两数和(差)的完全平方公式
专题八:平方差公式及完全平方式

专题一:平方差公式及完全平方公式【基础知识回顾】1、平方差公式:(a+b)(a-b)=a 2-b 2.即,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
2、完全平方公式:(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a-b)2=a 2-2ab+b 2.两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或者减去)它们的积的2倍。
【强化训练】一、填空题1、若x 2+x +m 是一个完全平方式,则m =2、若16)3(22+-+m x 是关于x 的完全平方式,则________=m 。
3、利用_____公式可以对10199⨯进行简便运算,运算过程为:原式=_________________。
4、(-2x+y )(-2x -y )=______.5、(-3x 2+2y 2)(______)=9x 4-4y46、已知9x 2-6xy+k 是完全平方式,则k 的值是________.7、9a 2+(________)+25b 2=(3a-5b )28、已知a 2+14a+49=25,则a 的值是_________.二、解答题1、________________)1)(1()3(2=-+--x x x 2、(5x +3y )(3y -5x )-(4x -y )(4y +x )3、(2x +y +1)(2x +y -1)4、[])56()3()3)(3(2b a b b a b a ÷--+-5、( 3y+2x)26、7、8、9、10、-(-21x 3n+2-32x 2+n )211、(3a+2b)2-(3a-2b)212、(x 2+x+6)(x 2-x+6)13、利用平方差公式计算:2023×191314、已知x +y =7,xy =2,求①2x 2+2y 2的值;②(x -y )2的值.15、已知Q y x P y x y x +-=++=+2222)()(,试求多项式P 和Q16、若016822=+-+-n n m ,求m 、n 的值。
完全平方公式因式分解

完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用,难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等)。
完全平方公式:
两数和的平方,等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
(a+b)²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方,等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a-b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展:
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式:形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式:公式中的a,b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征:左边由三项组成,其中有两项分别是某两个数(或式)的平方,另一项是上述两数(或式)的_____,符号可正可负;右边是两项和(或差)的平方.
【解析】
完全平方公式:.公式中的a,b,不仅可以表示数字、单项式,也可以是多项式.
(公式的特征:左边由三项组成,其中有两项分别是某两个数(或式)的平方,另一项是上述两数(或式)的乘积的倍,符号可正可负;右边是两项和(或差)的平方. 【答案】
(2)单项式,多项式.(3)乘积的倍.。
8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析

8.3 完全平方公式与平方差公式1.了解乘法公式的几何背景,掌握公式的结构特征,并能熟练运用公式进行简单的计算.2.感受生活中两个乘法公式存在的意义,养成“观察—归纳—概括”的数学能力,体会数形结合的思想方法,提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力,进一步增强符号感和推理能力.1.完全平方公式(1)完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.上式用语言叙述为:两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.(2)完全平方公式的证明:(a±b)2=(a±b)(a±b)=a2±ab±ab+b2(多项式乘多项式)=a2±2ab+b2(合并同类项).(3)完全平方公式的特点:①左边是一个二项式的完全平方,右边是一个二次三项式,其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方,另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.可简单概括为“首平方,尾平方,积的2倍夹中央”.②公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.③对于符合两数和(或差)的平方的乘法,均可用上述公式计算.【例1-1】用完全平方公式计算(1)(x+2y)2;(2)(2a-5)2;(3)(-2s+t)2;(4)(-3x-4y)2;(5)(2x+y-3z)2.分析:第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算;第(3)题可先把它变成(t-2s)2,然后再计算,也可以把-2s看成一项,用和平方公式计算;第(4)题可看成-3x与4y差的平方,也可以看成-3x与-4y和的平方;(5)可把2x+y看成一项,用差平方公式计算,然后再用和平方公式计算,也可以把它看成2x与y-3z的和平方,再用差平方公式计算.