北师大版必修一课后作业：第一章 集合 章末复习课
北师大版高中数学必修第一册课后习题 第一章 1.1 第1课时 集合的概念
第一章预备知识§1集合1.1 集合的概念与表示第1课时集合的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)下列说法不正确的是( )A.班上个子较高的同学,可以组成集合B.方程x(x-2)2=0的解集是{2,0,2}C.集合{1,2,3,4}是有限集D.集合{x|x2+5x+6=0}与集合{x2+5x+6=0}是含有相同元素的集合2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是( )D.√7A.3.14B.-5C.37√7是实数,但不是有理数,故选D.3.若集合A只含有元素a,则下列各选项正确的是( )A.A∈aB.a∉AC.a∈AD.a=AA中只有一个元素a,∴a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.4.(多选题)下列关系正确的有( )∈R B.√2∉RA.12C.|-3|∈ND.|-√3|∈Q,√2是实数,|-3|=3是非负整数,|-√3|=√3是无理数,故选AC.5.如果集合中的元素是三角形的边长,那么这个三角形一定不可能是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形6.(多选题)已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示不正确的是( )A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉Ak=0时,3k-1=-1,故-1∈A,选项A错误;∉Z,选项B错误;若-11∈A,则-11=3k-1,解得k=-103令3k2-1=3k-1,得k=0,或k=1,即3k2-1∈A,选项C正确;当k=-11时,3k-1=-34,故-34∈A,选项D错误.7.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为.x+2=1,或x2=1,所以x=1,或x=-1.当x=-1时,x+2=x2,不满足互异性,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x2=1,故x=1.8.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是.a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合P+Q中有8个元素.关键能力提升练9.(多选题)下面说法不正确的是( )A.集合N 中最小的数是0B.若-a 不属于N,则a 属于NC.若a ∈N,b ∈N,则a+b 的最小值为2D.x 2+1=2x 的解可表示为{1,1}N 中最小的数是0,所以A 说法正确;因为N 表示自然数集,-0.5∉N,0.5∉N,所以B 说法不正确;当a=0,b=1时,a+b=1<2,所以C 说法不正确;根据集合中元素的互异性知D 说法不正确.10.(江苏高一课时练)已知集合A 是由a-2,2a 2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,则a= .-3∈A,可得-3=a-2,或-3=2a 2+5a,且不同时相等.由-3=a-2,解得a=-1,由-3=2a 2+5a,解得a=-1或-32,经验证,a=-1不满足条件,a=-32满足条件.故答案为-32. -3211.已知集合M 满足条件:若a ∈M,则1+a1-a ∈M(a≠0,a≠±1).已知3∈M,试把由此确定的集合M 的元素全部求出来.3∈M,∴1+31-3=-2∈M. ∴1-21+2=-13∈M;1+-131--13=12∈M. 又∵1+121-12=3∈M,∴集合M 的所有元素为3,-2,-13,12.12.已知集合A 中含有两个元素a-3和2a-1.(1)若-3是集合A 中的元素,试求实数a 的值;(2)-5能否为集合A 中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.因为-3是集合A 中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时集合A 含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A 中含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述,满足题意的实数a 的值为0或-1.(2)若-5为集合A 中的元素,则a-3=-5或2a-1=-5.当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.综上,-5不能为集合A 中的元素.学科素养拔高练13.设A 是由一些实数组成的集合,若a ∈A,则11-a ∈A,且1∉A.(1)若3∈A,求集合A;(2)求证:若a ∈A,则1-1a ∈A; (3)集合A 中能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.3∈A,∴11-3=-12∈A, ∴11-(-12)=23∈A, ∴11-23=3∈A,∴A={3,-12,23}.a ∈A,∴11-a ∈A, ∴11-11-a =1-a-a =1-1a ∈A.A 只有一个元素,记A={a},则a=11-a ,即a 2-a+1=0.∵Δ=(-1)2-4=-3<0,∴a2-a+1=0无实数解,即集合A中不能只有一个元素.。
北师大版高中数学必修第一册课后习题 第一章 1.3 第1课时 交集和并集
第一章预备知识§1集合1.3 集合的基本运算第1课时交集和并集课后篇巩固提升必备知识基础练1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2}D.{2,4,6}又A={0,2,4,6,8,10},∴A∩B={0,2}.2.(重庆高一期末)已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={1,y},若A∩B={3},则A ∪B=( )A.{1,3}B.{-1,3}C.{-1,1,3}D.{-3,-1,3},A={x|x2-2x-3=0}={-1,3}.因为A∩B={3},所以y=3,B={1,3},所以A∪B={-1,1,3}.故选C.3.(多选题)(山东泰安高一质检)满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A可能是( )A.{5}B.{1,5}C.{3}D.{1,3,5}{1,3}∪A={1,3,5},知A⊆{1,3,5},且A中至少有1个元素5.所以A={5}或A={1,5}或A={3,5}或A={1,3,5}.故选ABD.4.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}5.已知集合A={x|3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=()A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3},故A∩B={-4,1}.3x-4<0,解得x<436.(广东珠海高一期末)已知集合A={-2,0,2},B={y|y=x 2,x ∈A},则A ∪B=( ) A.{-4,4,-2,2,0} B.{-2,2,0,4}C.{-4,4,0,2}D.{0,2,4}B={y|y=x 2,x ∈A}={0,4},A={-2,0,2},所以A ∪B={-2,0,2,4}.7.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A ∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b= .,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.8.已知关于x 的方程3x 2+px-7=0的解集为A,方程3x 2-7x+q=0的解集为B,若A∩B={-13}.