高三数学必做题--数列放缩法(典型试题)
(完整版)放缩法典型例题
放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．。
高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)
用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑.解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: a n +2n=4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n=4×4n －1=4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n－1)T n = 2nS n = 32×2n(2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1) 所以, 1ni i T =∑=321(ni =∑12i－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a=-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n na )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式nn S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++=③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=--12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1=+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n nn n a a 证明：因为n n n a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ． 令12212221--+++=n nn S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<+⋅⋅⋅+< 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n nS a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2nn n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：nn n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)nn n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-nn a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n nn a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n na -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。
高三数学必做题--数列放缩法
(1) 求数列 4的通项公式；1 a a 1(2) 若a ，设b n n 丄，且数列b n 的前n 项和为「，求证：人3 1 a n 1 a n i 3n 1 a2、已知数列 q 的前n 项和s n -，且a 1 1.2(1) 求数列耳的通项公式；(2) 令b n ln a n ，是否存在k (k 2,k N)，使得b k 、b k 1、b k 2成等比数列.若存在, 值；若不存在，请说明理由.3、已知a n 是等差数列，a 2 3, a 3 5.⑴求数列a n 的通项公式;4、设数列a n 的前n 项和为S n ,且满足a 1 2, a . 1⑵对一切正整数n ，设b n n (1) n a n a n 1，求数列 b n 的前n 项和S n .求出所有符合条件的 k 2S n 2 n 1,2,3L(1)求 a 2 ；(2)数列a n 的通项公式;5、对于任意的n € N*，数列｛a n ｝满足 (I )求数列｛a n ｝的通项公式；(n )求证：对于 n 》2,—— a ? a a i 1 a 2 2 , a n n-1.2 L n1 2 1 2 1 2 1L 2 1 Ja n 12n26、已知各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为S n 满足4S n a n 2a n •(3)设 b n an 1S n i S n,求证: b i b 2 b n(1)求a i 的值;(2)求｛a .｝的通项公式;1(1)求证：数列｛」｝是等差数列;a n 12(2)求证：丄色更鱼Ln 1 a 2 a 3 a °(3)求证: 1 ~2 a i 1 ~2a 2 a n^,n N 27、已知数列耳满足a 12，a n 1a n 细11 0，" N 8已知首项大于0的等差数列 a n ｝的公差d 1，且二 a n a n 1(1) 求数列a n｝的通项公式；1 n ( 1)n 1(2) 若数列b n｝满足：bi 1, b2 ,幕b n，其中n 2.n a n①求数列b n｝的通项b n ；②是否存在实数，使得数列｛b n｝为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19、已知数列耳的前n项和为S n，且S n n a n 1, n N ，其中a1 1 .2(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n ，数列b n的前n项和为「，求证：「3 n1 2 4。
2024年高考数学专题10 数列不等式的放缩问题 (练习)(原卷版)
(2)是否存在
n
Î
N*
，使得
ln
2
<
sin
1 1´
3
+
sin
2
1 ´
4
+
×
×
×
+
sin
1 n(n +
2)
<
3 4
成立？请说明理由．
23．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记 Sn 为数列an 的前 n 项和，已知
专题 10 数列不等式的放缩问题
目录
01 先求和后放缩 .................................................................................................................................1
明理由；
a
-
1
£0
(3)对任意正整数
n
，不等式
1 +
1 b1
1 +
1 b2
××
×
1
+
1 bn
n - 2 + an
都成立，求实数 a 的取值范围．
n
06 å ai < (>)b 型不等式的证明 i =1
22．（2023·山西·高三统考阶段练习）已知函数 f (x) = sin x - x + 1 x3 ． 6
等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求an 的通项公式；
高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)
