平行四边形知识点及练习题及解析

∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝ ，
∴AC＝ ＝2，
∴OA＝1＝AB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BF＝DF，
∴△BFD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF⊥BD（等腰三角形底边上的中线是底边上的高），
∴∠BOF＝90°，
∴∠α＝∠AOF＝∠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱOF﹣∠AOB＝45°．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键．
3．（1）见解析；（2）①见解析；②2 +2
②设 ，则可表示出AE和AB，然后根据等角对等边证得CE=CB，然后在 中应用勾股定理即可求解．
【详解】
（1） 由折叠知 ，
所以 ．
若点 在 上，则 ， ，
与 矛盾，
所以点 不会落在 上．
（2）①因为 ，则 ，
因为点 落在 上，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
②若 ，则 ．
设 ，则 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
在 中， ，
所以 ，
所以 ．
故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；② ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．
2．（1）证明见解析；（2）平行四边形，理由见解析；（3）45°
【详解】
（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠AOF＝90°，
∴∠BAC＝∠AOF，
∴AB∥EF，
5．已知在平行四边形 中， ，将 沿直线 翻折，点 落在点尽处， 与 相交于点 ，联结 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，如果 ， ， ，求 的面积；
（3）如果 ， ，当 是直角三角形时，求 的长．
6．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠A的角平分线交边CD于点E．点P从点A出发沿射线AE以每秒2个单位长度的速度运动，Q为AP的中点，过点Q作QH⊥AB于点H，在射线AE的下方作平行四边形PQHM（点M在点H的右侧），设P点运动时间为 秒．
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；
（2）先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；
（3）先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．
（1）求证： .
（2）若 ，求 的长.
9．如图，四边形 为正方形.在边 上取一点 ，连接 ，使 .
（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点 、 为圆心， 长为半径作弧交正方形内部于点 ，连接 并延长交边 于点 ，则 ；
（2）在前面的条件下，取 中点 ，过点 的直线分别交边 、 于点 、 .
①当 时，求证： ；
②当 时，延长 ， 交于 点，猜想 与 的数量关系，并说明理由.
10．已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点,点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF，EF平分∠AEC．
(1)如图1，求证：CF⊥EF;
(2)如图2，延长CE、DA交于点K,过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE,求证：CH=FK;
（1）直接写出 的面积（用含 的代数式表示）．
（2）当点M落在BC边上时，求 的值．
（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．
7．如图，锐角 ， ，点 是边 上的一点，以 为边作 ，使 ， ．
(3)如图3,过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据 得到 ，根据三角形的三边关系得到 ，与已知矛盾；
（2）①根据 、 和BF=CD，利用AAS证得 ，根据全等三角形的性质即可证明；
平行四边形知识点及练习题及解析
一、解答题
1．如图，在矩形 中，点 是 上的一点（不与点 ， 重合）， 沿 折叠，得 ，点 的对称点为点 ．
（1）当 时，点 会落在 上吗？请说明理由．
（2）设 ，且点 恰好落在 上．
①求证： ．
②若 ，用等式表示 的关系．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
（3）若AB＝1，BC＝ ，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
3．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，AE=AD，作DF⊥AE于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）连BF并延长交DE于G．
（1）过点 作 交 于点 ，连接 （如图①）
①请直接写出 与 的数量关系；
②试判断四边形 的形状，并证明；
（2）若 ，过点 作 交 于点 ，连接 （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
8．已知：如下图， 和 中， ， 为 的中点，连接 .若 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 交 于 .
①EG＝DG；
②若EG＝1，求矩形ABCD的面积．
4．如图， 为正方形 的对角线 上一点.过 作 的垂线交 于 ，连 ，取 中点 ．
（1）如图1，连 ，试证明 ；
（2）如图2，连接 ，并延长 交对角线 于点 ，试探究线段 之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线 至 延长 至 ,连 若 ,且 ，则 ．（直接写出结果）