平行四边形知识点及练习题及解析

合集下载

(完整)平行四边形的判定典型例题及练习

(完整)平行四边形的判定典型例题及练习

平行四边形一、知识点复习1、平行四边形的判定平行四边形的判定方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

④对角线相互平分的四边形是平行四边形。

2、平行线等分线段和三角形中位线定理(1)平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等.(2)平行线等分线段定理的推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.(3)三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(4)三角形中位线定理:三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

3、三角形的重心(1)重心的定义:三角形的三条中线交于一点,这点就是三角形的重心.(2)重心的性质:三角形的三条中线相交于一点,这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。

二、典型例题讲解模块1:平行四边形的判定题型1:平行四边形的判定例题1:如图所示,在平行四边形ABCD 中,CF AE ,分别是DAB ∠,BCD ∠的平分线,求证:四边形AFCE 是平行四边形.例题2:如图,在等边三角形ABC 中,D 是BC 的中点,以AD 为边向左侧作等边三角形ADE 。

(1)求CAE ∠的度数.(2)取AB 的中点F ,连接CF 、EF 。

试证明四边形CDEF 是平行四边形.例题3:如图,在平行四边形ABCD 中,BD 为对角线,F E ,是BD 上的点,且DF BE =. 求证:四边形AECF 是平行四边形。

变式练习:1。

如图,在ABC ∆中,中线BD ,CE 相交于点O ,F 、G 分别是OB 、OC 的中点,连接DE GD FG EF ,,,,求证:四边形DEFG 是平行四边形。

2。

如图,已知DE AB //,DE AB =,DC AF =,求证:四边形BCEF 是平行四边形.3.如图,四边形ABCD 中,BC AD //,作DC AE //交BC 于E 。

