层合板设计汇总
复合材料层合板的力学行为与优化设计
复合材料层合板的力学行为与优化设计复合材料层合板是由两个或多个不同材料的层按照一定方式堆叠而成的结构材料。
它具有优异的力学性能和设计灵活性，在航空航天、汽车制造、建筑工程等领域得到广泛应用。
本文将从力学行为和优化设计两个方面对复合材料层合板进行探讨。
首先，复合材料层合板的力学行为是理解和研究该材料的基础。
复合材料层合板的力学性能受到多种因素的影响，包括材料的性质、层间粘结强度、层间厚度比、层间角度等。
其中，材料的性质是决定层合板力学性能的关键因素。
复合材料层合板通常由纤维增强复合材料和基体材料组成。
纤维增强复合材料具有高强度、高刚度和低密度的特点，而基体材料则具有良好的韧性和耐磨性。
通过选择不同的纤维和基体材料，可以实现对层合板力学性能的调控。
其次，复合材料层合板的优化设计是提高材料性能和降低成本的重要手段。
优化设计的目标是找到最佳的材料组合、层间厚度比和层间角度，以满足特定的工程要求。
优化设计可以通过数值模拟和实验测试相结合的方式进行。
数值模拟可以通过有限元分析等方法，预测不同设计参数对层合板力学性能的影响。
实验测试可以通过拉伸、弯曲、剪切等试验，验证数值模拟结果的准确性。
在优化设计过程中，需要考虑的因素包括强度、刚度、韧性、疲劳寿命和成本等。
强度是指材料抵抗外力破坏的能力，刚度是指材料对应力的响应程度，韧性是指材料在受到外力作用下的变形能力，疲劳寿命是指材料在循环加载下的使用寿命。
通过优化设计，可以在满足这些要求的前提下，尽量降低材料的成本。
在实际应用中，复合材料层合板的优化设计需要综合考虑多个因素。
例如，层间厚度比的选择既要考虑强度和刚度的要求，又要考虑材料的成本和制造工艺的可行性。
层间角度的选择既要考虑层间剪切强度的要求，又要考虑层间粘结强度和制造工艺的限制。
因此，在优化设计中需要综合考虑材料的性能、制造工艺和经济性等多个方面的因素。
总之，复合材料层合板的力学行为与优化设计是研究和应用该材料的重要内容。
复合材料结构设计
2、层合板极限强度
导致层合板中各铺层全部失效时的层合板正则化内力（层合板逐层失效）
层间应力
强度：复合材料层合板抵抗层间应力的能力与基体强度
为同一量级
产生原因：
1、横向载荷 2、自由边界效应
自由边、孔周边等处存在层间应力集中
后果：易导致分层破坏
飞机结构设计的基本要求
➢ 气动性能要求：保证飞机具有合理的气动外形和好的表面质量（否则飞 行性能和品质变差） ➢ 最小重量要求：保证在足够的强度、刚度、疲劳安全寿命、损伤容限等 条件下，结构重量最轻 结构重量系数：飞机结构重量/飞机正常起飞重量 的百分比
2、夹层结构
上下面板（薄层合板）
—— 承受面内载荷（轴向拉压和面 内剪切）
中间芯层 （蜂窝、泡沫、波纹板
和木材等） —— 承受垂直于面板的剪切和压缩 应力，支持面板防止失稳。
优点：
➢ 更符合最小重量原则 比重小、刚度大（芯层支持抗弯好）、强度高（承受多轴向压力载荷）、 抗失稳、耐久性/损伤容限能力强（裂纹扩展和断裂韧性、抗声疲劳） ➢ 无铆缝（故机翼表面外形质量和气动性能较好） ➢ 简化结构（减少零件数目和减少装配工作量）
层合板/层压板的表示法：
图示法（直观）和公式法（简便）
（a）正轴坐标系和应力
（b）偏轴坐标系和应力
单向层合板的基本强度
铺层的基本强度，复合材料在面内正轴向的单轴正应力或纯剪力作用下
的极限应力（5项：单向板纵向和横向拉、压强度；面内剪切强度）。
层合板的强度
1、最先一层失效强度
各单一铺层应力分析→计算各铺层强度比→比较（强度比最小的铺层最 先失效，其对应的正则化内力）（强度比：材料强度极限同结构所受对应应
8.第八次课——一般层合板的刚度+层合板的强度(讲课用)
3.2.4 几种典型对称层合板的面内刚度
正交对称层合板的相关特性
特性（2）：正则化面内刚度系数A*12、A*66不随着单层组体积含量v0和v90变化， 是一个常量。 其中，根据正则化面内刚度系数A*12、A*66的定义式，面内泊松耦合刚度系数A*12 和剪切刚度系数A*66是两个由原材料性质确定的常数。