2 用放缩法处理数列和不等问题(教师版)•先求和后放缩(主要是先裂项求和，再放缩处理) 例1 •正数数列 a n 的前n 项的和S n ，满足2.. S ； a n 1,试求: (1)数列a n 的通项公式；5 1 1 (2 )设b n，数列b n 的前n 项的和为B n ,求证：B ；a n a n 122 2 2 2解：(〔)由已知得 4S n (a *1) , n 2时，4S n 1 (a * 11)，作差得：4a *a * 2a * a *12a * 1，所以(a * a * 1)(a *a n 1a 12) 0 1，所以 ，又因为 a * 1为正数数列，所以 a * a * 12，即a *是公差为2的等差数列，由2 S 1 a 11,得a *2n111 1 1(2 ) b n-()，所以a n a n1(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1c1一 1 1 1 111 1 1 B n (1-)23 3 5 2n 12n 1 2 2(2n 1) 24 1“ 2真题演练1: (06全国1卷理科22题)设数列a n 的前n 项的和，S n —a n — 2n 1 -，n 1,2,3,ggg 3 3 32**3(1)求首项 a 1 与通项 a * ； (n)设 T n—，n1,2,3,ggg ，证明： T i-.Si 124 1 d 2 412解：(I )由 S n =3a *— 3X 2 +3, n=1,2,3 ，…，① 得 a 1=S= ~a 1 — -x 4+3 所以 &=23 3 3 3 3 3 ,亠4 1 n2再由①有 S n — 1=-a n — 1— -X 2 +3, n=2,3 ，4,…3 3 34 1 +1将①和②相减得:a n =S — S n -1= §(a n — a n —1) — — x (2 — 2 ),n=2,3, …整理得：a n +2n =4(a n —1+2n —1),n=2,3,…，因而数列｛ a n +2n ｝是首项为 4n , n=1,2,3, …,因而 a *=4n — 2n , n=1,2,3,…,2n+1n-X (2 — 1)(2 — 1)a1+2=4,公比为4的等比数列,即:a n +2n =4X 4n —1=(n )将a *=4—2代入①得S *=nn1(4 — 2)—尹n+1 22 +-n+1 .... (2 — 1)(2 — 2)n+12nT n= §2nn+1— 1)(2 n —3 1 2X (2—7所以, 3 T = _ i i 2 i 1n1 ______________ _____________ (2i — 1 — 2i+1 — 1) =2 X (21— 1 i 1i+1•先放缩再求和21 •放缩后成等比数列，再求和11，前n 项的和为S n ，且S 7,S g ,S 8成等差数列.2（皿）证明:n 2 1 a 〔 a ? 3 a ?a 3a na n 1n尹N).（I ）解： Qa n 1 2a n 1(n N*),a n 1 1 2(a r> 1), a n 1是以a 11 2为首项，2为公比的等比数列a n12n.即 2a n 21(n*N ).(II )证法一：Q 4k1 14k2 1...4kl 1(an1)kn .4(k 1 k 2--k n ) n2nkn .2[Q b 2... b n ) n] nb n ,①2[(b 1 b 2...b n b n 1) (n1)] (n 1)b n 1.②②—①，得2(b n 11) (n 1)b n1nbn,设b n2 a n1，数列b n a n 前n 项的和为T n ,证明:解：•••A 7 38a 9， A 8 A 9a 9，a a9a g ，二公比a g a 8…a nb n11 1 ( 1)n22)n1 32^（利用等比数列前n 项和的模拟公式S nAq n A 猜想）…B n b 1 b 2 b n 1 13 2 3 2213 2n1 1(1 2 2 221 2真题演练2 : （06福建卷理科22题）已知数列 a n满足 a i1,a n(I ) 求数列 a n 的通项公式; (II ) 若数列b n 滿足4b11L 4b(a n1)bl (n1(12a n 1(n).），证明：数列 b n 是等差数列;即(n 1)b n 1nb n 2 0, nb n 2 (n 1)b n12 0.例2 •等比数列 a n 中,a i③—④，得nb n 2 2nb n 1 nb n 0,即b n 2 2b n 1 b n 0, b n 2 b n 1 b n 1 g (n N* ), b n是等差数列(III )证明:Q皀a k 1k .2 11 T2 1k .2 12(2k -)11,2,…,n,a1 a2 a2a3a n na n 1 2_ a kQ丄a k 12k12k 111 1 12 2(2k 11) 2 3.2k2k2111,2 3.尹k1,2,...,n,a?a2 a3n 1 a1a2 2 3 a? a3 a na n 1n *2(n N).2 •放缩后为“差比”数列，再求和例3•已知数列｛a n｝满足：a1 1，a n 1（1歩曲门1,2,3 ）•求证：am a n n 1 2* 1证明: 因为a n 1 (1 步）a n，所以a n1与a n同号，又因为a1 1 0,所以a n即a n1ann-an，即a n 1 2n即a n 1ann■a nn-，累加得:2"2n12n1令S n2n〒，所以2221 c1111S n2222歹2n11故得a 1a n31a n •所以数列｛a n｝为递增数列，所以a na n a1222n 12* 13 •放缩后成等差数列，再求和例4 •已知各项均为正数的数列a1 12S n，两式相减得:S n 所以a n 32{a n}的前n项和为S n,且a n a n 2S n.解： (1)在条件中，令 n1，得 a 2a 1 232a 1，a 1 02a 1 1 ，又由条件a n a n 2S n 有2 a n 1a n1 2S n 1，上述两式相减，注意到a n 1 S n 1S n 得(a n 1a n )(an 1a n1) 0a na n 1a n 0…a n 1a n 1所以,a n11(n1)n，S nn(n 1)2n(n 1)1?n2,八222所以S n(n 1) a nan 12 224(2)因为 n E n 1，所以 n 2；(n 21)n 21，所以1C n 的前n 项和为T n ，试比较T n 和的大小并证明之61解：(I ) b -(利用函数值域夹逼性)；(II ) a n 2 n 1；2(1)求证：S n 2 2a n a n 15n 11n(n 1)23 2 2 2n 2 3n 2、22 .2n n(n 1) S n .2 2.2 . 2练习:1. ( 08南京一模22题)设函数f(x)—x bx —，已知不论 4 4f (2 sin ) 0 .对于正数列a n ，其前n 项和S n f(a n )， (n为何实数，恒有 f(cos ) 0且*N ).(I ) 求实数b 的值;II )求数列 a n 的通项公式;N ，且数列(皿)1(2n 2)2 1 1 1丁，…T n C| 2 2n 1 2n 3C 2 C 3（3）证明：对任意的整数 m 分析：⑴由递推公式易求:⑵由已知得: a n S n 化简得:a n2 a n 1a n(1)n2 (1)n1故数列｛a na 4 a 5a ma i =i, a 2=o, a 3=2 ；S n 1 2a n2(1)n 2｝是以 31)n2a n 1n 1(1)(n>1)1)n1 a n(1)n••数列 { a n (1)n a i2[ (1)n-为首项， 3公比为2的等比数列.1 (?(2)n ｝的通项公式为: …a n 2 3[2 1)n ] a n2( 1)n ]. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂, 1 先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。
高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)
用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：. 解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ①得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1)Tn= = × = ×( － )所以, = － ) = ×( －) <二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列中，，前n项的和为，且成等差数列．设，数列前项的和为，证明：．解：∵，，，∴公比．∴．．（利用等比数列前n项和的模拟公式猜想）∴．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列滿足，证明：数列是等差数列；（Ⅲ）证明：.（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列即（II）证法一：①②②－①，得即③－④，得即是等差数列（III）证明：2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2) 求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；练习：1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，.(Ⅰ) 求实数b的值；（II）求数列的通项公式；（Ⅲ）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之.解：(Ⅰ) （利用函数值域夹逼性）；（II）；（Ⅲ）∵，∴2.（04全国）已知数列的前项和满足：，（1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：（n>1）化简得：,故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列.故∴∴数列{}的通项公式为：.⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。