平行四边形的判定定理培优讲解及练习

平行四边形的判定定理培优讲解及练习

平行四边形的判定定理【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释:(1)这些判定方法是学习本章的基础,必须牢固掌握,当几种方法都能判定同一个行四边形时,应选择较简单的方法.(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据,也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定例1、如图所示,E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点,且四边形AECF和DEBF都是平行四边形,AF和BE相交于点G,DF和CE相交于点H.求证:四边形EGFH为平行四边形.【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形,只需证明它的两组对边分别平行,即EG∥FH,FG ∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形.【答案与解析】证明:∵四边形AECF为平行四边形,∴ AF∥CE.页1∵四边形DEBF为平行四边形,∴ BE∥DF.∴四边形EGFH为平行四边形.【变式】如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F,若CE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.【答案】证明:∵∠BAD的平分线交直线BC于点E,∴∠1=∠2,∵AB∥CD,∴∠1=∠F,∵CE=CF,∴∠F=∠3,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AD∥BC,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.例2、如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.求证:(1)DE=BF;(2)四边形DEBF是平行四边形.【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定方法,判断出△ADE≌△CBF,即可推得DE=BF.页2(2)首先判断出DE∥BF;然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,推得四边形DEBF 是平行四边形即可.【答案与解析】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,AD=CB,∴∠DAE=∠BCF,在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF,∴DE=BF.(2)由(1),可得△ADE≌△CBF,∴∠ADE=∠CBF,∵∠DEF=∠DAE+∠ADE,∠BFE=∠BCF+∠CBF,∴∠DEF=∠BFE,∴DE∥BF,又∵DE=BF,∴四边形DEBF是平行四边形.【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用,以及全等三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握.例3、已知:如图四边形ABCD是平行四边形,P、Q是直线AC上的点,且AP=CQ.求证:四边形PBQD是平行四边形.页3页 4【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法,此题可由对角线互相平分来证明. 【答案与解析】证明:连接BD 交AC 与O 点,∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO , 又∵AP=CQ, ∴AP+AO=CQ+CO, 即PO=QO ,∴四边形PBQD 是平行四边形.【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定,利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明.举一反三:【变式1】如图,在△ABC 中,D 是BC 边上的一点,E 是AD 的中点,过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ,且AF=DC ,连接CF .试说明:D 是BC 的中点.【答案】证明:∵AF∥BC ,∴∠AFE=∠DBE , ∵E 是AD 的中点, ∴AE=DE ,页 5在△AEF 和△DEB 中,∵ ∴△AEF ≌△DEB (AAS ), ∴AF=BD , ∵AF=DC , ∴BD=DC , ∴D 是BC 的中点.【变式2】如图,分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE ,已知:∠BAC=30°,EF ⊥AB ,垂足为F ,连接DF . (1)试说明AC=EF ;(2)求证:四边形ADFE 是平行四边形.【答案】证明:(1)∵Rt △ABC 中,∠BAC=30°, ∴AB=2BC ,又∵△ABE 是等边三角形,EF ⊥AB , ∴AB=2AF ∴AF=BC ,在Rt △AFE 和Rt △BCA 中,,∴Rt △AFE ≌Rt △BCA (HL ),,,,===AFE DBE AEF DEB AE DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩页 6∴AC=EF ;(2)∵△ACD 是等边三角形, ∴∠DAC=60°,AC=AD , ∴∠DAB=∠DAC +∠BAC=90° 又∵EF ⊥AB , ∴EF ∥AD , ∵AC=EF ,AC=AD , ∴EF=AD ,∴四边形ADFE 是平行四边形.例4、如图,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,直线EF 经过点O ,分别与AB ,CD 的延长线交于点E ,F .求证:四边形AECF 是平行四边形.【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种,选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些,本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形,可证OF=OE ,OA=OC ,根据条件在图形中的位置,可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决. 【答案与解析】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB ,OA=OC , ∵AB ∥CD ,∴∠DFO=∠BEO ,∠FDO=∠EBO , ∴在△FDO 和△EBO 中,,===DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FDO≌△EBO(AAS),∴OF=OE,∴四边形AECF是平行四边形.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用例1、如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的点,且AE=CF.(1)猜想探究:BE与DF之间的关系: ________________.(2)请证明你的猜想.【思路点拨】(1)BE平行且等于DF;(2)连接BD交AC于O,根据平行四边形的性质得出OA=OC,OD=OB,推出OE=OF,得出平行四边形BEDF即可.【答案与解析】(1)解:BE和DF的关系是:BE=DF,BE∥DF,故答案为:平行且相等.(2)证明:连接BD交AC于O,∵ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,∴BFDE是平行四边形,∴BE=DF,BE∥DF.【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用,能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键,题型较好,通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力,同时培养了学生的观察能力和猜想能力.举一反三:【变式】如图,在ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.请你猜想BE与DF的关系,并说明理由.页7页 8【答案】解:猜想BE 与DF 的关系是BE=DF ,BE ∥DF ,理由是:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AD=BC , ∵AE=CF , ∴AD-AE=BC-CF , 即DE=BF , ∵DE ∥BF ,∴四边形BFDE 是平行四边形, ∴BE=DF ,BE ∥DF .例2、如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ,过点P 作直线交AD 于点E ,交BC 于点F .若PE=PF ,且AP+AE=CP+CF . (1)求证:PA=PC .(2)若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD 的面积.【思路点拨】(1)首先在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N ,使AM=AE ,CN=CF ,可得PN=PM ,则易证四边形EMFN 是平行四边形,则可得ME=FN ,∠EMA=∠CNF ,即可证得△EAM ≌△FCN ,则可得PA=PC ;(2)由PA=PC ,EP=PF ,可证得四边形AFCE 为平行四边形,易得△PED ≌△PFB ,则可得四边形ABCD 为平行四边形,由AB=15,AD=12,∠DAB=60°,即可求得四边形ABCD 的面积. 【答案与解析】(1)证明:在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N ,使AM=AE ,CN=CF . ∵AP+AE=CP+CF , ∴PN=PM . ∵PE=PF ,∴四边形EMFN 是平行四边形.∴ME=FN ,∠EMA=∠CNF.又∵∠AME=∠AEM,∠CNF=∠CFN,∴△EAM≌△FCN.∴AM=CN.∵PM=PN,∴PA=PC.(2)解:∵PA=PC,EP=PF,∴四边形AFCE为平行四边形.∴AE∥CF.∵∠PED=∠PFB,∠EPD=∠FPB,EP=PF,∴△PED≌△PFB.∴DP=PB.由(1)知PA=PC,∴四边形ABCD为平行四边形.∵AB=15,AD=12,∠DAB=60°,∴四边形ABCD的面积为90.【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质,以及全等三角形的判定与性质等知识.此题图形比较复杂,难度适中,解题的关键是数形结合思想的应用.例3、如图,△ABC中AB=AC,点D从点B出发沿射线BA移动,同时,点E从点C出发沿线段AC的延长线移动,已点知D、E移动的速度相同,DE与直线BC相交于点F.(1)如图1,当点D在线段AB上时,过点D作AC的平行线交BC于点G,连接CD、GE,判定四边形CDGE的形状,并证明你的结论;(2)过点D作直线BC的垂线垂足为M,当点D、E在移动的过程中,线段BM、MF、CF有何数量关系?请直接写出你的结论.【思路点拨】(1)由题意得出BD=CE,由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB,由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB,得出∠B=∠DGB,证出BD=GD=CE,即可得出结论;(2)由(1)得:BD=GD=CE,由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM,由平行线得出GF=CF,即可得出结论.【答案与解析】解:(1)四边形CDGE是平行四边.