材料力学第八章+组合变形
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《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
材料力学- 8组合变形
l/2 l/2
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
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1 2 vV ( 1 2 3 )2 6E
切变模量与弹性模量 和泊松比之间的关系：
E G 2(1 )
1 vd [( σ1 σ 2 )2 (σ 2 σ 3 )2 (σ 3 σ1 )2 ] 6E
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材料力学
第八章 组合变形
材料力学
第八章 组合变形
D
800
4、在还未选定工字钢型号之前， 可先不考虑轴向内力FN的影响，
C
根据弯曲强度条件来选择，然后
B
根据组合应力进行校核。
M max [ ] Wz 3 M max 1210 5 3 12 10 m Wz 100106 [ ] 3 120cm
A
C
2500
1500
FN~N
M~M (+)
F
max
+
(-)
=
(-)
查表选用:
I 16
3 W 141cm A 26.1cm2
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材料力学
第八章 组合变形
D
800
C A
C
5、校核危险点 F M Cmax N max A Wz
B
2500
1500
40103 12106 2610 141103
材料力学
第八章 组合变形
材料力学期末考试
考试时间：6月7日（15周周六）上午8:30-10:30。 考试方式：闭卷、统考。 考试地点： 安全12-1、12-2： 3205
题型：5填空题+5计算题。
拉压、扭转、弯曲——2 应力状态和强度理论——1 组合变形及连接部分的计算——1
安全12-3、12-4： 3206
Mz z y Iy Iz
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材料力学
第八章 组合变形
利用上式固然可求算x 截面上任意点处的弯曲正应力，但对
于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My 单独作用下
最大正应力的作用点和Mz 单独作用下最大正应力的作用点不 相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的 作用点及其值。
材料力学 （2）任意横截面 n-n 上 C 点的应力 由叠加原理，得 C点处的正应力为
第八章 组合变形
FN F zF z F yF y A Iy Iz
式中 A为横截面面积;
My
FN
z Mz (y,z) y
Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩; ( zF，yF ) 为力 F 作用点的坐标; ( z，y) 为所求应力点的坐标. 河南理工大学土木工程学院
回顾
强度理论是关于材料破坏原因的假说。 从力学行为方面考虑，常用工程材料分作两类：脆性材料 和塑性材料。 r 第一类强度理论： r1 1 最大拉应力理论 最大伸长线应变理论
r 2 1 ( 2 3 )
第二类强度理论： 最大切应力理论
形状改变能密度理论 r 4 河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
q
B l
120
q
M z max
A
z y
80
1 (q cos )l 2 8 M max cos 866N .m
1 M max ql 2 1kN .m 8
1 M y max (q sin )l 2 8 M max sin 500N .m
外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯
曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。 河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为： 由于水平外力F1 由于竖直外力F2
弯
矩
弯曲正应力
My(x)=F1 x My z Iy
固端截面： M Z 1.6kN.m,
M y 2kN.m
M Z M y 6M z 6M y 6 1600 6 2000 max 11.52MPa 2 2 2 2 Wz Wy bh hb 9 18 18 9
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18cm
求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。 P2=1.6 kN z A P1=1 kN
r 3 1 3
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
材料力学
第八章 组合变形
材 料 力 学
第八章 组合变形
2014年6月26日
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材料力学
第八章 组合变形
本 章 内 容
§8-1 概述 §8-2 两相互垂直平面内的弯曲 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §8-4 扭转和弯曲的组合变形 §8-5 连接件的实用计算法
河南理工工程实例
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材料力学
第八章 组合变形
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材料力学
第八章 组合变形
§8 – 2
双向弯曲
具有双对称截
面的梁，它在任何
一个纵向对称面内 弯曲时均为平面弯 曲。 故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向
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材料力学 故有中性轴的方程：
第八章 组合变形
My Iy
Mz z0 y0 0 Iz
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
z0 M z I y I y tanq tan y0 M y I z I z
2 其中φ角为合成弯矩 M M y M z2
与y的夹角。
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O
y
zF z0 yF y0 1 2 0 2 iy iz
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第八章 组合变形
zF z0 yF y0 1 2 0 2 iy iz
用 ay和 az 记中性轴在 y , z 两轴上的截距，则有
i ay yF
中性轴
2 z
2 iy az zF
试选用工字钢型号。
D
800
