华东师大版八年级下册数学《第19章矩形、菱形与正方形》单元综合检测试卷(含答案)
第19章矩形、菱形与正方形
一、选择题
1.下列命题正确的是（）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
2.若菱形的两条对角线长分别为6和8, 则这个菱形的周长为( )
A. 20
B. 16
C. 12
D. 10
3.正方形具备而菱形不具备的性质是（）
A. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等
D. 每条对角线平分一组对角
4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列条件：①AB∥CD；②AB=CD；③OA=OC；
④OB=OD；⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD．则下列各组组合中，不能推出四边形ABCD为菱形的是（）
A. ①②④
B. ③④⑤
C. ①②⑤
D. ①②⑥
5.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）
A. （，1）
B. （﹣1，）
C. （﹣，1）
D. （﹣，﹣1）
6.已知：如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF 交于点N，AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC；CE，DF分别平分∠BCD，∠ADC，则四边形MFNE是（）
A. 菱形
B. 矩形
C. 平行四边形
D. 正方形
7.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）
A. 3
B. 5
C. 2.4
D. 2.5
8.正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（）
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 平行四边形
9.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）
A. 5
B. 4
C.
D.
10.如图，四边形ABCD为菱形，AB=5，BD=8，AE⊥CD于E，则AE的长为（）
A. B. C. D.
11.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）
A. 30
B. 34
C. 36
D. 40
12.如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB等于（）
A. 22.5°
B. 45°
C. 30°
D. 135°
二、填空题
13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件________使其成为菱形（只填一个即可）．
14.如图，剪两张等宽对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是________．
15.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为________
16.已知正方形的周长是8 ，则对角线长是________．
17.如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为________．
18.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA ，对角线AC与BD相交于点O ，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________
19.已知：如图所示，E是正方形ABCD边BC延长线一点，若EC=AC，AE交CD于F，则∠AFC=________度．
20.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=12，则DE的长度是________ （结果用根号表示）．
三、解答题
21.如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，E、F是对角线AC上两点，满足AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形．
22.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，求OH的长？
23.如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件“∠DAB=∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
24.四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC 相交，连接AP，BN．
①依题意补全图1；
②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；
（2）点P在AB延长线上，且∠APO=30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线恰交于点N，连接CM，若AB=2，求CM的长（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）
参考答案
一、选择题
D A C A C B B C D C B A
二、填空题
13.AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC 14.菱形15.3
16.4 17.105°
18.AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一）
19.112.5 20.
三、解答题
21.证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，
即OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
22.解：在菱形ABCD中，AB=AD=BC=DC，AO=OC，
∵菱形的周长为28，
∴AB=7，
∵H为AD边的中点，
∴OH为△ABD的中位线，
∴OH=AB=×7=3.5．
23.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四边形EAFC是平行四边形．
24.（1）解：①补全图形如图1所示，
②结论：AP=BN，AP⊥BN．
理由：延长NB交AP于H，交OP于K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AO⊥BO，
∴∠1+∠2=90°，
∵四边形OPMN是正方形，
∴OP=ON，∠PON=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△APO和△BNO中，
，
∴△APO≌△BNO，
∴AP=BN，∴∠4=∠5，
在△OKN中，∠5+∠6=90°，
∵∠7=∠6，
∴∠4+∠7=90°，
∴∠PHK=90°，
∴AP⊥BN．
（2）解：解题思路如下：
a．首先证明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．
b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由题意可知AT=TB=1，
c．由∠APO=30°，可得PT= ，BN=AP= +1，可得∠POT=∠MNS=60°．d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，
可证，△OTP≌△NSM，
∴PT=MS= ，
∴CN=BN﹣BC= ﹣1，
∴SC=SN﹣CN=2﹣，
在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2，∴MC的长可求．。
达标测试华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形同步测评试题(含详细解析)
八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH，那么BH的值为（）AEA．1 B C D．22、如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（）A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．一直变大D ．保持不变3、下列命题是真命题的是（ ）A ．有一个角为直角的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D ．有一组邻边相等的矩形是正方形4、如图，把一张长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为点B ′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论正确的是 （ ）A ．∠DAB ′＝∠CAB ′B ．∠ACD ＝∠B ′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE5、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，6BC =，BDC ∆面积为21，AB 的垂直平分线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若点P 和点Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点，则PB PQ +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 6、如图，已知双曲线 (0)ky x x => 经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F 且交 BC 于 E ，四边形OEBF 的面积为 2，则()k =A ．1B ．2C ．4D ．87、如图，长方形OABC 中，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上．4OA BC ==，8AB OC ==．点D 在边AB 上，点E 在边OC 上，将长方形沿直线DE 折叠，使点B 与点O 重合．则点D 的坐标为（ ）A ．()4,4B ．()5,4C ．()3,4D ．()6,48、将一长方形纸条按如图所示折叠，255∠=︒，则1∠=（ ）A ．55°B ．70°C ．110°D ．60°9、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过对角线OB 的中点D 和顶点.C 若菱形OABC 的面积为9，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510、已知锐角∠AOB ，如图．（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接CP ，DP ；（3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A ．四边形OCPD 是菱形B ．CP =2QC C ．∠AOP =∠BOPD ．CD ⊥OP第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，且顶点B 的坐标是（1，2），如果以O 为圆心，OB 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点P ，那么点P 的坐标是_______．2、如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E 为CD 边上一点，将ADE 绕点A 旋转至ABE '△，连接EE '，若2DE =，则EE '的长等于______．3、如图，正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点P 为边AB 上一个动点，连接PE ，以PE 为对称轴折叠PBE △得到PFE △，点B 的对应点为点F ，若2AB =，当射线EF 经过正方形ABCD 边的中点（不包括点E ）时，BP 的长为_____________．4、点P 为边长为2的正方形ABCD 内一点，PBC 是等边三角形，点M 为BC 中点，N 是线段BP 上一动点，将线段MN 绕点M 顺时针旋转60°得到线段MQ ，连接AQ 、PQ ，则AQ PQ +的最小值为______．5、如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为()090αα︒<<︒．若1110∠=︒，则α的大小为________（度）．6、如图，已知正方形ABCD ，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且<AM AB ，CBE △由DAM △平移得到，若过点E 作EH AC ⊥，H 为垂足，则有以下结论：①点M 位置变化，使得60DHC ∠=︒时，2=BE DM ；②无论点M 运动到何处，都有DM =；③在点M 的运动过程中，四边形CEMD 可能成为菱形；④无论点M 运动到何处，∠CHM 一定大于135︒以上结论正确的有______（把所有正确结论的序号都填上）．7、菱形的性质：（1）两组对边分别____________，菱形的四条边都____________．（2）菱形的两组对角____________，邻角____________（3）菱形的对角线互相____________，并且每一条对角线____________一组对角．（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有____________条对称轴，其对称轴为两条对角线所在直线，对称中心为其____________的交点．8、正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________．9、有一组邻边相等的平行四边形是____________菱形是特殊的____________，因此它具有平行四边形的所有性质，但它也有自己独特的性质．10、如图，正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点（不含C 、)D ，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH AE ⊥交BC 于H ，过H 作HG BD ⊥于G ，连接AH ，EH ．下列结论：①AF FH =；②45HAE ∠=︒；③FH 平分GHC ∠；④2BD FG =，正确的是__（填序号）．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，矩形ABCD ，延长CD 至点E ，使DE CD =，连接AC ，AE ，过点C 作//CF AE 交AD 的延长线于点F ，连接EF ．(1)求证：四边形ACFE 是菱形；(2)连接BE ，当4AC =，30ACB ∠=︒时，求BE 的长．2、如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A ，B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接CF 并延长交DE 延长线于点K ．(1)根据题意，补全图形；(2)求∠CKD的度数；(3)请用等式表示线段AB、KF、CK之间的数量关系，并说明理由．3、如图，AD//BE，AC平分BAD∠，且交BE于点C．(1)作ABE∠的角平分线交AD于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；(2)根据（1）中作图，连接CF，求证：四边形ABCF是菱形．4、如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＞AB．(1)作∠BCD的角平分线交AD于点E，在BC上截取CF＝CD（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，连接EF，猜想四边形CDEF的形状，并证明你的结论．5、在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q 均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，，∵AD=AB，∴DM=BE，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∠1=∠2，∴∠DFG=90°，在Rt △DFG 和Rt △DCG 中，∵DF DCDG DG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG （HL ），∴∠3=∠4，∵∠ADC =90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG =45°，∵EH ⊥DE ，∴∠DEH =90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴∠AED +∠BEH =∠AED +∠1=90°，DE =EH ， ∴∠1=∠BEH ，在△DME 和△EBH 中，∵1DM BE BEHDE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DME ≌△EBH （SAS ），∴EM =BH ，Rt △AEM 中，∠A =90°，AM =AE ，∴EM ，∴BH ，即BHAE．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．2、D【解析】【分析】连接AE ，根据11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，推出ABCD DEGF S S =矩形，由此得到答案． 【详解】解：连接AE ，∵11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，∴ABCD DEGF S S=矩形，故选：D ． ．【点睛】 此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE 是解题的关键．3、D【解析】【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，结合选项进行判断即可．【详解】A.