理由如下:如图1所示:3页9∵D、E移动的速度相同,∴BD=CE,∵DG∥AE,∴∠DGB=∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠DGB,∴BD=GD=CE,又∵DG∥CE,∴四边形CDGE是平行四边形;(2)BM+CF=MF;理由如下:如图2所示:由(1)得:BD=GD=CE,∵DM⊥BC,∴BM=GM,∵DG∥AE,∴GF=CF,∴BM+CF=GM+GF=MF.【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质;熟练掌握等腰三角形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.举一反三【变式】如图,已知四边形ABCD为平行四边形,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.(1)求证:BE=DF;(2)若M、N分别为边AD、BC上的点,且DM=BN,试判断四边形MENF的形状(不必说明理由).【答案】页10∴ AB=CD,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∵AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,∴∠AEB=∠CFD=90°,∴△ABE≌△CDF(AAS),∴BE=DF;(2)四边形MENF是平行四边形.证明:由(1)可知:BE=DF,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠MDB=∠NBD,∵DM=BN,∴△DMF≌△BNE,∴NE=MF,∠MFD=∠NEB,∴∠MFE=∠NEF,∴MF∥NE,∴四边形MENF是平行四边形.例4、如图,已知在ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上,且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG.(1)求证:四边形GEHF是平行四边形;(2)若点G、H分别在线段BA和DC上,其余条件不变,则(1)中的结论是否成立?(不用说明理由)【思路点拨】(1)先由平行四边形的性质,得AB=CD,AB∥CD,根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF.再由SAS可证△GBE≌△HDF,利用全等的性质,证明∠GEF=∠HFE,从而得GE∥HF,又GE=HF,运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证.(2)仍成立.可仿照(1)的证明方法进行证明.【答案与解析】页11页 12∴AB=CD ,AB ∥CD ,∴∠GBE=∠HDF . 又∵AG=CH ,∴BG=DH . 又∵BE=DF ,∴△GBE ≌△HDF .∴GE=HF ,∠GEB=∠HFD ,∴∠GEF=∠HFE , ∴GE ∥HF ,∴四边形GEHF 是平行四边形.(2)解:仍成立.(证法同上)【总结升华】本题考查的知识点为:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 举一反三 【变式】如图,ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于O 点,AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F ,BG ⊥AG 于G ,DH ⊥AC 于H .求证:四边形GEHF 是平行四边形.【答案】证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BO=DO ,AO=CO ,AB=CD ,AB ∥CD , ∴∠ABD=∠CDB ,∵AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F ,∴∠AEB=∠CFD=90°, 在△ABE 和△CDF 中,∴△ABE ≌△CDF (AAS ), ∴BE=DF , ∴BO-BE=DO-DF , 即:EO=FO ,同理:△ABG ≌△CDH , ∴AG=CH , ∴AO-AG=CO-CH , ,===AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩即:GO=OH,∴四边形GEHF是平行四边形.【课堂练习】一.选择题1.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点,点M是平面内任意一点,若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点M有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2. 四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A.1组 B.2组 C.3组 D.4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B、C,分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB、AD、CD,则四边形ABCD一定是()A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d,且a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-bd-cd=0,那么四边形ABCD是()A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形页136. 如图,图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图(箭头表示行进的方向).其中E为AB的中点,AH>HB,判断三人行进路线长度的大小关系为()A.甲<乙<丙 B.乙<丙<甲 C.丙<乙<甲 D.甲=乙=丙二.填空题7. 如图,E、F 是ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个适当的条件:,使四边形AECF是平行四边形.8.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,直线EF过点O且EF∥AD,直线GH过点O且GH∥AB,则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个.9.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动,同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动,若AB=7cm,CD=9cm,则秒时四边形ADFE是平行四边形.页1410. 如图,已知等边△ABC的边长为8,P是△ABC内一点,PD∥AC,PE∥AD,PF∥BC,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,则PD+PE+PF=______________.11.已知:如图,四边形AEFD和EBCF都是平行四边形,则四边形ABCD是______.12.如图,平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD 的中点.有下列结论:①AD=BC,②△DHG≌△BFE,③BF=HO,④AO=BO,⑤四边形HFEG是平行四边形,其中正确结论的序号是.三.解答题13.如图,在口ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上,且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG.求证:(1)△BEG≌△DFH;(2)四边形GEHF是平行四边形.14.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别为边AB、BC的中点,点F在边AC的延长线上,∠FEC=∠B,求证:四边形CDEF是平行四边形.页1515.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,CE=4,求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C;【解析】解:如图,连接PQ、QR、PR,分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ,分别交于点D、E、F,∵DP∥QR,DQ∥PR,∴四边形PDQR为平行四边形,同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形,故D、E、F三点为满足条件的M点,故选C.页162.【答案】C;【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B;【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角,∠B与∠D为对角.4.【答案】A;【解析】∵分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧,两弧交于点D,∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).故选A.5.【答案】A;【解析】由a2+ab-ac-bc=0,可知(a+b)(a-c)=0,则a-c=0,即a=c;由b2+bc-bd-cd=0,可知(b+c)(b-d)=0;则b-d=0,即b=d.(其中a,b,c,d都是正数,a+b、b+c一定不等于0)由a=c;b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等,则四边形ABCD是平行四边形.故选A.6.【答案】D;【解析】图1中,甲走的路线长是AC+BC的长度;延长AD和BF交于C,如图2,∵∠DEA=∠B=60°,∴DE∥CF,同理EF∥CD,∴四边形CDEF是平行四边形,∴EF=CD,DE=CF,即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长;延长AG和BK交于C,如图3,与以上证明过程类似GH=CK,CG=HK,即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长;即甲=乙=丙,故选D.页17页 18二.填空题 7.【答案】BE=DF ;【解析】添加的条件是BE=DF ,理由是:连接AC 交BD 于O , ∵平行四边形ABCD , ∴OA=OC ,OB=OD , ∵BE=DF , ∴OE=OF ,∴四边形AECF 是平行四边形. 故答案为:BE=DF .8.【答案】18;【解析】图中平行四边形有:AEOG ,AEFD ,ABHG ,GOFD ,GHCD ,EBHO ,EBCF ,OHCF ,ABCD ,EHFG ,AEHO ,AOFG ,EODG ,BHFO ,HCOE ,OHFD ,OCFG ,BOGE .共18个.故答案为:18. 9.【答案】3;【解析】解:设t 秒时四边形ADFE 是平行四边形;理由:当四边形ADFE是平行四边形,则AE=DF,即t=9﹣2t,解得:t=3,故3秒时四边形ADFE是平行四边形.故答案为:3.10.【答案】8;【解析】过E点作EG∥PD,过D点作DH∥PF,∵PD∥AC,PE∥AD,∴PD∥GE,PE∥DG,∴四边形DGEP为平行四边形,∴EG=DP,PE=GD,又∵△ABC是等边三角形,EG∥AC,△BEG为等边三角形,∴EG=PD=GB,同理可证:DH=PF=AD,∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8..11.【答案】平行四边形;12.【答案】①,②,③,⑤;【解析】解:平行四边形ABCD中,∴AD=BC,故①正确;∵平行四边形ABCD,∴DC∥AB,DC=AB,OD=OB,∴∠CDB=∠DBA,∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点,∴DG=BE=AB,DH=BF=OD,∴②△DHG≌△BFE,故②正确;∵HO=DH,DH=BF,∴BF=HO,故③正确;平行四边形ABCD,OA=OC,OB=OD,故④错误;E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点,∴HG∥OC,HG=OC,EF∥OA,EF=OA,∴HG∥EF,HG=EF,HEFG是平行四边形,故⑤正确;故答案为:①,②,③,⑤.