河南理工弹性力学-简支梁受均布荷载(一)
简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程
一、简支梁的基本概念简支梁是一种常见的结构形式，其特点是两端固定支撑，中间无任何支撑，形成一个简单的横跨结构。
在工程建设中，简支梁常被用于桥梁、楼板等结构的设计与施工中。
当梁承受均布载荷时，其上产生的剪力和弯矩是设计和分析的重要参数。
二、受力分析的基本原理1. 剪力的定义和计算公式在简支梁上，当均布载荷作用时，梁体上的任意一截面上都受到来自上部和下部梁体的相互作用力。
剪力的大小可以通过以下公式计算：V = wL/2 - 信信其中，V代表该截面上的剪力，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。
2. 弯矩的定义和计算公式同样，在简支梁上，距离梁的任意一截面上也存在着弯矩。
弯矩的计算公式如下：M = wLx/2 - w*x^2/2其中，M代表该截面上的弯矩，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。
三、剪力和弯矩方程的推导1. 剪力方程的推导根据前文所述的剪力的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的剪力方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，由上述公式可知，剪力V与距离x的关系为线性关系，斜率为wL/2，截距为0。
简支梁受均布载荷作用时的剪力方程为：V = wL/2 - 信信2. 弯矩方程的推导同样地，根据前文所述的弯矩的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，通过弯矩的计算公式可得知，弯矩M与距离x的关系为二次函数关系，并且开口向下。
简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程为：M = wLx/2 - w*x^2/2四、结论与应用在工程设计中，通过以上剪力和弯矩方程的推导，可以为简支梁的设计、分析提供依据。
在实际工程中，根据预设的载荷情况和结构参数，可以通过计算得到不同截面处的剪力和弯矩，从而根据这些受力情况，进行梁的截面选取、钢筋布置、构造设计等工作。
剪力和弯矩方程的推导及其应用具有重要的实际意义和价值。
均布荷载作用下的简支梁结构有限元分析1
哈工程有限元大作业均布荷载作用下简支梁结构分析院（系）名称：船舶工程学院专业名称：港口航道与海岸工程学生姓名：白天华学号：2008012103摘要本文利用ANSYS软件中的BEAM系列单元建立简支梁有限元模型，对其进行静力分析与模态分析，得出梁的结构变形，分析梁的受力情况。
并用有限元刚度矩阵知识求解简支梁端点处得位移和旋度。
在此基础上，利用经典力学对以上所得的结果进行梁的有关计算，并将结果与有限元刚度矩阵和ANSYS软件所得结果进行比较。
通过比较得出不同方法在简支梁求解过程中自己的优势和缺点。
1.问题求解1.1问题描述钢制实心梁的截面尺寸为10mm×10mm(如图1所示)，弹性模量为200GPa，均布荷载的大小及方向如图1所示。
图11.2利用力学方法求解运用力学方法将上述结构求解，易得A、B支座反力相等为500N，该简支梁的计算简图、弯矩图以及剪力图如下图所示1000N/m图2简支梁计算简图图3简支梁弯矩图支座反力500N图4简支梁剪力图1.3利用ANSYS软件建立模型与求解通过关键点创建实体模型，然后定义材料及单元属性，然后划分网格，建立有限元模型。
具体步骤包括：添加标题、定义关键点、定义直线、选择单元，定义实常数、定义材料属性、设定网格尺寸、划分网格、施加荷载求解（选择分析类型、定义约束、施加荷载）查看分析结果。
图5简支梁变形前后的情况图6简支梁应力图图7简支梁剪力图2计算结果对比2.1简支梁内力分析结果比较节点应力有下面公式计算求得：ᵟ=MyIz有限元计算所得结果与力学的计算结果对比如下表所示：单位(N/㎡)ANSYS 模态结果 结构力学计算结果2.2简支梁竖向位移分析结果比较（1）结构力学计算求得的简支梁最大位移由下面图乘法求得：x实际荷载作用下梁弯矩表达式：M(x)=500x-500x 2单位荷载作用下梁弯矩表达式：Mp= (1-a)x (0<x<a) a(1-x) (a<x<1)则在梁上任意点的竖向位移f ：f=500 x2−x3 (1−a)EIa 0dx +500 a x −x2 (1−x)EI1adx=0.25a 4-0.5a 3+0.25a(0,0.1, 0.2 ……)分别代入分段点的a 的数值得各点的位移如下表：（2）有限元计算所得简支梁y 方向位移如下图8所示：图8 2.3端点旋度分析结果比较（1）利用结构力学图乘法求得端点处得旋度旋度：Ф=1EI （23L×18qL2）×0.5=qL24EI（2）利用有限元刚度矩阵求得端点位移与旋度为：假设梁的两端固定，并计算等价的节点荷载用以表示均匀变化的荷载力M1 -M2R2-1/2qL 12 6L -12 6L v1-1/12qL2 6L 4L2-6L 2L2Ө1-1/2qL =EI/L3-12L -6L 12 -6L v2 (a)1/12qL2 6L 2L2-6L 4L2 Ө2方程（a）是固定的精确模型，因为如果从中解出的所有位移和旋度，它们的计算值都将为零。
