三角形的巧合点基础知识
第八讲 三角形的重心
第八讲三角形的重心-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。
例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。
反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。
在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。
本节将对这些知识作较系统的阐述。
一、三角形的重心如图8-1，在△ABC 中，AD 、BD 是两条中线，记它们的交点为G ，连接DE 、DE 是三角形的中位线。
∴DE ∥AB ，且.21AB DE ∴∠GAB=∠GDE ，∠GBA=∠GED.∴△AGB ∽△DGE ，且相似比为2：1.∴AG=2GD ，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。
图8-1图8-2如图8-2，设△ABC 的两条中线AD 、BE 交于G ，中线CF 、BE 交于G ′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE ，且BG ′=2G ′E ，CG ′=2G ′F.∴G ′与G 重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：1的两段，这个交点称为三角形的重心。
三角形的重心必在三角形的内部。
今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2：1的两段。
例1 如图8-3，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AD 、CD 的中点，BE 和BF 分别交对角线AC 于M 、N ，求证：AM=MN=NC 。
三角形在高中数学教学中的妙用
三角形在高中数学教学中的妙用摘要:我们知道,人只有一个心。
做事要认真,讲究一心一意;学习要专心,一心不可二用。
而图形呢?圆形和球都只有一个心,正方形也是;可是三角形不然,它有很多很多的心。
下面我们就介绍一下三角形"四心"、与角平分线在高中数学中的应用。
关键词:三角形重心高中数学内心由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做三角形。
三角形是最简单的多边形。
这种简单的图形中有丰富内容,当你看到利用三角形的知识巧妙地解决了实际问题之后,你就会感到它魅力无穷。
在教学中,尤其在上高三复习课时,如果遇到出现一个“心”的问题,就会启发学生,能不能换作其他的“心”。
这样就能系统全面地去看待这样一类问题了。
一、三角形“四心”及性质1、“四心”:(1)内心:三角形的三个角平分线相交于一点,这个点叫做三角形的内心。
它是三角形内切圆的圆心I(如图1);且它到三边的距离相等。
三角形的三边是其内切圆切线,在使用中注意切线性质的利用。
由上可知有关内心须注意三点:a.角平分线;b.它到三边的距离相等;c.切线性质的利用。
(2)外心:三角形的三条边的垂直平分线相交于一点,这点叫三角形的外心;也就是三角形外接圆的圆心。
外心到三个顶点的距离相等;直角三角形斜边中点是其外心。
(3)重心:三角形的三条中线相交于一点Ia,这个点叫做三角形的重心(如图1)。
重心位于每条中线(自顶点起)的2/3处。
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)则重心G点坐标为:(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3,由上可知有关重心须注意三点:a.中线;b.重心位于每条中线(自顶点起)的2/3处;b.重心G 点坐标的利用。
(4)垂心:三角形三条高线或其延长线相交于一点,这点叫三角形的垂心。
垂心的使用主要是用“垂直”这一特点。