三.解答题页1913.【解析】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥DC,∴∠ABE=∠CDF,∵AG=CH,∴BG=DH,在△BEG和△DFH中,,∴△BEG≌△DFH(SAS);(2)∵△BEG≌△DFH(SAS),∴∠BEG=∠DFH,EG=FH,∴∠GEF=∠HFB,∴GE∥FH,∴四边形GEHF是平行四边形.14.【解析】证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别为边AB、BC的中点,∴DE∥AC,CD=AB=AD=BD,∴∠B=∠DCE,∵∠FEC=∠B,∴∠FEC=∠DCE,∴DC∥EF,∴四边形CDEF是平行四边形.15.【解析】解:∵∠ACB=90°,DE⊥BC,页20∴AC∥DE.又∵CE∥AD,∴四边形ACED是平行四边形.∴DE=AC=2在Rt△CDE中,由勾股定理∵D是BC的中点,∴BC=2CD=在Rt△ABC中,由勾股定理.∵D是BC的中点,DE⊥BC,∴EB=EC=4∴四边形ACEB的周长=AC+CE+BE+BA=10+.【课后作业】一.选择题1.如图,在平面直角坐标系中,以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是()A.(3,-1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(-2,-1)2.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个.A.1B.2C.3D.无数CD==AB==页21页 223.A ,B ,C ,D 在同一平面内,从①AB ∥CD ,②AB=CD ,③BC ∥AD ,④BC=AD 这四个中任选两个作为条件,能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有( ) A .6种 B .5种 C .4种 D .3种4. 如图,在▱ABCD 中,EF ∥AD ,HN ∥AB ,则图中的平行四边形(不包括四边形ABCD )的个数共有( )A .9个B .8个C .6个D .4个5. 如图,在ABCD 中, 对角线AC 、BD 相交于点O. E 、F 是对角线AC 上的两个不同点,当E 、F 两点满足下列条件时,四边形DEBF 不一定是平行四边形( ).A. AE =CFB.DE =BFC. D.6.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 是BC 的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,∠ADC=30°,①四边形ACED 是平行四边形; ②△BCE 是等腰三角形; ③四边形ACEB 的周长是10+2; ④四边形ACEB 的面积是16. 则以上结论正确的是( )CBF ADE ∠=∠CFB AED ∠=∠A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②④二.填空题7.已知四边形ABCD的对角线相交于O,给出下列5个条件①AB∥CD ②AD∥BC③AB=CD ④∠BAD=∠DCB,从以上4个条件中任选2个条件为一组,能推出四边形ABCD为平行四边形的有____________组.8.在▱ABCD中,对角线相交于点O,给出下列条件:①AB=CD,AD=BC,②AD=AB,AD∥BC,③AB∥CD,AD∥BC,④AO=CO,BO=DO其中能够判定ABCD是平行四边形的有____________.9.如图,用9个全等的等边三角形,按图拼成一个几何图案,从该图案中可以找出______个平行四边形.10.如图,已知AB=CD,AD=CB,则∠ABC+∠BAD=___________度.11.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,若要使四边形是平行四边形,则需要添加的一个条件是.(只写出一种情况即可)12.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形,则四边形AEFD的面积为.页23三.解答题13. 在ABCD中,对角线BD、AC相交于点O,BE=DF,过点O作线段GH交AD于点G,交BC于点H,顺次连接EH、HF、FG、GE,求证:四边形EHFG是平行四边形.14.如图,已知点A、B、C、D在一条直线上,BF、CE相交于O,AE=DF,∠E=∠F,OB=OC.(1)求证:△ACE≌△DBF;(2)如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G,连接BE和CG.求证:四边形BGCE是平行四边形.15. 如图所示,已知△ABC是等边三角形,D、F两点分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF.页24(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证:AE=AD.【答案与解析】一.选择题1.【答案】D;【解析】A、∵以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,当第四个点为(3,-1)时,∴BO=AC1=2,∵A,C1,两点纵坐标相等,∴BO∥AC1,∴四边形OAC1B是平行四边形;故此选项正确;B、∵以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,当第四个点为(-1,-1)时,∴BO=AC2=2,∵A,C2,两点纵坐标相等,∴BO∥AC2,∴四边形OC2AB是平行四边形;故此选项正确;C、∵以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,页25页 26当第四个点为(1,1)时, ∴BO=AC 1=2,∵A ,C 1,两点纵坐标相等, ∴C 3O=BC 3=, 同理可得出AO=AB=,进而得出C 3O=BC 3=AO=AB ,∠OAB=90°, ∴四边形OABC 3是正方形;故此选项正确;D 、∵以O (0,0)、A (1,-1)、B (2,0)为顶点,构造平行四边形, 当第四个点为(-1,-1)时,四边形OC 2AB 是平行四边形;∴当第四个点为(-2,-1)时,四边形OC 2AB 不可能是平行四边形; 故此选项错误.故选:D .2.【答案】C ;【解析】分别以AB ,BC ,AC 为对角线作平行四边形. 3.【答案】C ;【解析】根据平行四边形的判定,可以有四种:①与②,③与④,①与③,②与④都能判定四边形是平行四边形,故选C .4.【答案】B ;【解析】设EF 与NH 交于点O ,∵在▱ABCD 中,EF ∥AD ,HN ∥AB ,∴AD ∥EF ∥BC ,AB ∥NH ∥CD ,则图中的四边AEOH 、DHOF 、BEON 、CFON 、AEFD 、BEFC 、AHNB 、DHNC 和ABCD 都是平行四边形,共9个. 故选B .5.【答案】B ; 22页 27【解析】C 选项和D 选项均可证明△ADE ≌△CBF ,从而得到AE =CF ,EO =FO ,BO =DO ,所以可证四边形DEBF 是平行四边形.6.【答案】A ;【解析】解:①∵∠ACB=90°,DE⊥BC,∴∠ACD=∠CDE=90°, ∴AC∥DE, ∵CE∥AD,∴四边形ACED 是平行四边形,故①正确; ②∵D 是BC 的中点,DE⊥BC, ∴EC=EB,∴△BCE 是等腰三角形,故②正确; ③∵AC=2,∠ADC=30°, ∴AD=4,CD=2,∵四边形ACED 是平行四边形, ∴CE=AD=4, ∵CE=EB,∴EB=4,DB=2, ∴CB=4,∴AB==2,∴四边形ACEB 的周长是10+2故③正确; ④四边形ACEB 的面积:×2×4+×4×2=8,故④错误,故选:A .二.填空题 7.【答案】4;【解析】①和②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,能推出四边形ABCD 为平行四边形;①和③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,能推出四边形ABCD 为平行四边形;①和④,②和④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,能推出四边形ABCD为平行四边形;所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有四组.故答案为:4.8.【答案】①③④;【解析】∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴①正确;∵AD=BC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴②正确;∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴③正确;∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴④正确;即其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有①②③④,故答案为:①②③④.9.【答案】15;【解析】两个全等的等边三角形,以一边为对角线构成的四边形是平行四边形,这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形,从该图案中可以找出15个平行四边形.故答案为:15.10.【答案】180°;【解析】依题意得ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°.11.【答案】AD=BC;【解析】∵AD=BC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,故答案为:AD=BC.12.【答案】6;【解析】解:∵在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,∴BC2=AB2+AC2,∴∠BAC=90°,页28页 29∵△ABD,△ACE 都是等边三角形, ∴∠DAB=∠EAC=60°, ∴∠DAE=150°.∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形, ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°, ∴∠DBF=∠ABC. 在△ABC 与△DBF 中,∴△ABC≌△DBF(SAS ), ∴AC=DF=AE=4,同理可证△ABC≌△EFC, ∴AB=EF=AD=3,∴四边形DAEF 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). ∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°,∴S 口AEFD =AD•(DF ×)=3×(4×)=6. 即四边形AEFD 的面积是6. 故答案为:6.二.解答题 13.【解析】 证明:在ABCD 中AD ∥BC ,AO =CO ,BO =DO∴∠GAO =∠HCO 在△AGO 和△CHO 中∴△AGO ≌△CHO∴GO =HO 又∵BO =DO ,BE =DF GAO HCO AO CO GOA HOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EO=FO∴四边形EHFG为平行四边形.14.【解析】证明:(1)如图1,∵OB=OC,∴∠ACE=∠DBF,在△ACE和△DBF中,,∴△ACE≌△DBF(AAS);(2)如图2,∵∠ACE=∠DBF,∠DBG=∠DBF,∴∠ACE=∠DBG,∴CE∥BG,∵CE=BF,BG=BF,∴CE=BG,∴四边形BGCE是平行四边形.15.【解析】证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.页30又∵∠EFB=60°,∴ EF∥BC,即EF∥DC.又∵ DC=EF,∴四边形EFCD是平行四边形.(2)如图,连接BE.∵ BF=EF,∠EFB=60°,∴△EFB是等边三角形,∴ BE=BF=EF,∠EBF=60°,∴ DC=EF=BE.∵△ABC是等边三角形,∴ AC=AB,∠ACD=60°.在△ABE和△ACD中,∵ AB=AC,∠ABE=∠ACD,BE=CD,∴△ABE≌△ACD,∴ AE=AD.页31。