有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项为假命题；B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项为假命题；C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项为假命题；D.有一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项为真命题．故选：D．【点睛】考查矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，熟练掌握它们的判定方法是解题的关键．4、D【解析】【分析】根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．【详解】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，∴∠BAC=∠CAB′，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠ACD=∠CAB′，∴AE=CE，∴结论正确的是D选项．故选D.【点睛】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5、C【解析】【分析】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，根据垂直平分线的性质得到PA PB =，再根据PB PQ AP PQ AQ +=+≥计算即可；【详解】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，∵6BC =，BDC ∆面积为21， ∴1212BC DH =， ∴7DH =，∵MN 垂直平分AB ，∴PA PB =，∴PB PQ AP PQ AQ +=+≥，∴当AQ 的值最小时，PB PQ +的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ BC ⊥时，AQ 的值最小， ∵AD BC ∥，∴7AQ DH ==，∴PB PQ +的值最小值为7；故选C ．【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．6、B【解析】【分析】 利用反比例函数图象上点的坐标，设()k F a a ，，则根据F 点为AB 的中点得到2()k B a a，．然后根据反比例函数系数k 的几何意义，结合OAF OCE OABC OEBF S S S S =++矩形四边形，即可列出11222B B x y k k ⋅=++，解出k 即可．【详解】 解：设()k F a a，， ∵点F 为AB 的中点， ∴2()k B a a，． ∵OAF OCE OABC OEBF S S S S =++矩形四边形， ∴11222B B x y k k ⋅=++，即211222k a k k a ⋅=++， 解得：2k =．故选B ．【点睛】本题考查反比例函数的k 的几何意义以及反比例函数上的点的坐标特点、矩形的性质，掌握比例系数k 的几何意义是在反比例函数(0)ky k x=≠图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解答本题的关键．7、C【解析】【分析】设AD=x，在Rt△OAD中，据勾股定理列方程求出x，即可求出点D的坐标．【详解】解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，在Rt△OAD中，∵OA2+AD2=OD2，∴42+x2=(8-x)2，∴x=3，3,4，∴D()故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．8、B【解析】【分析】从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．【详解】解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，221180∠+∠=︒，255∠=︒，170∴∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．9、B【解析】【分析】根据题意，可以设出点C 和点A 的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k 的值，本题得以解决．【详解】解：设点A 的坐标为()0a ，，点C 的坐标为k c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴点D 的坐标为22a c k c +⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 菱形OABC 的面积为9，9k a c∴⋅=①， 点D 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上，22a c k k c +∴⋅=②， 解得，3k =，故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10、A【解析】【分析】根据作图信息可以判断出OP 平分AOB ∠，由此可以逐一判断即可．【详解】解：由作图可知，,,OC OD PC PD OP ==平分AOB ∠∴OP 垂直平分线段CD∴∠AOP =∠BOP ，CD ⊥OP故选项C ，D 正确；由作图可知，CD CP PD ==∴PCD ∆是等边三角形，∴60CPD ∠=︒∵OP 垂直平分线段CD∴30CPQ ∠=︒∴CP =2QC故选项B 正确，不符合题意；由作图可知，,OC OD PC PD ==,不能确定四边形OCPD 是菱形，故选项A 符合题意，故选：A【点睛】本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．二、填空题1、0）【解析】【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解．【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，∵OB∴OP∴点P0）．故答案为：0）．【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．2、【解析】【分析】在正方形ABCD中，BE′＝DE＝2，所以在直角三角形E′CE中，E′C＝8，CE＝4，利用勾股定理求得EE′的长即可．【详解】解：在正方形ABCD中，∠C＝90°，由旋转得，BE′＝DE＝2，∴E ′C ＝8，CE ＝4，∴在直角三角形E ′CE 中，EE故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质与勾股定理的知识，正确的利用旋转和正方形的性质得出直角三角形边长并正确的应用勾股定理是解题的关键．3、11【解析】【分析】分EF 经过正方形ABCD 另三边三种情况求解即可【详解】解：①EF 经过CD 边中点O 时，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，90C B ∠=∠=︒，∵点O 是CD 边中点，点E 是BC 边中点， ∴11,22OC CD EC BC ==．∵CE=CO =1，∴45CEO ∠=︒， 由折叠得11(180)((18045)67.522FEP BEP CEO ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴22.5FPE BPE ∠=∠=︒．∴45FPB FPE BPE ∠=∠+∠=︒，作FG ⊥AB 于G ，作EH ⊥FG 于H ，如图，设FH=x ，则BG=EH=FH=x ，∵45BPF ∠=︒，∴PG ＝FG=x +1，∴BP =2x +1，由勾股定理得1)PF x =+，由折叠得PB=PF ，∴211)x x +=+，解得x =∴12BP =>，∴点P 在AB 外，不符合题意；②EF 经过AD 边中点O '，如图，此时，190452FEP BEP ∠=∠=⨯︒=︒，∴BP=BE =1；③EF 经过AB 中点O ''，如图，∵O ''B=BE ，∴45EO B ''∠=︒．由折叠得90PFE B ∠=∠=︒，设PF=x ，则,O P PB x ''==，1x +=，∴1，即1，综上，BP 的长为11，故答案为：11．【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．4【解析】【分析】如图，取,BP PC 的中点,E F ，连接EF ，,EM AM ，PM ，证明BMN EMQ ≌，进而证明Q 在EF 上运动， 且EF 垂直平分PM ，根据AQ PQ AQ MQ AM +=+≥，求得最值，根据正方形的性质和勾股定理求得AM 的长即可求得AQ PQ +的最小值．【详解】解：如图，取,BP PC 的中点,E F ，连接EF ，,EM AM ，PM ，将线段MN 绕点M 顺时针旋转60°得到线段MQ ，MN MQ ∴=，60NMQ ∠=︒ PBC 是等边三角形，PB BC ∴=,60PBC ∠=︒,E F 是,BP PC 的中点，M 是BC 的中点BM BE ∴=BEM ∴是等边三角形BME ∴∠60=︒，BM BE =NMQ BME ∴∠=∠BME NME NMQ NME ∴∠-∠=∠-∠即BMB EMQ ∠=∠在BMN △和EMQ 中，BM EM BMN EMQ MN MQ =⎧⎪∠-⎨⎪=⎩∴BMN EMQ ≌60MEQ MBN ∴∠=∠=︒又60EMB ∠=︒MEQ EMB ∴∠=∠EQ BC ∴∥,E F 是,BP PC 的中点EF BC ∴∥Q ∴点在EF 上 M 是BC 的中点，PBC 是等边三角，PM BC ∴⊥EF PM ∴⊥ 又11,22EP PB EM EB PB === EP EM ∴=EF ∴垂直平分PMQP QM ∴=AQ PQ AQ MQ AM ∴+=+≥即AQ PQ +的最小值为AM四边形ABCD 是正方形，且2AB =AM ∴==+∴AQ PQ【点睛】本题考查了正方形的性质等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的性质与判定，根据以上知识转化线段是解题的关键．5、20【解析】【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．【详解】∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，∵∠ABC=90°，∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，∴∠DAD′=90°-70°=20°，即α=20°．故答案为20．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．6、①②④【解析】【分析】由正方形性质、三角形性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及全等三角形的判定及性质，对结论推理论证即可．【详解】由题意得AM BE =∴AB EM =∵四边形ABCD 是正方形，EH AC ⊥∴EM AD =，90AHE =︒∠，45MEH DAH EAH ∠=∠=∠=︒∴EH AH =∴()MEH DAH SAS ≅△△∴MHE DHA ∠=∠，MH DH =∴90MHD AHE ∠=∠=︒，DHM △为等腰直角三角形∴DM故②正确当60DHC ∠=︒时，604515ADH ∠=︒-︒=︒∴Rt ADM △中，DM =2AM即DM =2BE故①正确∵CD //EM ，AD //DM∴四边形CEMD 是平行四边形∵DM AD >，AD CD =∴DM CD >∴四边形CEMD 不可能为菱形故③错误∵点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合）且<AM AB∴45AHM BAC ∠<∠=︒∴135CHM ∠>︒故④正确综上所述①②④正确故答案为：①②④．【点睛】本题为四边形内的综合问题，熟悉正方形、三角形、平行四边形、菱形以及全等三角形的等知识点的性质是解题的关键．7、 平行 相等 相等 互补 垂直 平分 两 对角线【解析】略8、8【解析】【分析】正方形边长相等设为a ，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积．【详解】解：设边长为a ，对角线为4 24a =+28a ∴=故答案为：8．【点睛】本题考察了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长．9、 菱形 平行四边形【解析】略10、①②④【解析】【分析】连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．可证ADF CDF ∆∆≌，进而可得FHC FCH ∠=∠，由此可得出FH AF =；再由FH AF =，即可得出45HAE ∠=︒；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =，证明AOF FGH ≌，即可得出OA GF =，进而可得2BD FG =；过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，由于F 是动点，FN 的长度不确定，而FG OA =是定值，即可得出FH 不一定平分GHC ∠．【详解】解：如图，连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．∵BD 为正方形ABCD 的对角线∴45ADB CDF ∠=∠=︒，AD CD =在ADF 和CDF 中45AD CD ADB CDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADF CDF SAS ∆∆≌∴AF FC =，DCF DAF ∠=∠∵90AFL ∠=︒，90ALH LAF ∠+∠=︒ ，ALH FHC ∠=∠∴90LHC DAF ∠+∠=︒∵DCF DAF ∠=∠，90FCD FCH ∠+∠=︒∴FHC FCH ∠=∠∴FH FC =∴AF FH =故①正确；∵90AFH ∠=︒，AF FH =∴AFH 是等腰直角三角形∴45HAE ∠=︒故②正确；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =∵90AFO GFH GHF GFH ∠+∠=∠+∠=︒∴AFO GHF ∠=∠在AOF 和FGH 中90AFO GHF AOF FGH AF FH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AOF FGH AAS ∆∆≌∴OA GF =∴22BD OA GF ==故④正确．过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，F 是动点∵FN 的长度不确定，而FG OA =是定值∴FN 不一定等于FGFH ∴不一定平分GHC ∠故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC ＝90°，求得AE ＝AC ，EF ＝CF ，根据平行线的性质得到∠EAD ＝∠AFC ，求得AE ＝EF ＝AC ＝CF ，于是得到结论；（2）由直角三角形的性质可求AB ＝2，BC ＝(1)证明：四边形ABCD 是矩形，90ADC ∴∠=︒，AF CE ∴⊥，又CD DE =，AE AC ∴=，EF CF =，EAD CAD ∴∠=∠，//AE CF ，EAD AFC ∴∠=∠，CAD CFA ∴∠=∠，AC CF ∴=，AE EF AC CF ∴===，∴四边形ACFE 是菱形；(2)解：4AC =，30ACB ∠=︒，90ABC ∠=︒，122AB AC ∴==，BC ， 2CD AB DE ===，BE ∴【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．2、 (1)见解析(2)45°(3)KF2+CK2=2AB2，见解析【解析】【分析】（1）按题意要求出画出图形即可；（2）过点D作DH⊥CK于点H，由轴对称的性质得出DA=DF，∠ADE=∠FDE，由正方形的性质得出∠ADC=90°，AD=DC，证出∠EDH=45°，由直角三角形的性质可得出结论；（3）连接AC，由轴对称的性质得出AK=KF，∠AKE=∠CKD=45°，由正方形的性质得出∠B=90°，∠BAC=45°，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出结论．(1)如图，(2)过点D作DH⊥CK于点H，∵点A关于DE的对称点为点F，∴DA=DF，∠ADE=∠FDE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AD=DC，∴DF=DC，∵DH⊥CK，∴∠FDH=∠CDH，∠DHF=90°，∴∠ADE+∠FDE+∠FDH+∠CDH=90°，∴∠FDE+∠FDH=45°，即∠EDH=45°，∴∠CKD=90°-∠EDH=45°；(3)线段AB、KF、CK之间的数量关系为：KF2+CK2=2AB2．证明：连接AC，∵点A关于DE的对称点为点F，∴AK=KF，∠AKE=∠CKD=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，在Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC，在Rt△AKC中，∠AKC=90°，∴AK2+CK2=AC2，∴KF2+CK2=2AB2．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；（2）根据角平分线定义和平行线性质证明∠BAC=∠ACB，∠AFB=∠CBF，再根据三角形的等角对等边证得AF=AB=BC，然后根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可．(1)解：如图，射线BF即为所求作的角平分线；(2)解：∵AC平分∠BAD，BF平分∠ABE，∴∠BAC=∠FAC，∠ABF=∠CBF，∵AD∥BE，∴∠ACB=∠FAC，∠AFB=∠CBF，∴∠BAC=∠ACB，∠AFB=∠ABF，∴A B=BC，AB=AF，∴BC=AF，又AF∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCF是菱形．【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．4、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【小题1】解：如图，射线CE，线段CF即为所求．【小题2】结论：四边形CDEF是菱形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠DEC=∠ECF，∵CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠ECF，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=CD，∵CF=CD，∴DE=CF，∵DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形，∵CD=CF，∴四边形CDEF是菱形．【点睛】本题考查作图-基本作图，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5、 (1)见解析(2)4(3)4【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC 交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD 的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．(1)解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；(2)如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；(3)如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四边形PQNM的面积=12×PF×PH-12×PF×TM-12×QH×CN=12×8×8-12×8×4-12×6×3=7．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．。