高三数学必做题数列放缩法典型试题
高三数学必做题数列放缩法典型试题Prepared on 22 November 2020数列综合题1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n aS a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3n =． （1）求2a ；（2）数列{}n a 的通项公式；（3）设n n n n S S a b 11++=,求证：2121<+++n b b b ．5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112n n a a a ++++<-6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+．（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。
高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)
用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑. 解:(Ⅰ)由S n =a n －×2n+1+,n=1,2,3，…,①得a 1=S 1=a 1－×4+所以a 1=2再由①有S n －1=a n －1－×2n+,n=2,3，4,…将①和②相减得:a n =S n －S n －1=(a n －a n －1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:a n +2n=4(a n －1+2n －1),n=2,3,…,因而数列{a n +2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:a n +2n=4×4n －1=4n ,n=1,2,3,…,因而a n =4n －2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将a n =4n－2n代入①得S n =×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2) =×(2n+1－1)(2n －1) T n ==×=×(－) 所以,1n i i T =∑=1(ni =∑－)=×(－1121n +-)<二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a=-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n na )21(-=．nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式nn S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈.（I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n na n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得：n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1)求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以，n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ)求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 解：(Ⅰ)12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：nn n a S )1(2-+=，1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-n n a }是以321+-a 为首项,公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--.⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。
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数列综合题
1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n a S a a =
--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．
2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．
3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵对一切正整数n ，设1
)1(+⋅-=n n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3
n =． （1）求2a ；
（2）数列{}n a 的通项公式；
（3）设n n n n S S a b 11++=
,求证：2121<+++n b b b ．
5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112n n a a a ++++<-
6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+．
（1）求1a 的值；
（2）求{}n a 的通项公式；
（3）求证：
*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。
7、已知数列{}n a 满足112a =
，11210n n n a a a ++-+=，*n N ∈． （1）求证：数列1{}1
n a -是等差数列； （2）求证：2
3
12234
1
1n n a a a a n n n a a a a +<+++<+.
8、已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且
12231123
a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n
b 满足：11b =-，2b λ=，1
11(1)n n n n n b b n a -+--=+，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ； ②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
9、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,2n n S n a n N *+=
⋅∈，其中11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1132n n a b +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <。