八年级数学一次函数之面积问题(铅垂法二)(人教版)(含答案)
铅垂法一次函数
铅垂法一次函数
铅垂法是测量地表高程的一种方法，它利用重力的作用测量地表高度差。
一次函数是指只含一个未知数的一元一次方程。
在铅垂法中，测量者通过测量两个点之间的垂直高度差，来计算出这两个点之间的水平距离。
假设测量者站在高处（点A），目标点位于低处（点B），则铅垂线即为从点A垂直向下延伸的直线。
测量者可以使用测高仪等仪器，测量出点A 与铅垂线之间的距离（即垂直高度），同时，对于铅垂线上的任意一点P，测量者也可以通过测量点A与点P之间的距离，来计算出点P与点A之间的水平距离。
假设点A的高程为h1，点P的高程为h2，点A与P之间的水平距离为d，则有以下关系式：
h2 = h1 - kd
其中，k为重力加速度，也就是铅垂线每延伸1米所下降的高度。
可以将上面的关系式改写为一元一次方程的形式：
h2 + kd = h1
这个方程就是铅垂法的基本方程，也是一个一元一次函数。
其中，h1、h2和d 都是已知量，k为常数，因此该方程可以求解出点P的高程h2。
一次函数面积题目专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
一次函数面积问题专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
一次函数面积问题专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图,一次函数得图像与x轴交于点B（-6，０),交正比例函数得图像于点A,点A得横坐标为－4,△ＡBC得面积为15,求直线OA得解析式。
２、直线y=ｘ+3得图像与ｘ轴、y轴分别交于Ａ、B两点,直线ａ经过原点与线段AB交于C,把△ABO得面积分为2:１得两部分,求直线a得函数解析式。
3、直线PA就就是一次函数y=x＋n得图像,直线PB就就是一次函数y=-2x+ｍ(m>n>0）得图像,(1）用m、n表示A、Ｂ、P得坐标(2)四边形PQOＢ得面积就就是,ＡB=2,求点P得坐标4、△AOB得顶点O（0,０）、A(2，１)、Ｂ(１０,1),直线ＣD⊥x轴且△AOB面积二等分,若D(m,0)，求m得值5、点B在直线ｙ=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2,０)、Ｏ（0,0),△AＢO 得面积为2,求点B得坐标。
6、直线y＝－x＋1与x轴y轴分别交点Ａ、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC, BＡC=9０°，点P(a,)在第二象限,△ABP得面积与△ABＣ面积相等,求a得值、7、如图,已知两直线ｙ=0、5ｘ+2、５与ｙ＝-ｘ+1分别与x轴交于A、B两点,这两直线得交点为P（1)求点P得坐标(２)求△PAB得面积8、已知直线y=ａx+ｂ（b>0）与y轴交于点N,与x轴交于点A且与直线y=kx 交于点Ｍ(2,3),如图它们与y轴围成得△MＯN得面积为5,求(1)这两条直线得函数关系式(2)它们与x轴围成得三角形面积９、已知两条直线y=2x-３与y=5-ｘ(1)求出它们得交点A得坐标(2)求出这两条直线与x轴围成得三角形得面积10、已知直线y＝x＋3得图像与ｘ轴、ｙ轴交于A、Ｂ两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C,把△AＯB得面积分为２：1得两部分,求直线l得解析式。
11、已知直线y=２x+3与直线y=－2x-１与y轴分别交于点A、B(１)求两直线交点C得坐标（2)求△ABC得面积（3)在直线BC上能否找到点Ｐ,使得△ＡPＣ得面积為６,求出点P得坐标,若不能请说明理由。
人教版八年级下册一次函数的面积问题-教师版
y
y=x
C#43;6
1，点到两坐标轴的距离 2，求两直线的交点坐标 3，一次函数图象性质 4，点、图形关于直线对称
转化思想、数形结合思想、分类讨论思想
自我检测
一次函数的图象交x 轴于点A（-6，0），
与 y 轴交于B，若△AOB的面积为12，且 y
y y=2x+3
A
(2)两直线与x轴围成的三角
形的面积
P
(3)求四边形APDO的面积 C O
x
D
B
y=-2x-1
y
A P
CO
x
D
B
总结： 两直线与y轴围成的面积：AB为底,点P的横坐标的绝对值为高。
两直线与x轴围成的面积：CD为底,点P的纵坐标的绝对值为高
y
（a,b) A
P |a|
C |b|
O
x
3.在y轴上点P(0,m),点 Q(0,n)，则PQ的长度|_m_-__n| __或__|_n_-_m__|__.