华师大版八年级数学下册第19章矩形、菱形、正方形单元检测题教师版含答案.docx
华师大版八年级下册第１９章矩形、菱形、正方形单元检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列命题中正确的是( B)A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若∠DBC＝30°，则∠AOB等于( D)A．120° B．15° C．30° D．60°3．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连结AE，CF，则四边形AECF是( C)A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形,第2题图) ,第3题图),第5题图) ,第6题图) 4．一个菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则这个菱形的两邻角的度数之比为( D)A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶15．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四个判断中不正确的是( D)A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形6．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( D)A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 5 D．AF＝EF7．如图，一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21 cm2，则该矩形的面积为( A)A．60 cm2 B．70 cm2 C．120 cm2 D．140 cm28．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( C)A．1 B. 2 C．1－22D.2－4,第7题图) ,第8题图),第9题图) ,第10题图)9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C 的坐标为(m ，32)，反比例函数y ＝k x的图象与菱形对角线AO 交于D 点，连结BD ，当DB⊥x 轴时，k 的值是( D )A ．1B ．－1 C. 3 D ．－ 310．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE.将△ADE 沿AE 对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG ，CF.则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG ；③AG∥CF；④S △EGC ＝S △AFE ；⑤∠AGB ＋∠AED＝145°.其中正确的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，且∠AED＝90°，AD ＝10，则AB 的长为__5__．,第11题图) ,第13题图) ,第14题图),第15题图)12．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 的长分别是6和8，则菱形的周长是__20__．13．如图，▱ABCD 的顶点B 在矩形AEFC 的边EF 上，点B 与点E ，F 不重合，已知△ACD 的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为__3__．14．如图，▱ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝5，AC ＝4，BD ＝2，小明说：“这个四边形是菱形．”他说这话的根据是__对角线互相垂直的平行四边形是菱形__．15．▱ABCD 中，给出下列四个条件：①AC⊥BD；②∠ADC＝90°；③BC＝CD ；④AC＝BD.其中选两个条件能使▱ABCD 是正方形的有__①②、①④、②③、③④__．(填上所有正确结果的序号)16．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝12，BC ＝5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为__103__．,第16题图) ,第17题图),第18题图)17．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ，若菱形ABCD 的边长为2 cm ，∠A＝120°，则EF ＝__3__cm.18．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝kx ＋b(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则点B n 的坐标为__(2n －1，2n －1)__．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，且BO ＝2AE ，∠AOD＝120°，求证：BE⊥AC.解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OA ，又∵OB ＝2AE ，∴AE ＝OE ，又∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB ＝60°，∴△ABO 是等边三角形．又∵AE ＝OE ，∴BE ⊥AO ，即BE⊥AC20．(8分)如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB ＝2，求线段AE 的长．解：(1)用SAS 证△ABE≌△CDF (2)∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴BE ＝CE ＝1，AE ⊥BC ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝22－12＝321．(10分)如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边的中点，AC 与BE 相交于点F ，连结DF.(1)在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；(2)连结AE ，试判断AE 与DF 的位置关系，并说明理由．解：(1)△ADC≌△ABC ，△ADF ≌△ABF ，△CDF ≌△CBF (2)AE⊥DF.理由如下：设AE 与DF 相交于点H ，易证△ADF≌△ABF ，∴∠ADF ＝∠ABF ，再证△ADE≌△BCE ，∴∠DAE ＝∠CBE ，∵∠ABF ＋∠CBE ＝90°，∴∠ADF ＋∠DAE ＝90°，∴∠DHA ＝90°，∴AE ⊥DF22．(9分)如图，CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，AF∥CD 交CE 于点F ，FG∥AC 交CD 于点G.求证：四边形ACGF 是菱形．解：易证四边形ACGF 是平行四边形，再证AC ＝AF ，故四边形ACGF 是菱形23．(9分)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE∥AB 交AC 于点E ，DF∥AC 交AB 于点F.(1)求证：四边形AFDE 是菱形；(2)当∠ABC 等于多少度时，四边形AFDE 是正方形？请说明理由．解：(1)易证四边形AFDE 是平行四边形，∵D 为BC 中点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴DE ＝12AB ，DF ＝12AC ，∵AB＝AC ，∴DE ＝DF ，∴四边形AFDE 是菱形 (2)当∠ABC ＝45°时，四边形AFDE 是正方形，理由略24.(10分)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连结DO 并延长到点E ，使OE ＝OD ，连结AE ，BE.(1)求证：四边形AEBD 是矩形；(2)当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．解：(1)∵OA ＝OB ，OE ＝OD ，∴四边形AEBD 为平行四边形，∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，∴四边形AEBD 为矩形 (2)当∠BAC ＝90°时，四边形AEBD 为正方形，理由如下：∵∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，∴∠DAB ＝∠DBA ＝45°，∴BD ＝AD ，∴矩形AEBD 为正方形25．(12分)已知，在△ABC 中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作正方形ADEF ，连结CF.(1)如图①，当点D 在线段BC 上时，求证：CF ＋CD ＝BC ；(2)如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；(3)如图③，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变： ①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若正方形ADEF 的边长为2，对角线AE ，DF 相交于点O ，连结OC ，求OC 的长度．解：(1)∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴AB ＝AC ，可证△BAD≌△CAF (SSS )，∴BD ＝CF ，∵BC ＝BD ＋CD ，∴CF ＋CD ＝BC (2)BC ＝CF －CD (3)①CD －CF ＝BC ②由题知，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝45°，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，∵∠BAD ＝90°－∠BAF ，∠CAF ＝90°－∠BAF ，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∴△BAD ≌△CAF (SAS )，∴∠ACF ＝∠ABD ，∵∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝135°，∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°，∴∠FCD ＝90°，∴△FCD 为直角三角形，∵DE ＝2，∴DF ＝2DE ＝22，∴OC ＝12DF ＝2初中数学试卷马鸣风萧萧。
华东师大版八年级下册数学第19章矩形、菱形、正方形单元测试试题（含答案）
华东师大版八年级下册数学第19章《长方形' 菱形、正方形》单元测试题得分 卷后分 评价一、选择题（每小题4分，共24分）1.下列说法中，正确的是（）A.同位角相等C.四条边相等的四边形是菱形 B.对角线相等的四边形是平行四边形D.矩形的对角线一定互相垂直2.如图，在菱形A3CQ 中，已知ZA=60°, A3=5,则△A3D 的周长是（ ）A. 10B. 12C. 15第2题图D. 20第3题图3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是CQ 边上一点,连结AE,交对角线BQ 于点F,连结CF,则图中全等三角形共有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对4.有一张矩形纸片A3CQ, AB=2.5, AD= 1.5,将纸片折叠，使AQ 边落在AB 边上，折痕为AE,再将△•以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F （如图），则CF 的长为（ ）5.将矩形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，得到菱形AECF,若AB=3,则BC 的长为（）6.如图，四边形ABCQ 为正方形，E 是CQ 的中点，F 是BC 边上的点，下列条件中,不能推出APLEP 的是（)A. ZAPB= ZPECC. ZAPB+ZEPC=9Q° B. P 是BC 的中点D. ZPAD+ ZPED= 1SQ°第6题图第8题图二、填空题（每小题4分，共20分）7. 在△ ABC 中，延长至点Z ）,使延长CA 至点E, ft AE=AC,连结CD,DE, BE,则四边形BCDE 是；当四边形BCDE 是矩形时，△ ABC 是 三角形；当四边形BCDE 是菱形时，A ABC M 三角形；当四边形BCDE 是正方形时,△ ABC 是__________三角形.8. 如图，。
是矩形ABCQ 的对角线AC 的中点，M 是AO 的中点，若AB=5, AD=\2,则四边形的周长为.9. 如图，菱形 ABCD 中，AB=4, ZB=60。
华师大版八年级数学初二下册：第19章 矩形、菱形与正方形测试题及答案
第19章 矩形、菱形与正方形测试题第20章 第21章一、选择题（每小题3分，共30分）1、关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC 和BD 相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有（ ）。
（A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2、若顺次连结四边形ABCD 各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 必定是（ ）A 、菱形B 、对角线相互垂直的四边形C 、正方形D 、对角线相等的四边形 3、如图1，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）A.S 1 > S 2B.S 1 = S 2C.S 1<S 2D.S 1、S 2 的大小关系不确定 4、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为（ ）A.3cm 2B. 4cm 2C. 12cm 2D. 4cm 2或12cm 2 5、如图2，菱形花坛 ABCD 的边长为 6m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）m B.20m C.22m D.24m6、如图3，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是( ) AB． CD．7、如图4，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为( )A ．600m 2B ．551m 2C ．550 m 2D ．500m 28、如图5，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是 （ ）A.3∶4B.5∶8C.9∶16D.1∶2图4FEDCBA图3图2图19、如图6，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，且∠ADE ：∠EDC=3：2，则∠BDE 的度数为 （ ）A 、36oB 、9oC 、27oD 、18o 10、如图7，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心O 1，再从中心O 1走到正方形O 1GFH 的中心O 2，又从中心O 2走到正方形O 2IHJ 的中心O 3，再从中心O 3走2走到正方形O 3KJP 的中心O 4，一共走了31 2 m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）A.36 mB.48mC.96 mD.60 m二、填空题（每小题3分，共30分）11，如图8, 若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于＿＿＿.12，如图9，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）.13，如图10，四边形ABCD 是正方形，P 在CD 上，△ADP 旋转后能够与△ABP ′重合，若AB ＝3，DP ＝1，则PP ′＝＿＿＿.14，已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为6cm ，则其面积为＿＿＿cm 2. 15，如图11，在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,点E 为BC 的中点, 设△DEA 的面积为S 1,梯形ABCD 的面积为S 2,则S 1与S 2的关系为＿＿＿.16，如图12，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，A 1B 1C 1D 1四边形ABCD 的中点四边形.如果AC ＝8，BD ＝10，那么四边形A 1B 1C 1D 1的面积为＿＿＿.AC图5图7图12A 1B 1C 1D 1 D AB C B图13D CB A 图8 图10图9 N M Q D C B图11E D C BA17，如图13，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为＿＿＿.18，将一张长方形的纸对折,如图14所示，可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕.19、如图15，已知AB ∥DC ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝15，AC ＝20, 则梯形ABCD 的面积为＿＿＿.20、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图16所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝＿＿＿.三、解答题21、（8分）如图17，把一张长方形ABCD 的纸片沿EF 折叠后，ED 与BC 的交点为G ，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG 和∠EGB 的度数。
