一元二次方程配方法-公式法-因式分解法
九年级数学 一元二次方程解法大全
一元二次方程有哪些解法?解法怎么用?1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac0时x有两个不相同的实数根当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”.如：解方程：x^2+2x+1=0利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程）5.代数法（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]怎样求解一元二次方程（四种）怎样求一元二次方程aX²+bX+c=0(a≠0)的在实数域上的解（即实根）？我提供四种方法一、公式法二、配方法三、直接开平方法四、因式分解法下面我一一讲解！•一元二次方程aX²+bX+c=0(a≠0)1.1先判断△=b²-4ac，若△<0原方程无实根；2. 2 若△=0，原方程有两个相同的解为：X=-b/（2a）；3. 3 若△>0，原方程的解为：X=（（-b）±√（△））/（2a）。
解一元二次方程五种方法
解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法解一元二次方程是初中数学中的基础知识，也是高中数学中的重要内容，掌握多种解法对于提高数学能力和解题能力有着重要作用。
下面介绍五种解一元二次方程的方法。
方法一：配方法（也称为配方根公式）配方法是一种常见的解一元二次方程的方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项分离出完全平方项；2. 将方程化为完全平方形式，即形如(x + a) = b；3. 对方程两边取平方根，得到x的两个解：x = -a ± b。
方法二：公式法公式法是解一元二次方程的常用方法之一，它的公式为：x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a其中a、b、c分别为一次项系数、二次项系数和常数项。
方法三：图像法图像法是一种直观的解题方法，它的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：ax+bx+c=0；2. 将方程左侧变形为y=ax+bx+c的二次函数的图像；3. 通过观察二次函数的图像，得到x的解。
方法四：因式分解法如果一元二次方程的左侧可以因式分解，那么可以使用因式分解法解题。
例如：x+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。
因此，x的解为x=-2或x=-3。
方法五：完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项计算出Δ=b-4ac；2. 如果Δ是完全平方数，那么方程的解为x=(-b±√Δ)/2a。
以上是解一元二次方程的五种方法，希望对大家有所帮助。
掌握多种解题方法可以提高数学思维和解题能力，也可以在考试中提高解题速度和准确性。
_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
1.会用直接开平方法解形如(x a)2 b(b 0)
的方程. 2.灵活运用因式分解法解一元二次方程. 3.了解转化、降次思想在解方程中的运用。
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练 地解一元二次方程。
a x 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得χ=±5 直接开平方，得χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0
（2） 12（20 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析：我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
χ1=－1,χ2=1.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
1、利用因式分解法解下列方程： 1) χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25； 3）（2χ+3）2－25=0.
解：1）方程左边分解因式，得χ（χ－3）=0.
∴ χ=0,或χ－3=0，
解得 χ1=0，χ2=3. 2) 方程移项，得16χ2－25=0
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且
面积为16 m2 , 场地的长和宽应各是多少?
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积
为16 m2 ,列方程
X(x+6)=16
即x2 6x 16 0
怎样解?
想x2一想6x解 1方6 程 0x2 6x 16 0的流程怎样?
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一般解法1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程）5.代数法（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1、直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m .例(3x+1)^2;=7 解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)例x^2-4x-12=0 (x-2)^2-4-12=0 (x-2)^2=16 x-2=±4 x=6或-2 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2;-4ac的值，当b^2;-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2;-4ac)]/(2a) , (b^2;-4ac≥0)就可得到方程的根。
《一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法》—知识讲解(提高)
《一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法》—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）；③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=;①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =;② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-;③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m ≠0，解得x ＝1．(2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 2424|6|2()2()n m n m m x m n m n --±==++， ∴ 11x =，25n m x m n-=+． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+=∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 3(1),2(1)m m x m -±+==- ∴ 122, 1.1x x m==-2．用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ m ==1==∴ 11m =21m =【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-=∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥∴32m m x ±== ∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．解方程：(x+1)2-2(x+1)(2-x)+(2-x)2＝0【思路点拨】这道试题实质是完全平方式，但是难于看出来，采用换元法，显而易见，设x+1=m,2-x=n,进行化简即可.【答案与解析】设x+1＝m，2-x＝n，则原方程可变形为：2220m mn n-+=．∴ (m-n)2＝0，∴ m＝n，即x+1＝2-x．∴121 2x x==．【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太繁琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．4．（1）解方程x（x﹣1）=2．