解:(1)(x +2y )2=x 2+2·x ·2y +(2y )2=x 2+4xy +4y 2;(2)(2a -5)2=(2a )2-2·2a ·5+52=4a 2-20a +25;(3)(-2s +t )2=(t -2s )2=t 2-2·t ·2s +(2s )2=t 2-4ts +4s 2;(4)(-3x -4y )2=(-3x )2-2·(-3x )·4y +(4y )2=9x 2+24xy +16y 2;(5)(2x +y -3z )2=[2x +(y -3z )]2=(2x )2+2·2x ·(y -3z )+(y -3z )2=4x 2+4xy -12xz +y 2-2·y ·3z +(3z )2=4x 2+y 2+9z 2+4xy -12xz -6yz .(1)千万不要与公式(ab )2=a 2b 2混淆,发生类似(a ±b )2=a 2±b 2的错误;(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉;(3)计算时,应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件,如符合,则可以直接套用公式进行计算;如不符合,应先变形,使其具备公式的结构特点,再利用公式进行计算,如变形后仍不具备公式的结构特点,则应运用乘法法则进行计算.此外,在运用公式时要灵活,如第(4)题,由于(-3x -4y )2与(3x +4y )2是相等关系,故可以把(-3x -4y )2转化为(3x +4y )2,再进行计算,再如(5)题,也有许多不同的方法.(4)完全平方公式的几何解释.如图是对(a +b )2=a 2+2ab +b 2几何意义的阐释.大正方形的面积可以表示为(a +b )2,也可以表示为S =S Ⅰ+S Ⅱ+S Ⅲ+S Ⅳ,又S Ⅲ,SⅠ,S Ⅳ,S Ⅱ分别等于a 2,ab ,ab ,b 2,所以S =a 2+ab +ab +b 2=a 2+2ab +b 2.从而验证了完全平方公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2.如图是对(a-b)2=a2-2ab+b2几何意义的阐释.正方形Ⅰ的面积可以表示为(a-b)2,也可以表示为SⅠ=S大-SⅡ-SⅣ+SⅢ,又S大,SⅡ,SⅢ,SⅣ分别等于a2,ab,b2,ab,所以SⅠ=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.从而验证了完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2.【例1-2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中的空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式:__________________.解析:根据图中的面积写一个恒等式,需要用两种方法表示空白正方形的面积.首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成,所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积,即(a+b)2-4ab,空白正方形的面积也等于它的边长的平方,即(a-b)2,根据面积相等有(a+b)2-4ab=(a-b)2.答案:(a+b)2-4ab=(a-b)22.平方差公式(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.上式用语言叙述为:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.(2)平方差公式的证明:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab+b2(多项式乘多项式)=a2-b2(合并同类项).(3)平方差公式的特点:①左边是两个二项式相乘,这两项中有一项完全相同,另一项互为相反数;②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方);③公式中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.利用此公式进行乘法计算时,应仔细辨认题目是否符合公式特点,不符合平方差公式形式的两个二项式相乘,不能用平方差公式.如(a+b)(a-2b)不能用平方差公式计算.【例2-1】计算:(1)(3x+2y)(3x-2y);(2)(-m+n)(-m-n);(3)(-2x-3)(2x-3).分析:(1)本题符合平方差公式的结构特征,其中3x对应“a”,2y对应“b”;(2)题中相同项为-m,互为相反数的项为n与-n,故本题也符合平方差公式的结构特征;(3)利用加法交换律将原式变形为(-3+2x)(-3-2x),然后运用平方差公式计算.解:(1)(3x+2y)(3x-2y)=(3x)2-(2y)2=9x2-4y2.(2)(-m+n)(-m-n)=(-m)2-n2.(3)(-2x-3)(2x-3)=(-3+2x)(-3-2x)=(-3)2-(2x)2=9-4x2.利用公式计算,关键是分清哪一项相当于公式中的a,哪一项相当于公式中的b,通常情况下,为防止出错,利用公式前把相同项放在前面,互为相反数的项放在后面,然后套用公式.(4)平方差公式的几何解释如图,阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积,即a2-b2;若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置,则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.【例2-2】下图由边长为a和b的两个正方形组成,通过用不同的方法,计算图中阴影部分的面积,可以验证的一个乘法公式是____________________.分析:要表示阴影部分的面积,可以从两个方面出发:一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的,所以它的面积等于a2-b2;二是阴影部分是由两个直角梯形构成的,所以它的面积又等于两个梯形的面积之和.这两个梯形的面积都等于12 (b+a)(a-b),所以梯形的面积和是(a+b)(a-b),根据阴影部分的面积不变,得(a+b)(a-b)=a2-b2.