最新华东师大版八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形单元测试题（附答案）
最新华东师大版八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形单元测试题（附答案）第19章矩形、菱形与正方形一、选择题(每小题4分,共20分)1.如图答案1,菱形ABCD的对角线相交于点O,若AC=8,BD=6,则菱形的周长为()A.40B.30C.28D.202.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分图答案1 图答案23.如图答案2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=12,∠ACB=30°,则AB的长为()A.9B.6C.12D.244.如图答案3,在?ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F.若BF=12,AB=10,则AE的长为()A.10B.12C.16D.18图答案3 图答案45.如图答案4,菱形ABOC 中,对角线OA 在y 轴的正半轴上,且OA=4,直线y=23x+43过点C ,则菱形ABOC 的面积是( )A .8B .4C .323D .163二、填空题(每小题5分,共25分)6.菱形ABCD 中,∠A=60°,其周长为24 cm,则菱形的面积为 cm 2.7.如图答案5,在正方形ABCD 中,边长为1,对角线AC ,BD 交于点O ,E 是BC 边上任意一点,过点E 分别向BD ,AC 作垂线,垂足分别为F ,G ,则四边形OFEG 的周长是 .图答案5 图答案68.如图答案6,矩形OBCD 的顶点C 的坐标为(1,3),连结BD ,则线段BD 的长为 . 9.如图答案7,菱形ABCD 的面积为120 cm 2,正方形AECF 的面积为50 cm 2,则菱形ABCD 的边长为 cm .图答案7 图答案810.如图答案8,已知正方形ABCD 的一条对角线长为10√2 cm,矩形EFCG 的3个顶点分别在△BCD 的边上,则矩形EFCG 的周长是 .三、解答题(共55分)11.(10分)如图答案9,在矩形ABCD中,点E在AD上,且BE=BC.(1)EC平分∠BED吗?证明你的结论.(2)若AB=1,∠ABE=45°,求BC的长.图答案912.(10分)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F 满足BE=DF,连结AE,AF,CE,CF,如图答案10所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图答案1013.(10分)如图答案11,正方形ABCD的边长为8 cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)判断直线EG是否经过某一定点,说明理由.图答案1114.(12分)如图答案12,将?ABCD沿过点A的直线折叠,使点B落到AD边上的点F处,折痕为AE,连结DE.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若DE平分∠ADC,则四边形CDFE是菱形吗?请说明理由.图答案1215.(13分)如图答案13①,四边形ABCD是菱形,点M,N分别在AB,AD上,且BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点F,G分别在BC,CD上,MG与NF相交于点E.(1)求证:四边形AMEN是菱形;(2)如图②,连结AC.在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出面积相等的四边形.图答案13答案1.[答案] D2.[答案] C3.[答案] B4.[答案] C5.[答案] B6.[答案] 18√37.[答案] √28.[答案] √109.[答案] 1310.[答案] 20 cm11.解:(1)EC平分∠BED.证明如下:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵BE=BC,∴∠BEC=∠BCE,∴∠BEC=∠DEC,∴EC平分∠BED.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.∵∠ABE=45°,∴∠ABE=∠AEB=45°,∴AE=AB=1,由勾股定理得BE=√12+12=√2,∴BC=BE=√2.12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=∠ADB=45°,AB=AD,∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(S.A.S.).(2)四边形AECF是菱形.理由:∵△ABE≌△ADF,∴AE=AF.连结AC交BD于点O.∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OC,OB=OD.∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形.又∵AE=AF,∴四边形AECF是菱形.13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°,AB=DA.∵AE=DH,∴BE=AH.又∵AE=BF,∴△AEH≌△BFE,∴EH=FE,∠AHE=∠BEF.同理:FE=GF=HG,∴EH=FE=GF=HG,∴四边形EFGH是菱形.∵∠A=90°,∴∠AHE+∠AEH=90°,∴∠BEF+∠AEH=90°,∴∠FEH=90°,∴菱形EFGH是正方形.(2)直线EG经过正方形ABCD的中心.理由如下:连结BD交EG于点O.∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥DC,AB=DC,∴∠EBD=∠GDB.∵AE=CG,∴BE=DG.又∵∠EOB=∠GOD,∴△EOB≌△GOD,∴BO=DO,即O为BD的中点,∴直线EG经过正方形ABCD的中心.14.解:(1)证明:如图,由折叠的性质可知,∠1=∠2,AB=AF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AB=BE,∴AF=BE.又∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形.又∵AB=BE,∴?ABEF是菱形.(2)四边形CDFE是菱形.理由:如图,∵DF=AD-AF,CE=BC-BE,由(1)知AD=BC,AF=BE,∴DF=CE.又∵DF∥CE,∴四边形CDFE是平行四边形.∵DE平分∠ADC,∴∠4=∠5.∵AD∥BC,∴∠4=∠6,∴∠5=∠6,∴CD=CE,∴?CDFE是菱形.15.解:(1)证明:∵MG∥AD,NF∥AB,∴四边形AMEN是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.又∵BM=DN,∴AB-BM=AD-DN,即AM=AN,∴四边形AMEN是菱形.(2)∵四边形AMEN是菱形,∴S△AEM=S△AEN.同理,四边形CGEF是菱形,∴S△CEF=S△CEG.∵四边形ABCD是菱形,∴S△ABC=S△ADC,∴S四边形MBFE=S四边形DNEG,S四边形MBCE=S四边形DNEC,S四边形MBCG=S四边形DNFC,S四边形ABFE=S四边形ADGE,S=S四边形ADGM.四边形ABFN。
华东师大版2019-2020学年八年级数学下学期第19章 矩形、菱形、正方形 单元测试卷(含答案)
19章矩形、菱形、正方形单元试卷一、选择题 (共1．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，不是轴对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．如图，矩形ABCD 中，E 点在DC 上，且AE 平分 BAC ；若DE=4，AC =15，则 AEC 面积为( )A. 15B. 45C. 60D. 303．如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =4,则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（ ）A.14B.15C.16D.174. 正方形ABCD 的边长为4cm ，则正方形的对角线长为( )A. 4cmB.24cmC.34cmD.32cm5.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ） A ．20 B ．24 C ．40 D ．486. 小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 ，使得四边形ABCD 是菱形.小明补充的条件是AB=BC ；小亮补充的条件是AC=BD ，你认为下列说法正确的是（ ）A ．小明、小亮都正确B ．小明正确，小亮错误C ．小明错误，小亮正确D ．小明、小亮都错误7.如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果∠BF A ＝30°，那么∠CEF 的度数是（ ）A .60° B.45° C . 40° D.30°8.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、DA 、CD 、BC 的中点.若AB =2,AD =4，则图中阴影部分的面积为（ ）A.3B.4C.6D.89.如图,在正方形ABCD 外侧作等边△ADE ,AC 、BE 相交于点F ,则∠BFC 的度数是（ )A.45°B.55°C.60°D.75°10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为( )A.2B.2.2C.2.4D.2.5二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若再添加一个条件，使得该四边形是正方形，那么这个条件可以是.12. 如图，矩形ABCD的周长是56cm，对角线AC、BD相交于O，△OAB与△OBC周长差是4cm，则矩形ABCD中较短边长是_________cm.13．如图，以正方形ABCD的对角线AC为边长作菱形AEFC，则∠EAF的度数是度.14.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．15.如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．若AB=6，AD=4，则△CDE的周长为．16.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且CM=3DM，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为.三、解答题(共9小题，满分86分)17.（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．把△AOB平移到△DEC的位置，求证：四边形OCED是矩形．18.（8分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm. 求菱形的高DM的长.19．（8分）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB =3cm ，BC =5cm ，求EDF S .20.（8分）如图，在 ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，EF 垂直平分AC ．求证：四边形AECF 是菱形．21.(8分）如图,在正方形ABCD 中,E 是边AB 的中点,F 是边BC 的中点,连结CE 、DF .猜想图中C E 和DF 的关系，并证明你的猜想.22.（10分）如图，AB=CD=ED ，AD=EB ，BE ⊥DE ，垂足为E ．（1）求证：△ABD ≌△EDB ；（2）只需添加一个．．条件：_______________，可使四边形ABCD 为矩形，并加以证明．23.（10分）如图，四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB延长线上一点，且DE =BF .请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可）：（1）连接_______；猜想：_________＝________；（2）试证明你的猜想.24．（12分）如图,在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ．设点P 是AB 上的一点，将△OPD 沿边OP 翻折得到△OPG ，若△OPG 与△OPB 重叠部分△OPM 的面积是△PBD 的面积的41. （1）求证：四边形OPGB 是平行四边形；（2）若AD =10，AB =24,求AP 的长.25（14分）如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作BE 的平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连接AE,CF ．（1）求证：AF=CE ；（2）若AC ⊥EF ，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论．（3）在第（2）小题中，还需加上一个什么条件，才能使四边形AFCE 成为正方形？不必说明理由.参考答案第19章矩形、菱形、正方形一、选择题1．A. 2． D 3．C 4. B 5． A ．6. B 7. D 8. B 9.C 10. C二、填空题11.AB =BC 或AC ⊥BD ， 12. 12cm ，13．22.5 ，14.(-5,4) 15.16． 16. 10.三、解答题17．证明：由平移的特征得：CE ∥OD ，DE ∥OC ，∴四边形OCED 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠COD =90°．∴平行四边形OCED 是矩形；18. 解：∵四边形ABCD 是菱形 ∴621,821,====⊥BD OB AC AO BD AC , 在Rt △AOB 中，1022=+=OB AO AB∵ABCD 菱形S =BD AC DM AB ⋅=⋅21 ∴12162110⨯⨯=⋅DM ∴6.9=DM cm 19．解：设ED=x ,则AE=5-x由折叠重合可知：A ’E=AE=5-x,A ’D=AB=3cm在Rt △A ’ED 中22'2'ED D A E A =+即222)5(3x x =-+ 解得：517=x 过F 做FH ⊥ED ,垂足为H∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC∴FH=AB=3 ∴)(1051351721212cm FH ED S EDF =⨯⨯=⋅=∆ 20.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵DE=BF ，∴AE=CF ，∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形．21. 猜想CE=DF ，CE ⊥DF证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=BC=CD ,∠EBC =∠FCD =90°. 又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点, ∴BE=CF ,∴△CEB ≌△DFC ,∴CE=DF .∠BCE =∠CDF∵∠BCE +∠ECD=∠FCD =90°∴∠CDF +∠ECD =90°∴CE ⊥DF∴CE=DF ，CE ⊥DF22.（1）证明：在ABD ∆与EDB ∆中， ∵AB=ED ，AD=EB ，BD=DB ； ∴ABD EDB △≌△(S.S.S )(2）添加的条件：AD=BC理由：∵AB=CD ，AD=BC∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵BE DE ⊥∴︒=∠90E∵ABD EDB △≌△∴︒=∠=∠90E A∴平行四边形ABCD 是矩形23.（1）如图，连接AF ，AF = AE .（2）∵ 四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，∴ ∠ABD=∠ADB ，∴ ∠ABF=∠ADE.在△ABF 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE BF ADE ABF AD AB∴ △ABF ≌△ADE ，∴AE AF = ．24.证明:∵四边形ABCD 是矩形 ∴OB=OD ∴PBD POB POD S S S 21==∆∆ ∵PBD POM S S 41=∆∴POB POM S S 21=∆ ∴PM=MB , 由折叠重合可知：PBD POD POG S S S 21==∆∆ ∴POG POM S S 21=∆ ∴OM=MG∴四边形OPGB 是平行四边形；(2)∵四边形ABCD 是矩形∴090=∠DAB ∴2624102222=+=+=AB AD BD ∴OB=OD=13由（1）得四边形OPGB 是平行四边形； ∴PG=OB=13由折叠重合可知：PD=PG =136910132222=-=-=AD PD AP25.(1)证明：∵AF ∥BE∴CED AFD ∠=∠∵D 是AC 的中点 ∴DC AD = ∵CDE ADF ∠=∠∴ADF ∆≌CDE ∆∴AF CE =(2)若EF AC ⊥，四边形AFCE 是菱形 理由：∵AF ∥CE ，AF=CE ∴ 四边形AFCE 是平行四边形 ∵EF AC ⊥∴平行四边形AFCE 是菱形（3）如AC =EF （答案不唯一）。