小学三年级数学平行四边形知识点及练习题

小学三年级数学平行四边形知识点及练习题

小学三年级数学平行四边形知识点及练习题
【知识点】(1)结合生活情境,初步感知平行四边形的特征,能辨别哪些图形是平
行四边形。

(2)能在点子图或方格纸中画平行四边形,能在钉子板上围平行四边形。

(3)渗透平行四边形和长方形的联系和区别。

【练习题】1、一个平行四边形的底是12厘米,面积是156平方厘米,高是( )厘米。

2、一块平行四边形钢板,底是1.5米,高是1.2米,如果每平方米钢板重23.5千克,
这块钢板重( )千克。

3、等底等高的平行四边形面积都( )。

一个平行四边形的周长为46厘米,一边的
长为14厘米,另外三边的长分是( )、 ( )、 ( )。

【参考答案】1、一个平行四边形的底是12厘米,面积是156平方厘米,高是(13 )
厘米。

2、一块平行四边形钢板,底是1.5米,高是1.2米,如果每平方米钢板重23.5千克,
这块钢板重(42.3 )千克。

3、等底等高的平行四边形面积都( 相等 )。

一个平行四边形的周长为46厘米,
一边的长为14厘米,另外三边的长分是( 14)、 ( 9)、 (9 )。

(完整版)平行四边形(知识点、经典例题、常考题型练习),推荐文档

(完整版)平行四边形(知识点、经典例题、常考题型练习),推荐文档
由;
(3)在图 2 的 AB 边上是否存在一点 M ,使得四边形 DMEP 是平行四边形?若存在,请给予证明;
若不存在,请说明理由.
6
A
D
F
BE
C
图1
A
D
FP
BE
C
图2
【例 3】如图,在矩形 ABCD 中,已知 AD=12,AB=5,P 是 AD 边上任意一点,PE⊥BD 于 E,PF⊥AC 于 F,求 PE+PF 的值。
A
E
B
D
G F
C
【巩固】如图,在平行四边形 ABCD 中,∠B,∠D 的平分线分别交对边于点 E、F,交四边形的对角线 AC 于点 G、H。求证:AH=CG。
例 6. 已知:如图,在□ABCD 中,E、F 分别为边 AB、CD 的中点,BD 是对角线,AG∥DB 交 CB 的延长线于 G. (1) 求证:△ADE≌△CBF; (2) 若四边形 BEDF 是菱形,则四边形 AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.
1、下列说法中错误的是( )
A.四个角相等的四边形是矩形
B.四条边相等的四边形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2、如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是 ( )
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.菱形、矩形或正方形
3、下面结论中,正确的是( )
②如果 BAC 90 ,那么四边形 AEDF 是矩形;
③如果 AD 平分 BAC ,那么四边形 AEDF 是菱形;
④如果 AD BC 且 AB AC ,那么四边形 AEDF 是菱形.
其中,正确的有
.(只填写序号)

平行四边形知识点总结及分类练习题

平行四边形知识点总结及分类练习题

平行四边形知识点总结及分类练习题一、知识点总结平行四边形是几何学中一个重要的概念,其性质和判定方法对于理解几何学中的其他问题有着至关重要的作用。

以下是对平行四边形知识点的总结:1、定义:平行四边形是一个四边形,其中相对的两边平行且相等。

可以用符号“▭”表示。

2、性质:1)对边平行:平行四边形的对边平行且相等。

2)对角相等:平行四边形的对角相等,邻角互补。

3)平行四边形的面积等于其底乘高。

3.判定方法:1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5)邻角互补的四边形是平行四边形。

4.特殊平行四边形:矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形,它们分别具有以下性质:1)矩形:对角线相等,四个角都是直角。

2)菱形:对角线垂直且平分,四边相等。

3)正方形:对角线垂直且相等,四个角都是直角。

二、分类练习题1、选择题:1)下列哪个条件可以判定一个四边形为平行四边形?A.一组对边相等,一组对角相等B.一组对边平行,另一组对边相等C.一组对角相等,另一组对边平行D.一组对角相等,一组邻角互补答案:(C)一组对角相等,另一组对边平行。

因为一组对角相等,另一组对边平行的四边形可以由一组对边平行,另一组对边相等的四边形经过平移得到,因此选项C正确。

其他选项都不满足平行四边形的定义或判定方法。

2)下列哪个条件可以判定一个四边形为矩形?A.三个内角都是直角B.对角线相等且互相平分C.对角线互相垂直且平分D.一组对边平行且相等,一组邻角互补答案:(B)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

因为矩形的定义是对角线相等的平行四边形,而对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形,因此选项B正确。

其他选项分别是矩形的定义或判定方法的一部分,但不足以单独判定一个四边形为矩形。

特殊平行四边形知识点总结及题型一、平行四边形的性质:1、平行四边形的对边平行且相等;2、平行四边形的对角相等;3、平行四边形的对角线互相平分。

第01讲平行四边形的性质(3个知识点7类热点题型讲练习题巩固)(原卷版)

