第3章 4 简支梁受均布荷载
（3—6）
5）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件， 可确定位移分量 u | x L 0 v | x L 0
y 0
y 0
与材力的结果比较
材力解
M x y I
弹力附加项（修正项）
y y2 3 q 4 2 h h 5
q y 2y 2 1 ( 1 ) 2 h h
2
上下边界结果汇总
h3 h2 h A B CD 0 8 4 2
h3 h2 h A B C D q 8 4 2
3 2 x( Ah Bh c) 0 4 3 2 x( Ah Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G) 0 4 h (3E 2 Fh G) 0 4
s
fx fy
s
a）考察下边界（主边界）
q
h 2 h 2
h y 2
下边界：
y y h 2
0
0
x
h3 h2 h A B CD 0 8 4
xy y h 2
0
3 x( Ah 2 Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G ) 0 4
（c）
（d）
（e）
上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只 要选择适当的系数A、B…K常数，使所有边界条 件满足，则（c） 、 （d）、（e）为正确解答。
2 y Ay3 By2 Cy D 2 x xy x 3 Ay2 2 By c (3Ey2 2 Fy G)
d 4 f 2 y d 4 f y 2 d 4 f1 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2dy dy dy dy
方程为x的二次方程(最多只有两个根)，要求全梁 范围内无论x取何值均成立(无数个根)，只有x的各 次幂的系数均为零：
d 4 f 2 y d 4 f y 2 d 4 f1 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2dy dy dy dy
二次项系数 一次项系数
d 4 f y 0 4 dy
d 4 f1 y 0 4 dy
（1） （2）
零次项
d 4 f2 y d 2 f y 2 0 4 2 dy dy
（3）
由（1）、（2）式：
f ( y) Ay3 By2 Cy D
f1 ( y) Ey3 Fy2 Gy (常数项)
xy x3 Ay2 c (3Ey2 2 Fy G )
x L : x L:
L(3 Ay
h 2 h 2
2
c) (3Ey2 2 Fy G ) dy qL
L(3 Ay
h 2 h 2
2
c) (3Ey2 2 Fy G ) dy qL
y 0
QS * xy I 5qL4 v | x 0 24EI y 0
5qL4 3h 2 4 2( ) 24EI 5L 5 2
u |x L 0
y 0
qL
EI
材力
q
弹力
q
材力不考虑 这个应力
x
y
对于对称性问题
• • • • 教材中采用对称性来考虑问题也是可以的。 对称性包括：几何形状、应力和位移边界条件3方面 对称性是基于：原因对称则结果必然对称。 如果考虑了对称，则两端的边界条件只需要考虑一 端。不考虑对称条件则需要考虑两端的边界条件。 • 没有把握判断对称性的结果，最好老老实实用最基 本的公式来做。结果与考虑对称性是一致的。这一 点是今后科研时思考问题的要点。
以上两个等式两端相加得到：
(3Ey
h 2 h 2
3
2
2Fy G) dy 0
h E Gh 0 2
3
结合前页等式和上式得到：
h E Gh 0 2
h (3E G) 0 4
2
E 0 G0
注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件
x s m xy s f x xy s m y s f y
h 2
a）考察上边界（主边界）
q
h 2 h 2
y
y y h 2
q
0
x
h3 h2 h A B C D q 8 4 2
L
L
xy y h 2
1 f ( y ) x 2 f1 y x f 2 y 2
由（3）式（x的零次幂项）：
d 4 f2 y d 2 f y 2 12Ay 4B 4 2 dy dy
A 5 B 4 f 2 ( y) y y Hy3 Ky 2 10 6 (一次项 ) (常数项 )
注意到材力的表达方式：
1 3 * h2 y2 I h ,S 12 8 2 q M ( L2 x 2 ), Q qL 2
应力分量： x
M y y2 3 yq 4 2 I h h 5 q y 2y 2 ) y 1 (1 2 h h QS * xy I
（a）
f ( y), f1 y , f 2 y 为待定函数 其中：
1 f ( y ) x 2 f1 y x f 2 y 2
（2）Φ 必须满足相容方程，据此求待定函数
4 4 4 2 2 2 0 4 4 x x y y
代入应力函数后得到：
2 2
B0
F 0
h (3E 2 Fh G) 0 4
2
x s m xy s f x xy s m y s f y
两端x=L处的积分边界条件
左边界(假设分布为Y,m＝0)：
q
l l
h 2 h 2
xy x L xy x L
作业：3-1，3-5，3－6
2 x 故：( x, y ) Ay 3 By 2 cy D 2 x Ey 3 Fy 2 Gy A 5 B 4 y y Hy 3 Ky 2 10 6
（b）
（3）根据（2—23）求出应力分量{；
2 x2 (6 Ay 2 B ) x (6 Ey 2 F ) x 2 2 y 2 Ay 3 2 By 2 6 Hy 2 K 2 3 2 Ay By Cy D y 2 x 2 x 3 Ay 2 2 By c xy xy (3Ey 2 2 Fy G )
Y
Y
0
qL L
x
qL
代入两端的l
2
xy y h Y
2
L
xy y h Y
y
两端积分：
h 2 h 2
Ydy qL
h 2 h 2
xy
x L
dy qL
h 2 h 2
xy
xL
dy qL
两端x=L处的积分边界条件
§3-4 简支梁受均布荷载
q
h 2 h 2
0
qL
x
qL
L
L
y
矩形截面简支梁，体力不计，求应力分量
半逆解法框图
由边界条件选择某 应力的函数式
逆解法框图
选择应力函数Φ
满足 4 0吗?