例1 已知：如图,直线y=x-1交x轴、y轴于点A、B， 直线y=-0.5 x+2交x轴、y轴于点C、D，两直线交于 点P。
(1)写出各点坐标:A（__1_，__0）_、B（_0_，__-_1_）、C（__4_，__0_）、 D（__0_，__2_）、P（__2，__1_）_。
标为- 4，又知：S△AOB=15，求直线AB的解析式。
y
（-4，y ) B
A(-6，0）o
x
例1：已知一次函数 y 2x 4 .
（1）求图象与 x 轴交点A, 与y 轴交点B的坐标.
（2）求图象与坐标轴所围成的三角形面积.
y y=2x+4 4B
一次函数之面积问题(铅垂法)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：坐标系下处理面积问题，通常有几种思路？分别是什么？问题2：铅垂法求面积的本质是什么？问题3：如图所示，利用下图推导铅垂法面积公式．问题4：具有什么特征的三角形适合用铅垂法求面积？问题5：利用铅垂法表达面积的操作步骤是：求△ABC的面积，若点A，B是定点，点C是动点，则过( )作铅垂线，( )作为底，( )作为高．一次函数之面积问题（铅垂法）（北师版）一、单选题(共8道，每道11分)1.如图，已知一次函数的图象经过A（5，-1），B（-3，-5）两点，则△AOB的面积为( )A. B.C.14D.28答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积2.如图，已知一次函数的图象经过A（2，a），B（-1，b）两点，则△AOB的面积为( )A. B.5C.3D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积3.如图，已知一次函数y=x-1的图象经过A（m，1），B（n，-2）两点，则△AOB的面积为( )A.3B.C.2D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积4.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（5，5），C（-1，2），则三角形的面积为( )A. B.C.21D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积5.如图，已知一次函数的图象经过A（5，m），B（1，n）两点，点C（3，4），则△ABC的面积为( )A.8B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积6.如图，已知一次函数的图象经过A（-5，-1），B（-1，n）两点，点C（-3，0），则△ABC的面积为( )A.8B.4C.5D.7答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积7.如图，直线AB：分别与x轴、y轴交于点A，B，直线CD：y=x+b分别与x轴、y轴交于点C，D，直线AB与CD交于点P(8，5)，则的面积为( )A.12B.16C.18D.20答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积8.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x 轴、y轴分别交于C，D两点．设直线，交于点P，则△PAD的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积二、填空题(共1道，每道12分)9.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（-1，3），B（-3，-2），C（4，-3），D（3，2）．则四边形ABCD的面积是____.答案：28解题思路：试题难度：知识点：铅垂法求面积。
人教版八年级下册数学19.2.4：一次函数的面积问题
与 y 轴交点坐标B(0,4)
-1
-2
1
(2)SΔOAB = 2 OA· OB =4
-3
2、求直线y=－1.5x＋3与x轴、y轴所围成的三角 形的面积。
解：当x=0时，y=3； 当y=0时，x=2；
∴A（0,3） B（2,0） ∴OA＝3，OB＝2 ∴S△ABC＝12 OA·OB
＝ ×31×2=3
S△PBC=S_△__C_BD_-S_△__PB_D_=__3___
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如何求平面直角坐标系中的 图形的面积？
❖ １．如果三角形有一边在坐标轴上（或平行 于坐标轴），直接用面积公式求面积．
２．如果三角形任何一边都不在坐标轴上， 也不平行于坐标轴，则需分割为几个有边在 坐标轴上的三角形面积之和（或差）．
得
k
2 3
b
8 3
m、k、b的值分别为2、2 、8 或2、 2 、8
55
33
y y=2x
C
A
y=k’x
A’
x
O
B
y=-
2 3
x
8 3
思考（1）：直线y=2x将BOC分成的两个小三角形 面积之比是多少？
思考（2）：将直线y=2x绕点O旋转，使其将BOC分成 面积之比为3:5的两部分，求旋转后的直线解析式。
SSAOABOB124O,BOBAM 4
1 2
OB 2
B
OB
B(4, 0)或(4, 0)
y=kx+b
A
┐
OM
x
当直线y kx b过点A(1, 2), B(4, 0)时
由02k4kbb
得
k b
2 5 8 5
当直线y kx b过点A(1, 2), B(4, 0)时
初中人教版数学八年级下册：解题技巧专题：一次函数中的面积问题 习题课件(含答案)
解得
k =－1， b=5，
∴直线 AB 的解析式为 y＝－x＋5.
