x轴，垂直为D过点C作CE⊥x轴，垂直为E；∴∠PDO＝∠CEO＝90°，∴∠POD＝∠OPD＝90°，∵线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，∴∠POC＝90°，OP＝OC，∴∠POD+∠EOC＝90°，∴∠OPD＝∠EOC，∴△OPD≌△OCE，∴OE＝PD，m＝t+4；（3）如图2，过点O作直线TO⊥AB，交直线BM于点Q，垂足为点T，连接QP，由（1）知，AO＝BO＝4，∴∠BOA＝90°，∴△ABO为直角三角形，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∠BOT＝90°﹣∠ABO＝45°＝∠ABO，∴BT＝TO，∵∠BTO＝90°，∴∠TPO+∠TOP＝90°，∵OP⊥BM，∴∠BNO＝90°，∴∠BQT＝∠TPO，∴△QTB≌△PTO，∴QT＝TP，PO＝BQ，∴∠PQT＝∠QPT，∵OP＝PK+KB，∴QB＝KP+KB，QK＝KP，∴∠KQP＝∠KPQ，∴∠PQT﹣∠KQP＝∠QPT﹣∠KPQ，∠TQB＝∠TPK，∴∠KPB＝∠BPN，设∠KPB＝x°，∴∠BPN＝x°，∵∠PMB＝2∠KPB，∴∠PMB＝2x°，∠POM＝∠P AO+∠APO＝45°+x°，∠NMO＝90°﹣∠POM＝45°﹣x°，∴∠PMO＝∠PMB+∠NMO＝45°+x°＝∠POM，∴PO＝PM，过点P作PD⊥x轴，垂直为点D，∴OM＝2OD＝2t，∴∠OPD＝90°﹣∠POD＝45°﹣x°＝∠BMO，∴tan∠OPD＝tan∠BMO，∴，，∴t＝4或t＝﹣2（舍），∴OM＝8，由（2）知：m＝t+4＝8＝OM，∴CM∥y轴，∵∠PNM＝∠POC＝90°，∴BM∥OC，∴四边形BOCM是平行四边形，∴四边形BOCM的面BO×OM＝4×8＝32；7．解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵OB＝2OA＝4，∴B（0，4），把A（﹣2，0）和B（0，4）代入y＝kx+b中得：，解得：，∴直线AB解析式为：y＝2x+4；（2）∵∠AOB＝90°，∴∠AO1B1＝90°，由平移得：OO1＝6，O1B1＝OB＝4，由勾股定理得：OB1＝＝2，即线段OB1的长是2；（3）△AOB扫过的面积＝+4×6＝28．8．解：（1）令点P的坐标为P（x0，y0）∵PM⊥y轴∴S△OPM＝OM•PM＝将代入得S△OPM＝＝﹣（x﹣2）2+∴当x0＝2时，△OPM的面积，有最大值S max＝，即：PM＝2，∴PM∥OB，∴即∵直线AB分别交两坐标轴于点A、B，∴A（0，3），B（4，0），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∴AP＝；（2）①在△BOP中，当BO＝BP时BP＝BO＝4，AP＝1∵PM∥OB，∴∴，将代入代入中，得∴P（，）；②在△BOP中，当OP＝BP时，如图，过点P作PN⊥OB于点N∵OP＝BP，∴ON＝将ON＝2代入中得，NP＝∴点P的坐标为P（2，），即：点P的坐标为（，）或（2，）．9．解：（1）在直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，则有0＝﹣x﹣，∴x＝﹣13，∴C（﹣13，0），令x＝﹣5，则有y＝﹣×（﹣5）﹣＝﹣3，∴E（﹣5，﹣3），∵点B，E关于x轴对称，∴B（﹣5，3），∵A（0，5），∴设直线AB的解析式为y＝kx+5，∴﹣5k+5＝3，∴k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+5；（2）由（1）知，E（﹣5，﹣3），∴DE＝3，∵C（﹣13，0），∴CD＝﹣5﹣（﹣13）＝8，∴S△CDE＝CD×DE＝12，由题意知，OA＝5，OD＝5，BD＝3，∴S四边形ABDO＝（BD+OA）×OD＝20，∴S＝S△CDE+S四边形ABDO＝12+20＝32，（3）由（2）知，S＝32，在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝OA×OC＝＝32.5，∴S≠S△AOC，理由：由（1）知，直线AB的解析式为y＝x+5，令y＝0，则0＝x+5，∴x＝﹣≠﹣13，∴点C不在直线AB上，即：点A，B，C不在同一条直线上，∴S△AOC≠S．10．解：（1）∵|x﹣15|+＝0，∴x＝15，y＝13，∴OA＝BC＝15，AB＝OC＝13，∴B（15，13）；（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由折叠的性质可知BD＝BC＝15，∠BDN＝∠BCN＝90°，∵tan∠CBD＝，∴＝，且BF2+DF2＝BD2＝152，解得BF＝12，DF＝9，∴CF＝OE＝15﹣12＝3，DE＝EF﹣DF＝13﹣9＝4，∵∠CND+∠CBD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，且∠ONM+∠CND＝180°，∴∠ONM＝∠CBD，∴＝，∵DE∥ON，∴＝＝，且OE＝3，∴＝，解得OM＝6，∴ON＝8，即N（0，8），把N、B的坐标代入y＝kx+b可得，解得，∴直线BN的解析式为y＝x+8；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′＝t，∴S＝NN′•OA＝15t；当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，∵NN′＝t，∴可设直线B′N′解析式为y＝x+8﹣t，令y＝0，可得x＝3t﹣24，∴OG＝3t﹣24，∵ON＝8，NN′＝t，∴ON′＝t﹣8，∴S＝S四边形BNN′B′﹣S△OGN′＝15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）＝﹣t2+39t﹣96；综上可知S与t的函数关系式为S＝．11．解：（1）如图1：（2）如图2：，由折叠的性质，得∠C＝∠A＝∠COA＝45°，AF＝BE＝CF＝t，S△CFG＝CF•FG＝t2＝，解得t＝，t＝﹣（不符合题意，舍）；（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤3时，如图2：四边形DCFE落在第一象限内的图形是△DFG，∴S＝t2，∵S＝t2，在t＞0时，S随t增大而增大，∴t＝3时，S最大＝；②当3＜t＜6时，如图3：，四边形DCFE落在第一象限内的图形是四边形CHOF，∴S四边形CHOF＝S△CGF﹣S△HGO，∴S＝t2﹣2（2t﹣6）2＝﹣t2+12t﹣18＝﹣（t﹣4）2+6，∵a＝﹣＜0，∴S有最大值，∴当t＝4时，S最大＝6，综上所述，当t＝4时，S最大值为6．12．解：（1）将A（6，0）代入y＝﹣x+b，得：0＝﹣×6+b，解得：b＝8，∴点B的坐标为（0，8）．∵BC＝2，点C在线段OB上，∴点C的坐标为（0，6）．设直线AC的函数解析式为y＝mx+n（m≠0），将点A（6，0），C（0，6）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数解析式为y＝﹣x+6；（2）∵点C的坐标为（0，t），∴OC＝t，BC＝OB﹣OC＝8﹣t，∴S△ABC＝OA•BC＝×6×（8﹣t）＝﹣3t+24．∵1≤t≤4，∴12≤﹣3t+24≤21，∴△ABC面积的取值范围是12≤S△ABC≤21；（3）在Rt△AOB中，OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝10．过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．∵AC平分∠OAB，∴CD＝CO＝t．∵∠CBD＝∠ABO，∠CDB＝∠AOB＝90°，∴△BCD～△BAO，∴＝，即＝，解得：t＝3，∴BC＝5，∴m＝AB+BC+AC＝15+AC，n＝AC+OC+OA＝AC+9，∴m﹣n＝（15+AC）﹣（AC+9）＝6．13．解：（1）∵直线y＝﹣x+b过点C（1，2）∴﹣1+b＝2∴b＝3，即直线为y＝﹣x+3当y＝0时，﹣x+3＝0，得x＝3；当x＝0时，y＝3∴B（3，0），D（0，3）故答案为：（3，0）；（0，3）．