YES NO
积分求函数Φ
NO
满足 4 0吗?
YES
求应力分量
满足几何边界条件？
YES NO
求应力分量
NO
满足边界条件吗?
YES
结论
结论
q
上、下边界(主要边界)的边界条件：
0
h 2 h 2
y
y
h 2
y y h q 0
2
x
L
y
L
由于q沿x轴不变化，与x无关，故可假设
y f ( y) 也与x无关
则 y
2 f ( y) 2 x
f ( y) x f1 y x 1 f ( y ) x 2 f 1 y x f 2 y 2
0
y
3 2 x( Ah Bh c) 0 4
h (3E 2 Fh G) 0 4
2
2 3 2 x s m xy y Ay By Cy D 2 x xy x 3 Ay2 2 By c (3Ey2 2 Fy G) xy s m y
弹性力学-第3章 4 简支梁受均布荷载
1 2
f ( y)x2
f1yx
f2y
（2）Φ必须满足相容方程，据此求待定函数
4
4 4
2
0
x 4
x 2y 2 y 4
代入应力函数后得到：
d 4 f y x2 d 4 f1y x d 4 f2 y 2 d 2 f y 0
2dy 4
dy 4
dy 4
dy 2
方程为x的二次方程(最多只有两个根)，要求全梁 范围内无论x取何值均成立(无数个根)，只有x的各 次幂的系数均为零：
A y 5 B y 4 Hy3 Ky 2 10 6
（b）
（3）根据（2—23）求出应力分量{；
x
2 y 2
x2 2
(6 Ay
2B)
x(6Ey
2F)
2 Ay 3 2By 2 6Hy 2K
（c）
y
2 x 2
Ay 3
By 2
Cy
D
（d）
xy
2
xy
x
3Ay 2
2By
c
L(3Ay2 c) (3Ey2 2Fy G) dy qL
2
以上两个等式两端相加得到：
h
2 h
(3Ey2
2Fy G)
dy
0
2
E
h
3
Gh
0
2
结合前页等式和上式得到：
E h 3 Gh 0 2
h2 (3E G) 0
4
E0 G0
注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件
§3-4 简支梁受均布荷载
q
h
qL
0
2
x
h 2
qL
L
简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程
一、简支梁的基本概念简支梁是一种常见的结构形式，其特点是两端固定支撑，中间无任何支撑，形成一个简单的横跨结构。
在工程建设中，简支梁常被用于桥梁、楼板等结构的设计与施工中。
当梁承受均布载荷时，其上产生的剪力和弯矩是设计和分析的重要参数。
二、受力分析的基本原理1. 剪力的定义和计算公式在简支梁上，当均布载荷作用时，梁体上的任意一截面上都受到来自上部和下部梁体的相互作用力。
剪力的大小可以通过以下公式计算：V = wL/2 - 信信其中，V代表该截面上的剪力，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。
2. 弯矩的定义和计算公式同样，在简支梁上，距离梁的任意一截面上也存在着弯矩。
弯矩的计算公式如下：M = wLx/2 - w*x^2/2其中，M代表该截面上的弯矩，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。
三、剪力和弯矩方程的推导1. 剪力方程的推导根据前文所述的剪力的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的剪力方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，由上述公式可知，剪力V与距离x的关系为线性关系，斜率为wL/2，截距为0。
简支梁受均布载荷作用时的剪力方程为：V = wL/2 - 信信2. 弯矩方程的推导同样地，根据前文所述的弯矩的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，通过弯矩的计算公式可得知，弯矩M与距离x的关系为二次函数关系，并且开口向下。
简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程为：M = wLx/2 - w*x^2/2四、结论与应用在工程设计中，通过以上剪力和弯矩方程的推导，可以为简支梁的设计、分析提供依据。
在实际工程中，根据预设的载荷情况和结构参数，可以通过计算得到不同截面处的剪力和弯矩，从而根据这些受力情况，进行梁的截面选取、钢筋布置、构造设计等工作。
剪力和弯矩方程的推导及其应用具有重要的实际意义和价值。
弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
第三章弹性力学平面问题的解析解法资料
ql z y l y l
ql x
xy y
—— 主要由剪力引起；
——由 q 引起（挤压应力）。
又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴ y 不随 x 变化。 推得：
y f ( y)
(2) 由应力分量表达式确定应力函数 ( x, y ) 的形式：
xf ( y ) f1 ( y ) (a) 2 x y 2 f ( y ) 积分得： x2 x f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) (b) 2
x , y , xy
的某种函数形式 ； ，求 4 0
（3）最后利用式（2-26）计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和 位移单值条件。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
位移分量求解：