求A ∪B.{-13},∴-13∈A,且-13∈B.由-13∈A,设3=-73,解得m=7.∴A={-13,7},同理B={-13,83}, ∴A ∪B={-13,83,7}.9.(安徽合肥高一期末)已知集合A={的取值范围.当m=-1时,B={x|-1<x<2},∴A ∪B={x|-1<x<3}. (2)∵A∩B=A,∴A ⊆B, ∴{1-m ≥3,m ≤1,m <1-m ,解得m≤-2, 故实数m 的取值范围为(-∞,-2].关键能力提升练10.(山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A ∪B=( ) A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}数形结合)由数轴可知所以A ∪B={x|1≤x<4},故选C.11.(全国1,理2)设集合A={x|x 2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )A.-4B.-2C.2D.4A={x|-2≤x≤2},B={x|x≤-a2}.因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以有-a2=1,解得a=-2.12.(湖北荆州中学高一期末)定义集合的商集运算为AB=x∈A,n∈B,已知集合S={2,4,6},T=x x=k2-1,k∈S,则集合TS∪T中的元素个数为( )A.5B.6C.7D.8解析∵集合的商集运算为AB=x∈A,n∈B,集合S={2,4,6},∴T=xx=k2-1,k∈S={0,1,2},∴TS=0,12,13,14,16,1,∴TS∪T=0,12,13,14,16,1,2.∴集合ST∪T元素的个数为7.13.(江西南康中学高一月考)已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β.若集合A={α,β},B={2,4,5,6},C={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B=⌀,求p,q的值.A∩C=A知A⊆C,又A={α,β},则α∈C,β∈C.而A∩B=⌀,故α∉B,β∉B.显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.令α=1,β=3.对于方程x 2+px+q=0的两根α,β, 根据根与系数的关系可得p=-4,q=3. 14.已知集合A={的取值范围.∪B=B,∴A ⊆B,∴{m ≤-2,m +9≥3,解得-6≤m≤-2,∴实数m 的取值范围是[-6,-2]. (2)当A∩B=⌀时,3≤m,或m+9≤-2, 解得m≥3,或m≤-11, ∴当A∩B≠⌀时,-11<m<3, ∴实数m 的取值范围是(-11,3).学科素养拔高练15.(上海育才中学高一月考)设集合A={x|0≤x+a≤1},B={x|a -1≤x≤0},其中a ∈R,求A∩B.a-1>0,即a>1时,B=⌀时,A∩B=⌀;当a-1=0,即a=1时,A={x|-1≤x≤0},B={0},则A∩B={0};当a-1<0,即a<1时,1-a>0.若-a>0,即a<0时,如右图所示,A∩B=⌀.若-a=0,即a=0时,如下图所示,A={x|0≤x≤1},B={x|-1≤x≤0},则A∩B={0}.若a-1<-a<0,即0<a<1时,2如下图所示,A∩B={x|-a≤x≤0}.若-a≤a-1,即1≤a<1时,如右图所示,A∩B={x|a-1≤x≤0}.2综上所述,当a<0或a>1时,A∩B=⌀;当a=0或a=1时,A∩B={0};时,A∩B={x|-a≤x≤0};当0<a<121≤a<1时,A∩B={x|a-1≤x≤0}.2。
2018版北师大版必修一课后作业：第一章 集合 1 第1课
第1课时 集合的含义学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．知识点一 集合的概念思考 有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在这句话中，谁是集合？谁是集合中的元素？答案 “某人的舅”是一个集合，“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素． 梳理 元素与集合的概念(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…标记．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．常用小写字母a ，b ，c ，d ，…表示集合中的元素．知识点二 元素与集合的关系思考 1是整数吗？12是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？答案 1是整数；12不是整数；没有．梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉. 知识点三 元素的三个特性思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合A ，那么任何一个对象a 是不是这个集合中的元素就确定了．思考2构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答案两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的．由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．梳理元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．知识点四常用数集及表示符号类型一判断给定的对象能否构成集合例1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．(2)能构成集合．(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()A．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数答案 B解析 A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合． 类型二 元素与集合的关系命题角度1 判定元素与集合的关系 例2 给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ； ④|－3|∈Q ；⑤0∉N ，其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案 B解析 12是实数，①对；2不是有理数，②对； |－3|＝3是自然数，③错； |－3|＝3为无理数，④错； 0是自然数，⑤错． 故选B.反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N ，R ，Q ，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件． 跟踪训练2 用符号“∈”或“∉”填空． －2________R ； －3________Q ； －1________N ； π________Z . 答案 ∈ ∈ ∉ ∉命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理例3 集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．答案 0,1,2解析 ∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N .当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N .∴A 中元素有0,1,2.反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现． (2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．