计算力学 河南理工大学工程力学
自强不息奋发向上计算力学上机报告实验一一、实验名称简单杆件单元的位移轴力分析，本实验模型如下：A=300mm2实验要求求得C点竖向位移和杆AC和杆BC的轴力。
二、实验目的通过这个简单的杆件体系了解Ansys工程软件，熟悉有限元求解步骤，为进一步学习有限元奠定基础。
三、实验分析及Ansys命令本实验选择link1杆单元，每个杆件为一个单元。
图中所示，三根杆件互相铰接，A点固定铰支座，B点滑动铰支座，C点受竖向5kN集中力。
Ansys命令流如下：/PREP7 !进入前处理器ET,1,LINK1 !单元类型R,1,0.0003 !定义实常数，即截面面积MP,EX,1,200E9 !定义材料属性MP,PRXY,1,0.3K,1,0,0 !定义关键点和线K,2,3,0K,3,1,1L,1,2L,2,3L,3,1LSEL,S,,,1 !划分网格，赋予材料属性LESIZE,ALL,,,1MA T,1REAL,1LMESH,1LSEL,S,,,2LESIZE,ALL,,,1MA T,1REAL,1LMESH,2LSEL,S,,,3LESIZE,ALL,,,1MA T,1REAL,1LMESH,3D,1,UX,0 !定义荷载和边界条件D,1,UY,0D,2,UY,0F,3,FY,-5000ALLSEL,ALL/SOLU !求解ANTYPE,0SOLVE/POST1 !后处理PLNSOL, U,Y, 0,1.0 !显示Y方向位移!------显示线单元轴力------ETABLE,BAR_I,SMISC, 1ETABLE,BAR_J,SMISC, 1PLLS,BAR_I,BAR_J,0.5,1 !画出轴力图FINISH !结束四、实验结果截图结构的竖向位移云图结构的轴力云图五、结果分析由Ansys导出结构变形数值如下：NODE UX UY UZ USUM1 0.0000 0.0000 0.0000 0.00002 0.16667E-03 0.0000 0.0000 0.16667E-033 0.16225E-03-0.31939E-03 0.0000 0.35824E-03MAXIMUM ABSOLUTE VALUESNODE 2 3 0 3VALUE 0.16667E-03-0.31939E-03 0.0000 0.35824E-03有以上结果可知C点竖向位移为0.319mm，与结构力学计算器算出的3.2mm基本无差别，这表明Ansys的计算精度还是很让人信服的。
弹性力学9-位移分量的求出、简支梁均布荷载
其中有三个关于 y 的待定函数：f（y）， f（y1） ， f（y2）。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(3)由相容方程求应力函数
将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相 容方程，整理后有
1 4 f ( y ) 2 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 y y y y
代入第三式，并整理可得
v
M
2 EI
y f 2 ( x)
2
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数w：
M
l
1、形变分量与位移分量
M
x
1
h
（1）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程 y (2-8) 1 x ( x y ) E M x y 1 I y ( y x ) E y xy 0 2(1 ) xy xy E
M x y EI M y y EI xy 0
（c）几何方程积分计算位移表达式 （d）利用位移边界条件，确定常数。
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.4 简支梁受均布荷载
内容要点： 用半逆解法求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的 解题过程。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、 受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学 得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式； (2)按式(2-24)，由应力推出应力函数 的一般形式（ 含待定函数项）；
简支梁受均布载荷 弹性力学
修正。
q
y h
4
y2 h2
3 5
（2） y 为梁各层纤维间的挤压应力，材力中
（3） xy
不考虑。 与材力中相同。
15
谢谢大家
§3-4 弹性力学 简支梁受均布载荷 主讲人：ccz
简支梁受均布载荷 -- 应力函数的确定
(1) 分析：
1
q
x —— 主要由弯矩引起；
ql
h/2
ql
xy—— 主要由剪力引起；
h/2 z
x
y——由 q 引起（挤压应力）。
y
ly l
又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴ y 不随 x 变化。
0
d
4 f1( y) dy4
0
d
4 f2( dy4
y)
2
d
2 f (y) dy2
0