（1） 将已求得的应力分量 x , y , xy 代入物理方程，求得应变分量
x , y , xy（具有待
（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y) 对 应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求 解什么问题。
半逆解法 （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， （2）根据 x , y , xy 与应力函数φ(x,y)的关系及 出φ(x,y) 的形式； 假设部分应力分量
(e)
式中含有9个待定常数。
x2 ( Ay 3 By 2 Cy D) x( Ey 3 Fy 2 Gy) 2
A 5 B 4 ( y y Hy 3 Ky 2 ) 10 6
（ 2）
x , y , xy 将应变分量 x , y , xy 代入几何方程，并积分求得位移分量
弹性力学9-位移分量的求出、简支梁均布荷载
其中有三个关于 y 的待定函数：f（y）， f（y1） ， f（y2）。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(3)由相容方程求应力函数
将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相 容方程，整理后有
1 4 f ( y ) 2 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 y y y y
代入第三式，并整理可得
v
M
2 EI
y f 2 ( x)
2
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数w：
M
l
1、形变分量与位移分量
M
x
1
h
（1）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程 y (2-8) 1 x ( x y ) E M x y 1 I y ( y x ) E y xy 0 2(1 ) xy xy E
M x y EI M y y EI xy 0
（c）几何方程积分计算位移表达式 （d）利用位移边界条件，确定常数。
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.4 简支梁受均布荷载
内容要点： 用半逆解法求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的 解题过程。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、 受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学 得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式； (2)按式(2-24)，由应力推出应力函数 的一般形式（ 含待定函数项）；
建筑力学与结构第三章
M /l
V
Mb / l
M
Ma / l
讨论：集中力偶M作用点C处：
M V ( x) RB l a x l CB段 : M ( x) RB l x M l x a x l l
4、判断各段V、M图形状：
3.8 2.2 CA和DB段：
q=0，V图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， V 图为向下斜直线，
1.41
M图为下凸抛物线。
按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。 P A P A V B + M B x
Pa qa2 + 2 2
+ x
= +
V B
V=12KN/m
根据2-2截面右侧的外力计算V2 、 M2 V2 =+(V· 1.5)-RB =12· 1.5-29 =-11KN M2 =-(V· 1.5)· 1.5/2+RB· 1.5 =-(12· 1.5)· 1.5/2+29· 1.5 = +30 KN· m
M2 V2Βιβλιοθήκη RB第三章 静定结构的内力
MDC=30×2=-60KNM(左拉）
NDE=30KN(压力） VDE=40KN MDE= 30×2=-60KNM(上拉）
VBE=30KN
MBE= 0
60
180
30
40
30 80
M图（KNM）
30 40
V图（KN）
80
N图（KN）
三、三铰刚架弯矩图
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
简支梁、悬臂梁、外伸梁弯矩及剪力
简支梁、悬臂梁、外伸梁弯矩及剪力在结构力学中，简支梁、悬臂梁和外伸梁是常见的梁结构形式，它们在工程中有着广泛的应用。
要理解和设计这些梁结构，就必须清楚地了解它们所承受的弯矩和剪力的分布规律及计算方法。
首先，我们来看看简支梁。
简支梁是指梁的两端分别由铰支座支撑，其一端可以自由转动，另一端可以水平移动但不能竖向移动。
当简支梁上承受均布荷载时，其弯矩呈抛物线分布。
在梁的跨中，弯矩达到最大值，其值为qL²/8（其中q 为均布荷载，L 为梁的跨度）。
而剪力则是线性分布的，在梁的两端支座处，剪力达到最大值，其值分别为 ±qL/2。
如果简支梁上承受集中荷载，那么在集中荷载作用点处，弯矩会发生突变。
比如，一个集中力P 作用在简支梁跨中时，跨中弯矩为PL/4。
接下来，我们说说悬臂梁。
悬臂梁是一端固定，另一端自由的梁结构。
当悬臂梁承受均布荷载时，弯矩沿梁长线性增加，在自由端达到最大值，其值为 qL²/2。
剪力则保持不变，等于均布荷载 q 乘以梁的长度L。
若是悬臂梁上有集中荷载作用，在集中荷载作用点处，弯矩也会发生突变。
例如，一个集中力 P 作用在悬臂梁自由端时，自由端的弯矩为 PL。
