第3章 4 简支梁受均布荷载
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弹性力学-第3章 4 简支梁受均布荷载
1 2
f ( y)x2
f1yx
f2y
（2）Φ必须满足相容方程，据此求待定函数
4
4 4
2
0
x 4
x 2y 2 y 4
代入应力函数后得到：
d 4 f y x2 d 4 f1y x d 4 f2 y 2 d 2 f y 0
2dy 4
dy 4
dy 4
dy 2
方程为x的二次方程(最多只有两个根)，要求全梁 范围内无论x取何值均成立(无数个根)，只有x的各 次幂的系数均为零：
A y 5 B y 4 Hy3 Ky 2 10 6
（b）
（3）根据（2—23）求出应力分量{；
x
2 y 2
x2 2
(6 Ay
2B)
x(6Ey
2F)
2 Ay 3 2By 2 6Hy 2K
（c）
y
2 x 2
Ay 3
By 2
Cy
D
（d）
xy
2
xy
x
3Ay 2
2By
c
L(3Ay2 c) (3Ey2 2Fy G) dy qL
2
以上两个等式两端相加得到：
h
2 h
(3Ey2
2Fy G)
dy
0
2
E
h
3
Gh
0
2
结合前页等式和上式得到：
E h 3 Gh 0 2
h2 (3E G) 0
4
E0 G0
注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件
§3-4 简支梁受均布荷载
q
h
qL
0
2
x
h 2
qL
L
简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程
一、简支梁的基本概念简支梁是一种常见的结构形式，其特点是两端固定支撑，中间无任何支撑，形成一个简单的横跨结构。
在工程建设中，简支梁常被用于桥梁、楼板等结构的设计与施工中。
当梁承受均布载荷时，其上产生的剪力和弯矩是设计和分析的重要参数。
二、受力分析的基本原理1. 剪力的定义和计算公式在简支梁上，当均布载荷作用时，梁体上的任意一截面上都受到来自上部和下部梁体的相互作用力。
剪力的大小可以通过以下公式计算：V = wL/2 - 信信其中，V代表该截面上的剪力，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。
2. 弯矩的定义和计算公式同样，在简支梁上，距离梁的任意一截面上也存在着弯矩。
弯矩的计算公式如下：M = wLx/2 - w*x^2/2其中，M代表该截面上的弯矩，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。
三、剪力和弯矩方程的推导1. 剪力方程的推导根据前文所述的剪力的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的剪力方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，由上述公式可知，剪力V与距离x的关系为线性关系，斜率为wL/2，截距为0。
简支梁受均布载荷作用时的剪力方程为：V = wL/2 - 信信2. 弯矩方程的推导同样地，根据前文所述的弯矩的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，通过弯矩的计算公式可得知，弯矩M与距离x的关系为二次函数关系，并且开口向下。
简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程为：M = wLx/2 - w*x^2/2四、结论与应用在工程设计中，通过以上剪力和弯矩方程的推导，可以为简支梁的设计、分析提供依据。
在实际工程中，根据预设的载荷情况和结构参数，可以通过计算得到不同截面处的剪力和弯矩，从而根据这些受力情况，进行梁的截面选取、钢筋布置、构造设计等工作。
剪力和弯矩方程的推导及其应用具有重要的实际意义和价值。
弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
结论4： 应力分量为x、y 的二次函数分布。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
第三章弹性力学平面问题的解析解法资料
ql z y l y l
ql x
xy y
—— 主要由剪力引起；
——由 q 引起（挤压应力）。
又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴ y 不随 x 变化。 推得：
y f ( y)
(2) 由应力分量表达式确定应力函数 ( x, y ) 的形式：
xf ( y ) f1 ( y ) (a) 2 x y 2 f ( y ) 积分得： x2 x f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) (b) 2
x , y , xy
的某种函数形式 ； ，求 4 0
（3）最后利用式（2-26）计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和 位移单值条件。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