第01讲平行四边形的性质(3个知识点7类热点题型讲练习题巩固)(原卷版)

第01讲平行四边形的性质1.平行四边形的概念:有两组对边分别的四边形叫做平行四边形。

用符号“▱”来表示。

平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”。

知识点02 平行四边形的性质1.平行四边形的性质:①边的性质:平行四边形的两组对边分别(平行由定义证明,相等由连接对角线证明全等可得)。

②角的性质:平行四边形的邻角,对角。

(由平行与邻角转换可得)③对角线的性质:平行四边形的对角线(连接两条对角线证明全等可得)。

④平行四边形的面积计算:等于。

⑤平行四边形的对称性:是一个中心对称图形。

⑥过对角线交点的直线把平行四边形分成两个全等的图形。

直线与对边的交点到对角线的交点的距离相等。

【即学即练1】1.以下平行四边形的性质错误的是()A.对边平行B.对角相等C.对边相等D.对角线互相垂直【即学即练2】2.如图,在▭ABCD中,∠A+∠C=80°,则∠D=()A.80°B.40°C.70°D.140°【即学即练3】3.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=12,CD=4,则△ABO的周长是()A.9B.10C.11D.12知识点03 平行线间的距离1.平行线间的距离的定义:一组平行线中,其中一条平行线上任意一点到另一条平行线的是这一组平行间的距离。

2.平行线间的距离的性质:①两条平行线间的距离。

②平行线间的平行线段。

【即学即练1】4.如图,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2于点E,FG⊥l2于点G,则下列说法中错误的是()A.AB=CDB.CE=FGC.A、B两点间距离就是线段AB的长度D.l1与l2两平行线间的距离就是线段CD的长度题型01 平行线的性质的理解判断【典例1】关于平行四边形的性质,下列描述错误的是()A.平行四边形的对角线相等B.平行四边形的对角相等C.平行四边形的对角线互相平分D.平行四边形的对边平行且相等【变式1】平行四边形不一定具有的性质是()A.对边平行且相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分【变式2】如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,下列结论中一定成立的是()A.AC⊥BD B.OA=OC C.AC=AB D.OA=OB【变式3】平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,若∠AOB=180°﹣2∠BAO,那么下列说法正确的是()A.AB=OB B.AB=OA C.AC=BD D.AC⊥BD题型02 平行四边形的性质与角度的计算【典例1】在▱ABCD中,若∠A=∠B+50°,则∠B的度数为度.【变式1】在▱ABCD中,∠A+∠C=220°,则∠D的度数是()A.70°B.80°C.90°D.110°【变式2】如图,平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于E,∠BED=155°,则∠A的度数为()A.155°B.130°C.125°D.110°【变式3】如图,在▱ABCD中,∠A=68°,DB=DC,CE⊥BD于E,则∠BCE的度数为.【变式4】如图,在平行四边形ABCD中,∠B=60°,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠AED=80°,则∠ACE的度数是()A.30°B.35°C.40°D.45°题型03 平行四边形的性质与线段长度的计算【典例1】如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=8,AC=12,则BD 的长是()A.16B.18C.20D.22【变式1】如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠ABC的平分线交AD于E,交CD的延长线于点F,则DF=()变式1 变式2A.4B.3C.2D.1【变式2】在▱ABCD中,尺规作图后留下的痕迹如图所示,若AB=3cm,AD=10cm,则EF的长为()A.3cm B.3.5cm C.4cm D.4.5cm【变式3】如图,在▱ABCD中,∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E,且BE=AB=,线段CE的长为()A.2B.3C.﹣2D.3【变式4】如图,▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=5,AB=CF=3,则CG的长为.题型04 平行四边形的面积【典例1】观察如图中的三个平行四边形,你认为说法正确的是()A.它们形状相同,面积相等B.它们形状相同,面积不相等C.它们形状不相同,面积相等D.它们形状不相同,面积不相等【变式1】一个平行四边形两条邻边的长度分别是6cm、8cm,且一条底边上的高是7cm,则这个平行四边形的面积是()cm2.A.42cm2B.56cm2C.48cm2D.42cm2或者56cm2【变式2】图中,平行四边形的面积是30平方厘米,下列说法错误的是()A.S甲=S乙+S丙B.S甲:S乙:S丙=5:2:3C.S甲=15平方厘米D.S丙=6平方厘米【变式3】如图,F是▱ABCD的边CD上的点,Q是BF中点,连接CQ并延长交AB于点E,连接AF与DE相交于点P,若,,则阴影部分的面积为()cm2A.24B.17C.18D.10题型05 平行四边形的周长【典例1】如图,在平行四边形ABCD中,AC=4m,若△ACD的周长为13cm,则平行四边形ABCD的周长为()A.26cm B.24cm C.20cm D.18cm【变式1】如图,在▱ABCD中,AD=10,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=24,则△BOC的周长为.【变式2】如图,▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,▱ABCD的周长为30,直线EF过点O,且与AD,BC分别交于点E.F,若OE=5,则四边形ABFE的周长是()A.30B.25C.20D.15【变式3】如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,BE=4,EC=3,则平行四边形ABCD 的周长为()cm.A.11B.18C.20D.22【变式4】在平行四边形ABCD中,∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段,则平行四边形ABCD的周长为()A.13或14B.26或28C.13D.无法确定题型06 利用平行四边形的性质求坐标【典例1】在平面直角坐标系xOy中,▱ABCD的对角线交于点O.若点A的坐标为(﹣2,3),则点C的坐标为.【变式1】(多选)29.如图,在直角坐标系中,以点O(0,0),A(﹣2,﹣1),B(0,2)为四边形的三个顶点构造平行四边形,则下列各点中可以作为第四个顶点的是()A.(﹣2,1)B.(﹣2,﹣3)C.(3,3)D.(2,3)【变式2】在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是()A.(7,3)B.(8,2)C.(3,7)D.(5,3)【变式3】如图,在平面直角坐标系中,▱ABCD的边AD在x轴上,顶点B在y轴上,点A,D的坐标分别是(2,0),(7,0),∠OBA=30°,则顶点C的坐标为()A.B.C.D.题型07 平行线间的距离【典例1】如图,直线l1∥l2,l1和AB的夹角∠DAB=135°,且AB=4mm,则两平行线l1和l2之间的距离是()A.2B.4C.D.【变式1】如图,已知直线a∥直线b,点A,B分别在直线a和直线b上,若AB=6,∠1=60°,则直线a与直线b之间的距离是.【变式2】如图,a∥b,点A、B分别在直线a、b上,∠1=45°,点C在直线b上,且∠BAC=105°,若a、b之间的距离为3,则线段AC的长度为.【变式3】在同一平面内,已知a∥b,b∥c,若直线a、b之间的距离为7cm,直线b、c之间的距离为3cm,则直线a、c间的距离为()A.4cm或10cm B.4cm C.10cm D.不确定1.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论错误的是()A.AB CD B.OB=OD C.AB=AD D.∠ABC=∠ADC2.在▱ABCD中,如果∠A+∠C=160°,那么∠C等于()A.20°B.40°C.60°D.80°3.如图,若直线m∥n,则下列哪条线段的长可以表示平行线m与n之间的距离()A.AB B.AC C.AD D.DE4.如图,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线AE交CD于E,AB=8,BC=6,则EC等于()A.1B.1.5C.2D.35.平面直角坐标系中,A、B、C三点坐标分别为(0,0),(0,﹣4),(﹣3,3),以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b之间的距离为5cm,b与c之间的距离为3cm,则a与c之间的距离是()A.2cm B.8cmC.2cm或8cm D.以上都不对7.如图,在▱ABCD中,AD:AB=3:4,AE平分∠DAB交CD于点E,交BD于点F,则的值是()A.3:4B.9:16C.4:3D.16:98.如图,▱ABCD中,AB=22cm,BC=8cm,∠A=45°,动点E从A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B运动,动点F从点C出发,以1cm/s的速度沿着CD向D运动,当点E到达点B时,两个点同时停止.则EF的长为10cm时点E的运动时间是()A.6s B.6s或10s C.8s D.8s或12s9.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BF=BE;④PF=PC.其中正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图所示,以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE,使AD=AE,且点E在平行四边形内部,连接DE,CE,则∠CED的度数为()A.150°B.145°C.135°D.120°11.如图,l1∥l2,点A在直线l1上,点B、C在直线l2上,AC⊥l2.如果AB=5cm,BC=4cm.那么平行线l1,l2之间的距离为cm.12.如图,▱ABCD的对角线交于坐标原点O.若点A的坐标为(﹣,1),点B的坐标为(﹣1,﹣1),则BC=.13.在平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,AE为边BC上的高,,CE=2,则平行四边形ABCD的周长为.14.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC=12,P为AB边上一动点,以P A,PC为边作平行四边形P AQC,则对角线PQ的长度的最小值为.15.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,BC边的中点,延长CD至点G,使DG=CD,以DG,DE为边向平行四边形ABCD外构造平行四边形DGME,连接BM交AD于点N,连接FN.若DG =DE=2,∠ADC=60°,则FN的长为.16.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=AD,AE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.证明AE=DF.17.如图,直线a∥b,AB与a,b分别相交于点A,B,且AC⊥AB,AC交直线b于点C.(1)若∠1=70°,求∠2的度数;(2)若AC=5,AB=12,BC=13,求直线a与b的距离.18.如图,在▱ABCD中,CE平分∠BCD,交AB于点E,AE=3,EB=5,DE=4.(1)求证:∠DEA=90°;(2)求CE的长.19.如图,在▱ABCD中,BC=3AB﹣6,点E,F分别在边AB,CD上,AE=CF,直线EF分别交AD,CB 的延长线交于点H,G.(1)求证:DH=BG.(2)作HM∥AB,交BC延长线于点M,AM交GH于点O.若BE=1,GB=3,AB⊥AM,∠AEH=45°,求AE的长.20.如图①▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E和点F.(1)求证:OE=OF(2)如图②,已知AD=1,BD=2,AC=2,∠DOF=∠α,①当∠α为多少度时,EF⊥AC?②在①的条件下,连接AF,求△ADF的周长.。