2020年华师大版八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 单元检测卷(含答案)
华师大版八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形单元测试题一．选择题（共8小题，每题3分）1．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（）A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.52．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．不能判断四边形ABCD是矩形的是（0为对角线的交点）（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB CD，AC=BD D．AB CD，OA=OC，OB=OD4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO5．能判定四边形ABCD是菱形的条件是（）A．对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BD;B．对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠CC．对角线AC平分对角线BD，且平分∠A和∠C; D．对角线AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（）A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于17．矩形各内角的平分线能围成一个（）A．矩形B．菱形C．等腰梯形D．正方形8．如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（）A．对角线互相垂直且相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相平分二．填空题（共6小题，每题3分）9．如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为_________．10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是_________A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④11．_________的矩形是正方形，_________的菱形是正方形．12．若四边形ABCD是矩形，请补充条件_________（写一个即可），使矩形ABCD是正方形．13．如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：_________；②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：_________．14．在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件_________时，四边形PEMF为矩形．三．解答题（共11小题）15．（6分）如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．16．（6分）已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥A B．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．17．（6分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．18．（6分）已知：如图，M为▱ABCD的AD边上的中点，且MB=MC，求证：▱ABCD是矩形．19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．20．（8分）如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥B C．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．（1）求证：AC=FG．（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？21．（8分）如图，E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EF C．试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．22．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于点E．试说明：四边形OBEC是菱形．23．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判断四边形CODE 的形状，并计算其周长．24．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC 相交于N，连接MN，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．25．（8分）如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（）A．7.5 B．7 C．6.5 D． 5.5考点：矩形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：几何综合题．分析：过C作DH的垂线CE交DH于E，证明四边形BCEH是矩形．所以求出HE的长；再求出∠DCE=30°，又因为CD=11，所以求出DE，进而求出DH的长．解答：解：过C作DH的垂线CE交DH于E，∵DH⊥AB，CB⊥AB，∴CB∥DH又CE⊥DH，∴四边形BCEH是矩形．∵HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，∴∠ADH=30°，又∵∠ADC=90°∴∠CDE=60°，∴∠DCE=30°，∴在Rt△CED中，DE=CD=5.5，∴DH=2+5.5=7.5．故选A．点评：本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的一个重要性质：30°的锐角所对的直角边是斜边的一半；以及勾股定理的运用．2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：矩形的判定与性质．分析：直接利用矩形的性质与判定定理求解即可求得答案．解答：解：①矩形是轴对称图形，两组对边的中点的连线所在的直线是它的对称轴，故错误；②两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；③有两个邻角相等的平行四边形是矩形，故错误；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；正确；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故错误．故选A．点评：此题考查了矩形的性质与判定定理．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．3．不能判断四边形ABCD是矩形的是（0为对角线的交点）（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB CD，AC=BD D．AB CD，OA=OC，OB=OD考点：矩形的判定．分析：矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．解答：解：A、由“AB=CD，AD=BC”可以判定四边形ABCD是平行四边形，又∠BAD=90°，则根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；C、根据AB CD得到四边形是平行四边形，根据AC=BD，利用对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意；D、只能得到四边形是平行四边形，故本选项符合题意；故选：D．点评：本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定．难度一般．4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO考点：菱形的判定．分析：通过菱形的判定定理进行分析解答．解答：解：A项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，B项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，C项根据题意还可以推出四边形ABCD为等腰梯形，故本选项正确，D项根据题意可以推出Rt△AOD≌Rt△COB，即可推出OA=OC，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形这一定理推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，故选择C．点评：本题主要考查菱形的判定，关键在于熟练掌握菱形的判定定理．5．能判定四边形ABCD是菱形的条件是（）A．对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BDB．对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠CC．对角线AC平分对角线BD，且平分∠A和∠CD．对角线AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C考点：菱形的判定．专题：推理填空题．分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．解答：解：A、C的反例如图，AC垂直平分BD，但AO≠OC；B只能确定为平行四边形．故选D．点评：主要考查了菱形的判定．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（）A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于1考点：菱形的判定与性质．分析：利用割补法得出阴影部分面积为四边形EFMN的面积，进而利用直角三角形的性质得出EG＜1，即可得出答案．解答：解：如图所示：作EN∥AB，FM∥CD，过点E作EG⊥MN于点G，可得阴影部分面等于四边形EFMN的面积，则四边形EFMN是平行四边形，且EN=FM=1，∵EN=1，∴EG＜1，∴它们的公共部分（即阴影部分）的面积小于1．故选：C．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积求法，得出阴影部分面等于四边形EFMN的面积是解题关键．7．矩形各内角的平分线能围成一个（）A．矩形B．菱形C．等腰梯形D．正方形考点：正方形的判定；矩形的性质．分析：根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可．解答：解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形．故选：D．点评：此题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角8．如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（）A．对角线互相垂直且相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相平分考点：正方形的判定；平行四边形的性质．分析：根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形对各个选项进行分析．解答：解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，同时具有矩形和菱形的性质的平行四边形是正方形，故本选项正确；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非正方形，故本选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、平行四边形的对角线都互相平分，这是平行四边形的性质．故本选项错误；故选A．点评：此题主要考查正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形．二．填空题（共6小题）9．如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为7．考点：菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：作辅助线延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，因为∠EAB=∠CBA=120°，可得∠F AB=∠FBA=60°，可得△F AB为等边三角形，容易证明四边形EFCD是菱形，所以S ABCDE=S CDEF﹣S△ABF由此即可求解．解答：解：如图，延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，因为∠EAB=∠CBA=120°，所以∠F AB=∠FBA=60°，所以△F AB为等边三角形，AF=FB=AB=2，所以CD=DE=EF=FC=4，所以四边形EFCD是菱形，所以S ABCDE=S CDEF﹣S△ABF点评：本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是CA、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．解答：解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；C、由①②不能判断四边形是正方形；D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．故选C．点评：此题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形．灵活掌握这些判定定理是解本题的关键．11．有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形．考点：正方形的判定．分析：根据正方形的判定定理（有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形）求解即可求得答案．解答：解：有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角为直角的菱形是正方形．故答案为：有一组邻边相等，有一个角为直角．点评：此题考查了正方形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．12．若四边形ABCD是矩形，请补充条件此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等（写一个即可），使矩形ABCD是正方形．考点：正方形的判定．专题：开放型．分析：由四边形ABCD是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴当AC⊥BD或AB=AD时，矩形ABCD是正方形．故答案为：此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．点评：此题考查了正方形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．13．如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：∠BAC=90°；②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：AD平分∠BAC．考点：菱形的判定；矩形的判定．分析：已知DE∥AB，DF∥AC，则有四边形AEDF是平行四边形．①因为有一直角的平行四边形是矩形，可添加条件：∠BAC=90°；②邻边相等的平行四边形是菱形，可添加条件：AD平分∠BA C．解答：解：∵DE∥AB，DF∥AC，AF、AE分别在AB、AC上∴DE∥AF，DF∥AE∴四边形AEDF是平行四边形①∵∠BAC=90°∴四边形AEDF是矩形；②∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF∴∠ADE=∠DAE∴AE=DE∴▱AEDF是菱形．故答案为∠BAC=90°，AD平分∠BA C．点评：本题考查菱形和矩形的判定．本题是开放题，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，再证明结论．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．14．在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件AB=BC 时，四边形PEMF为矩形．考点：矩形的判定与性质．分析：根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC=90°，易得AB=BC时能满足∠BMC=90°的条件．解答：解：AB=BC时，四边形PEMF是矩形．∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB=BC，∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四边形PEMF是矩形．点评：此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是一开放型试题，是中考命题的热点．三．解答题（共11小题）15．如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：此题先根据正方形ABCD的性质，可证△AEH≌△CGF≌△DHG（SAS），得四边形EFGH为菱形，再求一个角是直角从而证明它是正方形．解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG，又∵BE=CF=DG=AH，∴CG=DH=AE=BF∴△AEH≌△CGF≌△DHG，∴EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA，∴四边形EFGH为菱形，∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA，∴∠FEB+∠HEA=90°，∴四边形EFGH是正方形．