位移分量求解：
（1） 将已求得的应力分量 x , y , xy 代入物理方程，求得应变分量
x , y , xy（具有待
（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y) 对 应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求 解什么问题。
半逆解法 （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， （2）根据 x , y , xy 与应力函数φ(x,y)的关系及 出φ(x,y) 的形式； 假设部分应力分量
(e)
式中含有9个待定常数。
x2 ( Ay 3 By 2 Cy D) x( Ey 3 Fy 2 Gy) 2
A 5 B 4 ( y y Hy 3 Ky 2 ) 10 6
（ 2）
x , y , xy 将应变分量 x , y , xy 代入几何方程，并积分求得位移分量
弹性力学9-位移分量的求出、简支梁均布荷载
其中有三个关于 y 的待定函数：f（y）， f（y1） ， f（y2）。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(3)由相容方程求应力函数
将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相 容方程，整理后有
1 4 f ( y ) 2 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 y y y y
代入第三式，并整理可得
v
M
2 EI
y f 2 ( x)
2
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数w：
M
l
1、形变分量与位移分量
M
x
1
h
（1）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程 y (2-8) 1 x ( x y ) E M x y 1 I y ( y x ) E y xy 0 2(1 ) xy xy E
M x y EI M y y EI xy 0
（c）几何方程积分计算位移表达式 （d）利用位移边界条件，确定常数。
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.4 简支梁受均布荷载
内容要点： 用半逆解法求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的 解题过程。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、 受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学 得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式； (2)按式(2-24)，由应力推出应力函数 的一般形式（ 含待定函数项）；
建筑力学与结构第三章
M 0 x a V ( x ) R A l AC段 : M ( x) R x Mx 0 x a A l
M /l
V
Mb / l
M
Ma / l
讨论：集中力偶M作用点C处：
M V ( x) RB l a x l CB段 : M ( x) RB l x M l x a x l l
4、判断各段V、M图形状：
3.8 2.2 CA和DB段：
q=0，V图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， V 图为向下斜直线，
1.41
M图为下凸抛物线。
按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。 P A P A V B + M B x
Pa qa2 + 2 2
+ x
= +
V B
V=12KN/m
根据2-2截面右侧的外力计算V2 、 M2 V2 =+(V· 1.5)-RB =12· 1.5-29 =-11KN M2 =-(V· 1.5)· 1.5/2+RB· 1.5 =-(12· 1.5)· 1.5/2+29· 1.5 = +30 KN· m
M2 V2Βιβλιοθήκη RB第三章 静定结构的内力
MDC=30×2=-60KNM(左拉）
NDE=30KN(压力） VDE=40KN MDE= 30×2=-60KNM(上拉）
VBE=30KN
MBE= 0
60
180
30
40
30 80
M图（KNM）
30 40
V图（KN）
80
N图（KN）
三、三铰刚架弯矩图
M /l
V
Mb / l
M
Ma / l
讨论：集中力偶M作用点C处：
M V ( x) RB l a x l CB段 : M ( x) RB l x M l x a x l l
4、判断各段V、M图形状：
3.8 2.2 CA和DB段：
q=0，V图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， V 图为向下斜直线，