（2）①∵Rt△AOC中，∠OAC＝90°，C（1，2）∴A（0，2），OA＝2，AC＝1∵OB＝OD＝3，∠BOD＝90°∴OA+AC＝OB＝3，∠OBD＝45°∴0≤t＜3，且t≠2i）当0≤t＜2时，点P在线段OA上，点H在线段BC上，如图1∴OP＝BQ＝t∴AP＝OA﹣OP＝2﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝3﹣t∵HQ⊥x轴于点Q∴∠BQH＝90°∴△BQH是等腰直角三角形∴HQ＝BQ＝t∴HQ∥OP且HQ＝OP∴四边形OPHQ是平行四边形∴PH∥x轴，PH＝OQ＝3﹣t∴S＝S△CPH＝PH•AP＝（3﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+3ii）当2＜t＜3时，点P在线段AC上，点H在线段OC上，如图2∴CP＝OA+AC﹣t＝3﹣t，x H＝OQ＝3﹣t∵直线OC解析式为：y＝2x∴QH＝y H＝2（3﹣t）＝6﹣2t∴点H到CP的距离h＝2﹣（6﹣2t）＝2t﹣4∴S＝S△CPH＝CP•h＝（3﹣t）（2t﹣4）＝﹣t2+5t﹣6综上所述，S关于t的函数关系式为S＝②存在以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．i）当0≤t＜2时，如图3∵S△CPH＝S△QPH，两三角形有公共底边为PH∴点C和点Q到PH距离相等，即AP＝OP∴t＝2﹣t∴t＝1ii）当2＜t≤2.5时，如图4，延长QH交AC于点E∴AE＝OQ＝3﹣t，AP＝t﹣2，QH＝6﹣2t∴PE＝AE﹣AP＝（3﹣t）﹣（t﹣2）＝5﹣2t∴S△QPH＝QH•PE＝（6﹣2t）（5﹣2t）＝2t2﹣11t+15∵S△CPH＝S△QPH∴﹣t2+5t﹣6＝2t2﹣11t+15解得：t1＝3（舍去），t2＝iii）当2.5＜t＜3时，如图5，延长QH交AC于点E∴PE＝AP﹣AE＝（t﹣2）﹣（3﹣t）＝2t﹣5∴S△QPH＝QH•PE＝（6﹣2t）（2t﹣5）＝﹣2t2+11t﹣15∴﹣t2+5t﹣6＝﹣2t2+11t﹣15解得：t1＝t2＝3（舍去）综上所述，t＝1或时，以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．14．解：（1）把A（﹣3，1）、B（2，4）分别代入y＝kx+b，得．解得．∵直线y＝2x+3上的一点P（x，y）又是它的“对称直线”上的点，∴点P（x，y）是直线y＝2x+3与直线y＝3x+2的交点．∴．解得．∴P（1，5）故答案是：；（2）∵点M（m，n）是直线y＝kx+b上的任意一点，∴km+b＝n①，∵点N（2m，6n﹣34）在y＝kx+b的“对称直线”上，即N（2m，6n﹣34）在直线y＝bx+k上∴2bm+k＝6n﹣34②，将①代入②得，2bm+k＝6km+6b﹣34，整理得：（2b﹣6k）m＝6b﹣k﹣34，∵对于任意一点M（m，n）等式均成立，∴，解得，∴y＝2x+6．∴B（﹣3，0）．设点C，E的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），∵L（C，D）＝L（D，E），且D点的坐标为（2，2），∴2x1+2y1＝2x2+2y2，即x1+y1＝x2+y2，由材料一可知：直线CE的斜率为k CE＝﹣1，故设直线CE的解析式为：y＝﹣x+d（c≠0）∵DF＝6，DF∥y轴，∴F（2，﹣4）．∴﹣2+d＝﹣4．则d＝﹣2．故直线CE的解析式是：y＝﹣x﹣2．易得A（﹣2，0）．由得到：，即G（﹣，）．∴S△ABG＝AB•|y G|＝×1×＝；同理，当直线C′E′的解析式为：y＝﹣x+10时，B′（12，0），G′（，），此时S△AB′F＝AB′•|y G|＝×13×＝；综上所述，直线CE、直线y＝kx+b与x轴围成的三角形的面积是或．15．解：（1）如图1，点D为BC的中点，作直线AD，直线AD则平分△ABC的面积；（2）如图2，连接AC、BD，AC与BD交于点O，则点O为平行四边形ABCD的对称中心，作直线OP，直线OP即为所求；如图3，过A作AE⊥BC于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝＝＝3，∵BC＝12，∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×3＝36；（3）∵A（8，8），∴直线OA的解析式为：y＝x，过点B作BD⊥x轴于点D，交AO于E，连接OB，则E（6，6），∵B（6，12），点P（3，6），∴点P为线段OB的中点．∵OA∥BC，BE∥OC，∴四边形OEBC是平行四边形．∴点P是平行四边形OEBC的对称中心，∴过点P的直线平分平行四边形OEBC．∴过点P的直线PF只要平分△BEA的面积即可．设直线PF的表达式为y＝kx+b，且过点P（3，6），∴3k+b＝6，即b＝6﹣3k，∴y＝kx+6﹣3k．设直线AB的表达式为y＝mx+n，且过点B（6，12），A（8，8），则，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣2x+24．∴，解得：x＝，∴F的横坐标为，把x＝6代入y＝kx+6﹣3k得y＝3k+6，∴G（6，3k+6）同理得直线AP的解析式为y＝x+，当x＝6时，y＝，∴＜3k+6＜12，解得＜k＜2，∵S△BFG＝BG•（F x﹣6）＝（12﹣3k﹣6）（﹣6）＝（8﹣6）（12﹣6），解得k＝或k＝4（舍去），∴直线l的表达式为y＝x+4．16．解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S△BCD＝BF（x C﹣x D）＝＝4；（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．17．解：（1）令y＝0，∴﹣x+4＝0，∴x＝6，∴A（6，0），当t＝秒时，AP＝3×＝1，∴OP＝OA﹣AP＝5，∴P（5，0），故答案为（4，0）；（2）当点Q在原点O时，OA＝6，∴AP＝OA＝3，∴t＝3÷3＝1，①当0＜t≤1时，如图1，令x＝0，∴y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵A（6，0），∴OA＝6，在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，由运动知，AP＝3t，∴P（6﹣3t，0），∴Q（6﹣6t，0），∴PQ＝AP＝3t，∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥OA，PN＝PQ＝3t，在Rt△APD中，tan∠OAB＝＝＝，∴PD＝2t，∴DN＝t，∵MN∥OA∴∠DCN＝∠OAB，∴tan∠DCN＝＝＝，∴CN＝t，∴S＝S正方形PQMN﹣S△CDN＝（3t）2﹣t×t＝t2；②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN＝t，CN＝t，∴S＝S矩形OENP﹣S△CDN＝3t×（6﹣3t）﹣t×t＝﹣t2+18t；③当＜t≤2时，如图3，S＝S梯形OBDP＝（2t+4）（6﹣3t）＝﹣3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（6﹣3t，0），Q（6﹣6t，0），∴M（6﹣6t，3t），∵T是正方形PQMN的对角线交点，∴T（6﹣t，t），∴点T是直线y＝﹣x+2上的一段线段，（﹣3≤x＜6），∵A（6，0）∴点N是直线AG：y＝﹣x+6上的一段线段，（0≤x≤6），∴G（0，6），∴OG＝6，∵A（6，0），∴AG＝6，在Rt△AOG中，OA＝6＝OG，∴∠OAG＝45°，∵PN⊥x轴，∴∠APN＝90°，∴∠ANP＝45°，∴∠TNA＝90°，即：TN⊥AG，∵T正方形PQMN的对角线的交点，∴TN＝TP，∴OT+TP＝OT+TN，∴点O，T，N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且ON⊥AG时，OT+TN最小，即：OT+TN最小，∵S△OAG＝OA×OG＝AG×ON，∴ON＝＝3．即：OT+PT的最小值为3．18．解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+4．（2）如图，连接AD交MN于点O′．由题意：四边形AMDN是菱形，M（3﹣t，0），N（3﹣t，t），∴O′（3﹣t，t），D（3﹣t，t），∵点D在BC上，∴t＝×（3﹣t）+4，解得t＝．