点评：本题主要考查了正方形的判定方法：一角是直角的菱形是正方形．16．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥A B．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．分析：①根据DE∥AC，DF∥AB可判断四边形AEDF为平行四边形；②由四边形AEDF为菱形，能得出AD为∠BAC的平分线即可；③由四边形AEDF为正方形，得∠BAC=90°，即当△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．解答：解：①∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形；②∵四边形AEDF为菱形，∴AD平分∠BAC，则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形；③由四边形AEDF为正方形，∴∠BAC=90°，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．点评：本题考查了正方形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质以及矩形的性质．17．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．考点：矩形的判定．分析：首先利用外角性质得出∠B=∠ACB=∠F AE=∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．解答：证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠F AE=∠EAC，∵∠B+∠ACB=∠F AE+∠EAC，∴∠B=∠ACB=∠F AE=∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵BD=DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形AEDB是平行四边形是解题关键．18．已知：如图，M为▱ABCD的AD边上的中点，且MB=MC，求证：▱ABCD是矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：根据平行四边形的两组对边分别相等可知△ABM≌△DCM，可知∠A+∠D=180°，所以是矩形．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=C D．∵AM=DM，MB=MC，∴△ABM≌△DCM．∴∠A=∠D．∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°．∴∠A=90°．∴▱ABCD是矩形．点评：此题主要考查了矩形的判定，即有一个角是90度的平行四边形是矩形．19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．考点：矩形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：如上图所示，延长AB，延长DC，相交于E点．△ADE是等腰直角三角形，AD=DE=2，则可以求出△ADE 的面积；∠C=∠AED=45度，所以△CBE是等腰直角三角形，BE=CB=4厘米，则可以求出△CBE的面积；那么四边形ABCD的面积是两个三角形的面积之差．解答：解：延长AB，延长DC，相交于E点，得到两个等腰直角三角形△ADE和△CBE，由等腰直角三角形的性质得：DE=AD=2，BE=CB=4，那么四边形ABCD的面积是：4×4÷2﹣2×2÷2=8﹣2=6．答：四边形ABCD的面积是6．点评：此题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是作延长线，找到交点，组成新图形，是解决此题的关键．20．如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥B C．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．（1）求证：AC=FG．（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？考点：矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由第一问的结论和AC⊥FG 得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．解答：（1）证明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，∴AB=AC；AF是BC边上的中线，∴AF⊥BC，∵CG⊥AD，AD∥BC，∴CG⊥BC，∴AF∥CG，∴四边形AFCG是平行四边形，∵∠AFC=90°，∴四边形AFCG是矩形；∴AC=FG．（2）解：当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：∵四边形AFCG是矩形，∴四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°，∵AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．点评：该题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质，知识点比较多，注意解答的思路要清晰．21．如图，E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EF C．试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题．分析：在已知条件中求证全等三角形，即△BAE≌△CAF，△AEC≌△AFD，从而得到△ACD和△ABC都是等边三角形，故可根据四条边都相等的四边形是菱形判定．解答：解：四边形ABCD是菱形．证明：在△ABE、△ACF中∵AB=AC，AE=AF∠BAE=60°﹣∠EAC，∠CAF=60°﹣∠EAC∴∠BAE=∠CAF∴△BAE≌△CAF∵∠CF A=∠CFE+∠EF A=∠CFE+60°∠BEA=∠ECA+∠EAC=∠EAC+60°∴∠EAC=∠CFE∵∠DAF=∠CFE∴∠EAC=∠DAF∵AE=AF，∠AEC=∠AFD∴△AEC≌△AFD∴AC=AD，且∠D=∠ACE=60°∴△ACD和△ABC都是等边三角形∴四边形ABCD是菱形．点评：本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于点E．试说明：四边形OBEC是菱形．考点：菱形的判定；矩形的性质．专题：证明题．分析：在矩形ABCD中，可得OB=OC，由BE∥AC，EC∥BD，所以四边形OBEC是平行四边形，两个条件合在一起，可得出其为菱形．解答：证明：在矩形ABCD中，AC=BD，∴OB=OC，∵BE∥AC，EC∥BD，∴四边形OBEC是平行四边形，∴四边形OBEC是菱形．点评：熟练掌握菱形的性质及判定定理．23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判断四边形CODE的形状，并计算其周长．考点：菱形的判定与性质；矩形的性质．分析：首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．解答：解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，∴OD=OC=AC=2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．故答案为：8．点评：此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．24．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．考点：菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．分析：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=（8﹣x）2+62，求出即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO（ASA），∴OM=ON，∵OB=OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8﹣x）2+62，解得：x=．答：MD长为．点评：本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用．注意对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．25．如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：动点型．分析：（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，故可根据正方形的定义证明四边形PQEF是否使正方形．（2）证PE是否过定点时，可连接AC，证明四边形APCE为平行四边形，即可证明PE过定点．解答：解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，∴BP=QC=ED=F A．又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQ B．∴四边形PQEF是菱形，∵∠FPQ=90°，∴四边形PQEF为正方形．（2）连接AC交PE于O，∵AP平行且等于EC，∴四边形APCE为平行四边形．∵O为对角线AC的中点，∴对角线PE总过AC的中点．点评：在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线．。
华师大版初中数学八年级下册《第19章 矩形、菱形与正方形》单元测试卷(含答案解析
华师大新版八年级下学期《第19章矩形、菱形与正方形》单元测试卷一．解答题（共50小题）1．阅读下面材料：如图1，P是∠MON的平分线上一点，A、B分别在边OM和ON上，且∠AOB+∠APB=180°，求证PA=PB小宇通过探究，为同学提供了解题的想法想法1：在边OB上截取OE，使得OE=OA，可得△AOP≌△EOP，进而证明△PEB 是等腰三角形，由此可得到PA=PB；想法2：过点P作PF⊥OM，PD⊥ON，由角平分线性质可得PF=PD，进而可得△PFA≌△PBD，由此可得到线段PA=PB；（1）请回答：请选择一种方法，证明PA=PB；（2）请参考小宇解决问题的方法解决下面问题如图2，正方形ABCD中，点E在BC延长线上，连接AE，EA平分∠BEP，延长CD交EP于点F，FN⊥AE于N，若正方形边长为6，CE=3，求FN的长．2．如图，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上一点，E为边AB的中点，过点A 作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连结BF．（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；（2）当D为边BC的中点，且BC=2AC时，求证：四边形ACDF为正方形．3．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，求四边形ABOM的周长．4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．求证：AE=CF．5．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP=∠ADP．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B=60°，BC=10，求AD．7．如图，在矩形ABCD中，M为BC上的点，过点D作DE⊥AM于E，DE=DC=5，AE=2EM．（1）求证：BM=AE；（2）求BM的长．8．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．9．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的中点，CE、AF分别交BD 于G、H两点．（1）求证：AFCE是平行四边形；（2）CG与AH的数量关系是．10．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，∠OAB=∠OBA．（1）证明：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点．（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC=4，AB=5，求四边形ABCD的面积．12．已知正方形ABCD边长为4，A点处在原点位置，写出点B，C，D坐标．13．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB与CD上，点G、H在对角线AC 上，AG=CH，BE=DF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）若EG=EH，AB=8，BC=4．求AE的长．14．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．（1）求证：▱ABCD为矩形；（2）若AB=4，求▱ABCD的面积．15．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥BD交BA的延长线于点E．（1）当▱ABCD是菱形时，证明：AE=AB；（2）当▱ABCD是矩形时，设∠E=α，问：∠E与∠DOA满足什么数量关系？写出结论并说明理由．16．如图，四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是边AD上两动点，且AE=DF，BE与对角线AC交于点G，联结DG，DG交CF于点H．（1）求证：∠ADG=∠DCF；（2）联结HO，试证明HO平分∠CHG．17．如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．（1）求证：F是AB的中点；（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．18．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=3，求DC的长度．19．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）如果AB=4，求对角线AC的长．20．已知：如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M 交AC于E，∠DAC的平分线交ME于O，交CD于N．求证：四边形AMNE是菱形．21．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为C（a，0），点C的坐标为（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O 的路线移动．（1）a=，b=，点B的坐标为．（2）当点P移动4秒时，请说明点P的位置，并求出点P的坐标；（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任到一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，作PQ ∥AC，交AB于点Q，连接QE与AD相交于点G．（1）求证：四边形AQPE是菱形．（2）四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．（3）直接写出P点在EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半．23．如图，已知DB∥AC，E是AC的中点，DB=AE，连结AD、BE．（1）求证：四边形DBCE是平行四边形；（2）若要使四边形ADBE是矩形，则△ABC应满足什么条件？说明你的理由．24．如图，△ABC是等腰三角形，AC=BC，点D、E分别是AB、AC的中点，延长DE至F，使EF=DE，连接CD、CF和AF．（1）求证：四边形ADCF是矩形；（2）如果∠B=60°，AC=6，求矩形ADCF的面积．25．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以BD为腰作等腰△BDE交DC的延长线于点E，求BE的长．26．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若菱形ABCD的边长AB=2，∠BAD=120°，求矩形OCED的周长．27．已知：如图，AF∥DE，AC平分∠BAD交DE于点C，DB平分∠ADC交AF于点B，连接BC．求证：四边形ABCD是菱形28．已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求四边形ABCD的面积．29．如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．（1）求AE的长；（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？30．如图，平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①AE为何值时四边形CEDF是矩形？为什么？②AE为何值时四边形CEDF是菱形？为什么？31．已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）在△ABC中，若AC=BC，则四边形ADCE是；（只写结论，不需证明）（3）在（2）的条件下，当AC⊥BC时，求证：四边形ADCE是正方形．32．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长DE至点F，使EF=DE，连接CF．（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；（2）探究：当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由．33．已知：x=2+，y=2﹣．（1）求代数式x2﹣3xy+y2的值；（2）若一个菱形的对角线的长分别是x和y，求这个菱形的面积．34．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C，点E，F分别在边AB，BC上，AE=DF=DC．