1.41
M图为下凸抛物线。
按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。 P A P A V B + M B x
Pa qa2 + 2 2
+ x
= +
V B
V=12KN/m
根据2-2截面右侧的外力计算V2 、 M2 V2 =+(V· 1.5)-RB =12· 1.5-29 =-11KN M2 =-(V· 1.5)· 1.5/2+RB· 1.5 =-(12· 1.5)· 1.5/2+29· 1.5 = +30 KN· m
M2 V2Βιβλιοθήκη RB第三章 静定结构的内力
MDC=30×2=-60KNM(左拉）
NDE=30KN(压力） VDE=40KN MDE= 30×2=-60KNM(上拉）
VBE=30KN
MBE= 0
60
180
30
40
30 80
M图（KNM）
30 40
V图（KN）
80
N图（KN）
三、三铰刚架弯矩图
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
简支梁、悬臂梁、外伸梁弯矩及剪力
简支梁、悬臂梁、外伸梁弯矩及剪力在结构力学中，简支梁、悬臂梁和外伸梁是常见的梁结构形式，它们在工程中有着广泛的应用。
要理解和设计这些梁结构，就必须清楚地了解它们所承受的弯矩和剪力的分布规律及计算方法。
首先，我们来看看简支梁。
简支梁是指梁的两端分别由铰支座支撑，其一端可以自由转动，另一端可以水平移动但不能竖向移动。
当简支梁上承受均布荷载时，其弯矩呈抛物线分布。
在梁的跨中，弯矩达到最大值，其值为qL²/8（其中q 为均布荷载，L 为梁的跨度）。
而剪力则是线性分布的，在梁的两端支座处，剪力达到最大值，其值分别为 ±qL/2。
如果简支梁上承受集中荷载，那么在集中荷载作用点处，弯矩会发生突变。
比如，一个集中力P 作用在简支梁跨中时，跨中弯矩为PL/4。
接下来，我们说说悬臂梁。
悬臂梁是一端固定，另一端自由的梁结构。
当悬臂梁承受均布荷载时，弯矩沿梁长线性增加，在自由端达到最大值，其值为 qL²/2。
剪力则保持不变，等于均布荷载 q 乘以梁的长度L。
若是悬臂梁上有集中荷载作用，在集中荷载作用点处，弯矩也会发生突变。
例如，一个集中力 P 作用在悬臂梁自由端时，自由端的弯矩为 PL。
最后，再讲讲外伸梁。
外伸梁是在简支梁的基础上，一端或两端伸出支座之外的梁结构。
外伸梁的弯矩和剪力分布比较复杂，要根据具体的荷载情况和外伸长度来确定。
但总体来说，外伸部分的弯矩和剪力与简支部分是相互影响的。
在实际工程中，准确计算这三种梁的弯矩和剪力至关重要。
因为弯矩和剪力直接关系到梁的强度和稳定性，如果计算不准确，可能会导致梁的破坏，从而影响整个结构的安全性。
例如，在建筑结构中，梁要承受楼板传来的荷载。
如果梁的弯矩和剪力计算错误，可能会导致梁在使用过程中出现裂缝、变形甚至断裂。
在桥梁工程中，桥梁的主梁通常也是以梁的形式存在。
如果对弯矩和剪力估计不足，可能会使桥梁在车辆荷载作用下发生过大的变形，影响行车安全和桥梁的使用寿命。
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（3—6）
5）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件， 可确定位移分量 u | x L 0 v | x L 0
y 0
y 0
与材力的结果比较
材力解
M x y I
弹力附加项（修正项）
y y2 3 q 4 2 h h 5
q y 2y 2 1 ( 1 ) 2 h h
2
上下边界结果汇总
h3 h2 h A B CD 0 8 4 2
h3 h2 h A B C D q 8 4 2
3 2 x( Ah Bh c) 0 4 3 2 x( Ah Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G) 0 4 h (3E 2 Fh G) 0 4
s
fx fy
s
a）考察下边界（主边界）
q
h 2 h 2
h y 2
下边界：
y y h 2
0
0
x
h3 h2 h A B CD 0 8 4
xy y h 2
0
3 x( Ah 2 Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G ) 0 4
（c）
（d）
（e）
上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只 要选择适当的系数A、B…K常数，使所有边界条 件满足，则（c） 、 （d）、（e）为正确解答。
2 y Ay3 By2 Cy D 2 x xy x 3 Ay2 2 By c (3Ey2 2 Fy G)
d 4 f 2 y d 4 f y 2 d 4 f1 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2dy dy dy dy
方程为x的二次方程(最多只有两个根)，要求全梁 范围内无论x取何值均成立(无数个根)，只有x的各 次幂的系数均为零：