因此验证的一个乘法公式是(a+b)(a-b)=a2-b2.答案:(a+b)(a-b)=a2-b23.运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础,而且在许多的数字运算中也有广泛地运用.不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关,但若根据数字的结构特点,灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式,常可以使运算变繁为简,化难为易.解答此类题,关键是分析数的特点,看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式,若改写成两数和的形式乘以两数差的形式,则用平方差公式;若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式,则用完全平方公式.【例3】计算:(1)2 0132-2 014×2 012;(2)1032;(3)1982.分析:(1)2 014=2 013+1,2 012=2 013-1,正好符合平方差公式,可利用平方差公式进行简便运算;(2)可将1032改写为(100+3)2,利用两数和的平方公式进行简便运算;(3)可将1982改写为(200-2)2,利用两数差的平方公式进行简便运算.解:(1)2 0132-2 014×2 012=2 0132-(2 013+1)×(2 013-1)=2 0132-(2 0132-12)=2 0132-2 0132+1=1.(2)1032=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10 000+600+9=10 613.(3)1982=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40 000-800+4=39 204.4.利用乘法公式化简求值求代数式的值时,一般情况是先化简,再把字母的值代入化简后的式子中求值.在化简的过程中,合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单.在代数式化简过程中,用到平方差公式及完全平方公式时,要特别注意应用公式的准确性.【例4】先化简,再求值:5(m +n )(m -n )-2(m +n )2-3(m -n )2,其中m =-2,n =15. 解:5(m +n )(m -n )-2(m +n )2-3(m -n )2=5(m 2-n 2)-2(m 2+2mn +n 2)-3(m 2-2mn +n 2)=5m 2-5n 2-2m 2-4mn -2n 2-3m 2+6mn -3n 2=-10n 2+2mn .当m =-2,n =15时,原式=-10n 2+2mn =-10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152+2×(-2)×15=-65. 5.乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时,表面上看起来不能利用乘法公式,实际上经过简单的变形后,就能直接运用乘法公式进行计算了.有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.在运用平方差公式时,注意以下几种常见的变化形式:①位置变化:(b +a )(-b +a )=a 2-b 2.②符号变化:(-a +b )(-a -b )=(-a )2-b 2=a 2-b 2.③系数变化:(0.5a +3b )(0.5a -3b )=(0.5a )2-(3b )2.④指数变化:(a 2+b 2)(a 2-b 2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4.⑤增项变化:(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2,(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2.⑥增因式变化:(a+b)(a-b)(-a-b)(-a+b)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2.⑦连用公式变化:(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)=a8-b8.【例5-1】计算:(1)(a+b+1)(a+b-1);(2)(m-2n+p)2;(3)(2x-3y)2(2x+3y)2.解:(1)(a+b+1)(a+b-1)=[(a+b)+1][(a+b)-1]=(a+b)2-1=a2+2ab+b2-1.(2)(m-2n+p)2=[(m-2n)+p]2=(m-2n)2+2·(m-2n)·p+p2=m2-4mn+4n2+2mp-4np+p2.(3)(2x-3y)2(2x+3y)2=[(2x-3y)(2x+3y)]2=(4x2-9y2)2=(4x2)2-2×4x2×9y2+(9y2)2=16x4-72x2y2+81y4.在运用平方差公式时,应分清两个因式是否是两项之和与差的形式,符合形式才可以用平方差公式,否则不能用;完全平方公式就是求一个二项式的平方,其结果是一个三项式,在计算时不要发生:(a+b)2=a2+b2或(a-b)2=a2-b2这样的错误;当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,从而应用平方差公式或完全平方公式.【例5-2】计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)的值.分析:为了能便于运用平方差公式,观察到待求式中都是和的形式,没有差的形式,可设法构造出差的因数,于是可乘以(2-1),这样就可巧妙地运用平方差公式了.解:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(24-1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=…=(22n-1)(22n+1)=24n-1.6.乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时,经常把其中的一个量或几个量先用字母表示,然后列出相关式子,进而化简,这往往涉及到整式的运算.解题时,灵活运用乘法公式,往往能事半功倍,使问题得到快速解答.【例6】一个正方形的边长增加3 cm,它的面积就增加39 cm2,这个正方形的边长是多少?分析:如果设原正方形的边长为x cm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x+3)2=x2+39,求解即可.解:设原正方形的边长为x cm,则(x+3)2=x2+39,即x2+6x+9=x2+39,解得x=5(cm).故这个正方形的边长是5 cm.7.完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”,注意为使用公式创造条件.(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式:①a 2+b 2=(a +b )2-2ab ;②a 2+b 2=(a -b )2+2ab ;③(a +b )2=(a -b )2+4ab ;④(a -b )2=(a +b )2-4ab ;⑤(a +b )2+(a -b )2=2(a 2+b 2);⑥(a +b )2-(a -b )2=4ab 等.在公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2中,如果把a +b ,ab 和a 2+b 2分别看做一个整体,则知道了其中两个就可以求第三个.(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式,而且也要求会逆用公式,乘法公式均可逆用,特别是完全平方公式的逆用——a 2+2ab +b 2=(a +b )2,a 2-2ab +b 2=(a -b )2.【例7-1】已知a 2+b 2+4a -2b +5=0,则a +b a -b的值是__________.解析:原等式可化为(a 2+4a +4)+(b 2-2b +1)=0,即(a +2)2+(b -1)2=0,根据非负数的特点知a +2=0且b -1=0,从而可知a =-2且b =1.然后将其代入求a +b a -b的值即可. 答案:13【例7-2】已知a +b =2,ab =1,求a 2+b 2的值.分析:利用完全平方公式有(a +b )2=a 2+2ab +b 2,把2ab 移到等式的左边,可得(a +b )2-2ab =a 2+b 2,然后代入求值即可.解:∵(a +b )2=a 2+2ab +b 2,∴a 2+b 2=(a +b )2-2aB .∵a +b =2,ab =1,∴a 2+b 2=22-2×1=2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题,就要联想到完全平方公式.本题也可从条件出发解答,如因为a+b=2,所以(a+b)2=22,即a2+2ab+b2=4.把ab=1代入,得a2+2×1+b2=4,于是可得a2+b2=4-2=2.。
两数和(差)的完全平方公式

两数和(差)的平方教案设计泌阳县春水镇中心学校刘老师教学内容教科书P.32——P.34的内容本节课是华师大八年级(上)义务教育课程标准实验教材第12章第3节第二课时的内容。
它是学生在已经掌握整式的加减法、幂的运算、单项式乘法、多项式乘法之后进行学习的。
一方面它是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结;另一方面也是后续学习的基础,不仅对提高学生运算速度、准确率有较大作用,更是今后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、分式运算的知识基础,同时乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端。
通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。
一、教学目标1.能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点,并会用式子表示。
2.能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。
3.通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出,使学生明白数形结合的思想。
二、教学重难点重点:掌握公式的特点,牢记公式。
难点:对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。
关键:引导学生对本节课公式结构特征进行理解,并注意同两数与这两数差的积的公式进行区分。
教学过程一、创设情景、问题导入很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主。
国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说:“您可不可以再给我一块边长为b 米的正方形土地呢?”国王答应了他,国王问第二个农夫:“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说:“不,我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。
国王想不通了,他说:“你们的要求不是一样的吗?” 你认为他们的要求一样吗?以小组为单位,讨论交流a2+b2与(a+b)2的大小.思考怎样计算(a+b)2,结果是多少?二、探究新知,得出公式方法一、利用代数方法计算(a+b)2=(a+b) (a+b)=a2+2ab+b2方法二、利用几何图形的面积的两种表示方法验证。
12.3.2 两数和(差)的平方八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)

12.3.2两数和〔差〕的平方根底知识1.2222)(b ab a b a ++=+;即两数和的平方,等于这两数的平方和减去它们的积的2倍。
这个公式叫做两数和的平方公式。
2222)(b ab a b a +-=-;即两数差的平方,等于这两数的平方和加上它们的积的2倍。
这个公式叫做两数差的平方公式。