跟踪训练3 已知集合A 中的元素x 满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A,2∈A ，则( ) A ．a >－4 B ．a ≤－2 C ．－4<a <－2 D ．－4<a ≤－2答案 D解析 ∵1∉A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2. 又∵2∈A ，∴2×2＋a >0，a >－4， ∴－4<a ≤－2.类型三 元素的三个特性的应用例4 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x . (1)若－3∈A ，求a 的值； (2)若x 2∈B ，求实数x 的值； (3)是否存在实数a ，x ，使A ＝B . 解 (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1， 可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a －3＝0或2a －1＝0.若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1} ＝{0,5,10}≠B .若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0，－52，54}≠B .故不存在实数a ，x ，使A ＝B .反思与感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等． 跟踪训练4 已知集合M 是由三个元素－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成的，若2∈M ，求x . 解 当3x 2＋3x －4＝2，即x 2＋x －2＝0时，x ＝－2，或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意． 当x 2＋x －4＝2，即x 2＋x －6＝0时，则x ＝－3或x ＝2. 经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.1．下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A ．一切很大的数 B ．好心人 C ．漂亮的小女孩D ．方程x 2－1＝0的实数根 答案 D2．下面说法正确的是( ) A ．所有在N 中的元素都在N ＋中 B ．所有不在N ＋中的数都在Z 中 C ．所有不在Q 中的实数都在R 中 D ．方程4x ＝－8的解既在N 中又在Z 中 答案 C3．由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案 C4．下列结论不正确的是( )A．0∈N B.33C．0∉Q D．－1∈Z答案 C5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可答案 B解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．课时作业一、选择题1．已知集合A由满足x<1的数x构成，则有()A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A答案 C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．2．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素答案 A解析由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．3．下列结论中，不正确的是()A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则3a∈R答案 A解析A不对．反例：0∈N，－0∈N.4．已知x，y为非零实数，代数式x|x|＋y|y|的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是() A．0∉M B．1∈MC．－2∉M D．2∈M答案 D解析①当x，y为正数时，代数式x|x|＋y|y|的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式x|x|＋y |y|的值为0；③当x，y均为负数时，代数式x|x|＋y|y|的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－2,0,2，故选D.5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案 D解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．6．已知A中元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A答案 C解析令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.令3k－1＝－11，解得k＝－103∉Z，∴－11∉A；∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.二、填空题7．在方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有________个元素． 答案 1解析 易知方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．8．下列所给关系正确的个数是________． ①π∈R ；②3D ∉Q ；③0∈N ＋；④|－4|D ∈/N ＋. 答案 2解析 ∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.9．如果有一个集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 答案 x ≠0,1,2，1±52解析 由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.10．已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，ba ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a ＋b ＝__________________________. 答案 －1解析 ∵A ＝B,0∈B ，∴0∈A . 又a ≠0，∴ba ＝0，则b ＝0.∴B ＝{a ，a 2,0}． ∵1∈B ，∴a 2＝1，a ＝±1. 由元素的互异性知，a ＝－1， ∴a ＋b ＝－1. 三、解答题11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值． 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意．∴实数a 的值为－32.12．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解 (1)因为－3∈A ， 所以－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1. 当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2,1， 符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为1.13．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”． 解 (1)2∈A ，则11－2∈A ，即－1∈A ，则11＋1∈A ，即12∈A ，则11－12∈A ，即2∈A ， 所以A 中其他所有元素为－1，12.(2)如：若3∈A ，则A 中其他所有元素为－12，23.(3)分析以上结果可以得出：A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1. 