对前两 f ( y) Ay3 By 2 Cy D
个方程 积分：
f1( y) Ey3 Fy2 Gy
(c) 此处略去了f1(y)中的常数项
对第三个方程得： d 4 f2 ( y) 2 d 2 f ( y) 12 Ay 4B
M
2 h
x
h2
ydy 0
x l
Q
2
h xy 2
dy ql
x l
10
对称条件与边界条件的应用 1
q
ql
ql
h/2
h/2 z
x
h
N
2
h x
dy 0
xl
2
h
M
2
h x
ydy 0
xl
2
h
Q
河南理工弹性力学-节楔形体受重力和液体压力
半逆解法的求解步骤
根据弹性体的边界形状 和受力情况
假定部分或全部应力 分量的函数形式
反推应力函数的函数 形式 由相容方程求解应力 函数 考察边界条件
根据应力分量与应力函数之 间的关系式
求出全部应力分量的 具体表达式
确定待定常数
本讲结束！
y 应力分量变为：
x y xy 2gy
6ax 2by 2bx
1gy
b
3.5 楔形体受重力和液体压力
（2）右边斜边界的边界条件 O
fy 0
2g
x
x y tan ; 面力： f x 边界线方程：
l
x x y tan
1g
m
xy x y tan
0
2gy
n
2
l
xy x y tan
针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况， 假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函 数的函数形式，然后代入相容方程，求出含有待定常数的应力 函数的表达式，再根据应力分量与应力函数之间的关系，求出 其余的应力分量，并考察这些应力分量是否满足全部的应力边 界条件（对于多连体，还需满足位移单值条件）。如果所有的 条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面的条件 不能满足，就要另作假设，重新进行求解。
2 g
2
cot 2
将系数a，b代入到(b)式中
3.5 楔形体受重力和液体压力
应力分量变为： x 2 gy 3 2 g cot 2 g cot x g cot 1g y y 1 2 2 2 gx cot 2 xy yx
1g
2
O
河南理工材料力学试题2
河南理工大学材料力学试题（一）解答材料力学试题（一）解答一、填空题（每小题5分，共10分）1、如图，若弹簧在Q作用下的静位移，在Q自由下落冲击时的最大动位移，则弹簧所受的最大冲击力为：3Q。
2、在其它条件相同的情况下，用内直径为d的空心轴代替直径d的实心轴，若要使轴的刚度不变（单位长度的扭转角相同），则空心轴的外径D＝。
二、选择题（每小题5分，共10分）1、图示正方形截面杆承受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危险点位置有四种答案：(A)截面形心；（B）竖边中点A点；（C）横边中点B；（D）横截面的角点D点。
正确答案是： C2、若压杆在两个方向上的约束情况相同；且。
那么该正压杆的合理截面应满足的条件有四种答案：（A）（B）（C）（D）。
正确答案是： D三、计算题（共80分）1、（15分）图示拐轴受铅垂载荷P作用。
试按第三强度理论确定AB轴的直径d。
已知：P=20KN,。
解：AB梁受力如图：AB梁内力如图：危险点在A截面的上下两点由圆轴弯扭组合第三强度理论的强度条件：2、图示矩形截面钢梁，A端是固定铰支座，B端为弹簧支承。
在该梁的中点C处受到的重量为P＝40N的重物，自高度h＝60mm处自由落下冲击到梁上。
已知弹簧刚度K＝25.32N/mm,钢的E＝210GPa，求梁内最大冲击应力（不计梁的自重）。
（15分）解：（1）求、。
将重力P按静载方式沿铅垂方向加在梁中心C处，点C的挠度为、静应力为，惯性矩由挠度公式得，根据弯曲应力公式得，其中，代入得，（2）动荷因数K d（3）梁内最大冲击应力3、（10分）图中的1、2杆材料相同，均为园截面压杆，若使两杆在大柔度时的临界应力相等，试求两杆的直径之比d1/d2,以及临界力之比。
并指出哪根杆的稳定性较好。
解：由即：；又： ；4、（15分）等截面钢架如图所示，各杆段的抗弯刚度EI 相同。
试求钢架横截面上的最大弯矩， 并说明发生在何处。
解：一次超静定问题，解除多余约束B 。
有限元例子2-简支梁受均布荷载
1)．二维承压地下水水流模型算例假设承压含水层区域是一边长为a 的正方形，东西边界为定水头边界，水头为H 1，南北边界为隔水边界，区域中心有一抽水井以流量Q 抽水，承压含水层的导水系数为T 。
稳定流定解问题如下：T H x T HyQ x x y y x y G ∂∂∂∂δ2222000+---=∈(,)(,) (1)H x y H x y H AD BC (,)|(,)|==1 (2)∂∂∂∂H n H nBC AB ||==0 (3) 非稳定流定解问题如下：T H x T H y Q x x y y SH tx y G t ∂∂∂∂δ∂∂2222000+---=∈>(,)(,), (4)H x y H (,,)01= (5) H x y t H x y t H AD BC (,,)|(,,)|==1 (6)∂∂∂∂H n H n ||==0 (7) 此两个定解问题的解析解由Chan ，Mullineux 和Reed(1976)给出 稳定流解为：H x y H Q T x x y y m m m m