以上两个公式俗称完全平方公式2.完全平方公式的特点:〔1〕左边是一个二项式的完全平方;〔2〕右边是二次三项式,其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方,另一项为哪一项左边二项式中两项积的两倍;〔3〕公式中的字母,可以代表一个数,还可以代表一个代数式。
3.完全平方公式的变化与推广:ab b a b a 2)(222-+=+;ab b a b a 2)(222+-=+)()(2222b a b a ab +-+=或)]()[(21222b a b a ab +-+= ab b a b a 4)()(22-+=-,ab b a b a 4)()(22+-=+例题例1.计算:2123x y ⎫⎛-+ ⎪⎝⎭. 【答案】224439y x xy -+. 【分析】利用完全平方差公式求解即可.【详解】 解:原式2123x y ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭ 224439y x xy -+=. 【点睛】此题主要考查有理数及整式的运算,属于根底题型.例2.阅读材料:假设2222210x xy y y ++-+=,求x ,y 的值.解:∵2222210x xy y y ++-+=,∴2222210x xy y y y +++-+=,即22()(1)0x y y ++-=.∴0,10x y y +=-=.∴1,1x y =-=.根据你的观察,探究以下问题:〔1〕224428160m mn n n -+++=,求3()m n --的值.〔2〕24,6130a b ab c c -=+-+=,求a b c ++的值.【答案】16.〔1〕18;〔2〕3 【分析】〔1〕将4m 2-4mn +2n 2+8n +16=0的左边分组配方,然后根据偶次方的非负性,可求出m ,n 的值,代入代数式即可得到结论;〔2〕由a -b =4,得到a =b +4,代入的等式中重新结合后,利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出b 与c 的值,进而求出a 的值,即可求出a +b +c 的值.【详解】解:〔1〕∵4m 2-4mn +2n 2+8n +16=(2m )2-4mn +n 2+n 2+8n +16=〔2m -n 〕2+〔n +4〕2=0, ∴2m -n =0,n +4=0,∴m =-2,n =-4,∴〔m -n 〕-3=18; 〔2〕∵a -b =4,即a =b +4,代入得:〔b +4〕b +c 2-6c +13=0,整理得:〔b 2+4b +4〕+〔c 2-6c +9〕=〔b +2〕2+〔c -3〕2=0,∴b +2=0,且c -3=0,即b =-2,c =3,a =2,那么a +b +c =2-2+3=3.【点睛】此题考查了完全平方公式的应用,结合偶次方的非负性求值的问题,此题属于中档题.练习1.我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式,例如图1可以用来解22()()4a b a b ab +--=,那么通过图2中阴影局部面积的计算验证的恒等式是()A .222()2a b a ab b -=-+B .22()()a b a b a b -=+-C .222()2a b a ab b +=++D .22()(2)2a b a b a ab b -+=+-2.以下各式中,与2(1)x -相等的是()A .221x x -+B .221x x --C .21x -D .2x 3.9x 2﹣kx +4是一个完全平方式,那么常数k 的值为〔〕A .6B .±6C .12D .±12 4.以下各式中,是完全平方式的是〔〕A .269x x -+B .221x x +-C .2525x x -+D .216x + 5.m 2+n 2=1,〔m +n 〕2=2,那么mn 的值是〔 〕A .14B .12C .1D .2 6.计算:()22x y +=_____.7.如果2236x kxy y ++是完全平方式,那么k 的值是________ .8.22,()1xy x y =-=,那么22x y +=_________.9.x ,y 244y y -=-,假设3axy x y -=,那么实数a 的值为_____________.10.假设()292116x k x --+是完全平方式,那么k 的值为______.11.计算:〔1〕()225a b -+;〔2〕(2)(2)(1)(5)x x x x +-+-+12.先化简,再求值:()()()2211x x x -+--,其中12x =-.13.()218x y +=,()26x y -=,求22x y +及xy 的值. 14.化简:22()()a b a b -+15.〔1〕先化简,再求值,2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----,其中13x =-. 〔2〕己知2226100x y x y +-++=,求x y +的值.16.[阅读理解]假设x 满足(80)(60)30x x --=,求22(80)(60)x x -+-的值. 解:设80x a -=,60x b -=,那么(80)(60)30x x ab --==,(80)(60)20a b x x +=-+-=,∴222222(80)(60)()220230340x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=.[解决问题]假设x 满足22(30)(20)120x x -=+-,求(30)(20)x x --的值.参考答案1.A【详解】解:阴影局部的面积:2()a b -,还可以表示为:222a ab b -+,∴此等式是222()2a b a ab b -=-+.应选:A .2.A【详解】解:22(1)21x x x -=-+,应选:A .3.D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值.【详解】解:∵9x 2-kx +4是一个完全平方式,∴-k =±12, 解得:k =±12, 应选:D .【点睛】此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解此题的关键.4.A【分析】根据完全平方公式:〔a ±b 〕2=a 2±2ab +b 2分析各个式子. 