证明如下：若a ∈A ，a ≠1，则有11－a ∈A 且11－a ≠1，所以又有11－11－a＝a －1a ∈A 且a －1a ≠1，进而有11－a －1a ＝a ∈A .又因为a ≠11－a (因为若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0，而方程a 2－a ＋1＝0无解)， 同理11－a ≠a －1a ，a ≠a －1a .又因为a ·11－a ·a －1a＝－1，所以A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1.四、探究与拓展14．已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{0,1} D ．{0,1,2}答案 B解析 由题意知： ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2，∴集合A ＝{0,1,2}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．故选B. 15．已知集合A 中的元素x 均满足x ＝m 2－n 2(m ，n ∈Z )，求证： (1)3∈A ；(2)偶数4k －2(k ∈Z )不属于集合A . 证明 (1)令m ＝2∈Z ，n ＝1∈Z ， 得x ＝m 2－n 2＝4－1＝3，所以3∈A .(2)假设4k －2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k －2＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )成立． ①当m ，n 同奇或同偶时，m ＋n ，m －n 均为偶数， 所以(m ＋n )(m －n )为4的倍数与4k －2不是4的倍数矛盾． ②当m ，n 一奇一偶时，m ＋n ，m －n 均为奇数， 所以(m ＋n )(m －n )为奇数，与4k －2是偶数矛盾． 所以假设不成立． 综上，4k －2∉A .。
第一章集合与逻辑章末复习课教学设计-2024-2025学年高一上学期数学(2019)
一、集合的基本概念教 学 内 容二、集合间的基本关系1.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围.2.掌握集合间的基本关系，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.例2 已知集合A ={x |x <1或x ≥1}，B ={x |2a <x ≤a +1，a <1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为 . 答案 {a |a <−2或12≤a <1}跟踪训练2 已知A ={x |2a ≤x ≤a +3}，B ={x |x <1或x >4}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 . 答案 a <4或a >2三、集合的基本运算 1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn 图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 2.掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例3 (多选)已知集合A =(∞，2)，B ={x |32x >0}，则( AB )A.A ∩B =(−∞，32)B.A ∩(∁R B )=[32，2)C.A ∪B =(−∞，32) D.(∁R A )∪B =R跟踪训练3 已知集合M ={(x ，y )|y =3x 2}，N ={(x ，y )|y =5x }，则M ∩N 中的元素个数为( C ) A.0 B.1 C.2 D.3 四、充分条件与必要条件 1.若p ⇒q ，且q p ，则p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件； 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，同时q 是p 的充要条件. 2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养. 例4 设集合A ={x |1<x <3}，集合B ={x |2a <x <2+a }.。
学案导学设计北师大必修一数学课时作业 第一章 集合 章末检测A
第一章章末检测(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于()A．{2,4} B．{1,2,4}C．{2,4,8} D．{1,2,8}2．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅3．下列说法正确的是()A．很小的实数可以构成集合B．集合{y|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合C．自然数集N中最小的数是1D．空集是任何集合的子集4．已知全集I＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合M＝{3,4,5}，集合N＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是() A．M∪N B．M∩NC．(∁I M)∪(∁I N) D．(∁I M)∩(∁I N)5．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B 为()A．{(0,1)，(－1,2)} B．{(0,1)，(1,1)}C．{(1,1)，(－1,2)} D．{(－1,2)}6．设集合A＝{x|2≤x<2a－1}，B＝{x|1≤x≤6－a}，若3∈A∩B，则实数a的取值范围是()A．a>2 B．2≤a<3C．2≤a≤3 D．2<a≤37．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)等于() A．{1,3} B．{1,5}C．{3,5} D．{4,5}8．已知全集U＝N＋，集合M＝{x|x＝2n，n∈N＋}，N＝{x|x＝4n，n∈N＋}，则() A．U＝M∪N B．U＝(∁U M)∪NC．U＝M∪(∁U N) D．U＝∁U(M∩N)9．已知U为全集，A，B，C是U的子集，(A∪C)⊆(A∪B)，则下列正确命题的个数是()①∁U(A∩C)⊆∁U(A∩B)；②(∁U A∩∁U C)⊇(∁U A∩∁U B)；③C⊆B.A．0个B．1个C．2个D．3个10.已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．无穷多个11．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则(A∩∁U B)∪(B∩∁U A)等于()A ．∅B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0或x ≤－1} 12．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案二、填空题(13．已知集合A ＝{－2，－1,1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B ＝_____________.14．下列各组集合中，满足P ＝Q 的有________．(填序号)①P ＝{(1,2)}，Q ＝{(2,1)}；②P ＝{1,2,3}，Q ＝{3,1,2}；③P ＝{(x ，y )|y ＝x －1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝x －1，x ∈R }．15．用集合的交和并表示图中阴影部分为________．16．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{a ＋2,2a 2＋a }，若3∈A ，求a 的值．18．(12分)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }，求b －a 的值．19．(12分)已知A＝{x|x2＋(2＋p)x＋1＝0，x∈Z}，若A∩(0，＋∞)＝∅，求p的取值范围．20．(12分)设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)若A＝B，求a的值；(2)若∅A∩B，且A∩C＝∅，求a的值；(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求a的值．21．(12分)已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－12<x≤2}．若B⊆A，求实数a的取值范围．22．(12分)向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？第一章章末检测(A)1．C[因为N＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，故M∩N＝{2,4,8}，所以C正确．] 2．C[A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，解得A∩B＝{x|0≤x≤1}．]3．D4．D[∵(∁I M)∩(∁I N)＝∁I(M∪N)，而{2,7,8}＝∁I(M∪N)]．5．A[A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．但本题要注意列举法的规范书写．]6．D[∵3∈A，∴2a－1>3.∴a>2.又3∈B，∴6－a≥3，∴a≤3.]7．C[∁U M＝{2,3,5}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．]8．C[由于N M，由Venn图可知选C.]9．C[①∵(A∩C)⊇(A∩B)，∴∁U(A∩C)⊆∁U(A∩B)，∴①为真命题．②∵(A∪C)⊆(A∪B)，∴∁U(A∪C)⊇∁U(A∪B)，即(∁U A∩∁U C)⊇(∁U A∩∁U B)，∴②为真命题．由Venn 图可知，③为假命题．故选C.]10．B [M ＝{x |－1≤x ≤3}，M ∩N ＝{1,3}，共2个．]11．D [∵∁U B ＝{x |x >－1}，∴A ∩∁U B ＝{x |x >0}．又∵∁U A ＝{x |x ≤0}，∴B ∩∁U A ＝{x |x ≤－1}．∴(A ∩∁U B )∪(B ∩∁U A )＝{x |x >0或x ≤－1}．]12．C [题图中阴影部分可表示为(∁U M )∩N ，集合M 为{x |x >2或x <－2}，集合N 为{x |1<x ≤3}，由集合的运算，知(∁U M )∩N＝{x |1<x ≤2}．]13．{1,4,9,16}解析 B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }＝{1,4,9,16}．14．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集．15．A ∩B ∪C16．12解析 设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如右图．设所求人数为x ，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x )＝x －5，故15＋x －5＝30－8⇒x ＝12.17．解 ∵3∈A ，∴a ＋2＝3或2a 2＋a ＝3.当a ＋2＝3时，解得a ＝1.当a ＝1时，2a 2＋a ＝3.∴a ＝1(舍去)．当2a 2＋a ＝3时，解得a ＝－32或a ＝1(舍去)． 当a ＝－32时，a ＋2＝12≠3， ∴a ＝－32符合题意．∴a ＝－32. 18．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }可知a ≠0， 则只能a ＋b ＝0，则有以下对应关系：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b a ＝a ，b ＝1①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.② 由①得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝1，符合题意；②无解．所以b －a ＝2. 19．解 ①若A ＝∅，则Δ＝(p ＋2)2－4<0，得－4<p <0.②若方程的两个根为非正实数，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x 1＋x 2＝－(p ＋2)≤0，x 1x 2＝1>0.解得p ≥0.综上所述，p 的取值范围是{p |p >－4}．20．解 B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}．(1)若A ＝B ，由根与系数的关系可得a ＝5和a 2－19＝6同时成立，即a ＝5.(2)由于∅A ∩B ，且A ∩C ＝∅，故只可能3∈A .此时a 2－3a －10＝0，也即a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝B ＝{2,3}，A ∩C ≠∅，舍去；当a ＝－2时，A ＝{－5,3}，满足题意，故a ＝－2.(3)当A ∩B ＝A ∩C ≠∅时，只可能2∈A ，有a 2－2a －15＝0，也即a ＝5或a ＝－3，经检验知a ＝－3.21.解 当a ＝0时，显然B ⊆A ；当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧ 4a ≤－12，－1a >2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0； 当a >0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧ －1a ≤－12，4a ≥2，∴⎩⎨⎧ a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2. 综上知，当B ⊆A 时，a 的取值范围为－12<a ≤2. 22．解 赞成A 的人数为50×35＝30(人)， 赞成B 的人数为30＋3＝33(人)，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合M ；赞成事件B 的学生全体为集合N .设对事件A ，B 都赞成的学生人数为x ，则对A ，B 都不赞成的学生人数为x 3＋1，赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .则Venn 图如图所示：依题意(30－x )＋(33－x )＋x ＋(x 3＋1)＝50， 解得x ＝21. 所以对A ，B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．。
高中数学必修1(北师)第一章1-1集合的含义与表示含同步练习与答案
描述：例题：描述：例题：高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 集合 1.1 集合的含义与表示一、知识清单集合的概念集合中元素的性质 元素和集合的关系集合的表示法常见的数集及其记法 集合的分类空集的概念二、知识讲解1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（set）（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（element）．集合通常用英语大写字母 ，，， 来表示，它们的元素通常用英语小写字母 ， ，， 来表示．2.集合中元素的性质集合中元素的性质包括：集合中元素的确定性给定集合中的元素必须是确定的，也就是任何一个对象或者在给定集合中，或者不在给定集合中，二者必居其一．集合中元素的互异性给定集合中的元素是互不相同的，也就是说集合中的元素是不可能重复出现的．集合中元素的无序性集合中的元素不考虑顺序，只要构成两个集合的对象是一样的，就称这两个集合是相同的．A B C ⋯a b c ⋯判断下面的语句能否确定一个集合，能构成集合的，写出其中的元素．（1）小于 的所有正偶数；（2）方程 的实数解．解：（1）能构成集合，其中的元素有 ，，，；（2）能构成集合，其中的元素有 ，．10−1=0x 22468−11下面表述中的对象可以构成集合的是______．（1）高中数学中所有难题；（2）中国体重超过 的人的全体；（3）大于 的自然数全体．解：（2）（3）构成集合．（1）不符合集合中元素的确定性．100kg 5描述：例题：描述：例题：6.集合的分类含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们通常用 来表示有限集合 中元素的个数．7.空集的概念空集不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为 ．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
card(A )A 判断下面集合是有限集，还是无限集，是有限集的，写出集合中元素的个数：（1）英文字母全体构成的集合；（2）全体偶数构成的集合；（3） 的正因数构成的集合；（4）方程 的解集．解：（1）有限集，个元素；（2）无限集；（3）有限集，个元素；（4）有限集，个元素．12−2x +1=0x 22661∅ 下列四个集合中，是空集的是（ ）A． B．C． D． 解：D对于 ， ，所以 是空集．{x | x +3=3}{(x , y ) | =−, x , y ∈R }y 2x 2{x | <x }x 2{x | −x +1=0}x 2−x +1=0x 2Δ<0{x | −x +1=0}x 2关于 的不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围．解：（1）当 时，原不等式化为 ，显然符合题意．（2）当 时，要使二次不等式的解集为空集，则必须满足解得 ，综上，得 的取值范围为 ．x k −6kx +k +8<0x 2k k =08<0k ≠0{k >0,Δ=−4×k (8+k )⩽0,(6k )20<k ⩽1k {k |0⩽k ⩽1}。
高中数学北师大版必修第一册第一章1.1集合的概念与表示 同步练习(含答案)
高中数学北师大版必修第一册第一章1.1集合的概念与表示同步练习（含答案）集合的含义与表示(一)一、选择题1．下列各组对象中，能构成集合的是()A. 北师大版《数学》必修1课本中的所有习题B．2023年安徽高考数学试卷中所有的难题C. 高一(1)班聪明的同学D. 美丽的小鸟2．若集合A中只有两个元素a2＋1,2a＋4，则实数a不可能是() A. 3，－1 B. －1C. －3,1D. 33．下列关系式中正确的是()A. ∈QB. ∈NC. 2∈ZD. 1∈N＋4．设方程x2＋3x＋a＝0的解集为A，若1∈A，则a的值为() A. －4 B. 4C. 2D. －25．下面四个说法中正确的个数是()①集合N中的最小数为1；②若a N，则－a N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A．0 B．1C．2 D．36．已知A为关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的解集，若A中有一个元素，则a的值为()A. －B. 1C. 0或1D. 0或－17. 已知集合S中含有三个元素a，b，c，若a，b，c为∈ABC的三边长，则∈ABC一定不是()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形二、填空题1．用∈或填空：0________N＋；1.5________Z；1.5________Q；π________Q；π________R2．若集合A中含有三个元素1,0，x，且x2∈A，则实数x的值为________．3．若由方程x2＋2x＋a＝0的解组成的集合中恰有一个元素，则a的值为________．三、解答题1．已知方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的解集含有两个元素－2，－1，求m，n的值．2．已知a，b，c∈R且a，b，c均不为零，求＋＋所有取值组成的集合A中含有元素的个数．3．已知A中含有三个元素a－1,2a2＋5a＋1，a2＋1，且－2∈A，求a 的值．一、选择题1.解析根据集合的三大特性可知选A.答案A2.解析由集合的互异性可知a2＋1≠2a＋4，得a2－2a－3≠0，得a≠3且a≠－1.答案A3．解析∈是无理数，∈A不正确；∈是分数，∈B不正确；∈2是无理数，∈C不正确．∈1是正整数，∈D正确．答案D4.解析由1∈A可知1为方程x2＋3x＋a＝0的一个解，故有12＋3×1＋a＝0得a＝－4.答案A5.解析对于①，N中最小的数为0；对于②，当a＝－2时，不成立；对于③，a＋b的最小值为0；对于④，不满足集合的确定性；所以四个说法都不对．答案A6.解析若a＝0，则2x＋1＝0，x＝－符合题意，若a≠0，由题意得Δ＝4－4a＝0得a＝1，故a的值为0或1.答案C7.解析由集合的互异性可知a，b，c互不相等．答案D二、填空题1．答案∈∈2.解析若x2＝1，得x＝1(舍)，或x＝－1；若x2＝0，不合题意；若x2＝x，得x＝0(舍)，或x＝1(舍)．答案－13.解析由题意得Δ＝4－4a＝0，得a＝1.答案1三、解答题1.解由题意得x2＋mx＋n＝0有两根为－2，－1.∈解得∈m＝3，n＝2.2.解∈a，b，c均不为零，若a，b，c均为负数，则＋＋＝－3.若a，b，c三数中有两个负数，一个正数，则＋＋＝－1.若a，b，c三数中有一个负数，两个正数，则＋＋＝1.若a，b，c三数均为正数，则＋＋＝3.故集合A中含有4个元素，分别为±3、±1.3.解∈a2＋1>0∈a2＋1≠－2.当a－1＝－2，即a＝－1时，2a2＋5a＋1＝－2，不符合集合中元素的互异性，故舍去；当2a2＋5a＋1＝－2时，得a＝－1(舍)，或a＝－；当a＝－时，a2＋1＝，a－1＝－符合题意．故a的值为－PAGE。
新版高中数学北师大版必修1习题：第一章集合 1.1.1
§1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时过关·能力提升1给出下列说法:①地球周围的行星能构成一个集合;②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合;③集合A为{1,2,3},集合B为{1,3,2},是不同的集合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:①是错误的,因为“周围”是个模糊的概念,不满足集合元素的确定性.②是正确的,虽然满足条件的数有无数多个,但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合.③是错误的,因为集合中的元素是无序的.答案:B2已知集合M中的元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是()A.-1∉MB.-11∈MC.3k2-1∈MD.-34∉M解析:A错,当k=0时,-1∈M;B错,若3k-1=-11,则k=-∉Z;C正确,因为3k2-1=3k-1,解得k=0或k=1,满足条件;D错,当k=-10时,-34∈M.故选C.答案:C3集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).下列选项中元素与集合的关系都正确的是()A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈BD.(3,10)∈A,且2∈B答案:C4已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若a∈A,则实数a的值是()A.-3B.0或1C.1D.-1解析:由于a∈A,则a=a-3或a=2a-1.若a=a-3,则有-3=0,不成立;若a=2a-1,则a=1,此时集合A中的两个元素是-2,1,符合题意.答案:C5已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,则x满足的条件是()A.x≠0B.x≠-1C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1解析:由解得x≠0且x≠-1.故选C.答案:C6集合A中有3个元素1,2,3,集合B中有2个元素4,5,设集合M中的元素x满足x=a+b,a∈A,b∈B,则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6解析:因为集合A为1,2,3,集合B为4,5,集合M中的元素满足x=a+b,a∈A,b∈B,所以a+b的值可能为1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8,所以集合M中的元素有5,6,7,8,共4个,故选B.答案:B7若已知-5是x2-ax-5=0的根,集合M中的元素为方程x2-4x-a=0的根,则集合M中所有元素之和为.。
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学习目标 1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．2．元素与集合有且只有两种关系：∈，∉.3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，V enn图，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集A⊆B x∈A⇒x∈B真子集A?B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A并集A∪B {x|x∈A或x∈B}交集A∩B {x|x∈A且x∈B}补集∁U A(A⊆U) {x|x∈U且x∉A}5.(1)∅⊆A；(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B.(3)A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.(4)A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.类型一 集合的概念及表示法 例1 下列表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈N }D ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R } ★答案☆ B解析 A 选项中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同；B 选项中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ；C 选项中M ，N 均为数集，显然有M ?N ；D 选项中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1上点的纵坐标，故选B.反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1 设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. ★答案☆ {(4,4)}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.∴A ∩B ＝{(4,4)}． 类型二 集合间的基本关系例2 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可能取值组成的集合．解 由题意得，P ＝{－3,2}． 当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3，或－1a ＝2，即a ＝13，或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．跟踪训练2下列说法中不正确的是________．(只需填写序号)①若集合A＝∅，则∅⊆A；②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；③已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a>2.★答案☆③解析∅是任何集合的子集，故①正确；∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，∴A＝B，故②正确；若A⊆B，则a≥2，故③错误．类型三集合的交、并、补运算命题角度1用符号语言表示的集合运算例3设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．反思与感悟求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．跟踪训练3已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{1} B．{3,6}C．{4,5} D．{1,3,4,5,6}★答案☆ B解析∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，∴∁U B＝{0,2,3,6}，又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(∁U B)＝{3,6}，故选B.命题角度2用图形语言表示的集合运算例4设全集U＝R，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}．则图中阴影部分表示的集合为________．★答案☆{x|1≤x<2}解析图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)，因为∁U B＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(∁U B)＝{x|1≤x＜2}．反思与感悟解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．跟踪训练4学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？解设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图(如图)，则没有参加过比赛的同学有45－(12＋20－6)＝19(名)．答这个班共有19名同学没有参加过比赛．类型四关于集合的新定义题例5设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A.其中正确结论的序号是________．★答案☆②④解析①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy ＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④.反思与感悟新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．跟踪训练5 设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x≤1}的子集，如果b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }(b >a )的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13B.23C.112D.512 ★答案☆ C解析 方法一 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，解得0≤m ≤14，13≤n ≤1.取字母m 的最小值0，字母n 的最大值1， 可得M ＝{x |0≤x ≤34}，N ＝{x |23≤x ≤1}，所以M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}∩{x |23≤x ≤1}＝{x |23≤x ≤34}，此时得集合M ∩N 的“长度”为34－23＝112.方法二 集合M 的“长度”为34，集合N 的“长度”为13.由于M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集， 而{x |0≤x ≤1}的“长度”为1，由此可得集合M ∩N 的“长度”的最小值是(34＋13)－1＝112.1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个★答案☆ B2．下列关系中正确的个数为( ) ①22∈R ；②0∈N *；③{－5}⊆Z . A ．0B ．1C ．2D ．3 ★答案☆ C解析①③正确．3．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，则集合(∁U A)∩B等于()A．{x|0<x<2} B．{x|0<x≤2}C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤2}★答案☆ C解析先求出∁U A＝{x|x<2}，再利用交集的定义求得(∁U A)∩B＝{x|0≤x<2}．4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)等于()A．∅B．{d}C．{b，e} D．{a，c}★答案☆ A5．已知P＝{y|y＝a2＋1，a∈R}，Q＝{m|m＝x2－4x＋5，x∈R}，则P与Q的关系不正确的是()A．P⊆Q B．P⊇QC．P＝Q D．P∩Q＝∅★答案☆ D1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．课时作业一、选择题1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N等于() A．{1,4} B．{－1，－4}C．{0} D．∅★答案☆ D解析因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M ∩N＝∅，故选D.2．已知全集U＝R，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，则集合A∩(∁U B)等于() A．{1} B．{1,2}C．{1,2,3} D．{0,1,2}★答案☆ B解析∵∁U B＝{x∈R|x<3}，∴A∩(∁U B)＝{1,2}．3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}★答案☆ D解析画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．4．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是()A．－1B．0C．1D．1或－1★答案☆ A解析由M∩N＝N得N⊆M.当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．5．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3，或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a＞3 B．a≥3C．a≥7 D．a＞7★答案☆ A解析因为A＝{x|x＜3，或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x＜7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a＞3. 二、填空题6．已知全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则a＝________.★答案☆－2解析由题意，得a2－a＋1＝7，即a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.当a＝3时，A＝{7,4}，不合题意，舍去，故a＝－2.7．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∪(∁U B)＝________.★答案☆{1,4}解析 ∵∁U B ＝{x |x <2，或x >3}， ∴A ∩(∁U B )＝{1,4}．8．设集合A ＝{1，－1，a }，B ＝{1，a }，A ∩B ＝B ，则a ＝______. ★答案☆ 0解析 ∵A ∩B ＝B ，即B ⊆A ，∴a ∈A . 要使a 有意义，a ≥0. ∴a ＝a ，∴a ＝0或a ＝1， 由元素互异，舍去a ＝1.∴a ＝0.9．集合A ＝{n |n2∈Z }，B ＝{m |m ＋12∈Z }，则A ∩B ＝________.★答案☆ ∅解析 A 为偶数集，B 为奇数集，故A ∩B ＝∅.10．已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是________．★答案☆ {a |－12≤a ≤2或a >3}解析 ①若A ＝∅，则A ∩B ＝∅， 此时2a >a ＋3，即a >3.②若A ≠∅，如图，由A ∩B ＝∅可得， ⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a |－12≤a ≤2或a >3}．三、解答题11．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M .解 结合图形可得M ＝{(x ，y )|xy ≥0，－2≤x ≤52，－1≤y ≤32}．12．已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}． (1)求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值集合． 解 (1)显然A ∩B ＝{x |3≤x <6}．又B ＝{x |2<x <9}，∴∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥9}， ∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6或x ≥9}．(2)∵C ⊆B ，如图所示，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤9，解得2≤a ≤8，∴a 的取值集合为{a |2≤a ≤8}．13．设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B ?A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}，满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1. 综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1. 四、探究与拓展14．定义差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，现有三个集合A ，B ，C 分别用圆表示，则集合C －(A －B )可表示下列图中阴影部分的为( )★答案☆ A解析 如图所示，A －B 表示图中阴影部分，故C －(A －B )所含元素属于C ，但不属于图中阴影部分，故选A.15．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ∈Z 时，A ＝{x |－2≤x ≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254.(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，则m <2； 当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≥m ＋1，2m －1<－2，或⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1>5，解得m >4. 综上可得，实数m 的取值范围是m <2或m >4.。