6 材料力学(I)第六章
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材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学06(第六章 弯曲应力)分析
F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学(I)第六章(配孙训方版)
4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：
FN1 FN2
eEA l
1
1 2
EA
，
E3 A3
FN3
eE3 A3 l
1
1 E3 A3
2EA
所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉
力和杆3的装配内力为压力是正确的。
载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移 相容条件为
BMe
BM B
注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。
33
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
Mea M Bl GI p GI p
由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
在基本静定系上加
B
C
D
上原有荷载及“多
1
2
余”未知力
FN3
并使“多余”约束
A
A
处满足变形(位移)
ΔA'
相容条件
A'
ΔA
A
F
FN3
相当系统 (equivalent system)
6
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
B 1
C 2
FN3
第六章 简单的超静定问题
求算FN3需利用位移(变形)相容条件 (图a)
AA AA e
列出补充方程
FN3l3 E3 A3
FN3l1
2 E1 A1cos2
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
材料力学-第六章
第15单元第六章 弯曲变形§6-1 引言应用：梁的刚度问题，静不定梁，压杆稳定挠曲轴：变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线)。
挠度()y x ： 横截面形心的位移 转角()θx ：横截面绕中性轴的转角挠曲轴方程：()y y x = (挠曲轴的解析表达式)()tg dy dxy x θ=='()θθ≈='tg y x(通常θ<︒1=0.01745弧度)§6-2 梁变形基本方程目的：求()y x ，()()[]θx y x =' 途径：建立微分方程求解 一、挠曲轴微分方程1.中性层曲率表示的弯曲变形公式()1ρ=M x EI(其中M 可以通过弯矩方程表示为x 的函数，ρ为曲率半径，它可由'y 和''y 表示) 2.由数学()11232ρ=±''+'y y3.挠曲轴微分方程()()±''+'=y y M x EI1232(1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程 小变形，()'≈<y θ0.0175(弧度)'<<y 21112+'≈y ((1)式分母等于1)正负号确定——确定坐标系：y 向上''>y 0(从数学) ''<y 0M >0(本书规定) M <⇒选正号()∴''=y M x EI二、积分法计算梁的变形()θ='=+⎰y M x EI dx C()y M x EIdx Cx D =++⎰⎰C 、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
三、位移边界与连续条件边界条件：固定端 y A A ==00,θ 固定铰，活动铰 0,0==F E y y 自由端：无位移边界条件 连续条件 y y C C C C 左右左右===00θθy y y y B BG G G G 左右左右左右===θθ例1：()M x M =0，()''=y x M EI 0()()θ='=+y x M EI x C 0()y x M EIx Cx D =++022由()()y D y C 00000=='==()()∴==y x M EIxx M EIx022θ例2：求挠曲轴微分方程AB 段： BC 段''=y M EI x l 10 ''=-⎛⎝ ⎫⎭⎪y M EI x l201y M EI x lC xD =++03116 y M EI x l x C x D =-⎛⎝ ⎫⎭⎪++0322262边界和连续条件()y 100= ()y l 20=y l y l 1222⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪(连续条件)'⎛⎝ ⎫⎭⎪='⎛⎝ ⎫⎭⎪y l y l 1222 (光滑条件)四个方程定4个常数()()y x M x lEI x l 1022244=- ()()y x M x l EIl2024=-例3：1.画剪力弯矩图2.列挠曲线的位移和连续条件3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点) 位移与连续条件 A ：()y 100= B:()()()()a y a y a y a y 2121'='=,C:()()020232==a y a y ,()()a y a y 2232'=' D:无挠曲线大致形状的画法 (1)根据弯矩图定凹凸性， +→⋃-→⋂,(2)弯矩图过零点处为拐点 (3)支座限定支座处的位移§6-3 计算梁位移的奇异函数法奇异函数法仍属积分法。
材料力学第六章
§6-1 一、多跨静定梁 3．求解变形：
其它平面弯曲构件的内力与变形
1)宜采用叠加法；
2)先求主梁的变形： 在自身载荷及中间铰处次梁作用力的共同作用 下变形。
3)再求次梁的变形： 主梁变形引起次梁的刚性转动；
简化成简支梁或外伸梁的次梁在自身载荷作用 下的变形；