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当∠FDC与∠EFB满足数量关系时，四边形AEFD是矩形．35．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=3，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G．（1）BE与AG相等吗？若相等，请证明，若不相等，请说明理由；（2）求AF的长．36．如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，BE⊥DF，垂足为E，BE交CD于点G．（1）求证：BG=DF；（2）求证：EF+EG=CE．37．长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA=5，OC=3，点B在第三象限．（1）求点B的坐标；（2）如图，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC 的面积分为1：4两部分，求点P的坐标．38．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．39．如图，ABCD为矩形纸片，E、F分别为AB、DC上的点，将此矩形两次翻折，EM和FN为折痕，其中A′、D′分别为A、D的对应点，且点A′在射线EF上；B′、C′分别为B、C的对应点，且点C′在射线FE上．（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；（2）若四边形ENFM为菱形，求∠EMF的度数．40．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线．AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．41．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的角平分线，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交其延长线于点F．求证：四边形ABFE是正方形．42．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．43．如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，AB=4，BC=8，P是边AD上一动点（不与A、D重合）（1）PO的延长线交BC于Q．求四边形AQCP是平行四边形；（2）连接BP、DQ，四边形BPDQ能否成为菱形？若能，请直接写出此时AP的长；若不能，请说明理由．44．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，连接AE，DE．（1）求证：AE=DE（2）过点D作DF⊥AE，垂足为F，若AB=2cm，求DF的长．45．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．46．如图，△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，点P在△ABC内．（1）求证：四边形AEPD为平行四边形．（2）若四边形ADPE为矩形，则△PBC所满足的条件是．（3）若四边形ADPE为菱形，则△PBC所满足的条件是．47．如图，△ABC中，点P是AC边上一个动点，过P作直线EF∥BC，交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角∠ACD平分线于点F．（1）请说明：PE=PF；（2）当点P在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？为什么？48．如图，点O为平面直角坐标系的原点，在长方形OABC中，OC∥AB，OA∥BC，两边OC、OA分别在x轴和y轴上，且点B（a，b）满足：+（2b+6）2=0．（1）求点B的坐标；（2）如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC 的面积分为1：3两部分，求点P的坐标；（3）如图2，M为线段OC一点，且∠ABM=∠AMB，N是x轴负半轴上一动点，∠MAN的平分线AD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，试判断∠ANM与∠D的数量关系，并说明理由．49．如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF，BF交AC于G．（1）若四边形ADCF是菱形，试证明△ABC是直角三角形；（2）求证：CG=2AG．50．如图，长方形ABCD的顶点A，D在x轴上，OA=OD=2，AB=6．点P从原点出发，沿O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣O的路径，以每秒2个单位的速度移动．（1）写出长方形4个顶点的坐标．（2）经过3s，指出点P的坐标．（3）经过多长时间，△POA的面积为5平方单位．（4）经过多长时间，△POA的面积最大．华师大新版八年级下学期《第19章矩形、菱形与正方形》单元测试卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．阅读下面材料：如图1，P是∠MON的平分线上一点，A、B分别在边OM和ON上，且∠AOB+∠APB=180°，求证PA=PB小宇通过探究，为同学提供了解题的想法想法1：在边OB上截取OE，使得OE=OA，可得△AOP≌△EOP，进而证明△PEB 是等腰三角形，由此可得到PA=PB；想法2：过点P作PF⊥OM，PD⊥ON，由角平分线性质可得PF=PD，进而可得△PFA≌△PBD，由此可得到线段PA=PB；（1）请回答：请选择一种方法，证明PA=PB；（2）请参考小宇解决问题的方法解决下面问题如图2，正方形ABCD中，点E在BC延长线上，连接AE，EA平分∠BEP，延长CD交EP于点F，FN⊥AE于N，若正方形边长为6，CE=3，求FN的长．【分析】（1）方法1：在边OB上截取OE，使得OE=OA，可得△AOP≌△EOP，进而证明△PEB是等腰三角形，由此可得到PA=PB；方法2：过点P作PF⊥OM，PD⊥ON，由角平分线性质可得PF=PD，进而可得△PFA≌△PBD，由此可得到线段PA=PB；（2）如图2中，作AP⊥EF于P，FN⊥AE于N，连接AF．首先证明△AEB≌△AEP，Rt△AFP≌Rt△AFD，可得PF=DF，设PF=FD=x，在Rt△EFC中，（9﹣x）2=33+（6+x）2，可得x=，由△AEB∽△FEN，可得=，即可解决问题；【解答】（1）证明：方法一：在边OB上截取OE，使得OE=OA，可得△AOP≌△EOP，∴∠OAP=∠OEP，PA=PE，∵∠OAP+∠OBP=180°，∠OEP+∠PEB=180°，∴∠PEB=∠PBE，∴PE=PB，∴PA=PB．方法二：过点P作PF⊥OM，PD⊥ON，由角平分线性质可得PF=PD，∵∠OAP+∠PBD=180°，∠OAP+∠PAF=180°，∴∠PAF=∠PBD，∵∠PFA=∠PDB=90°，∴△PFA≌△PBD，∴PA=PB．（2）如图2中，作AP⊥EF于P，FN⊥AE于N，连接AF．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠ADC=∠ADF=90°，AB=AD=CD=BC=6，∵AE=AE，∠AEB=∠AEP，∴△AEB≌△AEP，∴AB=AP，BE=EP=9，∴AP=AD，∵AF=AF，∠P=∠ADF=90°，∴Rt△AFP≌Rt△AFD，∴PF=DF，设PF=FD=x，在Rt△EFC中，（9﹣x）2=33+（6+x）2，∴x=，∵△AEB∽△FEN，∴=，∴=，∴FN=．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上一点，E为边AB的中点，过点A 作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连结BF．（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；（2）当D为边BC的中点，且BC=2AC时，求证：四边形ACDF为正方形．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠BDE，根据全等三角形的性质得到AF=BD，于是得到结论；（2）首先证明四边形ACDF是矩形，再证明CA=CD即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠BDE，在△AEF与△BED中，，∴△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形；（2）解：∵CD=DB，AE=BE，∴DE∥AC，∴∠FDB=∠C=90°，∵AF∥BC，∴∠AFD=∠FDB=90°，∴∠C=∠CDF=∠AFD=90°，∴四边形ACDF是矩形，∵BC=2AC，CD=BD，∴CA=CD，∴四边形ACDF是正方形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，正方形的判定，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，求四边形ABOM的周长．【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO 的长，进而求出四边形ABOM的周长．【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM=CD=AB=2.5，∵AB=5，AD=12，∴AC==13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．求证：AE=CF．【分析】由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∵BE=DF，∴OE=OF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF；【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP=∠ADP．【分析】依据四边形ABCD是正方形，即可得出AB=AD，∠BAP=∠DAP，进而判定△ABP≌△ADP（SAS），即可得出∠ABP=∠ADP．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAP=∠DAP，∴在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ABP=∠ADP．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B=60°，BC=10，求AD．【分析】（1）由题意可证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AD=CD，即可得结论；（2）由题意可证△BCD是等边三角形，即可求BD=CD=BC=10，即可求AD的长．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴AD=CD=BD∵AE∥CD，CE∥AB．∴四边形ADCE是平行四边形且AD=CD∴四边形ADCE是菱形（2）∵AD=BD=CD，∠B=60°∴△BCD是等边三角形∴BD=CD=10∴AD=10【点评】本题考查了菱形的性质和判定，等边三角形的判定，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题是本题的关键．7．如图，在矩形ABCD中，M为BC上的点，过点D作DE⊥AM于E，DE=DC=5，AE=2EM．（1）求证：BM=AE；（2）求BM的长．【分析】（1）由题意可证△AED≌△ABM，则结论可得．（2）在Rt△ABM中根据勾股定理可求EM的长，即可求AE的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，AB=CD，∠B=∠C=90°∴∠DAE=∠AMB∵CD=DE，CD=AB∴AB=DE，且∠ABC=∠AED=90°，∠DAE=∠AMB∴△ADE≌△ABM∴BM=AE（2）在Rt△ABM中，AM2=AB2+BM2．∴9EM2=25+4EM2．∴EM=∴AE=BM=2【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键8．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；（2）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG=AB=3，AG=3=CE，BF=BC=2，CF=2，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．【解答】解：（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB=∠BAD，∠GBA=∠ABC，∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA=（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；（2）依题意得，∠BAG=∠BAD=30°，∵AB=6，∴BG=AB=3，AG=3=CE，∵BC=4，∠BCF=∠BCD=30°，∴BF=BC=2，CF=2，∴EF=3﹣2=，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF=．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．9．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的中点，CE、AF分别交BD 于G、H两点．（1）求证：AFCE是平行四边形；（2）CG与AH的数量关系是CG=AH．【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明CG和AH所在的△DCG、△BAH全等即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=AD，CF=BC，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE∥AF，∴∠DGC=∠GHF=∠BHA，∵CD∥AB，∴∠CDG=∠ABH，在△DCG和△BAH中，∴△DCG≌△BAH（AAS），∴CG=AH．故答案为CG=AH．【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判断和性质以及全等三角形的判断和性质，熟记矩形的各种性质是解题的关键．10．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，∠OAB=∠OBA．（1）证明：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．【分析】（1）根据矩形的判定定理，欲求证四边形ABCD是矩形，已知OA=OC、OB=OD再证AC=BD即可，由∠OAB=∠OBA易证．（2）根据正方形的判定方法即可解决问题（答案不唯一）；【解答】证明：（1）∵∠OAB=∠OBA，∴OA=OB，∵在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，∴OA+OC=OB+OD，即AC=BD，∴▱ABCD是矩形．（2）当AC⊥BD或AD=AB时，四边形ABCD是正方形．（答案不唯一）【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点．（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC=4，AB=5，求四边形ABCD的面积．【分析】（Ⅰ）由题意可证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求AE=CE，即结论可得；=S△ACD=S△ABC，即可求四边形ABCD的面积．（Ⅱ）由题意可求S△AEC【解答】证明（Ⅰ）∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBE∵F是AE中点∴AF=EF且∠AFD=∠BFE，∠ADB=∠DBE∴△ADF≌△BEF∴BE=AD∵AB⊥AC，E是BC中点∴AE=BE=EC∴AD=EC，且AD∥BC∴四边形ADCE是平行四边形且AE=EC∴四边形ADCE是菱形（Ⅱ）∵AC=4，AB=5，AB⊥AC ∴S△ABC=10∵E是BC中点∴S△AEC=S△ABC=5∵四边形ADCE是菱形∴S△AEC=S△ACD=5∴四边形ABCD的面积=S△ABC +S△ACD=15【点评】本题考查了菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用三角形中线的性质求三角形的面积是本题的关键．12．已知正方形ABCD边长为4，A点处在原点位置，写出点B，C，D坐标．【分析】连接BD交x轴于E，先根据正方形的性质可得△ABC是等腰直角三角形，由腰长为4，可得AC=4，得C的坐标，根据对角线互相平分且垂直，可得AE=BE=2，因为B和D关于x轴对称，可得B和D的坐标．【解答】解：连接BD交x轴于E，∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABC=90°，AB=BC=4，AC⊥BD，AC=BD，∴AC=BD=4，∴C（4，0），∵AE=BE=AC=2，∴B（2，2），D（2，﹣2）．【点评】本题考查了正方形的性质及坐标与图形的性质，熟练掌握正方形的性质是关键．13．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB与CD上，点G、H在对角线AC 上，AG=CH，BE=DF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）若EG=EH，AB=8，BC=4．求AE的长．【分析】（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE=FH，∠CHF=∠AGE，由∠FHG=∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；（2）由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF=CF=AE，设AE=x，则FC=AF=x，DF=8﹣x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠FCH=∠EAG，又∵CD=AB，BE=DF，∴CF=AE，又∵CH=AG，∴△AEG≌△CFH，∴GE=FH，∠CHF=∠AGE，∴∠FHG=∠EGH，∴FH∥GE，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）如图，连接EF，AF，∵EG=EH，四边形EGFH是平行四边形，∴四边形GFHE为菱形，∴EF垂直平分GH，又∵AG=CH，∴EF垂直平分AC，∴AF=CF=AE，设AE=x，则FC=AF=x，DF=8﹣x，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，∴AE=5．