平行四边形知识点及同步练习、含答案3

平行四边形知识点及同步练习、含答案3

平行四边形的特征【学习目标】1.探索并掌握平行四边形的特征.2.灵活运用平行四边形的特征解决问题.3.平行四边形一般转化成三角形的问题来解决.【基础知识概述】 1.平行四边形:(1)平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)平行四边形的表示:平行四边形用符号“”表示. 平行四边形ABCD 记作,读作平行四边形ABCD . (3)平行四边形定义的作用:①由定义知平行四边形的两组对边分别平行.②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行,那么这个四边形是平行四边形. 2.平行四边形的特征:(1)平行四边形的邻角互补,对角相等. (2)平行四边形的对边平行且相等. (3)平行四边形的对角线互相平分.(4)平行四边形是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.(5)若一条直线过平行四边形两对角线的交点,则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,且这条直线二等分平行四边形的面积.注意:①特征:都是通过连对角线把四边形问题转化成三角形问题来处理的,即通过平移或旋转,利用重合来证明的.②夹在两条平行线间的平行线段是指端点分别在两条平行线上的平行线段. ③互相平分指两条线段有公共的中点. 3.平行四边形特征的作用:可以用来证明线段相等、角相等及两直线平行等.如图12-1-1,有如下结论:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠==(对角线互相平分),(对角相等),(对边相等),(对边平行),是平行四边形,则如果四边形DO BO CO AO D B C A ADBC CD AB AD//BC CD //AB ABCD 4.两条平行线间的距离:(1)定义:两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离.(2)两平行线间的距离处处相等.注意:距离是指垂线段的长度,是大于0的.①平行线的位置确定后,它们的距离是定值,不随垂线段的位置改变.②平行线间的距离处处相等,因此在作平行四边形的高时,可根据需要灵活选择位置.5.平行四边形的面积:(1)如图12-1-2①,.也就是(a是平行四边形任何一边长,h必须是a边与其对边的距离).(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.如图12-1-2②,有公共边BC,则.注意:这里的底是相对而言的,也就是高所在的边,平行四边形任意一边都可以作底,底确定后,高也就确定了.【例题精讲】例1如图12-1-3,已知的对角线相交于点O,过O作直线交AB于E,交CD 于F,可得OE=OF.为什么?分析:要得到OE=OF,可先证得它们所在△AEO与△CFO(△BEO与△DFO)重合.解:在中,∵AB∥CD,OD=OB,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴将△BOE绕点O旋转180度后与△DOF重合.∴OE=OF.注意:把线段与角归结为平行四边形的边,对角线或对角,利用平行四边形的特征证明.例2(1)在中,∠A︰∠B=2︰3,求各角的度数.(2)已知的周长为28cm,AB︰BC=3︰4,求它的各边的长.分析:(1)在平行四边形中,邻角是互补的,而对角是相等的,所以∠A与∠B必是邻角,其和为180°,可据此列式求出角度.(2)平行四边形的对边相等,所以周长为邻边之和的2倍,可以据此列式求出各边长.解:(1)由于∠A、∠B是平行四边形的两个邻角,所以∠A+∠B=180°.又因为∠A︰∠B=2︰3,不妨可设∠A=2k,∠B=3k,那么2k+3k=180°,可以解得k=36°,则∠A=∠C=72°,∠B=∠D=108°.(2)由于在中,AB=CD,BC=AD.所以AB+BC+CD+AD=28,即AB+BC =14.由题意得AB︰BC=3︰4,因此可设AB=3k,BC=4k,那么有3k+4k=14,解得k =2,则AB=CD=6cm,BC=AD=8cm.例3如图12-1-4,已知的周长为60 cm,对角线AC、BD相交于点O,△AOB 的周长比△BOC的周长长8cm,求这个四边形各边长.分析:由平行四边形对边相等知AB+BC=平行四边形周长的一半=30cm,又由△AOB 的周长比△BOC的周长长8 cm知AB—BC=8cm,由此两式,可得各边长.解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD=CB,AO=CO.∵AB+CD+AD+CB=60,AO+AB+OB-(OB+BC+OC)=8,∴AB十BC=30,AB-BC=8,∴AB=CD=19,BC=AD=11.答:这个四边形各边长分别为19 cm,11 cm,19 cm,11 cm.注意:①平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半.②平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.思考:如图12-1-4,如果△AOB与△AOD的周长之差为8,而AB∶AD=3∶2,那么的周长为多少?提示:周长为80.设AB=3x,则AD=2x,依题意有3x-2x=8,∴x=8,∴AB=3x=3×8=24,AD=2x=2×8=16.∴周长=2(24+16)=80.例4 如图12-1-5,在中,∠B=120°,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥BC,垂足为F.求∠ADE,∠EDF,∠FDC的度数.分析:由平行四边形对角相等、邻角互补得∠A=∠C,∠A+∠B=180°,再由垂直得到角为90°即可.解:在中,∵∠A=∠C,AD∥BC,∴∠A+∠B=180°.∴∠A=180°-∠B=60°.∴∠C=60°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠ADE=∠FDC=90°-∠A=90°-60°=30°.注意:在平行四边形中求角的度数时,一般运用平行四边形的特征,即对角相等、邻角互补来进行求解.【中考考点】会利用平行四边形证明角相等,线段相等及直线平行.【命题方向】多以中档题型出现,填空、选择、计算、证明等各种形式都会涉及.【常见错误分析】例7如图12-1-7,中,AC和BD交于O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F,则OE=OF.为什么?错解:∵,∴OA=OC,∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠AOE=∠COF.又∠1=∠2,∴△AOE旋转180°后与△COF重合,∴OE=OF.误区分析:错误出于∠AOE=∠COF这一步骤,原因在于默认了E,O,F三点共线,而已知条件中并没有这个结论,其实E,O,F三点共线在证题过程中应该加以证明,否则就犯了推理没有根据,理由不充足的逻辑错误.正解:解法一:∵,∴AD∥BC,∴∠3=∠4.又OA=OC,∠AEO=∠CFO=90°,∴△AOE旋转180°后与△COF重合,∴OE=OF.解法二:∵AD∥BC,OE⊥AD∴OE⊥BC.又OF⊥BC,∴直线OE与OF重合,即E,O,F三点共线,∴∠1=∠2.又∵OA=OC,∠AEO=∠CFO=90°,∴△AOE旋转180°后与△COF重合,∴OE=OF.此命题可推广如下:已知中,AC 和BD 交于O ,过点O 作直线EF 交AD 于F ,交BC 于F ,则OE =OF .求解(略).这个推广后的命题,是平行四边形中一个十分重要的基本命题,利用它的结果可以证明很多问题成立.【学习方法指导】1.学习平行四边形的特征时,按照对角、对边、对角线的顺序去理解,便于记忆和应用.2.本节主要内容是平行四边形的定义及特征,并且要重点理解两条平行线间的距离的概念.【同步达纲练习】 一、填空题1.若一个平行四边形相邻的两内角之比为2︰3,则此平行四边形四个内角的度数分别为____________.2.在中,周长为28,两邻边之比为3︰4,则各边长为____________. 3.在中,∠A =30°,AB =7 cm ,AD =6 cm ,则=____________. 4.一个平行四边形的一边长是8,一条对角线长是6,则它的另一条对角线x 的取值范围为____________.5.中,周长为20cm ,对角线AC 交BD 于点O ,△OAB 比△OBC 的周长多4,则边AB =____________,BC =____________.6.平行四边形的边长等于5和7,这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是____________.7.已知等腰△ABC 的一腰AB =9 cm ,过底边上任一点P 作两腰平行线分别交AB 于M ,交AC 于N ,则AN 十PN =____________.8.平行四边形两邻边分别是4和6,其中一边上的高是3,则平行四边形的面积是____________.9.平行四边形邻边长是 4 cm 和8cm ,一边上的高是 5 cm ,则另一边上的高是____________.10.如图12-1-8,中,E 是AD 的中点,BD 与EC 相交于F ,若2S EFD =∆,则BFC S ∆=____________.11.已知P 为内一点,,则PCD PAB S S ∆∆+=____________.12.已知的对角线相交于点O ,它的周长为10 cm ,△BCO 的周长比△AOB 的周长多2cm ,则AB =____________.二、解答题13.已知,如图12-1-9,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,DE∥BC交AB于E,EF ∥AC交BC于F,则BE=FC,为什么?14.如图12-1-10,中,E,F是对角线BD上两点,且BE=FD,连结AE,FC,则AE=FC,试说明理由.15.如图12-1-11,中,对角线AC长为10 cm,∠CAB=30°,AB长为6 cm,求的面积.16.如图12-1-12,在等边△ABC中,P为△ABC内一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,D,E,F分别在AC,AB和BC上,试说明PD+PF+PE=AB.17.从平行四边形的一个锐角顶点作两条高,如果这两条高的夹角是135°,求此平行四边形的各角的度数.三、思考题18.如图12-1-13,EF 过对角线的交点O ,交AD 于E ,交BC 于F ,若AB =4,BC =5,OE =1.5,求四边形EFCD 的周长.19.以平行四边形ABCD 两邻边BC 、CD 为边向外作正△BCP 和正△CDQ ,则△APQ 为正三角形,请说明理由.参考答案【同步达纲练习】 一、1.72°,108°,72°,108° 2.6,8,6,83.2cm 21 4.10<x<22 5.7cm ,3 cm 6.5,2 7.9 cm 8.12或189.cm 2510.8 11.50 12.1.5cm 二、13.提示:由△BED 是等腰三角形得到BE =ED ,由四边形DEFC 是平行四边形得到ED =FC 即可.14.提示:通过△ABE 与△DCF 重合可以得出.15.2cm 30.16.延长FP 交AB 于G ,延长DP 交BC 于H ,四边形AGPD ,EBHD 为平行四边形,PD =AG ,PH =BE ,△GEP ,△PHF 为等边三角形,PE =EG ,PH =PF =BE ,PD +PF +PE =AG +GE +EB =AB .17.45°,135°,45°,135°. 三、18.OE =OF =1.5,AE =CF ,DE =BF ,ED +CF =BF +FC =5,CD =AB =4,四边形EFCD 的周长为2×1.5+5+4=12.19.提示:证明△ABP 、△QDA 、△QCP 三个三角形重合,可得出AP =AQ =PQ 即可.。