C A B
2500 1500
F
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第八章 组合变形
1、先计算出CD 的杆长
D
800
l 25002 8002 2620 mm 2.62m
C
2、取AB为研究对象，画受力简图
B
A
2500
1500
F
FCD
FAx
FCDy
A
FCDx
FAy
B F
0 0.8 FCD 2.5 F (2.5 1.5) 0 2.62 FCD 42kN
A
M
为计算方便将FCD分解 2.5 FCDx FCD 40kN 2.62 0.8 FCDy FCD 12.8kN 2.62
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材料力学
第八章 组合变形
第八章 组合变形
外棱角的梁，求任何横截面上
最大拉应力和最大压应力时， 可直接按两个平面弯曲判定这 些应力所在点的位置，而无需 定出中性轴的方向角q。
(c)
工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考 虑剪力引起的切应力。
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材料力学
第八章 组合变形
例8.1 图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知 q=0.5 kN/m，l=4 m，=30°，许用应力[]=10 MPa，试校
核该梁的强度。
q
q
B
1 M z max (q cos )l 2 8 z M max cos 866N .m
120
A
l 解：
M max
y
80
M y max
1 2 ql 1kN .m 8
1 (q sin )l 2 8 M max sin 500N .m
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100.5MPa
FN~N
M~M (+)
F
[ ] 100MPa
+
(-)
=
由于最大应力超出很小，超出 部分在5%以内，仍可认为是安
(-)
全的。因此可以选择 I16
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材料力学
第八章 组合变形
二、偏心拉（压） (Eccentric loads）
当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴
安全12-5、重修： 3207
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压杆稳定——1
材料力学
第八章 组合变形
回顾
空间应力状态的应变能密度：
1 2 2 vε 12 2 3 2 σ1σ 2 σ 2σ 3 σ 3σ1 2E
体积改变能密度+形状改变能密度：
vε vV vd
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材料力学
第八章 组合变形
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定 绕通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两 个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的
任意点处弯曲正应力为零。
§8-6 铆钉和螺栓连接的计算
*§8-7
榫齿连接
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材料力学
第八章 组合变形
§8 –1 一、组合变形的概念
组合变形和叠加原理
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,
则构件的变形称为组合变形。
切变模量与弹性模量 和泊松比之间的关系：
E G 2(1 )
1 vd [( σ1 σ 2 )2 (σ 2 σ 3 )2 (σ 3 σ1 )2 ] 6E
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材料力学
第八章 组合变形
材料力学
第八章 组合变形
D
800
4、在还未选定工字钢型号之前， 可先不考虑轴向内力FN的影响，
C
根据弯曲强度条件来选择，然后
B
根据组合应力进行校核。
M max [ ] Wz 3 M max 1210 5 3 12 10 m Wz 100106 [ ] 3 120cm
A
C
2500
1500
FN~N
M~M (+)
F
max
+
(-)
=
(-)
查表选用:
I 16
3 W 141cm A 26.1cm2
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材料力学
第八章 组合变形
D
800
C A
C
5、校核危险点 F M Cmax N max A Wz
B
2500
1500
40103 12106 2610 141103
材料力学
第八章 组合变形
材料力学期末考试
考试时间：6月7日（15周周六）上午8:30-10:30。 考试方式：闭卷、统考。 考试地点： 安全12-1、12-2： 3205
题型：5填空题+5计算题。
拉压、扭转、弯曲——2 应力状态和强度理论——1 组合变形及连接部分的计算——1
安全12-3、12-4： 3206
Mz z y Iy Iz
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材料力学
第八章 组合变形
利用上式固然可求算x 截面上任意点处的弯曲正应力，但对
于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My 单独作用下
最大正应力的作用点和Mz 单独作用下最大正应力的作用点不 相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的 作用点及其值。
材料力学 （2）任意横截面 n-n 上 C 点的应力 由叠加原理，得 C点处的正应力为
第八章 组合变形
FN F zF z F yF y A Iy Iz
式中 A为横截面面积;
My
FN
z Mz (y,z) y
Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩; ( zF，yF ) 为力 F 作用点的坐标; ( z，y) 为所求应力点的坐标. 河南理工大学土木工程学院
回顾
强度理论是关于材料破坏原因的假说。 从力学行为方面考虑，常用工程材料分作两类：脆性材料 和塑性材料。 r 第一类强度理论： r1 1 最大拉应力理论 最大伸长线应变理论
r 2 1 ( 2 3 )
第二类强度理论： 最大切应力理论
形状改变能密度理论 r 4 河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
q
B l
120
q
M z max
A
z y
80
1 (q cos )l 2 8 M max cos 866N .m
1 M max ql 2 1kN .m 8
1 M y max (q sin )l 2 8 M max sin 500N .m
