【数学一】2007年全国硕士研究生入学统一考试真题

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1) 当0x +

→等价的无穷小量是

(A) 1- (B) ln

(C) 1. (D) 1- [ B ]

【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.

【详解】 当0x +

→时，有1(1)~-=--1~

；

211

1~

.22

x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1

ln(1)x y e x

=

++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]

【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为0

1lim[ln(1)]x

x e x

→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；

又 1lim[ln(1)]0x

x e x

→-∞

++=，所以y=0为水平渐近线；

进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11x

x x e e

→+∞=+， 1

lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x

→+∞

→+∞

-?=++-=lim[ln(1)]x

x e x →+∞

+-

=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x x

x x e e x e --→+∞

→+∞

+-=+=，

于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).

(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0

()().

x

F x f t dt =?

则下列结论正确的是

(A) 3(3)(2)4F F =-

-. (B) 5

(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(4

5

)3(--=-F F . [ C ]

【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清

楚相应积分与面积的关系。

【详解】 根据定积分的几何意义，知F (2)为半径是1的半圆面积：1

(2)2

F π=

，

F (3)是两个半圆面积之差：22113(3)[1()]228

F πππ=

?-?==3

(2)4F ，

??

---==-0

3

3

)()()3(dx x f dx x f F )3()(3

F dx x f ==?

因此应选(C).

(4) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是

(A) 若0()lim

x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()

lim x f x f x x

→+-存在，则f (0)=0.

(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()

lim x f x f x x

→--存在，则(0)f '存在

[ D ] 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。

【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f (0)=0. 若0

()lim

x f x x →存在，则00()(0)()

(0)0,(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x

→→-'====-，可见(C)也正确，

故应选(D). 事实上，可举反例：()f x x =在x =0处连续，且

()()

lim

x f x f x x

→--=0lim

0x x x x →--=存在，但()f x x =在x =0处不可导。 (5) 设函数f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0.f x ''> 令),,2,1)(( ==n n f u n , 则下列结论正确的是

(A) 若12u u >，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u >，则{}n u 必发散.

(C) 若12u u <，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u <，则{}n u 必发散. [ D ]

【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。

【详解】 设f (x )=2

x , 则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''><，但

2{}{}n u n =发散，排除(C); 设f (x )=

1

x

, 则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''>>，但1

{}{}n u n

=收敛，排除(B); 又若设()ln f x x =-，则f (x )在(0,)+∞上

具有二阶导数，且12()0,f x u u ''>>，但{}{ln }n u n =-发散，排除(A). 故应选(D).

(6) 设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数)，过第II 象限内的点M 和第IV 象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是

(A) (,)T

f x y dx ?. (B) (,)T

f x y dy ?.

(C)

(,)T f x y ds ?

. (D)

(,)(,)x y T

f x y dx f x y dy ''+?

. [ B ]

【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。

【详解】 设M 、N 点的坐标分别为11221212(,),(,),,M x y N x y x x y y <>. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：

21(,)0T

T f x y dx dx x x ==->??;

21(,)0T

T

f x y dy dy y y ==-

?;

(,)0T

T f x y ds ds s ==>?

?;

(,)(,)(,)0x y T

T

f x y dx f x y dy df x y ''+==?

?.

故正确选项为(B).

(7) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是

(A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.

(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. [ A ]

【详解】用定义进行判定:令

0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，

得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .

因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=??

-+=??-+=?

又 01

1001

11

01=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.

(8) 设矩阵????? ??------=211121112A , ???

?

? ??=000010001B , 则A 与B

(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ]

【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.

又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(B) .

(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p (0

(A) 2

)1(3p p -． (B) 2

)1(6p p -.

(C) 22)1(3p p -． (D) 2

2)1(6p p -． [ C ] 【详解】 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击

中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为：22

13)1(p p C -. 故选(C) .

(10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)()(y f x f Y X 分别表示Ｘ，

Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的条件概率密度)|(|y x f Y X 为

(A) )(x f X ． (B) )(y f Y ． (C ) )()(y f x f Y X . (D)

)

()

(y f x f Y X ． [ A ] 【详解】 因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是

)|(|y x f Y X =)(x f X . 因此选(A) .

二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)

(11)

12

31

1x

e dx x ?

= 1

21.2

e 【分析】 先作变量代换，再分部积分。 【详解】

1

11

2

13213

21

1

2

1

1

()t x

t t x

e dx t e dt te dt x t ==-=?

?

?

=

1

1

1

121

112

2

2

1.2t

t t tde

te

e dt e =-=??

(12) 设f (u ,v )为二元可微函数，(,)y

x

z f x y =，则z x

??=112ln .y x

f yx f y y -''?+? 【详解】 利用复合函数求偏导公式，有

z x

??=112ln .y x

f yx f y y -''?+? (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432x

y y y e

'''-+=的通解为

32122.x x x y C e C e e =+- 其中21,C C 为任意常数.

