第9讲_年金终值和年金现值(1)

3. 年金终值与年金现值的计算
香港首富李嘉诚说过“一个人从现在开始，每年存 1.4万元，并都能投资到股票或房地产，获得每年平均 20%的投资回报率，40年后财富会增长为1亿零 281万元”。

（ 1）年金的含义和类型
年金是指间隔期相等的系列等额收付款，通常记作 A。

如间隔期固定、金额相等的分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款以及每年相同的销售收入等。

普通年金
预付年金
递延年金
永续年金
【提示】
普通年金和预付年金都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是普通年金发生在期末，预付年金发生在期初。

（ 2）普通年金终值和年偿债基金的计算
①普通年金终值
F=A+A （ 1+i） +A（ 1+i） 2 +… +A（ 1+i）n-1 （ 1）
将此公式两边都乘以（ 1+i），
F （ 1+i） =A（ 1+i） +A（ 1+i） 2 +… +A（ 1+i）n （ 2）
（ 2） -（ 1）
F i=A （ 1+i）n A ，整理后得
【总结】
①称作“年金终值系数”，记作：（ F/A， i， n）
当 n＞ 1时，年金终值系数与折现率或期数同方向变动。

② 年金终值系数与复利终值系数关系如下：
=
【应用举例】
【例题】 2018 年 1月 16日，某人制定了一个存款计划，计划从 2019年 1月 16日开始，每年存入银行 10万元，共计存款 5次，最后一次存款时间是 2023年 1月 16日。

每次的存款期限都是 1 年，到期时利息和本金自动续存。

假设存款年利率为 2%，打算在 2024年 1月 16日取出全部本金和利息，则届时本利和共为多少？（ F/A， 2%， 5） =5.2040，（ F/P， 2%， 1） =1.02。

【分析】根据题干描述，画出本题示意图如下：
根据图形及要求本题解题步骤如下：
第一步：2018 年 1月 16日 -2023年 1月 16日的存入款符合普通年金的形式，所以可先将这5个 10万元按照普通年金的形式折算到 2023年 1月 16日。

2023 年 1月 16日的本利和=10×（ F/A， 2%， 5）=10× 5.2040=52.04（万元）
第二步：将第一步计算出来的 2023年 1月 16日的本利和按照复利形式折算到 2024年 1月 16 日，中间间隔 1个计息期，使用 1年期复利终值系数。

2024 年 1月 16日的本利和=52.04×（ F/P， 2%， 1）=52.04×（ 1+2%） =53.08（万元）
【例题】小王是位热心于公众事业的人，自 2005年 12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐赠。

小王向这位失学儿童每年捐款 1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。

假设每年定期存款利率都是 2%，则小王九年捐款在 2013年年底相当于多少钱？（ F/A， 2%， 9 ） =9.7546
【分析】
每年年末支付 1000元的款项，总计支付了 9年，属于普通年金的形式，已知普通年金，求普通年金终值，利用（ F/A， i， n）计算。

普通年金终值F=1000×（ F/A， 2%， 9）=1000× 9.7546=9754.6（元）
②年偿债基金的计算
年偿债基金 是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。

（ 已知普通年金终值，求普通年金 ）偿债基金与年金终值互为逆运算，其计算公式为：
称作“偿债基金系数”，记作（ A/F ， i ， n ）。

【总结】
【应用举例】
【例题】 小王是位热心于公众事业的人，自 2005年 12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款，帮其完成 9年义务教育。

截止 2013年年底小王累计捐款 9754.6元，请问小王向这位失学儿童每年捐款多少元，假设每年定期存款利率都是 2%。

（ F/A ， 2%， 9） =9.7546
【分析】
已知普通年金终值 9754.6元，求普通年金
普通年金 A=9754.6×（ A/F ， 2%， 9） =9754.6× [
（元） ]=9754.6 × =1000
【分析】 通过上述例题进一步检验了年金终值系数与偿债基金系数的关系，即互为倒数关系。