∴t＝s时，点A恰好落在BC边上点D处，此时D（﹣，）．（3）如图2中，当0＜t≤5时，△ABC在直线MN右侧部分是△AMN，S＝•t•t＝t2．如图3中，当5＜t≤6时，△ABC在直线MN右侧部分是四边形ABNM．S＝×6×4﹣×（6﹣t）•[4﹣（t﹣5）]＝﹣t2+t﹣12．19．解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝＝，∴k＝．（2）如图，∵tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP＝2t，当0＜t＜时，S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．当t＞时，S＝OQ•P y＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），∴2t﹣1+2＝（﹣），∴2t+1＝•，∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，∴3t2﹣11t+6＝0，解得t＝3或（舍弃），∴P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．20．解：（1）如图1中，∵BD⊥OD，∴∠BDO＝90°，∵BD＝2a，AB＝a，∴OD＝＝a，∵四边形ODCB是等腰梯形，∴BD＝OD＝a．故答案为a．（2）如图2中，作DM⊥OB于M，CN⊥OB于N．∵∠DOB＝∠CBO，BC＝a，∴sin∠CBO＝sin∠DOB＝＝a＝，∴CN＝a，BN＝＝a，∴ON＝OB﹣BN＝a，∴C（a，a），∵直线y＝2x﹣经过点C，∴a＝a﹣，∴a＝1．∴B（，0），C（，），D（，）．（3）如图3﹣1中，当点F在线段BC上时，∵EF⊥BD，OD⊥BD，∴EF∥OD，∴∠FEB＝∠DOB，∵∠DOB＝∠CBO，∴FEB＝∠FBE，∴FE＝FB，∴△FEB是等腰三角形，如图2中，当直线EF经过点C时，E（，0），此时EB＝，∴PB＝EB•cos∠EBP＝•＝，共线图形可知当0＜t≤时，△BFE是等腰三角形．如图3﹣2中，当点F在线段CD上，EF＝BE时，1＝t，∴t＝．如图3﹣3中，当点F在线段CD上，BF＝BE时，易证：PE＝PF，∴t＝，∴t＝1，综上所述，t的值为0＜t≤或或1时，△BEF是等腰三角形．当t＝1时，△BEF的面积最大，最大值＝××＝．。
一次函数与平四行四边形习题附答案
一次函数与平四学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．周末，小明骑自行车从家里出发去游玩．从家出发1小时后到达迪诺水镇，游玩一段时间后按原速前往万达广场．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往万达广场．妈妈出发25分钟时，恰好在万达广场门口追上小明．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，则下列说法中正确的是（）A．小明在迪诺水镇游玩1h后，经过512h到达万达广场B．小明的速度是20km/h，妈妈的速度是60km/h C．万达广场离小明家26kmD．点C的坐标为（2912，25）【答案】B【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，小明在迪诺水镇游玩1h后，经过25501-2160604h⎛⎫-=⎪⎝⎭到达万达广场，故选项A错误；小明的速度为20÷1＝20（km/h），妈妈的速度是（20＋20×14）÷2560＝60（km/h），故选项B正确；万达广场离小明家20＋20×14＝20＋5＝25（km），故选项C错误；点C的坐标为（94，25），故选项D错误；【点睛】本题考查函数图像，掌握函数图像的特征，仔细阅读图像，从中找到需要的信息是解题关键．2．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．22y x =+D ．22y x =-【答案】A【解析】【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将直线y =2x -3向右平移2个单位后所得函数解析式为y =2(x -2)-3=2x -7，由“上加下减”原则可知，将直线y =2x -7向上平移3个单位后所得函数解析式为 y =2x -7+3=2x -4，故选A ．【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 3．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠BCDB ．AB ＝BC C ．AB ＝CD ，AD ＝BCD ．∠DAB +∠BCD ＝180°【答案】D【解析】【分析】 首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD 为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．解:四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，//AB CD ∴，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则AE AF =（两纸条相同，纸条宽度相同）； 平行四边形ABCD 中，∆∆=ABC ACD S S ，即⨯=⨯BC AE CD AF ，BC CD ∴=，即AB BC =．故B 正确；∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．ABC ADC ∠=∠∴，BAD BCD ∠=∠（菱形的对角相等），故A 正确；AB CD =，AD BC =（平行四边形的对边相等），故C 正确；如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确．故选D ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．4．点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式3a b -的值等于（ ）A ．5B ．3C ．2-D ．1-【答案】C【解析】【分析】把点P 的坐标代入一次函数解析式，得出3a −b ＝−2，即可．【详解】解：∵点P （a ，b ）在函数y ＝3x ＋2的图象上，∴b ＝3a ＋2，则3a −b ＝−2．故选：C ．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式．5．正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y=x-k 的图像大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而增大，得0k >；在结合一次函数y=x-k 的性质分析，即可得到答案．【详解】∵正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而增大∴0k >∴当0x =时，一次函数0y x k k =-=-<∵一次函数y=x-k 的函数值y 随x 的增大而增大∴选项B 图像正确故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、正比例函数的性质，从而完成求解．6．如图，在▱ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD =8，BE =3，则▱ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．14C ．26D ．24【答案】C【解析】【分析】由AD ∥BC 可知∠ADE =∠DEC ，根据∠ADE =∠EDC 得∠DEC =∠EDC ，所以DC =EC =5，根据AB =CD ，AD =BC 即可求出周长．【详解】∵AD ∥BC ，∴∠ADE =∠DEC ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE =∠EDC ，∴CE =CD =8-3=5，∴▱ABCD 的周长是（8+5）⨯2=26，故选C ．