平行四边形知识点与经典例题-

平行四边形知识点与经典例题-

平行四边形一、 基础知识平行四边形二、1、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三遍的一半。

2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、例题例1、如图1,平行四边形ABCD 中,AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,垂足分别为E 、F. 求证:∠BAE =∠DCF.例2、如图2,矩形ABCD 中,AC 与BD 交于O 点,BE ⊥AC 于E ,CF ⊥BD 于F.求证:BE = CF.例3、已知:如图3,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB = DC ,点E 、F 分别在AB 、CD 上,且BE = 2EA ,CF = 2FD. 求证:∠BEC =∠CFB.例4、如图6,E 、F 分别是 平行四边形ABCD 的AD 、BC 边上的点,且AE = CF.(1)求证:△ABE ≌△CDF ;(2)若 M 、N 分别是BE 、DF 的中点,连结MF 、EN ,试判断四边形MFNE 是怎样的四边形,并证明你的结论.(图1) BA DBCE F (图6)M NOABCDE F (图2)例5、如图7 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.,求证:四边形AFCE是菱形.例6、如图8,四边形ABCD是平行四边形,O是它的中心,E、F是对角线AC上的点.(1)如果,则△DEC≌△BFA(请你填上一个能使结论成立的一个条件);(2)证明你的结论.例7、如图9,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB = DC,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点(点E不与B、C两点重合),EF∥BD交AC于点F,EG∥AC交BD于点C.(1)求证:四边形EFOG的周长等于2OB;(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中,AD∥BC,AB = DC”改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论,“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、不必证明.例8、有一块梯形形状的土地,现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分),试设计两种方案(平分方案画在备用图13(1)、(2)上),并给予合理的解释.备用图(1)备用图(2)图13BCRPDCBAEF 第12题图一、选择题1.下列命题正确的是( )(A)、一组对边相等,另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 (B)、对角线相等的四边形一定是矩形(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 2. 已知平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则AC 的取值范围为( ) A. 6<AC<10; B. 6<AC<16; C. 10<AC<16; D. 4<AC<16 3.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平形四边形的个数是( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )44.延长平形四边形ABCD 的一边AB 到E ,使BE =BD ,连结DE 交BC 于F ,若∠DAB =120°,∠CFE =135°,AB =1,则AC 的长为( )(A )1 (B )1.2 (C )32(D )1.5 5.若菱形ABCD 中,AE 垂直平分BC 于E ,AE =1cm ,则BD 的长是( ) (A )1cm (B )2cm (C )3cm (D )4cm6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形,那么这个四边形的对角线( ) (A )互相垂直 (B )相等 (C )互相平分 (D )互相垂直且相等7. 如图,等腰△ABC 中,D 是BC 边上的一点,DE ∥AC ,DF ∥AB ,AB=5那么四边形AFDE 的周长是( )(A )5 (B )10 (C )15 (D )20(第7题) (第8题) (第9题) (第10题)8.如图,将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠,使点D 落在BC 边中点E 处,点A 落在点F 处,折痕为MN ,则线段CN 的长是( ). (A )3cm (B )4cm (C )5cm (D )6cm9. 如图,在直角梯形ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AC 将梯形分成两个三角形,其中△ACD 是周长为18 cm 的等边三角形,则该梯形的中位线的长是( ). (A)9 cm (B)12cm (c)29cm (D)18 cm 10.如图,在周长为20cm 的□ABCD中,AB≠AD,AC 、BD 相交于点O ,OE ⊥BD 交AD 于E ,则△ABE 的周长为( ) (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm11. 如图2,四边形ABCD 为矩形纸片.把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF .若CD =6,则AF 等于 ( )(A )34 (B )33 (C )24(D )8 12.如图,已知四边形ABCD 中,R 、P 分别是BC 、CD 上的点,E 、F 分别是 AP 、RP 的中点,当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时,那么下列结论 成立的是 ( )A 、线段EF 的长逐渐增大B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P13. 在梯形ABCD 中,AD//BC ,对角线AC ⊥BD ,且cm AC 5 ,BD=12c m ,则梯形中位线的长等于( )A. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cmD. 6cm14. 国家级历史文化名城——金华,风光秀丽,花木葱茏.某广场上一个形状是 平行四边形的花坛(如图),分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花. 如果有AB EF DC ∥∥,BC GH AD ∥∥,那么下列说法中错误的是( )A .红花、绿花种植面积一定相等B .紫花、橙花种植面积一定相等C .红花、蓝花种植面积一定相等D .蓝花、黄花种植面积一定相等AB CDOEABCDEF图 2第14题C第10题图DAB CPMN(1)(2)图9A B CDE FO图1.如果四边形四个内角之比1:2:3:4,则这四边形为____形。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
∵AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形;
(3)在Rt△ABC中,AB=1,BC= ,
∴AC= =2,
∴OA=1=AB,
∴△ABO是等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
∵BF=DF,
∴△BFD是等腰三角形,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
∴OF⊥BD(等腰三角形底边上的中线是底边上的高),
∴∠BOF=90°,
∴∠α=∠AOF=∠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱOF﹣∠AOB=45°.
【点睛】
此题是四边形综合题,主要考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,旋转的性质,判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键.
3.(1)见解析;(2)①见解析;②2 +2
②设 ,则可表示出AE和AB,然后根据等角对等边证得CE=CB,然后在 中应用勾股定理即可求解.
【详解】
(1) 由折叠知 ,
所以 .
若点 在 上,则 , ,
与 矛盾,
所以点 不会落在 上.
(2)①因为 ,则 ,
因为点 落在 上,
所以 ,
所以 .
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
②若 ,则 .
设 ,则 .
因为 ,
所以 .
因为 ,
所以 ,
所以 .
在 中, ,
所以 ,
所以 .
故答案为(1)不会,理由见解析;(2)①见解析;② .
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定,和等边对等角,此题属于矩形的折叠问题类综合题,熟练掌握三角形全等的性质,和做出示意图是本题的关键.
2.(1)证明见解析;(2)平行四边形,理由见解析;(3)45°
【详解】
(1)证明:在▱ABCD中,AD∥BC,
∴∠OAF=∠OCE,
∵OA=OC,∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴OE=OF;
(2)当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形,理由:
∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°,
∵∠AOF=90°,
∴∠BAC=∠AOF,
∴AB∥EF,
5.已知在平行四边形 中, ,将 沿直线 翻折,点 落在点尽处, 与 相交于点 ,联结 .
(1)如图1,求证: ;
(2)如图2,如果 , , ,求 的面积;
(3)如果 , ,当 是直角三角形时,求 的长.
6.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,∠A的角平分线交边CD于点E.点P从点A出发沿射线AE以每秒2个单位长度的速度运动,Q为AP的中点,过点Q作QH⊥AB于点H,在射线AE的下方作平行四边形PQHM(点M在点H的右侧),设P点运动时间为 秒.
【分析】
(1)由平行四边形的性质得出∠OAF=∠OCE,OA=OC,进而判断出△AOF≌△COE,即可得出结论;
(2)先判断出∠BAC=∠AOF,得出AB∥EF,即可得出结论;
(3)先求出AC=2,进而得出A=1=AB,即可判断出△ABO是等腰直角三角形,进一步判断出△BFD是等腰三角形,利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF=90°,即可得出结论.
(1)求证: .
(2)若 ,求 的长.
9.如图,四边形 为正方形.在边 上取一点 ,连接 ,使 .
(1)利用尺规作图(保留作图痕迹):分别以点 、 为圆心, 长为半径作弧交正方形内部于点 ,连接 并延长交边 于点 ,则 ;
(2)在前面的条件下,取 中点 ,过点 的直线分别交边 、 于点 、 .
①当 时,求证: ;
②当 时,延长 , 交于 点,猜想 与 的数量关系,并说明理由.
10.已知:在矩形ABCD中,点F为AD中点,点E为AB边上一点,连接CE、EF、CF,EF平分∠AEC.
(1)如图1,求证:CF⊥EF;
(2)如图2,延长CE、DA交于点K,过点F作FG∥AB交CE于点G若,点H为FG上一点,连接CH,若∠CHG=∠BCE,求证:CH=FK;
(1)直接写出 的面积(用含 的代数式表示).
(2)当点M落在BC边上时,求 的值.
(3)在运动过程中,整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形?若存在,请写出所有全等三角形,并求出对应的 的值;若不存在请说明理由(不能添加辅助线).
7.如图,锐角 , ,点 是边 上的一点,以 为边作 ,使 , .
(3)如图3,过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、解答题
1.(1)不会,理由见解析;(2)①见解析;②
【分析】
(1)根据 得到 ,根据三角形的三边关系得到 ,与已知矛盾;
(2)①根据 、 和BF=CD,利用AAS证得 ,根据全等三角形的性质即可证明;
平行四边形知识点及练习题及解析
一、解答题
1.如图,在矩形 中,点 是 上的一点(不与点 , 重合), 沿 折叠,得 ,点 的对称点为点 .
(1)当 时,点 会落在 上吗?请说明理由.
(2)设 ,且点 恰好落在 上.
①求证: .
②若 ,用等式表示 的关系.
2.如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°),分别交线段BC,AD于点E,F,连接BF.
(1)如图1,在旋转的过程中,求证:OE=OF;
(2)如图2,当旋转至90°时,判断四边形ABEF的形状,并证明你的结论;
(3)若AB=1,BC= ,且BF=DF,求旋转角度α的大小.
3.如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,AE=AD,作DF⊥AE于点F.
(1)求证:AB=AF;
(2)连BF并延长交DE于G.
(1)过点 作 交 于点 ,连接 (如图①)
①请直接写出 与 的数量关系;
②试判断四边形 的形状,并证明;
(2)若 ,过点 作 交 于点 ,连接 (如图②),那么(1)②中的结论是否任然成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由.
8.已知:如下图, 和 中, , 为 的中点,连接 .若 ,在 上取一点 ,使得 ,连接 交 于 .
①EG=DG;
②若EG=1,求矩形ABCD的面积.
4.如图, 为正方形 的对角线 上一点.过 作 的垂线交 于 ,连 ,取 中点 .
(1)如图1,连 ,试证明 ;
(2)如图2,连接 ,并延长 交对角线 于点 ,试探究线段 之间的数量关系并证明;
(3)如图3,延长对角线 至 延长 至 ,连 若 ,且 ,则 .(直接写出结果)
相关文档
最新文档