【详解】解:()22693x x x -+=-,是完全平方式,221x x +-,2525x x -+,216x +不是完全平方式, 应选A .【点睛】此题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.要求掌握完全平方公式,并能从复杂的关系中找到平方项和乘积项,利用公式写成平方的形式.5.B【分析】根据m 2+n 2的值,利用完全平方公式将〔m +n 〕2展开进行计算即可.【详解】解:∵m 2+n 2=1,∴〔m +n 〕2=2,∴m 2+2mn +n 2=2,∴1+2mn =2,∴2mn =1,∴mn =12,应选:B .【点睛】此题考查完全平方公式,解题的关键是熟练掌握完全平方公式.6.2244.x xy y ++【分析】直接利用完全平方公式进行计算即可得到答案.【详解】解:()222244x y x xy y +=++,故答案为:2244.x xy y ++【点睛】此题考查的是完全平方公式的运用,掌握利用完全平方公式进行运算是解题的关键. 7.±12【分析】根据完全平方公式即可得到结论.【详解】解:∵2236x kxy y ++是完全平方公式,∴2236x kxy y ++=〔x+6y 〕2或者2236x kxy y ++=〔x-6y 〕2,∴k=+12或k=-12,故答案为:±12. 【点睛】此题考查完全平方公式,注意完全平方公式中间项是±2ab . 8.5【分析】根据222()2x y x y xy -=+-可得222()2x y x y xy +=-+,代入得出答案.【详解】解:∵22,()1xy x y =-=,∴222()2145x x y y y x =-=+++=,故答案为:5.【点睛】此题考查利用完全平方公式变形求值.熟练掌握完全平方公式和它的变形式是解题关键.9.76【分析】2440y y -+=2(2)0y -=,可得x ,y 的值,将之代入3axy x y -=中可得结果.【详解】2440y y -+=,2(2)0y -=,390,20x y ∴+=-=,解得:3,2x y =-=,代入3axy x y -=,得(3)23(3)2a ⨯-⨯-⨯-=, 解得:76a =, 故答案为:76. 【点睛】此题主要考查了完全平方公式及非负数的性质,属于根底题,关键是根据非负数的性质求出x ,y 的值再求解.10.11-或13【分析】利用完全平方式的定义可得()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-,求解即可.【详解】解:∵()292116x k x --+是完全平方式,∴()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-,解得11k =-或13,故答案为:11-或13.【点睛】此题考查利用完全平方式的定义求参数,掌握完全平方式的定义是解题的关键. 11.〔1〕2242025a ab b -+;〔2〕41x【分析】〔1〕根据完全平方公式直接计算即可;〔2〕根据多项式乘多项式的法那么进行计算即可.【详解】〔1〕解:()225a b -+〔2〕原式2242255x x x x x x =-+-++--41x .【点睛】此题考查完全平方公式、多项式乘多项式,解题的关键是熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式运算规那么.12.3x -,72- 【分析】根据多项式乘多项式的运算法那么、完全平方公式把原式化简,把x 的值代入计算即可.【详解】解:()()221(1)x x x -+-- 3x =-, 当12x =-时,原式=17322--=-. 【点睛】此题考查了整式的化简求值,掌握整式的混合运算法那么是解题的关键.13.2212x y +=;3xy =.【分析】根据完全平方公式对式子进行变形,并将条件整体代入即可.【详解】解:()222222222222222222x y x y x y x y x y x y xy xy +++++++-++=== ()()2222222218612222x y x x y x xy y y y x ++=++-++==+-=; ()()()222222221863444x xy y x xy y x y x y ++--++---====. 【点睛】此题考查了完全平方式,把式子灵活变形是解题关键.14.42242a a b b -+【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可;【详解】解:()()()2222224224()()2a b a b a b a b a b a a b b ==-=-+⎡⎤⎣⎦-+-+; 【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式,灵活应用平方差公式及完全平方公式是解题的关键.15.〔1〕95x -,8-;〔2〕-2【分析】〔1〕根据平方差公式和单项式乘多项式、完全平方差公式可以化简题目中的式子,然后将x 的值代入化简后的式子即可解答此题.〔2〕将等式利用完全平方公式变形,再利用非负数的性质得到x 和y 值,代入计算即可.【详解】解:〔1〕2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----=2229455414x x x x x --+--+=95x - 将13x =-代入, 原式=1953⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=8-; 〔2〕∵2226100x y x y +-++=,∴2221690x x y y -++++=,∴()()22130x y -++=,∴x -1=0,y +3=0,∴x =1,y =-3,∴132x y +=-=-.【点睛】此题考查整式的混合运算-化简求值,完全平方公式的应用,解答此类问题的关键是明确整式的混合运算的计算方法.16.10【分析】根据题目所给的方法,设30,20x a x b -=-=,那么22120a b +=,再根据222()2a b a b ab +=+-,即可得出答案. 【详解】解:设30,20x a x b -=-=,22(30)(20)120x x --=+,22120a b ∴+=,那么=3020120a b x x +-+-=,222()2a b a b ab +=+-,【点睛】此题主要考查了完全平方公式,解得的关键是:熟练掌握完全平方公式的变式应用是进行计算的关键.。