外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯
曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。 河南理工大学土木工程学院
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第八章 组合变形
图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为： 由于水平外力F1 由于竖直外力F2
弯
矩
弯曲正应力
My(x)=F1 x My z Iy
固端截面： M Z 1.6kN.m,
M y 2kN.m
M Z M y 6M z 6M y 6 1600 6 2000 max 11.52MPa 2 2 2 2 Wz Wy bh hb 9 18 18 9
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18cm
求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。 P2=1.6 kN z A P1=1 kN
r 3 1 3
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
材料力学
第八章 组合变形
材 料 力 学
第八章 组合变形
2014年6月26日
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材料力学
第八章 组合变形
本 章 内 容
§8-1 概述 §8-2 两相互垂直平面内的弯曲 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §8-4 扭转和弯曲的组合变形 §8-5 连接件的实用计算法
河南理工工程实例
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材料力学
第八章 组合变形
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第八章 组合变形
§8 – 2
双向弯曲
具有双对称截
面的梁，它在任何
一个纵向对称面内 弯曲时均为平面弯 曲。 故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向
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材料力学 故有中性轴的方程：
第八章 组合变形
My Iy
Mz z0 y0 0 Iz
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
z0 M z I y I y tanq tan y0 M y I z I z
2 其中φ角为合成弯矩 M M y M z2
与y的夹角。
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O
y
zF z0 yF y0 1 2 0 2 iy iz
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第八章 组合变形
zF z0 yF y0 1 2 0 2 iy iz
用 ay和 az 记中性轴在 y , z 两轴上的截距，则有
i ay yF
中性轴
2 z
2 iy az zF
试选用工字钢型号。
D
800
C A B
2500 1500
F
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第八章 组合变形
1、先计算出CD 的杆长
D
800
l 25002 8002 2620 mm 2.62m
C
2、取AB为研究对象，画受力简图
B
A
2500
1500
F
FCD
FAx
FCDy
A
FCDx
FAy
B F
0 0.8 FCD 2.5 F (2.5 1.5) 0 2.62 FCD 42kN
A
M
为计算方便将FCD分解 2.5 FCDx FCD 40kN 2.62 0.8 FCDy FCD 12.8kN 2.62
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材料力学
第八章 组合变形
第八章 组合变形
外棱角的梁，求任何横截面上
最大拉应力和最大压应力时， 可直接按两个平面弯曲判定这 些应力所在点的位置，而无需 定出中性轴的方向角q。
(c)
工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考 虑剪力引起的切应力。
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材料力学
第八章 组合变形
例8.1 图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知 q=0.5 kN/m，l=4 m，=30°，许用应力[]=10 MPa，试校
核该梁的强度。
q
q
B
1 M z max (q cos )l 2 8 z M max cos 866N .m
120
A
l 解：
M max
y
80
M y max
1 2 ql 1kN .m 8
1 (q sin )l 2 8 M max sin 500N .m
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100.5MPa
FN~N
M~M (+)
F
[ ] 100MPa
+
(-)
=
由于最大应力超出很小，超出 部分在5%以内，仍可认为是安
(-)
全的。因此可以选择 I16
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第八章 组合变形
二、偏心拉（压） (Eccentric loads）
当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴
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第八章 组合变形
回顾
空间应力状态的应变能密度：
1 2 2 vε 12 2 3 2 σ1σ 2 σ 2σ 3 σ 3σ1 2E
体积改变能密度+形状改变能密度：
vε vV vd
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第八章 组合变形
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定 绕通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两 个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的
任意点处弯曲正应力为零。
§8-6 铆钉和螺栓连接的计算
*§8-7
榫齿连接
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第八章 组合变形
§8 –1 一、组合变形的概念
组合变形和叠加原理
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,
则构件的变形称为组合变形。