m (,,)(,,)s i n h (){c o s h [(||)]∞=---=∞∑1001a a a σαααα +-+c o s h [(())]}αm y y a 0 (8)非稳定流解为：H x y t H x y Q T T t S x x m mm m (,,)(,,)e x p (/)(,,)=∞+-=∞∑222210a αασα+-=∞=∞∑∑42221100Q T Tr t S r x x C y y m n m nn m m n a exp(/)(,,)(,,),,σαβ (9) 其中：(,)x y 00—抽水井的坐标； ｍ，ｎ—整数变量； απm m =/a βπn n =/ar m n m n ,=+αβ22σααα(,,)sin()sin()m m m x x x x 00= C y y y y n n n (,,)cos()cos()βββ00=在计算时，正方形的边长ａ为1200m ，计算剖分图见图1，T 的单位为[m day 2/]，S 为无量纲变量，H 的单位为[m]，Q 的单位为[m day 3/]，确定性模型计算时H 11000=.m ，Q=1000.0m day 3/。
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3.1 矩形梁的纯弯曲 3.2 位移分量的求出 3.3 简支梁受均布荷载（1） 3.4 简支梁受均布荷载（2） 3.5 楔形体受重力和液体压力
第三章 平面问题的直角坐标解答
第3讲 简支梁受均布荷载（1）
3.3 简支梁受均布荷载（1）
要点 —— 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。 1. 假设应力分量的函数形式
xy
x y
（f ） （ g） （h） q o ql x l
求积分常数。 为简便，先分析对称性。
1 h/2 h/2
ql z y l
由 q 对称、结构对称：
x , y —— 关于 x的偶函数
xy
—— 关于x的奇函数
y
6Ey 2F =0 3Ey2 2Fy G=0
E F G 0
( 4)
A 5 B 4 3 2 (d) f ( y ) y y Hy Ky 积分得： 2 10 6 2 x 将 f ( y ), f1 ( y ), f 2 ( y ) 的表达式代入 f ( y) xf1 ( y) f 2 ( y)
2
x2 ( Ay 3 By 2 Cy D) x( Ey 3 Fy 2 Gy ) 2
本讲结束！
A 5 B 4 ( y y Hy 3 Ky 2 ) 10 6
(e)
式中含有9个待定常数。
3.3 简支梁受均布荷载（1）
2
4. 由应力函数求解应力分量
x
y2
,
2
2 y
x2 .
x2 3 2 6 Ay 2 B x 6 Ey 2 F 2 Ay 2 By 6Hy 2K x 2 3 2 y Ay By Cy D 2 2 x 3 Ay 2 By C 3 Ey 2Fy G xy
By 2 Fy 2
Cy Gy
D
(c)
此处，f1(y)中的常数项在 中成为x的 一次项 ，不影响应力分量，略去。
3.3 简支梁受均布荷载（1）
f 2 ( 4) ( y) 2 f ( 2) ( y) 0
对第三个方程得： f 2 ( y) 2 f ( 2) ( y) 12 Ay 4B
3.3 简支梁受均布荷载（1）
5. 本讲小结
采用半逆解法求解受均布荷载的简支梁，得到 了含有部分积分常数的应力分量表达式。
x2 3 2 x 2 6 Ay 2B 2 Ay 2By 6Hy 2K 3 2 y Ay By Cy D 2 xy x 3Ay 2By C
1
q
分析：
x xy y
—— 主要由弯矩引起； —— 主要由剪力引起；
h/2 h/2
ql z y l
o l
ql x
y
—— 由荷载 q 引起（挤压应力）。
又∵ q =常数，且 q不随x变化，∴ y不随 x变化。 即：
y f ( y)
3.3 简支梁受均布荷载（1）
2. 根据应力分量导出应力函数的表达式
3. 由相容方程求解应力函数
（将式（b）带入相容方程 4 0 ）
1 d 4 f y 2 d 4 f1 y d 4 f2 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2 dy dy dy dy
3.3 简支梁受均布荷载（1）
1 d 4 f y 2 d 4 f1 y d 4 f2 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2 dy dy dy dy
2 y 2 f ( y) x
xf ( y ) f1 ( y ) 积分得： x 2 x f ( y) xf1 ( y) f 2 ( y) 2
f ( y), f1 ( y), f 2 ( y)
(a) (b)
4 4 4
—— 任意的待定函数
x4 2 x2 y2 y4 0
关于 x 的二次方程，且要求 －l≤ x ≤ l 内方程均成立。
必有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：
f
( 4)
( y) 0
f
( 4) 1
( y) 0
f 2 ( y) 2 f ( 2) ( y) 0
( 4)
对前两个方程积分：
f (y) ห้องสมุดไป่ตู้y 3 f1(y) Ey 3
x2 f ( y) xf1 ( y) f 2 ( y) 2