【点睛】本题考查平行四边形性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．7．若直线1l 经过点()0,4，2l 经过点()3,2，且1l 与2l 关于x 轴对称，则1l 与2l 的交点坐标为（ ）A ．()2,0-B ．()2,0C ．()6,0-D ．()6,0 【答案】B【解析】【分析】设1l 的解析式为y kx b =+，根据两直线关于x 轴对称，则它们图象上的点也关于x 轴对称，利用待定系数法求出直线解析式，再求出交点坐标．【详解】解：设1l 的解析式为y kx b =+，∵直线1l 经过点()0,4，2l 经过点()3,2，且1l 与2l 关于x 轴对称，∴两条直线的交点在x 轴上且直线1l 经过点()3,2-，2l 经过点()0,4-，把点()0,4和()3,2-代入直线1l 的解析式y kx b =+中，则4342b k =⎧⎨+=-⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩， 故直线1l 的解析式为24y x =-+，∵1l 与2l 的交点坐标为1l ，2l 与x 轴的交点，∴当0y =时，2x =，即1l 与2l 的交点坐标为()2,0．故选B ．【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是掌握两直线交点坐标的求解方法，以及理解它们的对称关系．8．已知一次函数y=﹣2x +3，当0≤x ≤5时，函数y 的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．﹣3D ．﹣7【答案】B【解析】【详解】【分析】由于一次函数y=-2x+3中k=-2＜0由此可以确定y 随x 的变化而变化的情况，即确定函数的增减性，然后利用解析式即可求出自变量在0≤x≤5范围内函数值的最大值．【详解】∵一次函数y=﹣2x+3中k=﹣2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴在0≤x≤5范围内，x=0时，函数值最大﹣2×0+3=3，故选B ．【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b 的图象的性质：①k ＞0，y 随x 的增大而增大；②k ＜0，y 随x 的增大而减小．二、填空题9．正比例函数(0)y kx k =≠经过点(1,3)，则k =__________．【答案】3【解析】【分析】把(1,3)代入(0)y kx k =≠，利用待定系数法求解k 即可得到答案．【详解】解：把(1,3)代入(0)y kx k =≠，3,k ∴=故答案为：3.【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．10．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，AC ⊥BC ．则BD ＝_____．【答案】13【解析】【分析】由BC ⊥AC ，AB ＝10，BC ＝AD ＝6，由勾股定理求得AC 的长，得出OA 长，然后由勾股定理求得OB 的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝6，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∵AC ⊥BC ，∴AC 22AB BC -8，∴OC ＝4，∴OB 22OC BC +13∴BD ＝2OB ＝13故答案为：413【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．如图，在ABC∆中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中BC=，则CD的长为_________．点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D，若4【答案】2【解析】【分析】BC=2，MN//BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），依据三角形中位线定理，即可得到MN=12即可得到CD=MN=2．【详解】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，BC=2，MN∥BC，∴MN=12∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，∵点E是CN的中点，∴NE=CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD=MN=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．12．小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是_____．（填序号）【答案】④【解析】【分析】根据题意小明是在上学的路上，可得离学校的距离越来越近，根据开始是步行，可得距离变化慢，后来是坐车，可得距离变化快，根据速度和距离的变化情况即可解题．【详解】①距离越来越远，选项错误；②距离越来越近，但是速度前后变化快慢一样，选项错误；③距离越来越远，选项错误；④距离越来越近，且速度是先变化慢，后变化快，选项正确；故答案为：④．【点睛】本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．13．如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)A B -，在x 轴上取两点C ，D （点C 在点D 左侧），且始终保持1CD =，线段CD 在x 轴上平移，当AD BC +的值最小时，点C 的坐标为________．【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B 关于x 轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x 轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC 最小时的情形．14．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是_____．【答案】18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC=2DE=5，AC∥DE，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AC∥DE，∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC=BD，∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，故答案为18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题15．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F．求证：OE=OF．【答案】证明见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD ∥BC ，OA =OC ，继而可利用ASA 判定△AOE ≌△COF ，继而证得OE =OF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠OAE =∠OCF ，在△AOE 和△COF 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE =OF ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点E F 、，点E 的坐标为（﹣8，0），点A 的坐标为（﹣6，0），点()P x y ，是第二象限内的直线上的一个动点，（1）求k 的值；（2）在点P 的运动过程中，写出OPA ∆的面积S 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当P 运动到什么位置（求P 的坐标）时，OPA ∆的面积为278，并说明理由．【答案】（1）k=34；（2）S=94x+18（-8＜x＜0）；（3）当P运动到139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA∆的面积为278．【解析】【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把E点坐标代入y=kx+6即可计算出k的值；（2）由于P点在直线y=34x+6，则可设P点坐标为（x，34x+6），根据三角形面积公式得到S与x的关系式，结合点P的位置即可写出自变量x的取值范围；（3）将S=278代入（2）中的解析式，解方程求得x的值，继而求得P点坐标即可．【详解】（1）把E（-8，0）代入y=kx+6得-8k+6=0，解得k=34；（2）∵点A的坐标为（﹣6，0），∴OA=6，∵直线EF的解析式为y=34x+6，点()P x y，是第二象限内的直线EF上的一个动点，∴设P点坐标为（x，34x+6），∴S=12×6（34x+6）=94x+18（-8＜x＜0）；（3）当S=278时，则94x+18=278，解得x=-132，所以y=313642⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭=98，所以点P坐标为139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭，即当P运动到139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA∆的面积为278．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，正确理解题意，弄清各量间的关系是解题的关键．17．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）【答案】（1）甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元；（2）共有如下三种方案：方案1、A产品22个，B产品38个，方案2、A产品21个，B产品39个，方案3、A 产品20个，B产品40个；（3）生产A产品22件，B产品38件成本最低．【解析】【分析】（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，根据题意列出方程，解方程即可；（2）设生产B产品a件，生产A产品(60)a-件．根据题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果；（3）设生产成本为W元，根据题意得出W是a的一次函数，即可得出结果．【详解】解：（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意得：6023155x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：2535xy=⎧⎨=⎩；答：甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元．（2）设生产B产品a件，生产A产品(60)a-件．依题意得：(254351)(60)(253353)9900 38a aa⨯+⨯-+⨯+⨯⎧⎨⎩解得：3840a；a的值为非负整数，∴a=38、39、40；答：共有如下三种方案：方案1、A产品22个，B产品38个，方案2、A产品21个，B产品39个，方案3、A产品20个，B产品40个；（3）生产A产品22件，B产品38件成本最低．理由如下：设生产成本为W元，则W与a的关系式为：=⨯+⨯+-+⨯+⨯+=+，(25435140)(60)(35325350)5510500W a a a即W是a的一次函数，550k=>，∴随a增大而增大，W∴当38a=时，总成本最低；即生产A产品22件，B产品38件成本最低．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用；根据题意中的数量关系列出方程组、不等式组、一次函数关系式是解决问题的关键．18．剧院举行新年专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会．（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别表示这两种方案；（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．【答案】（1）y1＝5x＋60；y2＝4.5x＋72；（2）当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多；4≤x＜24时，优惠方案1付款较少；x＞24时，优惠方案2付款较少【解析】【分析】（1）首先根据优惠方案①：付款总金额＝购买成人票金额＋除去4人后的学生票金额；优惠方案②：付款总金额＝（购买成人票金额＋购买学生票金额）×打折率，列出y关于x的函数关系式，（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论．【详解】（1）按优惠方案1可得：y1＝20×4＋（x－4）×5＝5x＋60，按优惠方案2可得：y2＝（5x＋20×4）×90%＝4.5x＋72，（2）y1－y2＝0.5x－12（x≥4），①当y1－y2＝0时，得0.5x－12＝0，解得x＝24，∴当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多；②当y1－y2＜0时，得0.5x－12＜0，解得x＜24，∴4≤x＜24时，y1＜y2，优惠方案1付款较少．③当y1－y2＞0时，得0.5x－12＞0，解得x＞24，∴当x＞24时，y1＞y2，优惠方案2付款较少．【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．19．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上．甲、乙两人从景点A出发，甲步行到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达景点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数图象如图所示．(1)分别求出甲、乙两人步行的速度；(2)分别求出甲从景点A出发步行到景点C和乙乘观光车时y与时间x之间的函数关系式；(3)问乙出发多长时间与甲在途中相遇．【答案】(1)60米/分，80米/分(2)y=60x（0≤x≤90），y=300x-6000（20≤x≤30）(3)乙出发5分钟或30分钟时与甲在途中相遇【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两人步行的速度；（2）根据函数图象中的数据，可以分别计算出甲从景点A出发步行到景点C和乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式；（3）根据题意和（2）中的关系式，可以得到乙出发多长时间与甲在途中相遇．【小题1】解：由图象可得，甲步行的速度为：5400÷90=60（米/分），乙步行的速度为：（5400-3000）÷（90-60）=80（米/分），即甲、乙两人步行的速度分别为60米/分，80米/分；【小题2】设甲从景点A 出发步行到景点C 时y 与x 之间的函数关系式为y =kx ，5400=90k ，解得k =60，即甲从景点A 出发步行到景点C 时y 与x 之间的函数关系式为y =60x （0≤x ≤90）， 设乙乘景区观光车时y 与x 之间的函数关系式y =ax +b ，200303000a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：3006000a b =⎧⎨=-⎩， 即乙乘景区观光车时y 与x 之间的函数关系式y =300x -6000（20≤x ≤30）；【小题3】由603006000y x y x =⎧⎨=-⎩，解得：251500x y =⎧⎨=⎩， 即乙出发25-20=5分钟与甲第一次相遇；令60x =3000，解得x =50，即乙出发50-20=30分钟与甲第二次相遇；由上可得，乙出发5分钟或30分钟时与甲在途中相遇．【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．20．如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边CB 、AD 的延长线上，且BE ＝DF ，EF 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，求证：AG ＝CH.【答案】证明见解析.【解析】【详解】【分析】根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，AD=BC ，∠A=∠C ，根据平行线的性质得∠E=∠F ，再结合已知条件可得AF=CE ，根据ASA 得△CEH ≌△AFG ，根据全等三角形对应边相等得证.【详解】∵在四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∠A=∠C ，∴∠E=∠F ，又∵BE ＝DF ，∴AD+DF=CB+BE ，即AF=CE ，在△CEH 和△AFG 中，E F EC FA C A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEH ≌△AFG ，∴CH=AG.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.21．某市计划对道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度比乙工程队每天维护道路的长度多50%，甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天．(1)求甲、乙两工程队每天维护道路的长度是多少千米？(2)若某市计划对200千米的道路进行维护，每天需付给甲工程队的费用为25万元，每天需付给乙工程队的费用为15万元，考虑到要不超过26天完成整个工程，因工程的需要，两队均需参与，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成．问乙工程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？【答案】(1)甲工程队每天维护道路的长度是6千米，乙工程队每天维护道路的长度是4千米(2)当乙工程队先单独做10天时，该市需付的整个工程费用最低，最低费用是790万元【解析】【分析】（1）设乙工程队每天维护道路的长度是x 千米，则甲工程队每天维护道路的长度是(150%)x+千米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设乙工程队先单独做m天，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合要不超过26天完成整个工程，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设所需工程费用为w万元，根据总费用=每天付给乙工程队的费用⨯乙工程队先单独工作的时间+每天付给两工程队的费用之和⨯两队合作的时间，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．(1)解：设乙工程队每天维护道路的长度是x千米，则甲工程队每天维护道路的长度是(150%)x+千米，依题意得：24301(150%)x x-=+，解得：4x=，经检验，4x=是原方程的解，且符合题意，(150%)6x∴+=．答：甲工程队每天维护道路的长度是6千米，乙工程队每天维护道路的长度是4千米．(2)解：设乙工程队先单独做m天，依题意得：20042646mm-++，解得：10m．设所需工程费用为w万元，则200415(2515)80046mw m m-=++⨯=-++，10-<，w∴随m的增大而减小，∴当10m=时，w取最小值，最小值110800790=-⨯+=．答：当乙工程队先单独做10天时，该市需付的整个工程费用最低，最低费用是790万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．22．已知函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A (﹣2，1)，点 B (1，52)． （1）求直线AB 的解析式；（2）若在x 轴上存在点C ，使S △ACO ＝12S △ABO ，求出点C 坐标．【答案】（1）122y x =+；（2）点C 的坐标为（3，0）或（-3，0） 【解析】【分析】（1）根据点A 、B 的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，根据ABO ADO BEO ADEB S S S S =--△△△梯形求出3ABO S =△，从而得到131222ACO ABO A S S OC y ===⋅△△，由此即可得到答案． 【详解】（1）∵一次函数y =kx +b 的图象经过点A （-2，1）、点B （1，52）． ∴2152k b k b -+⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝， ∴122k b ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴一次函数的解析式为122y x =+； （2）如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∵A （-2，1）、点B （1，52）， ∴1AD =，52BE =，2OD =，1OE =， ∴3DE OD OE =+=，∴ABO ADO BEO ADEB S S S S =--△△△梯形11=222AD BE DE AD OD BE OE +⋅-⋅-⋅ 511152=31212222+⨯-⨯⨯-⨯⨯ =3， ∴131222ACO ABO A S S OC y ===⋅△△ ∴3OC =，∴点C 的坐标为（3，0）或（-3，0）．【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．23．已知y 与2x +成正比，当4x =时，4y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若点(3)a ，在这个函数图象上，求a 的值． 【答案】(1)()224 y x 2x 333=+=+;(2)a=2.5. 【解析】【分析】()1首先设()2y k x =+，再把4x =，4y =代入所设的关系式，即可算出k 的值，进而得到y 与x 之间的函数关系式；()2把(),3a 代入()1中所求的关系式即可得到a 的值．【详解】解：()1设 ()y k x 2=+，当x 4=时，y 4=，()k 424∴+=，2k 3∴=， y ∴与x 之间的函数关系式为()224y x 2x 333=+=+； ()2点()a,3在这个函数图象上，24a 333∴+=，∴=．a 2.5【点睛】考查了求一次函数关系式，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式．24．在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．【答案】（1）1CE=；（2）见详解．【解析】【分析】（1）由题意，先证明△BDE是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理，即可求出答案；（2）在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，然后根据全等三角形的判定和性质，得到AM=BF，即可得到答案．【详解】解：（1）如图，点B、G、D在同一直线上，∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，∴∠CBD=45°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD=45°，∴∠BDE =∠ADB =45°，∴∠BED =180454590︒-︒-︒=︒，∴三角形BDE 是等腰直角三角形，90CED ∠=︒，在平行四边形ABCD 中，则BD=DG ，∴线段EG 是等腰直角三角形BDE 的中线，∴EG ⊥BD ，∵2EG =， ∴222DE EG ==，在直角三角形CDE 中，由勾股定理得22223(22)1CE CD DE =-=-=；（2）如图，在AD 上取一点M ，使得DM=DE ，连接MG ，在△DMG 和△DEG 中，有DM DE MDG EDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG ≌△DEG ，∴∠DMG =∠DEG =∠BCD ，∵∠BCD =∠BAD ，∴∠DMG=∠BAD ，∴MG ∥AB ，∴∠BAF =∠AGM ，∵AG ＝AB ，∴∠AGB =∠ABG ，∵∠ABG=∠ABF +∠FBG ，∠AGB =∠GBC +∠BCG ，又∵∠FBG =∠GBC ，∴∠ABF =∠BCG ，∵AD ∥BC ，∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，在△AMG和△BF A中，有∴BAF AGMAB AGMAG ABF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMG≌△BF A，∴AM=BF，∴AD=AM+MD=BF+DE．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等三角形进行证明．。