有学生给出如下解法：∵x（x﹣1）=2=1×2=（﹣1）×（﹣2），∴或或或解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得x=2或x=﹣1．∴x=2或x=﹣1．请问：这个解法对吗？试说明你的理由．（2）在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大．使用上边的事实，解答下面的问题：用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．【思路点拨】（1）这种做法不对，两个数的积是2，这两个数的情况有无数种，不一定只是所列出的几种；（2）因为周长一定的多边形中，正多边形面积最大，那么就把五根木棒都用上，不会得到正三角形，也就是等边三角形，只能取最接近的办法，即2+5，3+4，6来围成三角形，其面积最大，得到一个等腰三角形，则其底边上的高等于2，S△=6．【答案与解析】（1）答案一：对于这个特定的已知方程，解法是对的．理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对．答案二：解法不严密，方法不具有一般性．理由是：为何不可以2=3×等，得到其它的方程组此学生的方法只是巧合了，求对了方程的解．（2）解：因为周长一定（2+3+4+5+6=20cm）的三角形中，以正三角形的面积最大．取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大．此时，三边为6、5+2、4+3，这是一个等腰三角形．可求得其最大面积为6．【总结升华】考察解一元二次方程，以及周长一定的多边形中，正多边形面积最大等知识．5.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x﹣5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x﹣5）=0，就相当于解方程x+2=0或3x﹣5=0，得到原方程的解为x1=﹣2，x2=．根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有或，请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式＞0的解集，如果不正确，请说明理由．【思路点拨】先根据利用因式分解法求方程根的方法判断出王力的推测是正确的，再根据其范例及不等式的性质列出不等式组，求出其解集即可．【答案与解析】王力的推测是正确的．∴∴（1）或（2）解不等式组（1）得：x；解不等式组（2）得：x；∴不等式的解集是x或x．【总结升华】此题是一道材料分析题，考查了同学们的阅读理解能力．对于分式不等式，应当根据“两数相除，同号得正”进行分析．。
一元二次方程公式
一元二次方程公式
一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的求解方法
1、公式法
在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b²-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△＝b²-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法
将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法
通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。
第三讲一元二次方程解法——公式法因式分解法
第三讲 公式法知识点：1、关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax的根的判别式是：△= b 2－4ac2、根据△判定方程根的情况（1）当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不等的实数根： （2）当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根：x 1= x 2= ——ab 2（3）当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根。
一、复习导入1、用配方法解下列方程（1）6x 2－7x+1＝0 （2）4x 2－3x ＝52 2、总结配方法解一元二次方程的步骤①移项；②二次项系数化为1；③配方；④变为（x+n ）2=p 的形式；⑤（如果右边边是非负数）直接开平方法求取方程的解。
（如果右边是负数则一元二次方程无实数根） 二、新课如果这个一元二次方程是一般形式)0(02≠=++a c bx ax你能否用上面的配方法求出方程的两个根？小结：公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式,并写出a ，b ，c 的值。
2、求出b 2-4ac 的值。
3、代入求根公式 :(a ≠0, b 2-4ac ≥0) 4、写出方程的解三、新知应用例1、用公式法解下列一元二次方程（解答后与配方法对照，体会两种解法的异同）（1）x 2－4x-7＝0 （2）2x 2－22x+1＝0 （3）5x 2－3x ＝x+1 （4）x 2+17x ＝8xaac b b x 242-±-=aac b b x 242-±-=变式（1）x2+ 2x + 3=0 （2）5x2－4x－12＝0 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）x2－2x－1 =0例2、若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
E变式不解方程试判断①x2+2x-2＝0 ② x2-2x+3＝0 ③2x2+2x-3＝0根的情况。
例3 （1）k取什么值时，方程x2－(k－1)x＋2＝0有两个相等的实数根？求这时方程的根。
初三数学一元二次方程公式法和因式分解法
第6次课：一元二次方程公式法和因式分解法一、考点、热点回顾学习要求：1、学会一元二次方程求根公式的推导2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的内在联系。
4、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
体会解决问题方法的多样性。
5、会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
6、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。
知识要点：1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(a ac b a b x -=+， （1）当042≥-ac b 时，得aacb b x 242-±-=；（2）当042<-ac b 时，一元二次方程无实数解。
2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。
3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：（1）必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； （2）再计算ac b 42-的值：①当042≥-ac b 时，方程有实数解，其解为：aacb b x 242-±-=；②当042<-ac b 时，方程无实数解。
4、分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
5、分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b6、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。