【详解】 特征方程为

2430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方

程430y y y '''-+=的通解为 312.x x

y C e C e =+

设非齐次线性微分方程2432x

y y y e

'''-+=的特解为*2x

y ke

=，代入非齐次方程可

得k= ?2. 故通解为32122.x x x

y C e C e e =+-

(14) 设曲面:1x y z ∑++=，则

dS y x ??∑

+|)|(

=

【详解】 由于曲面∑关于平面x =0对称，因此dS x ??∑

=0. 又曲面:1x y z ∑++=具

有轮换对称性，于是

dS y x ??∑

+|)|(=dS y ??∑

||=dS x ??∑

||=dS z ??∑

||=

dS z y x ??∑

++|)||||(|31

=

dS ??∑3123831??=

(15) 设矩阵????

??

? ?

?=00

00100001000010

A , 则3A 的秩为1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ??????

?

?

?=00

000000000010003

A , 故r (3

A )=1. (16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于

21的概率为4

3

． 【详解】 这是一个几何概型, 设x , y 为所取的两个数, 则样本空间

}1,0|),{(<<=y x y x Ω, 记}2

1

||,),(|),{(<-∈=y x y x y x A Ω.

故 Ω

S S A P A =

)(4

3

143

==，其中ΩS S A ,分别表示A 与Ω 的面积. 三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)

求函数2

2

2

2

(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值。

【分析】 由于D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。

【详解】 因为

2(,)22x f x y x xy '=-，2(,)42y f x y y x y '=-，解方程：

2

2

220,

420x y

f x xy f y x y '?=-=??'=-=??

得开区域内的可能极值点为(.

其对应函数值为( 2.f =

又当y=0 时，2

(,)f x y x =在22x -≤≤上的最大值为4，最小值为0.

当22

4,0,22x y y x +=>-<<，构造拉格朗日函数 2

2

2

2

2

2

(,,)2(4)F x y x y x y x y λλ=+-++-

解方程组 22

222220,

4220,40,

x y F x xy x F y x y y F x y λλλ'?=-+=?'=-+=??'=+-=?

得可能极值点：(0,2),(，其对应函

数值为7

(0,2)8,(.4

f f == 比较函数值7

2,0,4,8,

4

，知f (x , y )在区域D 上的最大值为8，最小值为0. (18) (本题满分10分) 计算曲面积分 23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑

=

++??

其中∑为曲面2

2

1(01)4

y z x z =--≤≤的上侧。 【分析】 本题曲面∑不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。

【详解】 补充曲面：2

2

1:1,04

y x z ∑+==，取下侧. 则 1

23I xzdydz zydzdx xydxdy ∑+∑=

++??1

23xzdydz zydzdx xydxdy ∑-++??

=

(2)3D

z z dxdydz xydxdy Ω

++?????

其中Ω为∑与1∑所围成的空间区域，D 为平面区域2

2

14

y x +≤. 由于区域D 关于x 轴对称，因此

30D

xydxdy =??. 又

(2)3z z dxdydz zdxdy Ω

Ω

+=??????=1

1

332(1).z

D zdz dxdy z z dz ππ=?-=????

其中z D 2

2

:14

y x z +≤-. (19) (本题满分11分)

设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=

【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令

()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是找

到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。

【证明】 构造辅助函数()()()F x f x g x =-，由题设有F (a )=F (b )=0. 又f (x ), g (x )在(a , b )内具有相等的最大值, 不妨设存在21x x ≤, ),(,21b a x x ∈使得

12[,]

[,]

()max (),()max ()a b a b f x M f x g x M g x ====，

若21x x =，令1x c =, 则()0.F c =

若21x x <，因111222()()()0,()()()0F x f x g x F x f x g x =-≥=-≤，从而存在

12[,](,)c x x a b ∈?，使()0.F c =

在区间[,],[,]a c c b 上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得

12()()0F F ξξ''==.

再对()F x '在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，知存在12(,)(,)a b ξξξ∈?，有

()0F ξ''=， 即 ()().f g ξξ''''=

(20) (本题满分10分) 设幂级数

n

n n a x

∞

=∑在(,)-∞+∞内收敛，其和函数y (x )满足

240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===

(I) 证明：22

,1,2,;1

n n a a n n +=

=+

(II) 求y (x )的表达式.