一次函数与面积问题
一次函数常与三角形或四边形的面积相结合进行考查，两种类型的题目比较常见：（1）由函数图像求面积；（2）由面积求点坐标。
遇到第一种类型题目时，找准三角形的底和高是解题的关键，特别是遇到钝角三角形。
如果无法直接求解，可以利用割补法、铅锤法等方法进行转化。
遇到第二种类型题目时，要特别注意，很容易出错，不要忘记使用绝对值。
01类型一：由函数图像求图形面积例题1：如图，直线l1：y=-3x+3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（3，-1.5），并与直线l2交于点D．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ABD的面积.分析：求l2的函数解析式，利用待定系数法，已知点B（4，0）、点C （3，-1.5），代入解析式中求出K、b得值即可得到一次函数解析式。
求△ABD的面积，三角形有一边在x轴上，求三角形的面积可直接利用三角形的面积公式，选择x轴上的线段AB为底，那么点D纵坐标的绝对值即为三角形的高，因此需要求出点B坐标。
点B是两直线的交点，联立方程组即可求得点B坐标。
本题主要是有函数图像求得三角形的面积，属于基础题。
02类型二：由面积求点坐标例题2：如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC 的面积是△OAC的面积的14？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）由点C和点A的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求△AOC的面积，由题可知该三角形可选OC作为底，点A的横坐标的绝对值即为该三角形的高，点A与点C坐标已知，可通过三角形的面积公式直接求出。
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的1/4时，根据面积公式即可求得M的横坐标的绝对值，然后代入解析式即可求得M的坐标．由面积求点坐标时，一定要注意绝对值的使用，注意分情况进行讨论。
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与*轴交于点B〔-6，0〕，交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=*+3的图像与*轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两局部，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=*+n的图像，直线PB是一次函数y=-2*+m〔m>n>0〕的图像，〔1〕用m、n表示A、B、P的坐标〔2〕四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O〔0，0〕、A〔2，1〕、B〔10，1〕，直线CD⊥*轴且△AOB面积二等分，假设D〔m，0〕，求m的值5、点B在直线y=-*+1上，且点B在第四象限，点A〔2，0〕、O〔0，0〕，△ABO的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-*+1与*轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P〔a，〕在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值.7、如图，两直线y=0.5*+2.5和y=-*+1分别与*轴交于A、B两点，这两直线的交点为P〔1〕求点P的坐标〔2〕求△PAB的面积8、直线y=a*+b〔b>0〕与y轴交于点N，与*轴交于点A且与直线y=k*交于点M 〔2，3〕，如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求〔1〕这两条直线的函数关系式〔2〕它们与*轴围成的三角形面积9、两条直线y=2*-3和y=5-*〔1〕求出它们的交点A的坐标〔2〕求出这两条直线与*轴围成的三角形的面积10、直线y=*+3的图像与*轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB 交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两局部，求直线l的解析式。
11、直线y=2*+3与直线y=-2*-1与y轴分别交于点A、B〔1〕求两直线交点C的坐标〔2〕求△ABC的面积〔3〕在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，假设不能请说明理由。
中考复习函数专题10 一次函数中的四边形问题(老师版)
专题10 一次函数中的四边形问题知识对接考点一、怎样解一次函数中的四边形问题1、四边形面积常转化为若干个三角形面积之和（或差）．2、画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。
3、规则图形（公式法）； 不规则图形（切割法）不含参数问题 ；含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段）注意：坐标的正负、线段的非负性。
求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。
专项训练一、单选题1．如图在平面直角坐标系中，直线y kx k =+与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，将线段AB 沿某个方向平移，点A 、B 对应的点M 、N 恰好在直线22y x =-和直线2x =上，则当四边形AMNB 为菱形时N 点坐标为（ ）A ．()2,1B ．()2,2C ．()2,3D ．()2,4【答案】A 【分析】求出A (0，k )和B (-1，0)，B 的对应点N 的横坐标为2，由此知道往右平移了3个单位，得到A 的对应点M 的横坐标为3，将M 点横坐标代入22y x =-中即可求出M 坐标，进而求解． 【详解】解：令y kx k =+中y =0，得到B (-1，0)，令x =0，得到A (0，k )， ∵B 的对应点N 在2x =上，∵N 点横坐标为2，故AB 往右平移了3个单位， ∵M 点横坐标为3，将x =3代入22y x =-中， 解得y =4，故M 点的坐标为(3，4)， 又四边形AMNB 为菱形， ∵AB ²=AM ²，∵1+k ²=3²+(4-k )²，解得k =3， ∵A (0,3)，即AB 往右平移3个单位，往上平移了1个单位， 故N 坐标为(2，1)， 故选：A ． 【点睛】本题考查了一次函数的平移、菱形的性质等知识点，属于基础题，计算过程中细心即可． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，//AB x 轴，点B 的坐标为()4,1，60BAD ∠=︒，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形ABCD 的两边分别交于点M ，N （点N 在点M 的上方），连接OM ，ON ，若OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（06t ≤≤），则S 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】当直线l 从A 开始运动，MN 逐渐增大，到经过点MN 达到最大值，此时AM =2,故运动时间为2，此时02t ≤≤; 当直线l 从D 开始运动，MN 保持不变，到经过点B ，此时AB =4，故运动时间为2,此时2<4t ≤;当直线l 从经过B 的位置向右开始运动，MN 开始减小，到经过点C ，MN 为0，此时BG =2，故运动时间为2，此时4<6t ≤三种情形，确定面积S 与t 的函数关系式，根据关系式确定图像即可． 【详解】解：由题意知AB =AD =CD =BC =4， ∵∵BAD =60°，∵当直线l 经过点D 时，运动时间为2， ∵C 的横坐标为6， 如图1，当02t ≤≤时，//l y 轴,AMN OMN S S S ∆∆∴== ,60,AM t BAD ︒=∠=,MN ∴=21;2S t ∴=⨯=图像是经过原点，开口向_上的- -段抛物线; 如图2，当2<4t ≤时，MN 是定长，4,60,AD BAD ︒=∠=MN ∴=1;2S t =⨯⨯∴图像是经过原点，正比例函数上的一段；2y x =的比例系数2 ∵面积线段的倾斜度要比2y x =的陡； 如图3，当4<6t ≤时，4,60,BC CBG ︒=∠=2,C G G B ∴==(4,1),(6,1),C B ∴41,61k b k b +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩解得1k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∵直线的解析式为1y =+-∵N 坐标为(,1),t M 坐标为(1t +-11MN ∴=-+-=+1(2S t ∴=⨯⨯+;=图像是开口向下的一段抛物线; 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形11112222333,,OA B C A A B C A A B C ，…都是菱形，点123,,A A A …都在x 轴上，点123,,C C C ，…都在直线y x =11212323160,1C OA C A A C A A OA ∠=∠=∠==︒=，则点n C 的横坐标是（ ）A ．2321n -⨯-B ．2321n -⨯+C ．1321n -⨯-D ．1321n -⨯+【答案】A 【分析】分别过点123,,,...C C C 作x 轴的垂线，交于123,,,...D D D ，再连接112233,,,...C D C D C D，利用勾股定理及根据菱形的边长求得1A 、2A 、3A ⋯的坐标然后分别表示出1C 、2C 、3C ⋯的坐标找出规律进而求得n C 的坐标． 【详解】。
一次函数与四边形面积问题例题
一次函数与四边形面积问题例题摘要：I.引言- 介绍一次函数和四边形面积问题- 提出本文的目标和结构II.一次函数的基本概念- 定义一次函数- 一次函数的图像和性质III.四边形面积问题的背景- 四边形面积问题的提出- 四边形面积问题的解决方法IV.一次函数与四边形面积问题的联系- 一次函数与四边形面积问题的关系- 一次函数在解决四边形面积问题中的应用V.例题解析- 例题1：使用一次函数解决四边形面积问题- 例题2：一次函数与四边形面积问题的综合应用VI.结论- 总结一次函数和四边形面积问题的关系- 提出未来研究方向和展望正文：I.引言一次函数是数学中的基础概念之一，它广泛应用于各种实际问题中。
四边形面积问题是几何中的常见问题，它涉及到四边形的面积计算。
本文将介绍一次函数和四边形面积问题的基本概念，探讨它们之间的联系，并通过例题解析来阐述一次函数在解决四边形面积问题中的应用。
II.一次函数的基本概念一次函数是形如y = kx + b 的函数，其中k 和b 是常数，x 是自变量。
一次函数的图像是一条直线，它具有以下性质：1.一次函数的图像是一条直线，其斜率等于k，截距等于b。
2.一次函数的值随着自变量x 的增大而增大或减小，具体取决于k 的正负性。
3.一次函数的图像可以通过平移来改变，平移量等于b 的绝对值。
III.四边形面积问题的背景在几何中，四边形面积问题是常见的问题之一。
给定一个四边形，如何计算它的面积？解决这个问题需要先确定四边形的边界，然后计算其面积。
四边形面积问题的解决方法有多种，如分割成三角形、使用向量等。
IV.一次函数与四边形面积问题的联系一次函数与四边形面积问题之间存在密切的联系。
在解决四边形面积问题时，我们可以通过一次函数来计算四边形的面积。
具体来说，我们可以将四边形分割成多个小三角形，然后计算这些小三角形的面积。
由于一次函数的性质，我们可以通过计算一次函数与四边形边界的交点来确定这些小三角形的面积。
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一次函数与四边形面积问题例题
摘要：
一、一次函数与四边形面积问题简介
1.一次函数的定义和性质
2.四边形面积问题的常见类型
二、一次函数与四边形面积问题的解题方法
1.利用一次函数性质解四边形面积问题
2.利用四边形面积公式解一次函数问题
3.一次函数与四边形面积问题的综合解法
三、一次函数与四边形面积问题的例题解析
1.例题一：利用一次函数性质解四边形面积问题
2.例题二：利用四边形面积公式解一次函数问题
3.例题三：一次函数与四边形面积问题的综合解法
四、总结与展望
1.一次函数与四边形面积问题的解题技巧总结
2.提高解题能力的建议和展望
正文：
一次函数与四边形面积问题是数学中常见的题目类型，涉及到函数、几何等多个知识点，具有一定的难度。
本文将对一次函数与四边形面积问题进行详细的解析，并提供解题方法和例题解析。
一、一次函数与四边形面积问题简介
一次函数是数学中一种基本的函数类型，通常表示为y = kx + b 的形式，其中k 和b 是常数。
四边形面积问题是几何中的常见问题，涉及到四边形的面积计算。
一次函数与四边形面积问题就是将这两者结合起来，需要运用一次函数的性质和四边形面积公式进行求解。
二、一次函数与四边形面积问题的解题方法
1.利用一次函数性质解四边形面积问题
在解决一次函数与四边形面积问题时，可以先根据题目条件求出一次函数的解析式，然后利用一次函数的性质，如函数图像的斜率、截距等，推导出四边形的面积。
2.利用四边形面积公式解一次函数问题
在解决一次函数与四边形面积问题时，也可以先根据题目条件求出四边形的面积，然后利用四边形面积公式，结合一次函数的性质，求解一次函数问题。
3.一次函数与四边形面积问题的综合解法
在解决一次函数与四边形面积问题时，还可以综合运用以上两种方法，相互验证，提高解题的准确性和效率。
三、一次函数与四边形面积问题的例题解析
1.例题一：利用一次函数性质解四边形面积问题
已知一次函数y = 2x + 3 与四边形ABCD 的边分别相交于点A、B、C、D，其中AB = 4，BC = 5，求四边形ABCD 的面积。
解题过程：
首先，根据一次函数的性质，可以求出函数图像与x 轴的交点为(-3/2,
0)，与y 轴的交点为(0, 3)。
然后，根据四边形的面积公式，计算出四边形ABCD 的高为3，底为
4+5=9。
最后，根据公式S = 1/2 * 高* 底，求得四边形ABCD 的面积为27。
2.例题二：利用四边形面积公式解一次函数问题
已知四边形ABCD 的面积为10，其中AB = 4，BC = 5，点E 在CD 上，且AE = EC，求点E 的坐标。
解题过程：
首先，根据四边形面积公式，计算出四边形ABCD 的高为2。
然后，根据题目条件，可以求出点D 的坐标为(4, 2)。
接着，设点E 的坐标为(x, 2)，根据题目条件可列出方程4 - x = x - 4，解得x = 4。
最后，求得点E 的坐标为(4, 2)。
3.例题三：一次函数与四边形面积问题的综合解法
已知一次函数y = x + 2 与四边形ABCD 的边分别相交于点A、B、C、D，其中AB = 3，BC = 4，求四边形ABCD 的面积。
解题过程：
首先，根据一次函数的性质，可以求出函数图像与x 轴的交点为(-2, 0)，与y 轴的交点为(0, 2)。
然后，根据题目条件，可以求出点A、B、C、D 的坐标。