2018高中物理第六章万有引力与航天4万有引力定律的拓展应用学案新人教版必修2

万有引力定律的拓展应用
知识点考纲要求题型分值万有引力
万有引力定律的拓展，并会证明
会利用割补法的思想计算空腔中的万有引力问题
选择题6分
二、重难点提示
重点：会用割补法转换研究对象解决疑难问题。

难点：匀质球层对球内任意位置的物体的引力为0。

应用万有引力定律
2
Mm
F G
R
=求物体间的引力时，因注意其适用条件，只有当两物体可视为质点时，才能认为R为两物体间的距离。

对于球壳类则不能视为质点，则必须采取其他的解决办法。

这里我们给出结论：一质点在均匀球壳空腔内任意一点受到球壳的万有引力为零。

如图所示，一个匀质球层可以等效为由许多厚度足够小的匀质球壳组成，任取一个球壳，设球壳内有一个质量为m的质点，某时刻质点在P位置（任意位置）处，以质点（m）所在位置P为顶点，作两个底面面积足够小的对顶圆锥，这时，两个圆锥底面不仅可以视为平面，还可以视为质点。

设空腔内质点m到两圆锥底面中心的距离分别为
12
r r
、，两圆锥底面的半径为
12
R R
、，底面面密度为ρ。

根据万有引力定律，两圆锥点面对质点的引力可以表示为：
2
11
122
11
m m R m
F G G
r r
πρ
∆
∆==，
2
22
222
22
m m R m
F G G
r r
πρ
∆
∆==，根据相似三角形对应边成比例，有12
12
R R
r r
=，
则两个万有引力之比
2
1
2
11
2
2
2
2
2
1
R
F r
R
F
r
∆
==
∆
，因为两万有引力方向相反，所以引力的合力
1
F
∆
2
F
∆
1
r
2
r
P m
2
11
m R
πρ
∆=
22
120F F ∆+
∆=。

依此类推，球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为零，整个球壳对
质点的合力为零，故由多个球壳组成的球层对质点的合引力为零，即
0F =∑
例题1 证明：在匀质实心球体内部距离球心r 处，质点受到该球体的万有引力就等于半径为r 的球体对其的引力，即2M m
F G r
''=，其中M '表示同样材质、半径为r 的匀质球体的质量。

O
R r
M'
M
思路分析：如图所示，设匀质球体的质量为M ，半径为R ；其内部半径为r 的匀质球体的质量为M '，与球心相距r 处的质点m 受到的万有引力，可以视为厚度为（R －r ）的匀质球层和半径为r 的匀质球体的引力的合力，根据匀质球层对质点的引力为零，所以质点受到
的万有引力就等于半径为r 的匀质球体的引力，即2M m
F G
r
''=。

若已知匀质球体的总质量为M ，则33M r M R '=，3
3r M M R
'=， 故23M m Mm
F G G r r R
''==
当r =0时，有0M '=，0F '=；当r =R 时，有2Mm
F G R
'=。

答案：见思路分析。

点拨：本题得到的结论为万有引力定律拓展的推论，可作为结论使用。

例题2 假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d 。

已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A. 1d R -
B. 1d R +
C. 2()R d R -
D. 2
()R R d - 思路分析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等， 有2
M
g G
R = 由于地球的质量为：M=ρ•3
3
4R π，所以重力加速度的表达式可写成：
g=2
3
234R
R G R GM πρ⋅==34πGρR。

根据题意，有质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R－d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速
度g′=
3
4
πGρ(R－d)。

所以有
R
d
R
g
g-
=
'
答案：A
【高频疑点】割补法在万有引力中的应用
对某些物理题，当待求的A直接求解困难时，可想法补上一个B，补偿的原则是使得A+B 变得易于求解，而且补上去的B也容易求解。

那么，待求的A可以从两者的差值获得，问题就迎刃而解了。

【满分训练】
如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。

如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方。

求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大?
（1）从球的正中心挖去。

（2）从与球面相切处挖去；
并指出在什么条件下，两种计算结果相同?
思路分析：根据匀质球的质量与其半径的关系33
4
3
M r r
πρ
=∝，两部分的质量分别为
8
M
m=，
7
8
M
M'=。

（1）如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为
2
122
7
64
M m M
F G G
d d
'
==
（2）如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算。

为此，可利用等效割补法，先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时，两者之间的引力为
2
22
1
8
Mm M
F G G
d d
==。

由于填补空心球而增加的引力为
2
22
1
64
()()
22
mm M
F G G
R R
d d
==
--
△
所以，这时M′与m之间的引力为
2
22
2
111
88()
2
F F F GM
R
d d
⎡⎤
⎢⎥
=-=-
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
△，
当d 远大于R 时，M′可以视为质点。

这时，引力变为
222122211178864M F F F GM G F d
d d ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭△。

即这时两种计算结果相同。

答案：见思路分析。