2、性质:(1)三角形的内心和任一顶点的连线延长与三角形的外接圆相交,这个交点与外心的连线是这一顶点所对的边的中垂线;(2)三角形的内心和任一顶点的连线,平分外心、该顶点和垂心依次连结所成的角;(3)三角形的外心、垂心、重心三点共线(欧拉线),且重心与垂心的距离是外心与重心距离的两倍;(4)三角形的三条高的垂足、三边的中点,以及垂心与顶点的三条连线的中点,这九点共圆(此圆称为九点圆)。
三角形内角和教案
三角形内角和教案一、教学目标1.让学生掌握三角形内角和为180°的性质。
2.培养学生运用三角形内角和性质解决实际问题的能力。
3.培养学生合作探究、分析问题和解决问题的能力。
二、教学重难点重点：三角形内角和为180°的性质。
难点：运用三角形内角和性质解决实际问题。
三、教学准备1.课件或黑板2.三角板、量角器3.小组活动材料四、教学过程（一）导入1.利用课件展示一个有趣的数学故事：一位学生在黑板上画了一个三角形，另一位学生用量角器测量三角形的三个角，发现三个角的和恰好等于180°。
引导学生思考：这是巧合吗？三角形内角和是否总是等于180°？（二）新课讲解1.请学生回顾三角形的定义及分类，引导学生思考三角形内角和的性质。
2.通过课件展示三角形内角和的动态演示，让学生直观地观察三角形内角和为180°的现象。
3.请学生分组讨论，尝试用不同的方法证明三角形内角和为180°。
（三）小组活动1.将学生分为若干小组，每组发一份小组活动材料，要求学生用三角板、量角器等工具，测量不同类型的三角形内角和，验证三角形内角和为180°的性质。
2.每组选取一名代表，汇报测量结果及验证过程。
2.请学生举例说明如何运用三角形内角和性质解决实际问题。
（五）巩固练习（1）已知一个三角形的两个角分别是30°和60°，求第三个角的度数。
（2）一个等边三角形的每个角的度数是多少？（3）一个三角形的两个内角和是150°，求第三个内角的度数。
2.请学生互相批改，并讨论解题过程。
（六）课堂小结2.鼓励学生在课后继续探索三角形的其他性质。
五、课后作业1.请学生完成课后练习题，巩固三角形内角和的性质。
2.鼓励学生尝试运用三角形内角和性质解决生活中的实际问题。
六、教学反思本节课通过生动的数学故事导入，激发学生的兴趣和好奇心。
在小组活动中，学生积极参与，动手操作，验证三角形内角和为180°的性质。
相似三角形的欧拉定理与三角形欧拉点
相似三角形的欧拉定理与三角形欧拉点欧拉定理是与三角形相似性质相关的一个定理，它描述了三角形的九个特殊点之间的关系。
其中一个特殊点叫做欧拉点，它有许多有趣的性质与应用。
本文将介绍相似三角形的欧拉定理以及三角形欧拉点的概念和相关性质。
一、相似三角形的欧拉定理相似三角形的欧拉定理是指：如果两个三角形相似，那么它们的欧拉点也相似。
1. 欧拉点：首先让我们来了解一下三角形的欧拉点。
对于任意一个三角形ABC，我们可以通过以下步骤找到它的欧拉点E：(1) 以线段BC为底，作等边三角形BCD；(2) 以线段AC为底，作等边三角形CAF；(3) 以线段AB为底，作等边三角形ABG；(4) 连接DG、EF、AG，它们的交点E就是三角形ABC的欧拉点。
2. 欧拉定理的证明：现在我们来证明相似三角形的欧拉定理。
设两个相似三角形为ABC和A'B'C'，根据相似的定义，我们可以得到下面的比例关系：AC/AB = A'C'/A'B' = k首先，我们可以证明三角形AEF与A'B'C'是相似的。
观察四边形AGDE和A'C'DE，它们分别为相似三角形AEG和A'C'D，并且存在平行关系，因为AGDE是以BC为底的等边三角形。
根据平行线的性质，我们可以得到如下比例关系：AE/A'E = EG/A'G = FG/C'D= FG/(AB - A'G)= EG/(A'G + EG)= EG/(A'G + A'G * EG/AE)= EG/(A'G + A'G * AG/AE)= EG/(A'G + AG)= GE/AG同理，可以得到 EF/A'F = AE/AF，因此三角形AEF与A'B'C'是相似的。
接下来，我们通过类似的方法证明三角形EFG与A'B'C'也是相似的。