平方差公式完全平方公式

平方差公式完全平方公式设a和b是任意实数,则有:(a+b)(a-b)=a²-b²这个公式可以用于将一个平方差分解为两个因式的乘积。
它在代数运算中非常重要,经常用于化简和解方程等计算中。
完全平方公式:完全平方公式是指一个二次多项式可以写成一个完全平方的形式。
设a、b是任意实数,则有:(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²这两个公式可以将一个二次多项式表示为两个完全平方的和或差。
它们在代数运算中也是非常重要的,并经常用于因式分解和解方程等计算中。
拓展完全平方公式:完全平方公式还可以拓展为三项平方的公式。
设a、b、c是任意实数,则有:(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc(a - b - c)² = a² + b² + c² - 2ab - 2ac + 2bc这两个公式是将一个三次多项式表示为三个完全平方的和或差。
它们在高等代数中很常见,常用于展开和化简多项式。
使用平方差公式的例子:假设我们想要计算7²-3²的结果。
根据平方差公式,可以将(7+3)(7-3)来表示。
即7²-3²=(7+3)(7-3)=10×4=40。
使用完全平方公式的例子:假设我们想要将x²+8x+16分解为两个完全平方的形式。
根据完全平方公式,可以得到x²+8x+16=(x+4)²。
拓展完全平方公式的例子:假设我们想要将x³+12x²+48x+64分解为三个完全平方的形式。
根据拓展完全平方公式,可以得到x³+12x²+48x+64=(x+4)²(x+4)=(x+4)³。
平方差公式及完全平方公式

平方差公式及完全平方公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2在这个公式中,(a+b)和(a-b)被称为差的产品。
平方差公式可以证明如下:设c=a+b,d=a-b,则可以将平方差公式表示为:c*d=(c+d)(c-d)将a+b和a-b分别代入c和d的等式中,则得到:c=a+bd=a-b代入后,等式变为:(a+b)(a-b)=(a+b+a-b)(a+b-a+b)通过合并和简化可得:(a + b)(a - b) = a^2 + ab - ab - b^2由于ab和-ab可以相互抵消,因此最终结果为:(a+b)(a-b)=a^2-b^2这就是平方差公式的推导过程。
平方差公式在数学中有着广泛的应用,可以用于简化复杂的运算和化简代数式。
完全平方公式是指一个二次方程的解可以表示为两个平方项的和或差。
设有二次方程ax^2 + bx + c = 0,完全平方公式可以表示为:x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a在这个公式中,b^2 - 4ac被称为判别式。
完全平方公式可以根据判别式的值分为三种情况:1.判别式大于0:这种情况下,二次方程有两个不相等的实根。
例如,当a=1,b=5,c=6时,判别式为25-24=1,有两个不同的解x1=-3和x2=-22.判别式等于0:这种情况下,二次方程有两个相等的实根。
例如,当a=1,b=4,c=4时,判别式为16-16=0,有一个解x=-23.判别式小于0:这种情况下,二次方程没有实根,解为虚数。
例如,当a=1,b=2,c=3时,判别式为4-12=-8,在实数范围内没有解。
完全平方公式可以通过配方法来推导。
对于二次方程ax^2 + bx + c = 0,可以将其变形为:a(x^2+(b/a)x+c/a)=0为了让这个方程成为一个完全平方,需要找到一个用以平方的表达式。
将二次项的系数的一半平方加到方程中,即。
(b/2a)^2,结果是(b^2/4a^2)。
平方差完全平方公式

平方差完全平方公式平方差是数学中常见的一种特殊形式的差的运算形式。
平方差经常出现在代数中的各种公式中。
在本文中,我们将通过介绍平方差公式和完全平方公式来解释这两个概念。
首先,让我们来了解平方差公式。
平方差公式是一种用来计算两个数的平方差的公式,可以表述为(a+b)(a-b)=a²-b²。
这个公式可以展开成a²-b²的形式,其中a代表一个数,b代表另一个数。
平方差公式的重要性在于它允许我们在不展开式子的情况下直接计算出结果。
举例来说,我们可以通过使用平方差公式来计算36²-25²,这个计算可以简化为(36+25)(36-25)=61*11=671接下来,让我们来介绍完全平方公式。
完全平方公式是一种特殊的平方差公式,可以用来表示一个完全平方数的平方根。
一个完全平方数是一个整数的平方,例如4、9、16等。
完全平方公式的形式为(a + b)² = a² + 2ab + b²。
其中a和b代表任意两个数。
这个公式可以被展开成(a + b)(a + b)的形式,然后简化为a² + 2ab + b²的形式。
在使用完全平方公式时,我们可以将一个数分解成两个数的平方之和,从而找到这个数的平方根。
举一个例子来说明完全平方公式的应用。
我们可以使用完全平方公式来计算25的平方根。
我们将25分解成一个平方数和另一个数的形式,即25=5²。
然后我们将完全平方公式应用于这个分解形式,得到25=(5+b)²=5²+2*5*b+b²。
为了找到b的值,我们可以将等式中的其他项化简,并使其等于0,即25-5²=10b+b²。
这可以简化为0=b²+10b-25、我们可以通过求解这个二次方程来找到b的值,得到b=-5或b=5、因此,25的平方根可以是5或-5在本文的最后,让我们来总结一下平方差公式和完全平方公式的应用。
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解:3x 2 y2 3x2- 2 • 3x • 2y +2 y2
9x2 12 xy 4 y2
计算下列各题
(a b)2
解:解法一
a2
-
2
a
b
+ b2
1 2
2
m 1
1 2
m
2
方法2
农夫一
a2 b2
a2
b2
农夫二
(a b)2
ab
a a 2 ab
b ab b2
(a b)2 a2 +2ab+ b2
这个公式我们称为两数和的平方公式
a b2 等于多少?