d 4 f 2 y d 4 f y 2 d 4 f1 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2dy dy dy dy
二次项系数 一次项系数
d 4 f y 0 4 dy
d 4 f1 y 0 4 dy
（1） （2）
零次项
d 4 f2 y d 2 f y 2 0 4 2 dy dy
（3）
由（1）、（2）式：
f ( y) Ay3 By2 Cy D
f1 ( y) Ey3 Fy2 Gy (常数项)
xy x3 Ay2 c (3Ey2 2 Fy G )
x L : x L:
L(3 Ay
h 2 h 2
2
c) (3Ey2 2 Fy G ) dy qL
L(3 Ay
h 2 h 2
2
c) (3Ey2 2 Fy G ) dy qL
y 0
QS * xy I 5qL4 v | x 0 24EI y 0
5qL4 3h 2 4 2( ) 24EI 5L 5 2
u |x L 0
y 0
qL
EI
材力
q
弹力
q
材力不考虑 这个应力
x
y
对于对称性问题
• • • • 教材中采用对称性来考虑问题也是可以的。 对称性包括：几何形状、应力和位移边界条件3方面 对称性是基于：原因对称则结果必然对称。 如果考虑了对称，则两端的边界条件只需要考虑一 端。不考虑对称条件则需要考虑两端的边界条件。 • 没有把握判断对称性的结果，最好老老实实用最基 本的公式来做。结果与考虑对称性是一致的。这一 点是今后科研时思考问题的要点。
以上两个等式两端相加得到：
(3Ey
h 2 h 2
3
2
2Fy G) dy 0
h E Gh 0 2
3
结合前页等式和上式得到：
h E Gh 0 2
h (3E G) 0 4
2
E 0 G0
注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件
x s m xy s f x xy s m y s f y
h 2
a）考察上边界（主边界）
q
h 2 h 2
y
y y h 2
q
0
x
h3 h2 h A B C D q 8 4 2
L
L
xy y h 2
1 f ( y ) x 2 f1 y x f 2 y 2
由（3）式（x的零次幂项）：
d 4 f2 y d 2 f y 2 12Ay 4B 4 2 dy dy
A 5 B 4 f 2 ( y) y y Hy3 Ky 2 10 6 (一次项 ) (常数项 )
注意到材力的表达方式：
1 3 * h2 y2 I h ,S 12 8 2 q M ( L2 x 2 ), Q qL 2
应力分量： x
M y y2 3 yq 4 2 I h h 5 q y 2y 2 ) y 1 (1 2 h h QS * xy I
（a）
f ( y), f1 y , f 2 y 为待定函数 其中：
1 f ( y ) x 2 f1 y x f 2 y 2
（2）Φ 必须满足相容方程，据此求待定函数
4 4 4 2 2 2 0 4 4 x x y y
代入应力函数后得到：
2 2
B0
F 0
h (3E 2 Fh G) 0 4
2
x s m xy s f x xy s m y s f y
两端x=L处的积分边界条件
左边界(假设分布为Y,m＝0)：
q
l l
h 2 h 2
xy x L xy x L
作业：3-1，3-5，3－6
2 x 故：( x, y ) Ay 3 By 2 cy D 2 x Ey 3 Fy 2 Gy A 5 B 4 y y Hy 3 Ky 2 10 6
（b）
（3）根据（2—23）求出应力分量{；
2 x2 (6 Ay 2 B ) x (6 Ey 2 F ) x 2 2 y 2 Ay 3 2 By 2 6 Hy 2 K 2 3 2 Ay By Cy D y 2 x 2 x 3 Ay 2 2 By c xy xy (3Ey 2 2 Fy G )
Y
Y
0
qL L
x
qL
代入两端的l
2
xy y h Y
2
L
xy y h Y
y
两端积分：
h 2 h 2
Ydy qL
h 2 h 2
xy
x L
dy qL
h 2 h 2
xy
xL
dy qL
两端x=L处的积分边界条件
§3-4 简支梁受均布荷载
q
h 2 h 2
0
qL
x
qL
L
L
y
矩形截面简支梁，体力不计，求应力分量
半逆解法框图
由边界条件选择某 应力的函数式
逆解法框图
选择应力函数Φ
满足 4 0吗?
YES NO
积分求函数Φ
NO
满足 4 0吗?
YES
求应力分量
满足几何边界条件？
YES NO
求应力分量
NO
满足边界条件吗?
YES
结论
结论
q
上、下边界(主要边界)的边界条件：
0
h 2 h 2
y
y
h 2
y y h q 0
2
x
L
y
L
由于q沿x轴不变化，与x无关，故可假设
y f ( y) 也与x无关
则 y
2 f ( y) 2 x
f ( y) x f1 y x 1 f ( y ) x 2 f 1 y x f 2 y 2
0
y
3 2 x( Ah Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G) 0 4
2
2 3 2 x s m xy y Ay By Cy D 2 x xy x 3 Ay2 2 By c (3Ey2 2 Fy G) xy s m y