三角形稳定性
三角形稳定性在我们的日常生活中，三角形无处不在。
从建筑结构到桥梁设计，从机械制造到日常用品，三角形的身影随处可见。
这并非是一种巧合，而是因为三角形具有一种独特且极其重要的性质——稳定性。
那什么是三角形的稳定性呢？简单来说，就是当三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就被唯一确定，不会发生变化。
相比之下，四边形等其他多边形就不具备这种特性。
想象一下，我们用三根木棍钉成一个三角形。
无论我们怎么用力推拉，这个三角形的形状都不会改变。
但如果我们用四根木棍钉成一个四边形，轻轻一推，它就很容易变形。
这就是三角形稳定性最直观的体现。
三角形稳定性在建筑领域的应用广泛且至关重要。
比如，古老的金字塔，其形状接近一个巨大的三角形，历经数千年的风雨依然屹立不倒。
现代的高楼大厦，在其框架结构中也大量运用了三角形的元素。
钢梁和钢柱之间的连接往往会形成三角形，这能够增强整个建筑结构的稳定性，使其能够承受巨大的重量和风力等外力的影响。
在桥梁建设中，三角形稳定性同样发挥着关键作用。
许多桥梁的桥塔和桥面之间会构建出许多三角形结构。
这样的设计可以保证桥梁在车辆通行和自然环境变化时保持稳固，不会出现大幅度的晃动或变形。
机械制造中也离不开三角形稳定性。
比如起重机的起重臂，为了确保在吊起重物时不会发生弯曲或变形，其内部结构通常会采用三角形的支撑结构。
汽车的底盘也会运用三角形的结构来增加车身的稳定性和坚固性，提高行驶的安全性。
家具制造中也能看到三角形稳定性的应用。
许多椅子和桌子的腿部与支撑面之间会形成三角形，这样可以使家具更加牢固，不易摇晃或损坏。
三角形稳定性在日常生活中的小物件上也有所体现。
比如晾衣架，通常会设计成三角形的形状，这样在晾晒衣物时能够保持平衡和稳定。
那么，为什么三角形会具有稳定性呢？这可以从数学和力学的角度来解释。
从数学的角度来看，三角形的三条边长度确定后，其三个内角的大小也就随之确定。
而且，三角形的内角和始终是 180 度，这是一个恒定的值。
相似三角形直角三角形的判定
相似三角形直角三角形的判定在数学的世界里，相似三角形就像两兄弟，外表看上去很像，但其实他们的“身材”有点不同。
说到三角形，大家脑海里是不是浮现出那种尖尖的、刚刚好在纸上画的三角形？嘿，今天我们来聊聊直角三角形的相似性，听起来是不是有点酷？直角三角形就像一位永远都能在各种场合中游刃有余的明星，不管是勾股定理还是三角函数，都能把它的特长发挥得淋漓尽致。
你知道吗，两个三角形要相似，得满足某些条件，直角三角形也不例外。
比如，角度必须相等，边的比例得保持一致。
就像两个人穿了同样的衣服，身高比例却不一样，那效果可就大不相同了。
想象一下，假设你有一块蛋糕，切了两块，形状完全一样，味道也很像，但大小却差得远，那肯定不会有人觉得你在“分享”美食。
就这样，三角形也需要“分享”相同的比例，才能叫得上“相似”。
说到相似三角形，咱们不得不提一个经典的案例：如果你有两个直角三角形，假设一个是20厘米高，30厘米宽，另一个呢，可能是10厘米高，15厘米宽。
乍一看，它们像是亲兄弟，外形也没啥不同，但你得看看它们的边长比率，20:30和10:15，嘿，完全一致嘛，咱们可以说这俩兄弟真是巧合之极，妥妥的相似三角形！再说说直角三角形的神奇之处。
它们不仅仅是几何图形，还和我们的日常生活息息相关。
比如说，很多时候我们用到梯子，搭在墙上的时候，梯子的高度和距离墙的距离就形成了一个直角三角形。
这种时候，你就得用到相似三角形的概念，才能确保你的梯子稳稳当当，不然可就摔得跟个掉链子的摩托车一样了，想想都让人发怵。
哦，对了，还有一个小秘密。
其实很多建筑设计、工程计算都在用相似三角形这个法则。
你没发现吗？那些高楼大厦的设计，常常都能找到直角三角形的影子。
建筑师们就像是在玩拼图游戏，寻找合适的三角形组合，才能建造出美丽又安全的建筑。
真是妙不可言啊！说到这里，不得不提到相似三角形的两个重要判定法则。
一个直角三角形如果有一个锐角相等，那它们就是相似的。
想想吧，就像两个好朋友，虽然性格不同，但他们的兴趣爱好却能找到共鸣，没准还能一起去参加相同的活动。
三角形中位线定理逆定理
三角形中位线定理逆定理三角形中位线定理的逆定理：想不到吧！要是你还以为三角形只是数学课本上那些冷冰冰的图形，那可真是大错特错了！三角形藏着许多有趣的秘密，像是中位线定理这种东西。
大家都知道，中位线定理就是三角形的中位线连起来能平行于三角形的底边，而且它的长度还正好是底边的一半。
但今天我们来聊的可不是这条定理，而是它的“逆定理”。
这个定理啊，说白了就是——如果你在一个三角形里画了一条平行于底边的线，而且它的长度是底边的一半，那这条线的两端就一定是三角形的中点，换句话说，逆定理就告诉我们，原来你画的这条线它可能就是中位线！这是不是听起来有点像魔术？是不是让人觉得，“哇哦，三角形居然能这么巧妙”！接下来就让我们更深入地聊聊这个逆定理到底是怎么回事。
首先你得知道，逆定理的核心就是“平行”和“长度的一半”这两个关键词。
就好像你走进一个房间，看到了一副对称的画，心里想着“这一定是个对称的作品”，可事实证明，画框的两边都不是完全一样的，只是“看上去”像。
三角形的逆定理就是告诉我们，当你在三角形中找到一条平行于底边并且长度是底边一半的线段时，告诉你这不是随便画的线，而是有意义的，它一定是三角形的中位线。
听起来是不是有点像发现了什么大秘密？我们得再聊聊为什么这个逆定理这么有意思。
要知道，三角形的“中位线”这玩意儿可真是个神奇的东西，它不仅平行于底边，而且还能在几何图形里起到“平衡”的作用。
所以说，三角形的中位线就像是大自然中的“天平”，它能把三角形的重量均匀地分配。
你想想，三角形的三个角，底边的长度，所有的关系都被这个神奇的线段给协调了。
逆定理呢，恰恰是告诉我们：只要你符合这两条标准——平行和长度的一半，那你就可以自信地告诉自己，“这条线就是真正的中位线”。
这不是天才的猜想，也不是简单的巧合，而是由数学的规律所决定的。
想象一下，如果你不是数学课上的那个“好学生”，而是一个普通人，面对这些三角形和几何定理，可能会觉得脑袋晕乎乎的。
教案三角形内角和(大全五篇)[修改版]
第一篇：教案三角形内角和教学目标：1、通过操作活动探索发现和验证“三角形的内角和是180度”的规律。
2、在操作活动中，培养学生的合作能力、动手实践能力，发展学生的空间观念。
并运用新知识解决问题。
3.使学生有科学实验态度，激发学生主动学习数学的兴趣，体验数学学习成功的喜悦。
教学重点：探究发现和验证“三角形的内角和180度”这一规律的过程，并归纳总结出规律。
教学难点：对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活应用。
教具学具准备：课件、学生准备不同类型的三角形各一个，量角器。
教学过程：一、创设情景，引出问题1、猜谜语:（课件）形状似山,稳定性坚。
三竿首尾连,学问不简单。
(打一图形名称)三角形（板书）2、观察三角形（三角板）师：老师这有个三角形，大家观察一下，你发现这三角形有几个角？师：三角形的三个角叫做三角形的内角。
你们接下来还想了解什么有关三角形教的知识？（引导学生开始对“三角形的内角和是多少”进行思索。
）3、引出课题。
师：看来三角形里角一定藏有一些奥秘，这节课我们就来研究有关三角形角的知识“三角形内角和”。
（板书课题）二、探究新知1、三角形的内角、内角和（1）什么是三角形内角（课件）三角形里面的三个角都是三角形的内角。
为了方便研究，我们把每个三角形的3个内角分别标上∠1、∠2、∠3。
（2）三角形内角和师：内角和指的是什么？生：三角形的三个角的度数的和，就是三角形的内角和。
（多让几个学生说一说）2、猜一猜。
师：这个三角形的内角和是多少度？师：是不是所有的三角形的内角和都是180°呢？你能肯定吗？预设1师：大家意见不统一，我们得想个办法验证三角形的内角和是多少？可以用什么方法验证呢？3操作验证：小组合作。
选1个自己喜欢的三角形，选喜欢的方法进行验证。
（老师首先为学生提供充分的研究材料，如三种类型的三角形若干个（小组之间的三角形大小都不相同），剪刀，量角器，白纸，直尺等，以及充裕的时间，保证学生能真正地试验，操作和探索，通过量一量、折一折、拼一拼、画一画等方式去探究问题。
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三角形的巧合点 基础知识
三角形的外心、内心、重心、垂心和旁心不妨称它们为巧合点,三角形的巧合点各自具有不
同的有趣性质，这里仅介绍关联这些巧合点中的某些点或全体点的一些性质及应用的例子。
性质1 三角形的任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍。
性质2 三角形的内心和任一顶点的连线延长与三角形的外接圆相交，这个交点与外心的连
线是这一顶点所对的边的中垂线。
性质3 三角形的内心和任一顶点的连线，平分外心、该顶点和垂心依次连结所成的角。
性质4 三角形的外心、垂心、重心三点共线(欧拉线)，且重心与垂心的距离是外心与重心
距离的两倍。
性质5 三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连线的中点，这九点
共圆(此圆称为九点圆)。三角形的外心与垂心的连线的中点是九点圆的圆心。
性质6 设H,G,I分别为三边两两互不相等的三角形的垂心、重心和内心，则∠HIG>90°。
性质7 锐角△ABC中，外心O，重心G，垂心H到三边的距离和分别记为d外，d重，d垂，
则1·d垂+2·d外=3·d重。
性质8 设△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R，r，外心为O，内心为I，垂心为H，重
心为G，顶点A所对的边的旁切圆的圆心为IA，半径为rA(余者类推)，BC=a，CA=b，AB=c，
则(1)OI2=2Rr；(2)IG2=61(a+b+c)2-185(a2+b2+c2)-4Rr=r2-361[6(ab+bc+ca)-5(a2+b2+c2)]；
(3)OG2=R2-91(a2+b2+c2)；(4)HG2=4R2-94(a2+b2+c2)；(5)OH2=9R2-(a2+b2+c2)；(6)IH2=4R2-
cbaabccba333
=2r2-4R2cosA·cosB·cosC；(7)IIA2=4R(rA-r)，II2B=4R(rB-r)，IIC2=4R(rC-r)；
(8)IAIB2=4R(rA+rB)，IBIC2=4R(rB+rC)，IAIC2=4R(rA+rC)；(9)OIA2=R2+2RrA，OIB2=R2+2RrB，
OIC2=R2+2RrC。
性质9 有关字母同性质8所设，设R*为△IAIBIC的外接圆半径，O*为其外心，则(1)R*=2R；
(2)IO*=2IO。
性质10 有关字母同性质8所设，令P=21(a+b+c),则有心径公式：(1)OA=OB=OC=R；
(2)HA=2R|cosA|，HB=2R|cosB|，HC=2R|cosC|；(3)IA=4R2Bsin·2Csin=2Asinr=2Acosap；…
等三式；(4)IAA=4R2Bcos·2Ccos=2AsinrA=2Acosp；…等三式；
(5)GA=222a2c2b31；…等三式。
性质11 设P为△ABC平面内的点，AP，BP，CP所在直线分别交△ABC的外接圆于A′，
B′，C′，则
(1)若P为△ABC的外心，对锐角三角形，有S△ABC=S△A′BC+S△AB′C+S△ABC′；对非锐角三角
形(不妨设∠A≥90°，下同)有S△ABC=S△A′BC-S△AB′C-S△ABC′；(2)若P为△ABC的垂心,有同
(1)的结论；(3)若P为△ABC的重心；有S△ABC≤S△A′BC+S△AB′C+S△ABC′，当且仅当△ABC
为正三角形时取等号；(4)若P为△ABC的内心时，有同(3)的结论。
性质12 在△ABC中,，心到外心的距离等于重心到外心的距离的充要条件是a2+b2+c2=18Rr.
性质13 三角形的内心与外心的距离等于内心到垂心的距离的充要条件：有一个角为60°。
性质14 三角形的内心、外心、垂心与两顶点共圆的充要条件是另一顶点的内角为60°。