最后，再讲讲外伸梁。
外伸梁是在简支梁的基础上，一端或两端伸出支座之外的梁结构。
外伸梁的弯矩和剪力分布比较复杂，要根据具体的荷载情况和外伸长度来确定。
但总体来说，外伸部分的弯矩和剪力与简支部分是相互影响的。
在实际工程中，准确计算这三种梁的弯矩和剪力至关重要。
因为弯矩和剪力直接关系到梁的强度和稳定性，如果计算不准确，可能会导致梁的破坏，从而影响整个结构的安全性。
例如，在建筑结构中，梁要承受楼板传来的荷载。
如果梁的弯矩和剪力计算错误，可能会导致梁在使用过程中出现裂缝、变形甚至断裂。
在桥梁工程中，桥梁的主梁通常也是以梁的形式存在。
如果对弯矩和剪力估计不足，可能会使桥梁在车辆荷载作用下发生过大的变形，影响行车安全和桥梁的使用寿命。
有限元例子-简支梁受均布荷载
例1 简支梁受均布荷载计算简图：图1-(a)所示一简支梁，高3 m，长18 m，承受均布荷载10 N/m2，E=2×1010Pa ,μ= 0. 167，取t=1 m,作为平面应力问题。
由于对称，只对右边一半进行有限单元法计算，如图1-(b)所示，而在y轴上的各结点处布置水平连杆支座。
图1 计算简图图2 计算剖分图数据整理1、节点坐标文件91 551 0.750 0.5002 1.500 0.5003 2.250 0.5004 3.000 0.5005 3.750 0.5006 4.500 0.5007 5.250 0.5009 6.750 0.50010 7.500 0.50011 8.250 0.50012 0.750 1.00013 1.500 1.00014 2.250 1.00015 3.000 1.00016 3.750 1.00017 4.500 1.00018 5.250 1.00019 6.000 1.00020 6.750 1.00021 7.500 1.00022 8.250 1.00023 0.750 1.50024 1.500 1.50025 2.250 1.50026 3.000 1.50027 3.750 1.50028 4.500 1.50029 5.250 1.50030 6.000 1.50031 6.750 1.50032 7.500 1.50033 8.250 1.50034 0.750 2.00035 1.500 2.00036 2.250 2.00037 3.000 2.00038 3.750 2.00039 4.500 2.00040 5.250 2.00041 6.000 2.00042 6.750 2.00043 7.500 2.00044 8.250 2.00045 0.750 2.50046 1.500 2.50047 2.250 2.50048 3.000 2.50049 3.750 2.50050 4.500 2.50051 5.250 2.50053 6.750 2.50054 7.500 2.50055 8.250 2.50056 9.000 3.00057 8.250 3.00058 7.500 3.00059 6.750 3.00060 6.000 3.00061 5.250 3.00062 4.500 3.00063 3.750 3.00064 3.000 3.00065 2.250 3.00066 1.500 3.00067 0.750 3.00068 0.000 3.00069 0.000 2.50070 0.000 2.00071 0.000 1.50072 0.000 1.00073 0.000 0.50074 0.000 0.00075 0.750 0.00076 1.500 0.00077 2.250 0.00078 3.000 0.00079 3.750 0.00080 4.500 0.00081 5.250 0.00082 6.000 0.00083 6.750 0.00084 7.500 0.00085 8.250 0.00086 9.000 0.00087 9.000 0.50088 9.000 1.00089 9.000 1.50090 9.000 2.00091 9.000 2.500该文件第1行第1个数据为节点数91，第2个数据为内部节点数55。
结构力学第三章静定结构的受力分析
例2： MA
A
MA
FP L/2 L/2
FP
MB
B 结论
把两头的弯矩标在杆
端，并连以直线，然
后在直线上叠加上由
节间荷载单独作用在
简支梁上时的弯矩图
MB MA
FPL/4
FPL/4
2020年5月29日星期五7时56分M25秒B
§3-1 梁的内力计算的回顾
3）画剪力图
要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为
C
B FQBA
由： MA 0 FQBA (81 26) 2 9kN
也可由： Y 0 FQCA 17 8 9kN
剪力图要注意以下问题： ▲ 集中力处剪力有突变； ▲ 没有荷载的节间剪力是常数； ▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线； ▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。
2020年5月29日星期五7时56分25秒
L/2
M/2
FPL/4
L/2
M
M/2
2020年L5/月229日星期五L7/时2 56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下 的弯矩图
例1： MA
q
MB
q
A
B=
qL2/8
MA
MB
+
+
MA
=A
qL2/8
MB
B
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
正 MAB
杆端内力
FNAB
A端 FQAB
MBA 正
B端
FNBA
FQBA