m4 2m 2 n 2 4m 2 n 2 Q 11 m2 n2 m4 n4 4m 2 n 2 Q 22 2 2 2 2 2 2 2 mn 2m n m n Q12 3 3 3 3 3 Q mn mn m n 2 mn m n 66 m3n m3n mn3 2 m3n mn3 n4 2m 2 n 2 4m 2 n 2 m cos n sin
* 12
3.2.4 几种典型对称层合板的面内刚度
对于正交层合板，根据偏轴模量和正轴模量之间的转换关系式：
4 Q11 m n4 Q 22 2 2 m n Q12 2 2 Q m n 66 3 Q16 m n Q mn3 26
特性一
这是因为上述正则化面内刚度系数与偏轴角的正负无关，不论是 正偏轴角还是负偏轴角，在x或者y方向所提供的刚度是相等的。
3.2.4 几种典型对称层合板的面内刚度
* A11 U 1Q U 2Q cos 2 U 3Q cos 4 * A22 U1Q U 2Q cos 2 U 3Q cos 4 * A12 U 4Q U 3Q cos 4
2 1 * * A16 V3 AU 2Q V4*AU 3Q 0 2 1 * A26 V3*AU 2Q V4*AU 3Q 0 2
复合材料层合板
复合材料层合板MA 02139，剑桥麻省理工学院材料科学与工程系David Roylance2000年2月10日引言本模块旨在概略介绍纤维增强复合材料层合板的力学知识；并推导一种计算方法，以建立层合板的平面内应变和曲率与横截面上内力和内力偶之间的关系。
虽然这只是纤维增强复合材料整个领域、甚至层合板理论的很小一部分，但却是所有的复合材料工程师都应掌握的重要技术。
在下文中，我们将回顾各向同性材料矩阵形式的本构关系，然后直截了当地推广到横观各向同性复合材料层合板。
因为层合板中每一层的取向是任意的，我们随后将说明，如何将每个单层的弹性性能都变换到一个共用的方向上。
最后，令单层的应力与其横截面上的内力和内力偶相对应，从而导出控制整块层合板内力和变形关系的矩阵。
层合板的力学计算最好由计算机来完成。
本文简略介绍了几种算法，这些算法分别适用于弹性层合板、呈现热膨胀效应的层合板和呈现粘弹性响应的层合板。
各向同性线弹性材料如初等材料力学教材（参见罗兰奈斯（Roylance ）所著、1996年出版的教材1）中所述，在直角坐标系中，由平面应力状态（0===yz xz z ττσ）导致的应变为由于泊松效应，在平面应力状态中还有沿轴方向的应变：z )(y x z σσνε+−=，此应变分量在下文中将忽略不计。
在上述关系式中，有三个弹性常量：杨氏模量E 、泊松比ν和切变模量。
但对各向同性材料，只有两个独立的弹性常量，例如，G 可从G E 和ν得到上述应力应变关系可用矩阵记号写成 1 参见本模块末尾所列的参考资料。
方括号内的量称为材料的柔度矩阵，记作S 或。
弄清楚矩阵中各项的物理意义十分重要。
从矩阵乘法的规则可知，中第i 行第列的元素表示第个应力对第i 个应变的影响。
例如，在位置1,2上的元素表示方向的应力对j i S j i S j j y x 方向应变的影响：将E 1乘以y σ即得由y σ引起的方向的应变，再将此值乘以y ν−，得到y σ在x 方向引起的泊松应变。
纤维增强复合材料的层合板设计与分析
纤维增强复合材料的层合板设计与分析在现代材料科学中，纤维增强复合材料是一种重要的材料类型。
它由两个或多个不同材料的结合而成，具有较高的强度和刚度，广泛应用于航空航天、汽车制造、建筑工程等领域。
而其中的层合板设计与分析是研究的重点之一。
本文将从层合板设计和层合板分析的角度，探讨纤维增强复合材料的层合板设计与分析。
一、层合板设计纤维增强复合材料的层合板设计是指根据工程需求和结构要求，确定合适的纤维增强复合材料层合板的构建方式、厚度和材料组合等。
层合板设计的关键是保证强度、刚度和稳定性等力学性能，同时考虑材料的可加工性和经济性。
在层合板设计中，首先需要确定纤维增强复合材料的基材和增强材料。
常见的基材有环氧树脂、酚醛树脂等，而增强材料包括碳纤维、玻璃纤维等。
根据工程需求和结构要求，通过合理的选择基材和增强材料，可以实现对层合板的力学性能进行有效控制。
其次，层合板的构建方式也是设计的重要考虑因素之一。
常见的层合板构建方式有叠层、交叉等。
叠层方式是将纤维增强复合材料堆叠叠加，形成多层结构，可提高弯曲刚度和弯曲强度。
交叉方式是将纤维增强复合材料的层交叉堆叠，可提高抗剪切性能。
根据不同的工程需求和结构要求，可以选择合适的构建方式。
最后，层合板的厚度和材料组合也需要设计的考虑因素之一。
通过合理的厚度设计，可以在满足力学性能要求的前提下减少材料的浪费。
而材料组合的选择需要综合考虑材料的力学性能、可加工性和经济性等因素。
二、层合板分析纤维增强复合材料的层合板分析是指通过理论计算和数值模拟等方法，对层合板的力学性能进行评估和分析。
层合板分析的目的是验证设计的合理性，预测材料在实际工作环境下的应力分布和变形情况。
层合板分析的方法包括解析方法和数值模拟方法。
解析方法是基于理论计算和经验公式，通过建立适当的数学模型来评估层合板的力学性能。
数值模拟方法则是利用计算机软件，将层合板的几何形状和材料性质输入到数值模型中，通过有限元分析等方法进行力学性能的模拟和分析。
PPT-3.层合板的刚度与强度
面内剪拉耦合系数
0 0 xy, y y,xy
三.面内刚度系数的计算
A A A A A A
* 11 * 22 * 12 * 66 * 16 * 26
U U U U 0 0
(Q ) 1 (Q ) 1 (Q ) 4 (Q ) 5
正交对称层合板：只有相互垂直的两种铺层方向，如[0/90/0]S. 对称均衡层合板：铺层角为-θ的单层数与θ角的单层数相同， 且可包含任意数量的0°层和90°层. 对称均衡斜交层合板：仅由数量相等的-θ层和+θ层组成，不 含0°层和90°层，如[θ/-θ]2S.
非对称层合板 层合板内各单层中纤维的排列方向与中面不对称. 反对称层合板：满足θ(z) = -θ(-z) 关系式的层合板.
* * N x A11 * * N y A21 * * N xy A61
* Nx Nx / h
* Aij Aij / h
* A12
A
A
* 22 * 62
* 0 A16 x * 0 A26 y * 0 A66 xy
V V V
* 1A
Vi cos2 (i )
i 1 l
l
* 2A
Vi cos 4 (i )
i 1 l
* 3A
Vi Sin2 (i )
i 1 l
V4*A Vi Sin4 (i )
i 1
Vi为某一定向层的体积分数 （Vi=ni/n，ni为某一定向层的层数） l为定向数
正则化几何因子
四.几种典型对称层合板的面内刚度
1、正交铺设对称层合板（正交对称层合板）
经典层合板理论
0 x x k x 0 y y z k y 0 k xy xy xy
经典层合板理论—应力和应变关系
中面的应变 中面的曲率为：
经典层合板理论—合力及合力矩
上式中的子矩阵 A , B , D 分别称为面内柔度矩阵，
耦合柔度矩阵和弯曲柔度矩阵。矩阵 B与矩阵 B 是相互转置的，但未必对称
一般层合板的物理关系很复杂，这是由于耦合刚
T
度阵 B 的存在所产生的耦合效应引起，即拉弯耦 合，此外，由于 A16 , A26的存在产生了拉剪耦合，由 于D16 , D26 的存在产生弯扭耦合。
平面应力假设：
z 0； xz =0； yz =0
线弹性和小变形假设
经典层合板理论—应力和应变关系
由N层任意铺设的单层板构成 取XOY坐标面与中面重合 板厚为h
u u ( x, y, z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y , z )
经典层合板理论—合力及合力矩
0 将上式中 x , y kx, y 的系数矩阵用 A , B , D表示， 和
并分别称为面内刚度矩阵，耦合刚度矩阵和弯曲 刚度矩阵
N Aij (Qij ) k ( zk zk 1 ) k 1 1 N 2 2 B ( Q ) ( z z ij ij k k k 1 ) , (i , j 1, 2, 6) 2 k 1 1 N 3 3 D ( Q ) ( z z ij ij k k k 1 ) 3 k 1
x Q11 y Q12 Q xy k 16
复合材料结构设计03
n
(k )
n/2
(k )
n/2
(k )
一般层合板的刚度
应力--应变关系为：
ε 0 B N A = M B D k {k 其中为{M }扭矩， }为中面变形的曲率， A、B、D为方程的刚度系数。
一般层合板的刚度
0 x , xy
0 y , xy
a = a
对称层合板的面内工程弹性常数
由上述工程弹性常数可表达层合板面内应变与 面内力的关系：
1 0 0 Ex ε x γ0 0 x ε y = − 0 γ 0 E x xy η 0 xy , x 0 Ex
面内泊松耦合系数：γ = γ 面内拉剪耦合系数：η
0 xy , x
0 yx
∗ ε a 21 = − 0( x ) = ∗ a11 εx 0( x ) xy
∗ γ a16 = 0( x ) = ∗ εx a11
对称层合板的面内工程弹性常数
当在y方向进行单向拉伸（压缩）时
1 面内拉压弹性模量：E = ∗ a 22
0 y
面内泊松耦合系数：γ = γ
0 y
0 xy
a =− a
∗ 26 ∗ 22
∗ 12 ∗ 22
面内拉剪耦合系数：η
0 xy , y
a = a
对称层合板的面内工程弹性常数
当仅受面内剪切载荷时
面内剪切弹性模量：G 面内剪拉耦合系数：η 面内剪拉耦合系数：η
0 xy
1 = ∗ a 66 a = a
∗ 16 ∗ 66 ∗ 26 ∗ 66
∗ ∗ 0 ∗
a , β ,δ
∗ ij ∗ ij
∗ ij
碳纤维层合板层间强度计算_解释说明以及概述
碳纤维层合板层间强度计算解释说明以及概述1. 引言1.1 概述碳纤维层合板是一种重要的复合材料，在航空航天、汽车制造、建筑结构等领域得到广泛应用。
与传统的木材层合板相比，碳纤维层合板具有更高的强度和刚度，同时重量更轻，具有优异的机械性能和热特性。
因此，对于碳纤维层合板的力学性能进行准确计算和评估显得尤为重要。
1.2 文章结构本文将首先介绍碳纤维层合板的定义和特点，并重点讨论其层间剪切强度的意义和应用。
然后，将详细阐述层间强度计算方法及其原理，包括数值模拟方法和实验测试方法。
接下来，将解释碳纤维层合板层间强度计算的重要性，并详细分析影响计算准确性的相关因素。
最后，探讨碳纤维层合板在不同应用领域中的实际运用情况，并总结其优缺点。
1.3 目的本文旨在提供一个全面而系统的了解碳纤维层合板层间强度计算方法及其应用的概述。
通过对相关原理和方法的解释，以及实际案例的分析，旨在增加读者对碳纤维层合板在工程实践中的应用认识，并为改进和发展碳纤维层合板层间强度计算方法提供启示和思考。
2. 碳纤维层合板层间强度计算2.1 碳纤维层合板的定义与特点碳纤维层合板是一种由碳纤维和树脂基材料通过热固化工艺制成的复合材料。
碳纤维具有高强度、高模量和低密度等优异性能，使其成为一种理想的结构材料。
在碳纤维层合板中，不同方向排列的碳纤维之间通过树脂粘结剂连接，形成多层构成。
2.2 层间剪切强度的意义与应用层间剪切强度是衡量碳纤维层合板内部各层之间结合力的指标。
它决定了材料在承受剪切力时抵抗分离和失效的能力。
较高的层间剪切强度可以提升复合材料整体力学性能和可靠性。
在实际应用中，准确评估碳纤维层合板的层间剪切强度对于确保结构安全、设计优化以及材料选型都具有重要意义。
例如，在航空航天领域，层间剪切强度的准确测量与计算可以指导飞机、导弹等载体结构的设计和材料选用。
2.3 层间强度计算方法及其原理层间强度的计算旨在通过确定基本材料性质和复合材料结构参数，预测碳纤维层合板在不同应力状态下层间剪切强度。
复合材料铺层设计(终审稿)
复合材料铺层设计文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-复合材料铺层设计复合材料制件最基本的单元是铺层。
铺层是复合材料制件中的一层单向带或织物形成的复合材料单向层。
由两层或多层同种或不同种材料铺层层合压制而成的复合材料板材称为层合板。
复合材料层压结构件的基本单元正是这种按各种不同铺层设计要素组成的层合板。
本章主要介绍由高性能连续纤维与树脂基体材料构成的层合结构和夹层结构设计的基本原理和方法，也介绍复合材料结构在导弹结构中的应用。
一、层合板及其表示方法(1)铺层及其方向的表示铺层是层合板的基本结构单元，其厚度很薄，通常约为0.1～0.3mm。
铺层中增强纤维的方向或织物径向纤维方向为材料的主方向（1向：即纵向）；垂直于增强纤维方向或织物的纬向纤维方向为材料的另一个主方向（2向：即横向）。
1—2坐标系为材料的主坐标系，又称正轴坐标系，铺层是有方向性的。
铺层的方向用纤维的铺向角（铺层角）θ表示。
所谓铺向角（铺层角）（2）层合板的表示方法二、单层复合材料的力学性能单层的力学性能是复合材料的基本力学性能，即材料工程常数。
由于单层很薄，一般仅考虑单层的面内力学性能，故假设为平面应力状态。
单层在材料主轴坐标系中通常是正交各向异性材料，在其主方向上某一点处的正应变ε1、ε2只与该点处的正应力σ1、σ2有关，而与剪应力τ12无关；同时，该点处剪应变γ12也仅与剪应力τ12有关，而与正应力无关。
材料工程常数共9个：纵向和横向弹性模量Ε1和Ε2、主泊松比ν12、纵横剪切弹性模量G12，共四个弹性常数；还有纵向拉伸和压缩强度X1、X2，横向拉伸与压缩强度Y1、Y2，纵横剪切强度S共五个强度参数。
这9个工程常数是通过单向层合板的单轴试验确定的。
通常情况下，单层力学性能有明显的方向性，与增强纤维的方向密切相关，即?Ε1>>Ε2，X>>Y；而且拉伸与压缩强度不相等，即X1≠X2，Y1≠Y2；纵横剪切性能与拉伸、压缩性能无关，即S与X、Y无关。
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V4(A, B, D) sin4(1, z, z2 )dz
N
ViA Wk zk1 zk k 1
ViB
1N 2 k1 Wk
z2 k1
z
2 k
ViD
1N 3 k1 Wk
z3 k1
z
3 k
cos 2k ,
Wk
sin cos
2k 4k
, ,
sin4k ,
i 1 i 2 i 3 i 4
2、铺层角是z的偶函数
z -
+
-
V0
(
A,
B,
D)
t,0,
t3 12
V1(A, B, D) cos 2(1, z, z2 )dz
V2(A, B, D) sin2(1, z, z2 )dz
V3(A, B, D) cos 4(1, z, z2 )dz
V4(A, B, D) sin4(1, z, z2 )dz
层合板刚度不变量的特殊结果
1、铺层角是z的奇函数 z
+
-
V0
(
A,
B,
D)
t,0,
t3 12
V1(A, B, D) cos 2(1, z, z2 )dz
V2(A, B, D) sin2(1, z, z2 )dz
V3(A, B, D) cos 4(1, z, z2 )dz
V4(A, B, D) sin4(1, z, z2 )dz
1 Q16 2 U2 sin2 U3 sin4
Q26
1 2
U2
s in 2
U3
s in 4
Q66 U5 U3 cos 4
U1 (3Q11 3Q22 2Q12 4Q66 ) / 8 U2 (Q11 Q22 ) / 2 U3 (Q11 Q22 2Q12 4Q66 ) / 8 U4 (Q11 Q22 6Q12 4Q66 ) / 8 U5 (Q11 Q22 2Q12 4Q66 ) / 8
甚低 – 拉、压模量不同和拉、压强度不同 – 几何非线性和物理非线性
层合板设计
• 现将简单层板的刚度不变量的概念扩展到正交各向异性层合板
N
Aij
Qij k (zk zk1 )
k 1
Bij
1N
2 k1
Qij
k
(
z
2 k
z
2 k
1
)
Dij
1N 3 k1
Qij
k
(z
3 k
z
3 k
1
)
XY平面内的层合板刚度可以用通 用的形式给出：
(Aij , Bij , Dij ) Qij(1, z, z2 )dz
U6 (Q16 Q26 ) / 2 U7 (Q16 Q26 ) / 2
Q11 U1 U2 cos 2 U3 cos 4
Q12 U4 U3 cos 4
Q22 U1 U2 cos 2 U3 cos 4
下列积分项为奇函数
cos p(z) sinp(1, z2 )
下列积分项为偶函数
cos p(1, z2 ) sinp(z)
下列和值为零：
V2A V4A V1B V3B V2D V4D 0
下列刚度分量为零：
A16 A26 B11 B22 B12 B66 D16 D26 0
层合板刚度不变量的特殊结果
0
0
U2
0
2U3
2(A26,B26,D26)
0
0
U2
0
-2U3
层合板刚度不变量概念
V0
(
A,
B,
D)
t
,0,
t3 12
V1(A, B, D) cos 2(1, z, z2 )dz
V2(A, B, D) sin2(1, z, z2 )dz
V3(A, B, D) cos 4(1, z, z2 )dz
层合板设计
复合材料结构设计
层合板设计——复合材料结构设计
• 设计——外载是已知的
– 在构造中改变材料和尺寸以支承给定载荷 – 分析是确定特定构造能承受的载荷 – 抵抗载荷的大小和方向性中的任何一个不超过
设计能力，层合板设计到恰好满足特定需要
层合板设计——复合材料结构设计
• 考虑的因素
– 刚度和强度特性取决于铺层 – 不均匀性和某种程度的不连续性 – 层间剪切模量较低，层间剪切和层间拉伸强度
下列积分项为奇函数
cosp(z) sinp(z)
下列积分项为偶函数
cos p(1, z2 ) sinp(1, z2 )
下列和值为零：
V1B V3B V2D V4B 0
下列刚度分量为零：
Bij 0
层合板刚度不变量的特殊结果
3、铺层角是z的随机函数 z
定义 为V单i 独的Vi(A,B,D)的空间平均值
层合板刚度不变量概念
刚度
V0(A,B,D) V1(A,B,D) V2(A,B,D) V3(A,B,D) V4(A,B,D)
(A11,B11,D11)
U1
U2
0
U3
0
(A22,B22,D22)
U1
-U2
0
U3
0
(A12,B12,D12)
U4
0
0
-U3
0
(A66,B66,D66)
U5
0
0
-U3
0
2(A16,B16,D16)
cos4(1, z, z2 )dz
我们令：
V0
(
A,
B,
D)
t
,0,
t3 12
V1(A, B, D) cos 2(1, z, z2 )dz
V2(A, B, D) sin2(1, z, z2 )dz
V3(A, B, D) cos 4(1, z, z2 )dz
V4(A, B, D) sin4(1, z, z2 )dz
层合板刚度不变量概念Fra bibliotek(A11, B11, D11 ) [U1(1, z, z2 ) U2 cos 2(1, z, z2 ) U3 cos4(1, z, z2 )]dz
当所有正交各向异性层的材料都相同时，常数U可以移到积分号外面
(
A11
,
B11
,
D11
)
U1
t,0,
t3 12
U
2
cos 2(1, z, z2 )dz U3
层合板刚度不变量的特殊结果
研究几种特殊情况帮助理解V(A,B,D)的求和
奇函数（反对称）在对称于原点的区间内积分等于零 偶函数（对称）在对称于原点的区间内积分等于有限数
z(奇函数)dz 0 z
z(偶函数)dz 有限数 z
考察以下四种情况：
铺层角是z的奇函数 铺层角是z的偶函数 铺层角是z的随机函数 铺层角是/N的增量，N为总层数
V0
(
A,
B,
D)
t,0,
t3 12
V1(A, B, D) cos 2(1, z, z2 )dz
V2(A, B, D) sin2(1, z, z2 )dz
V3(A, B, D) cos 4(1, z, z2 )dz
V4(A, B, D) sin4(1, z, z2 )dz