二、典型例题例1、推导求根公式：02=++c bx ax （0≠a ） 例2、利用公式解方程：（1） 0222=--x x （2） 4722=+x x（3）0142=+--x x （4）010342=+-x x例3、已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程02=++c bx ax例4、你能找到适当的x 的值使得多项式A =4x 2+2x －1与B =3x 2－2相等吗？例5、一元二次方程(m －1)x 2＋3m 2x ＋(m 2＋3m －4)＝0有一根为零，求m 的值及另一根． 1、用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是 （ ）、2=24312122⨯-± 、2=24312122⨯-±-、2=24312122⨯+± 、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯--±--2、方程x 2+3x =14的解是 （ ）=2653± =2653±- =2233± =2233±- 3、下列各数中，是方程x 2－(1+5)x +5=0的解的有 ( )①1+5 ②1－5 ③1 ④－5 个个 个 个5、若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )A ．1或5B ．7或－1C ．－1或－5D ．－7或16、关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( )A ．2B ．－21C ．－2D ．21 7、当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与4x ＋1的值相等 9、用公式法解下列各方程（1）x 2+6x +9=7 （2）017122=++x x（3）08242=+-x x （4）05322=--x x（5）012=--x x （6）01532=+-x x（7）4)3)(12(=--x x （8）02)82(42=++-y y（9）02322=--x x （10）()()()0112=-++-y y y y（11） 1852-=-x x （12）02332222=+---+n mn m nx mx x 例1、（1）方程)2(2)2)(1(+=+-x x x 的根是__________ （2）方程0)3)(2)(1(=-+-x x x 的根是__________ 例2、 用分解因式法解下列方程（1）0632=-x x （2）)5(2)5(32x x -=-（3） 0122=+-x x （4）4842-=+x x （5） 0)3()23(22=+-+x x （6）22)6(16)3(49+=-x x （7）0625412=-+x x （8）(x －1)2－4(x －1)－21＝0． 例3、2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b =_________，另一个根是_________. 例4、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 （ ） 例5、解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2+4abx ＝a 2－b 2． 例6、x 为何值时，等式0232222=--+--x x x x 一、填空题1、用因式分解法解方程9=x 2-2x+1 (1)移项得 ；(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得 ； (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ； (4)分别解这两个一次方程得x 1 = ， x 2= 。
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3．二次三项式 分解因式的结果为________；如果令 ，那么它的两个根是_________．
二、综合提高题
1．用因式分解法解下列方程．
(1) (2) (3) (4)
2．已知 ，求 的值．
说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。
3．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则 的值是_____．
三、拓展题
某数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题。若使方程为一元二次方程， 是否存在？若存在，求出 并解此方程．
根据求根公式判别一元二次方程根的情况
方程
的值
的符号
的关系（填相等、不等或不存在）
求根公式： 。
（1）当 时，根据平方根的意义， 等于一个具体数，所以一元二次方程 的 ，即有两个不相等的实根，即 。
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
例1．用公式法解下列方程．
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。
解：
练一练：用公式法解下列方程．
（1） （2） （3） （4）
一、选择题
1．用公式法解方程 ，得到（）。
A． B． C． D．
2．方程 的根是（）。
A． B． C． D．
3． ，则 的值是（）。
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．﹣4或2
二、填空题
1．一元二次方程 的求根公式是_______，条件是________．
2．当 ______时，代数式 的值是﹣4．
A． B． ，原方程无解
C． D．
二、填空题
1．如果 ，那么 的两个根分别是 =________， =__________．
2．已知方程 的一个根是 ，则m的值为________．
3．方程 ，那么方程的根 =______； =________．
4．若 ，则 的值是_________．
5．如果方程 ，那么，这个一元二次方程的两根是________．
（2）当 时，根据平方根的意义 ，所以一元二次方程 的 ，即有两个相等的实根，即 。
（3）当 时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程 没有实数解。
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1） （2） （3） （4）
分析：不解方程，判定根的情况，只需用 的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
根据公式完成下面的练习：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
例2：解方程：
解：由已知，得： 解：方程两边同时除以3，得
直接开平方，得： 配方，得
即 ， 即 ， ，
所以，方程的两根 ， 所以，方程的两根 ，
像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。
练一练：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
3．已知 ，一元二次方程 有根，则 的取值范围是（）．
A． B． C． D． 为一切实数
三、填空题
1．已知方程 有两个相等的实数，则 与 的关系是________．
2．不解方程，判定 的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
3．已知 ，不解方程，试判定关于 的一元二次方程 的根的情况是________．
巩ห้องสมุดไป่ตู้练习
一、不解方程判定下列方程根的情况:
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
二、选择题
1．以下是方程 的解的情况，其中正确的有（）．
A．∵ ，∴方程有解B．∵ ，∴方程无解
C．∵ ，∴方程有解D．∵ ，∴方程无解
2．一元二次方程 的两实数根相等，则 的值为（）．
A． B． C． D．
用因式分解法解方程
(1) (2) (3)
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。）
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．
A． ，∴ ，∴
B． ，∴ ，∴
C． ，∴
D． 两边同除以 ，得
一、填空题
1． 因式分解结果为_______； 因式分解的结果是______．
一元二次方程的根
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1：下面哪些数是方程 的根？
—4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
复习
练一练
一、选择题
1．方程 的两根为（）．
A． B． C． D．
2．方程 的根是（）．
A． B． C． D．
3．已知 是方程 的根，则 =（）．
A．1B．－1C．0D．2
4．若 ，那么 的值分别是（）．
A． B． C． D．
5．方程 的根为（）．
A．3B．－3C．±3D．无实数根
6．用配方法解方程 正确的解法是（）．
6．如果 为实数，满足 ，那么 的值是_______．
三、综合提高题
如果关于 的一元二次方程 中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证： 必是该方程的一个根．
一元二次方程公式法
一元二次方程 的根由方程的系数 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 时，将 代入式子 就得到方程的根。（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。）
四、综合提高题
1．不解方程，判别关于 的方程 的根的情况．
2、若关于 的一元二次方程 没有实数解，求 的解集（用含 的式子表示）．
一元二次方程因式分解法
解下列方程。
方程中没有常数项；左边都可以因式分解:可以写成：
两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是 ，所以
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．