解:
a b2 = a b2
=a2 -2ab + (-b)2
= a2 2ab b2
这两个公式我们又称为完全平方公式
完全平方公式有怎样的结构特征呢?
(a b)2 a2 +2ab + b2
(1)公式左边是两数的和的平方,即 两个相同的二项式相乘,括号内是两项 的和(差),即a+b或(a-b)。 (2)右边是一个三项式,且首尾两项 是左边二项式中的两项的平方和,即a2 +b2,中间是这两项积的2倍,即2ab。
+2
•
1 2
m •1
+12
1 m2 m 1 4
计算下列各题
(a b)2
解:解法二
a2
+
2
a
b + b2
1 2
m
12
1
1 2
m 2
想一想:
你还有其他 的解法吗?
12 - 2 •1• 1 m 1 m2 2 2
(a
解:
b)2
a2 -2
a
b+
b2
(2x-3y)2 =(2x)2- 2(2x)(3y) +(3y)2
=4x2-12xy+9y2
计算下列各题
(a b)2
解:
2a
b 2
2
a2 +2 a = (2a)2+2×2
b+
a
b 2
b2
b2
+( b 2
)2
=4a2 +2ab + 4
计算下列各题
(1)1032
(2)1982
=(100+3)2
1002 21003 32
=(200-2)2
2002 22002 22
=10000+600+9 =40000-800+4
=10609
=39204
拓展:
(a b c)2 解:原式 [(a b) c]2
(a b)2 2c(a b) c2 a2 b2 2ab 2ac 2bc c2
你能用语言叙述这两个公式吗?
两数和(差)的平方,等于它们的平方和加上 (或减去)它们乘积的2倍。
巧记方法:
1.首平方,尾平方,首尾乘积的2倍放中央, 中间的符号回头望。
2、我们还可以把公式形象记为:
(口 〇)2 口2 2口〇 〇2
这里的“口”和“〇”可以是单项式或多项式。
计算下列各题
1 m 1 m2 4
(2x - 3)2 =4x2 – 12x+9 (4x +5y)2 =16x2 + 40xy+25y2
(mn - a)2 =m2n2 – 2amn+a2 (-3b +2c)2=9b2 – 12bc + 4c2
(-2b-5)2 =4b2 + 20b + 25
运用公式简便计算
主讲教师:刘老师
很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓 到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了 妖怪救出了公主。国王要赏赐他们, 这两个农夫 原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个 农夫就对国王说:“您可不可以再给我一块边 长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他,国 王问第二个农夫:“你是不是要跟他一样啊?” 第二个农夫说:“不,我只要您把我原来的那 块地的边长增加b米就好了。
小结
1.这两个公式是多项式乘法的特殊形式,熟记它 们的特点。
2.公式中的字母可以是数也可以是单项式或多项 式。3.在解决具体问题时,要先考查题目是否符 合公式条件,若不符合,需要先进行变形,使式 子符合条件后,在应用公式。
3.在解决具体问题时,要先考查题目是否符合公 式条件,若不符合,需要先进行变形, 使式子 符合条件后,在应用公式。
两数和平方公式的特征:
1、左边是两数和的平方,右边可这样记: “首平方,尾平方,首尾二倍放中央”
2、我们还可以把公式形象的记为:
(口 〇)2 口2 2口〇 〇2
这里的“口”和“〇”可以是单项式或多项式
作业:
课本第36页1,2,3题。
国王想不通了,他说:“你们的要求不是一
样的吗?” 你认为他们的要求一样吗
看两人要求是不是一样,即 要比较下列两式是不是相等
a2 b2 与 a b2
你知道
ab
2
等于多少吗?
方法1:
a b2 a ba b
a2 ab ab b2
a2 2ab b2
a b2
b ab b²
a a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a 2ab ab b2
a2 2ab b2
(a b)2 a2 +2ab + b2 这个公式我们称为两数和的平方公式
(a b)2 a2 -2ab + b2
这个公式我们称为两数差的平方公式