【例题】某家长计划 10年后一次性取出 50万元，作为孩子的出国费用。

假设银行存款年利率
为 5%，复利计息，该家长计划 1年后开始存款，每年存一次，每次存款数额相同，共计存款 10 次，则每次存款额为多少？（ F/A， 5%， 10） =12.578
【分析】
本题已知 10年后的普通年金终值 F，求普通年金 A。

A ×（ F/A， 5%， 10） =50， A=3.98万元
（ 3）普通年金现值和年资本回收额
①普通年金现值
利用复利现值将年金折到第 0年末，第 1年年初
P=A ×（ 1+i）-1 +A×（ 1+i）-2 +A×（ 1+i）-3 +A×（ 1+i）-4 +…… +A×（ 1+i）- n （ 1）
（ 1）将该式子两边同时乘以（ 1+i），得到：
P （ 1+i）=A+A×（ 1+i）-1 +A×（ 1+i）-2 +A×（ 1+i）-3 +A×（ 1+i）-4 +… +A×（ 1+i）-（ n-1）（ 2）
（ 2）（ 2） -（ 1）得到：
P i=A-A ×（ 1+i）-n ，整理后得到：
【结论】
（ 1）
称作“年金现值系数”，计作（ P/A， i， n）
年金现金系数与折现率成反向变动；
年金现金系数与期数成同向变动。

（ 2）普通年金现值系数与复利现值系数的关系是：
=
【应用举例】
【例题】某人于20× 8年 1月 25日按揭贷款买房，年限为 10年，年利率为 6%，月利率为0.5%，从20× 8年 2月 25日开始还款，每月还一次，共计还款 120次，每次还款的金额为 1.11万元，则该人20× 8年 1月 25日贷款的金额为多少？（ P/A， 0.5%， 120） =90.08 【分析】
已知普通年金，求普通年金现值。

普通年金现值=1.11×（ P/A， 0.5%， 120）=1.11× 90.08≈ 100（万元）
②年资本回收额
称作“资本回收系数”，计作（ A/P， i， n）。

【例题】某人于20× 8年 1月 25日按揭贷款买房，贷款金额为 100万元，年限为 10年，年利率为 6%，月利率为 0.5%，从20× 8年 2月 25日开始还款，每月还一次，共计还款 120次，每次还款的金额相同，则每次还款额为多少？（ P/A， 0.5%， 120） =90.08
【分析】
已知普通年金现值 100万元，求普通年金 A。

每次还款额A=100×（ A/P， 0.5%， 120）=100× [1/（ P/A， 0.5%， 120）=100× [1 /90.08]=1.11（万元）
（ 3）普通年金现值和年资本回收额
【总结】
（ 4）预付年金终值和预付年金现值的计算
预付年金与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。

若将 n期预付年金向前延长一期，则可看出（ -1～ n-1）刚好是 n个期间的普通年金形式，如图：
【总结】
预付年金现值 =普通年金现值×（ 1+i）=A× [（ P/A， i， n）×（ 1+i） ]
预付年金终值 =普通年金终值×（ 1+i）=A× [（ F/A， i， n）×（ 1+i） ]
【例题】某公司打算购买一台设备，有两种付款方式：一是一次性支付 500万元，二是每年年初支付 200万元， 3年付讫。

由于资金不充裕，公司计划向银行借款用于支付设备款。

假设银行借款年利率为 5%，复利计息。

请问公司应采用哪种付款方式？
（ F/P， 5%， 3） =1.1576；
（ F/A， 5%， 3） =3.1525；
（ P/A， 5%， 3） =2.7232。

（ 1）比较现值
一次性付款的现值为 500万元
分期付款的预付年金现值=200×（ P/A， 5%， 3）×（ 1+5%）=200× 2.7232× 1.05=571. 88（万元）
公司会选择一次性付款的方式。

【分析】
（ 2）比较终值
一次性付款的复利终值=500×（ F/P， 5%， 3） =578.8（万元）
分期付款的预付年金终值=200×（ F/A， 5%， 3）×（ 1+5%）=200× 3.1525× 1.05=662. 025（万元）
公司会选择一次性付款的方式。