【点评】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．14．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．（1）求证：▱ABCD为矩形；（2）若AB=4，求▱ABCD的面积．【分析】（1）根据题意可求OA=OB=DO，∠AOB=60°，可得∠BAD=90°，即结论可得（2）根据勾股定理可求AD的长，即可求▱ABCD的面积．【解答】解（1）∵△AOB为等边三角形∴∠BAO=60°=∠AOB，OA=OB∵四边形ABCD是平行四边形∴OB=OD，∴OA=OD∴∠OAD=30°，∴∠BAD=30°+60°=90°∴平行四边形ABCD为矩形；（2）在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴AB=4，BC=AB=4∴▱ABCD的面积=4×4=16【点评】本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．15．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥BD交BA的延长线于点E．（1）当▱ABCD是菱形时，证明：AE=AB；（2）当▱ABCD是矩形时，设∠E=α，问：∠E与∠DOA满足什么数量关系？写出结论并说明理由．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD，AB=CD，根据DE⊥BD，可证四边形ACDE是平行四边形，可证得结论．（2）由题意可得∠DOA=2∠OBA，∠E=90°﹣∠OBA，即可求∠E与∠DOA的数量关系．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，AB=CD；∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，且CD∥AB，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD且AB=CD，∴AE=AB；（2）∠E=90°﹣，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO，∴∠OBA=∠OAB；∵DE⊥BD，∠DOA=∠OBA+∠OAB，∴∠E=90°﹣∠OBA，∠DOA=2∠OBA，∴∠E=90°﹣．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．16．如图，四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是边AD上两动点，且AE=DF，BE与对角线AC交于点G，联结DG，DG交CF于点H．（1）求证：∠ADG=∠DCF；（2）联结HO，试证明HO平分∠CHG．【分析】（1）根据题意可得△DFC≌△AFB，△AGB≌△ADG，可得∠ADG=∠DCF （2）由题意可证CF⊥DG，由∠CHD=∠COD=90°，则D，F，O，C四点共圆，可得∠CDO=∠CHO=45°，可证OH平分∠CHG【解答】证明（1）∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD=CD=BC，∠CDA=∠DAB=90°，∠DAC=∠CAB=45°，AC⊥BD∵DC=AB，DF=AE，∠CDA=∠DAB=90°∴△DFC≌△AEB∴∠ABE=∠DCF∵AG=AG，AB=AD，∠DAC=∠CAB=45°∴△ADG≌△ABG∴∠ADG=∠ABE∴∠DCF=∠ADG（2）∵∠DCF=∠ADG，且∠ADG+∠CDG=90°∴∠DCF+∠CDG=90°∴∠CHD=∠CHG=90°∵∠CHD=∠COD∴C，D，H，O四点共圆∴∠CHO=∠CDO=45°∴∠GHO=∠CHO=45°∴HO平分∠CHG【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．17．如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．（1）求证：F是AB的中点；（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．【分析】（1）由题意可证四边形DBCE是平行四边形，可得DB=EC，且E是AC 中点，可证四边形DBEA是平行四边形，可得结论．（2）添AB=BC，且AE=EC可证BE⊥AC，即可得四边形DBEA是矩形．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC∴四边形DBCE是平行四边形∴DB=EC，∵E是AC中点∴AE=EC∵AE=EC，AC∥DB∴四边形ADBE是平行四边形∴AF=BF，即F是AB中点．（2）添加AB=BC∵AB=BC，AE=EC∴BE⊥AC∴平行四边形DBEA是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键．18．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=3，求DC的长度．【分析】（1）由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度，则可得BF的长度，即可求CD 的长度．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，DC=AB∵CF=AE∴DF=BE且DC∥AB∴四边形DFBE是平行四边形又∵DE⊥AB∴四边形DFBE是矩形；（2）∵∠DAB=60°，AD=3，DE⊥AB∴AE=，DE=AE=∵四边形DFBE是矩形∴BF=DE=∵AF平分∠DAB∴∠FAB=∠DAB=30°，且BF⊥AB∴AB=BF=∴CD=【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．19．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）如果AB=4，求对角线AC的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DB=AD，即可证△ADB是等边三角形，可得∠A=60°（2）由题意可得∠DAC=30°，AC⊥BD，可得DO=2，AO=2，即可求AC的长．【解答】解：连接AC，BD（1）∵四边形ABCD是菱形∴AD=AB∵E是AB中点，DE⊥AB∴AD=DB∴AD=DB=AB∴△ADB是等边三角形（2）∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，∠DAC=∠DAB=30°，AO=CO，DO=BO∵AD=BA=4∴DO=2，AO=DO=2∴AC=2【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形性质解决问题是本题的关键．20．已知：如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M 交AC于E，∠DAC的平分线交ME于O，交CD于N．求证：四边形AMNE是菱形．【分析】根据全等三角形的判定和菱形的判定证明即可．【解答】证明：∵BE平分∠ABC交AD于M，交AC于E，∵∠ABE=∠DBM，∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∴∠BAC=∠ADB=90°，∴∠AEM=∠BMD，∵∠AME=∠BMD，∴∠AEM=∠AME，∴AE=AM，∵∠DAC的平分线交CD于N，∴∠MAN=∠NAE，AN⊥ME，且AN平分ME，在△BAO和△BNO中，，∴△ABO≌△NBO（ASA），∴AN和ME互相垂直平分，∴四边形AMNE是菱形．【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．21．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为C（a，0），点C的坐标为（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O 的路线移动．（1）a=4，b=6，点B的坐标为（4，6）．（2）当点P移动4秒时，请说明点P的位置，并求出点P的坐标；（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b，得到点B的坐标；（2）根据点P的运动时间求出运动距离，结合图形求出点P的坐标；（3）分点P在OC上、点P在BA上两种情况，结合图形计算即可．【解答】解：（1）由题意得，a﹣4=0，b﹣6=0，解得，a=4，b=6，则点B的坐标为（4，6），故答案为：4；6；（4，6）；（2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动，∴点P移动的距离为2×4=8，∵OC+CB=4+6=10，∴点P的坐标为（2，6）；（3）当点P在OC上时，点P移动的时间为：5÷2=2.5（秒），当点P在BA上时，点P移动的时间为：（6+4+1）÷2=5.5（秒），答：点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间为2.5秒或5.5秒．【点评】本题考查的是矩形的性质、非负数的性质、坐标与图形的性质，掌握非负数的性质、矩形的性质定理是解题的关键．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任到一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE与AD相交于点G．（1）求证：四边形AQPE是菱形．（2）四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．（3）直接写出P点在EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半．【分析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出结论；（2）只要证明EQ∥BC，EF∥AB即可；（3）S=EP•h，S平行四边形EFBQ=EF•h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积菱形AEPQ=S四边形EFBQ．的一半，则EP=EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四边形AEPQ为平行四边形，∴∠BAD=∠EPA，∵AB=AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠EPA，∴EA=EP，∴四边形AEPQ为菱形．。
华师大版八年级数学初二下册 第19章 矩形、菱形与正方形测试题及参考答案
第4题图O FE D CBA 第8题图F ED CB A八年级下册数学第19章 矩形、菱形与正方形测试题（时限：100分钟 满分：100分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）1.□ABCD 中，∠A 比∠B 大40°，则∠C 的度数为（ ）A. 60°B. 70°C. 100°D. 110°2.□ABCD 的周长为40cm ，△ABC 的周长为25cm ，则对角线AC 长为（ ） A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm3.在□ABCD 中，∠A ＝43°，过点A 作BC 和CD 的垂线，那么这两条垂线的夹角度为（ ）A. 113°B. 115°C. 137°D. 90° 4.如图，在□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB ＝4，AD ＝3，OF ＝1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ） A. 8.3 B. 9.6 C. 12.6 D. 13.6 5.下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形 是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形； ③在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，那么这个四边形ABCD 是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 3个 D. 4个6.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ） A. 88°，108°，88° B. 88°，104°，108° C. 88°，92°，92° D.88°，92°，88°7.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）A.对角相等B.对角线互相平分C.对角线相等D.对边相等 8.如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果∠BFA ＝30°，那么∠CEF 等于（ ） A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°9.菱形具有而一般平行四边形不一定具有的特征是（ ）A.对边相等B.对角线互相平分C.对角相等D.对角线互相垂直平分 10.已知四边形ABCD ，顺次连接各边中点，得到四边形EFGH ，添加下列条件能使四边形EFGH 成为菱形的是（ ）A.平行四边形ABCDB.菱形ABCDC.矩形ABCDD.对角线互相垂直的四边形ABCD 11.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A.对角线互相垂直平分B.内角之和为360°C.对角线相等D.对角线平分内角 12.顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ）第16题图E D CBA 第18题图第21题图E D C B AF DAA.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13.□ABCD 中，两邻边的差为4cm ，周长为32cm ，则两邻边长分别为 14.平行四边形的周长等于56cm ，两邻边长的比为3︰1，则这个平行四边形较长的 长为 .15.若平行四边形的两邻边长分别为12和26，两长边之间的距离为8，则两短边的距离为 16.如图，在□ABCD 中，DB ＝DC ，∠A ＝65°，CE ⊥BD 于E ，则∠BCE ＝ .17.三角形的三条中位线长是3cm ，4cm ，5cm ， 则这个三角形的周长为 . 18.如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ， 过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，AB ＝2， BC ＝3.则图中阴影部分的面积为 .19.E 点为正方形ABCD 的对角线AC 上一点，且AE ＝AB 连接BE ，则∠CBE ＝ 度. 20.等腰梯形两底之差等于一腰长，则这个等腰梯形的锐角是 度.三、解答题（本大题共52分）21.（本小题5分）如图，点E 是□ABCD 的边AD 延长线上 一点，若BC ＝3，□ABCD 的面积是8，求：错误！未找到引用源。
最新华东师大版八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形 章末测验 含答案
第19章矩形、菱形与正方形一、选择题(每小题3分，共30分)1．菱形不具备的性质是( )A．四条边都相等 B．对角线一定相等C．是轴对称图形 D．是中心对称图形2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的度数为( )A．30° B．60° C．90° D．120°3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( )A．1 B．2 C．3 D．44．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是( )A．8 B．7 C．4 D．35．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE 绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．199．如图，已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界)，设∠PAD＝θ1，∠PBA＝θ2，∠PCB＝θ3，∠PDC＝θ4，若∠APB＝80°，∠CPD＝50°，则( )A．(θ1＋θ4)－(θ2＋θ3)＝30° B．(θ2＋θ4)－(θ1＋θ3)＝40°C．(θ1＋θ2)－(θ3＋θ4)＝70° D．(θ1＋θ2)＋(θ3＋θ4)＝180°10．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( ) A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝____度．12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为____．13．已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是____．14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG ⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为____．三、解答题(共75分)16．(8分)如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连结BE，DF.求证：四边形BFDE是菱形．17．(9分)在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.18．(9分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．。