【分析】 先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。 【详解】 (I)记y (x )=

n

n n a x

∞

=∑, 则1

21

2

,(1),n n n

n n n y na x

y n n a x ∞

∞

--=='''=

=-∑∑代入微分方程

240,y xy y '''--=有

2

21

(1)240,n n

n n

n n n n n n n a x

na x a x ∞

∞∞

-===---=∑∑∑

即

2

(2)(1)240,n

n

n n n n n n n n n a

x na x a x ∞

∞∞

+===++--=∑∑∑

故有 2(2)(1)240,n n n n n a na a +++--= 即 22

,1,2,;1

n n a a n n +=

=+

(II) 由初始条件(0)0,(0)1y y '==知，010, 1.a a == 于是根据递推关系式

22,1n n a a n +=

+ 有2211

0,.!

n n a a n +== 故 y (x )=

n

n n a x

∞

=∑ =

21

2120

01!n n n n n a

x

x n ∞

∞

+++

===∑∑=2201

().!

n x n x x xe n ∞

==∑ (21) (本题满分11分)

设线性方程组

???

??=++=++=++0

4,02,

03221

3

21321x

a x x ax x x x x x ①

与方程

12321-=++a x x x ②

有公共解，求a 的值及所有公共解．

【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:

???????-=++=++=++=++.12,04,02,032132

213

213

21a x x x x a x x ax x x x x x

③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:

→???????

?

?-=11

21041021

0111

2a a a A ??

?

?

?

?

?

??-----11000)1)(2(000110

0111a a a a a .

于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共

解即为③的通解，此时

??????

?

?

?→00

00000000100101A ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ???

??

??-101,

所以①与②的全部公共解为???

?

? ??-101k ，k 为任意常数.

2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时

???

?

??

?

?

?-→000

0110010100001A ，故方程组③的解为:

011??

?

? ?-??

, 即①与②有唯一公共解: 为123011x x x x ???? ? ?

== ? ? ? ?-????

.

(22) (本题满分11分)

设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ T

)1,1,1(1-=α是Ａ的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=3

54其中E 为3阶单位矩阵.

(I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量．

(II) 求矩阵Ｂ．

【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.

【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112

ααα==A A , 进一步 113

αα=A , 115

αα=A ， 故 13

5

1)4(ααE A A B +-=

113154ααα+-=A A

1114ααα+-=

12α-=，

从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值?2的特征向量.

因E A A B +-=354, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.

设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又

Ａ为对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即

0,03121==ααααT T

所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：

0)1,1,1(321=???

?

? ??-x x x ,

其基础解系为: ???

?? ??011,

????? ??-101 , 故可取2α=????

? ??011, 3α=???

?? ??-101.

即B 的全部特征值的特征向量为: ????? ??-1111k , ???

?

?

??-+????? ??10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任

意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.

(II) 令),,(321ααα=P =????? ??--101011111, 则 ????

?

??-=-1121

BP P ，

得 1112-???

?

? ??-=P P B =????? ??--101011111?????

??-112???

?

? ??--21112111131

=????? ??---102012112????? ??--21112111131?

???? ?

?--=011101110.

(23) (本题满分11分)

设二维随机变量(X , Y )的概率密度为

2,01,01,

(,)0,x y x y f x y --<<<

其它.

(I) 求{}Y X P 2>；

(II) 求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z . 【详解】 (I) {}Y X P 2>??>=y

x dxdy y x f 2),(??--=1

221

)2(y

dx y x dy 24

7=

. ( II) 先求Z 的分布函数: ??≤+=

≤+=z

y x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(

当Z <0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ??

=

1

),()(D Z dxdy y x f z F ?

?---=y

z z

dx y x dy 0

)2(

3

2

3

1z z -

=； 当21<≤z 时, ??

-

=2

),(1)(D Z dxdy y x f z F ?

?

-----=111

)2(1y

z z dx y x dy

3)2(3

1

1z --=； 当2≥z 时, 1)(=z F Z . 故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度为

)(z f Z =)(z F Z '??

?

??<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z

(24) (数1, 3)(本题满分11分)

设总体X 的概率密度为

????

?????<≤-<<=.,

0,1,)

1(21

,0,

21

),(其他x x x f θθθθθ

其中参数θ(0<θ<1)未知, n X X X 21,是来自总体X 的简单随机样本, X 是样本均值

(I) 求参数θ的矩估计量θ

?； (II) 判断24X 是否为2

θ的无偏估计量,并说明理由. 【详解】 (I) dx x xf X E ),()(θ?

∞+∞

-=

dx x

dx x ??

-+=10)

1(22θθ

θθ .4

1

2)1(414

+=++

=

θθθ

令 X =+4

1

2θ

, 其中 ∑==n i i X n X 11，

解方程得θ的矩估计量为: θ

?=2

12-X . (II) )]()([4)(4)4(2

22X E X D X E X E +==)]()

([42X E n

X D +=, 而dx x f x X E ),()(2

2

θ?

∞+∞

-=

dx x dx x ??-+=12

02)

1(22θ

θ

θθ .6

1

6132

++=

θθ )()()(2

2

X E X E X D -=22

)4

1

21(61613+-++=θθθ 485

1211212+-=

θθ， 故)4(2

X E )]()([

42X E n X D +=n

n n n n n 1253133132++-++=θθ2θ≠, 所以2

4X 不是2

θ的无偏估计量.