(2)在(1)的条件下，求四边形 BODC 的面积． (2)把 x＝0 代入 y＝－x＋5 得 y＝5， ∴B(0，5)． 由(1)知 A(5，0)． 把 y＝0 代入 y＝2x－4 得 x＝2，
∴D(2，0)． ∴DA＝3. ∴四边形 BODC 的面积为 S△AOB－S△ACD＝12×5×5－12×3×2＝9.5.
2．如图，已知直线 y＝kx＋b 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，直线 y＝2x－4 交 x 轴于点 D，与直线 AB 相交于点 C(3，2)． (1)若点 A 的坐标为(5，0)， 求直线 AB 的解析式；
解：(1)把点 A(5，0)，C(3，2)代入 y＝kx＋b 可得 5k+b=0，
得 －2k+b=6，解得 k=－1，
k +b=3，
b=4，
∴直线 AB 的解析式是 y＝－x＋4.
(2)若点 D 在 y 轴负半轴，且满足 S△COD＝13S△BOC， 求点 D 的坐标． (2)y＝－x＋4 中，令 y＝0， 则 x＝4，∴B(4，0)． 设 D(0，m)(m＜0)， 则 S△BOC＝12OB·|yC|＝12×4×3＝6，
1．(教材 P108T10 变式)点 P(x，y)在第一象限，且 x ＋y＝4，点 A 的坐标为(3，0)．设△OPA 的面积为 S. (1)当点 P 的横坐标为 1 时，试求△OPA 的面积； 解：(1)由题意可知 P(1，3)． ∵点 A 的坐标为(3，0)， ∴OA＝3.∴S＝12×3×3＝92.
3．(2020·成华区期末)如图，一次函数 y＝kx＋b 的 图象经过点 A(－2，6)，与 x 轴交于点 B，与正比例 函数 y＝3x 的图象交于点 C， 点 C 的横坐标为 1. (1)求直线 AB 的解析式；
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一次函数之面积问题（铅垂法二）（人教版）一、单选题(共5道，每道16分)
1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x 轴、y轴分别交于C，D两点．设直线，交于点P，则△PAD的面积为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积
2.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，点A的横坐标是3，直线与x轴、y轴分别交于点C、点B，且，则直线的表达式是( )
A.y=2x-5
B.y=3x-5
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积
3.（上接第2题）点P是直线上的一个动点，且在A点的左侧，若△ABP的面积为12，则点P的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积
4.如图，已知直线经过点A(2，0)与点B(0，1)，如果在第二象限内有一点，若△APB 的面积为3，则a的值是( )
A. B.-2
C.-5
D.-8
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积
5.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，分别交x 轴于点B和点C(4，0)，点D是线段AC上的一个动点，且，则点D的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积
二、填空题(共1道，每道17分)
6.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(-1，3)，B(-3，-2)，C(4，-3)，D(3，2)．则四边形ABCD的面积是____．
答案：28 解题思路：
试题难度：知识点：铅垂法求面积。