§6-1
其它平面弯曲构件的内力与变形
a
Fz
B
a
Fy y
10
解：外力沿形心主轴分解： F F y F cosa A点最大拉应力(B点最大压应力) F F sina z F y l | y A | Fz l | z A | sA 60.7 MPa Iz Iy
§6-4
开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心
一、产生平面弯曲的条件
)
F
§6-1
a A
F B
其它平面弯曲构件的内力与变形
y
x Fa A B
b
C
F
C
例6-3 作图示刚架内力图，并求A截面的 转角、水平和铅垂位移(抗弯刚度为EI)。 2)求A点转角、水平和铅垂位移： 再将AB刚化，BC解除刚化，F由 A点简化到B点 Fab q B " ( ) EI 2 在B点产生qB"、 Fab xB"为 x B " ( ) 2 EI BC变形引 q A " q B " Fab ( ) EI 2 起A点刚性 Fab ( ) 转动产生的 x A " x B " 2 EI2 qA"、xA"、 Fa b y A " q B "a ( ) yA " EI
y、z为形心主轴，F平行y轴，通过弯心A； Fx 0 ：FN 2 FN1 t 'tdx 0 * * * * F S M z dMM ( M d M ) S M S d M S z z z z zz z z z z Qy FN 2 y d A s d A y d A t t ' 1 A AA I z I z dx I z t I zII t zz
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材料力学
§6-2 拉压超静定问题
例 1、2、3三杆用铰链连接如图，各杆长度和刚度如图所示，外力沿
铅垂方向。求各杆的内力。
FN3 FN1
解： 平衡方程：
B
D 1 EA
A P
FN2
E3A3 2 EA
C
L
P
3
A
X 0 F 2sin F
1
sin 0
3
Y 0 F 1cos F 2cos F
B1 C1 A1 2 1 B C A e C' 3
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持三根杆的轴线平行且等间距 a. 试计算各杆内的装配应力. 已知：
a a
l
C1
材料力学 l1 = l2 B1 C1 A1 2 1 B C A l3 l C1 3 e C''
(1)变形几何方程为
Δl1 Δl3 Δe
P 0
（1）
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变形协调方程：
B （2） 3 1
D
C 2
L1 L3 cos
物理方程：
A
FN 1 L1 L1 E1 A1
FN 3 L3 L3 E3 A3
（3）
L2
L3
A1
L1
联解（1）、2） 、（3）式得：
FN 1 FN 2
E3 A3 P E1 A1P cos2 ; FN 3 3 2E1 A1 cos E3 A3 2E1 A1 cos3 E3 A3
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第六章 简单的超静定问题
(a)
4. 杆的AC段横截面上的扭矩为
TAC M eb M A l
从而有
TAC a M e ab C GI p lGI p
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材料力学
第六章 简单的超静定问题
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法
2
AA 240 BB 150
l1T l1 240 l2 l2T 150
(3) 物理关系
A
l1T
l1
C
B
l2T l2
l1T 1T l1 124 10 m
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6
材料力学
(1) 平衡方程
(2) 变形协调方程
FN 1 240 FN 2 150 0
A l lT B
解 这是一次超静定问题
变形相容条件是，杆 F
FRA
A
B
FRB' B
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(1)变形几何方程
A
l
B
Δl ΔlT Δl F 0
(2)物理方程
FRB l Δl F EA
(3)补充方程
ΔlT t ΔT l
F
2
23 3
6P 23 3
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分析题2 图示为一平面桁架，各杆刚度相同。求各杆的 轴力。
30
o
1
B 3
2
30o
FN N4 4
FN N3 3
FN N5 5
FN1
FN2
B
4
30o 30o
5
A P
FN N3 3
A P
由对称性，有 由A点平衡 由B点平衡
FN1 FN 2
Y 0
解超静定梁的基本思路
与解拉压超静定问题相同。 求解图a所示一次超静定梁 时可以铰支座B为“多余” 约束，以约束力FB为“多余”
联解得：
b a RA P , RB P l l
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例15 如图所示刚性梁AB由1，2，3杆悬挂，三杆的刚度 均为EA。求P力作用下三杆的轴力。 解： 平衡方程：
1 A
2
a
2
a
3 B
Y 0
F
1
F
F
3
P 0
（1）
P
M A 0
F a F 2a 0
lT
A
B'
FR l t ΔT l EA
FRA
A B
lF
(4)温度内力
FRB' B
FRB EA t ΔT
由此得温度应力
FR A
E ΔT
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例 18 已知： ACB为刚性杆， D 钢杆AD的A1=100mm2, 1 l1=330mm，E1= 200 GPa, 1=12.510-6/C; 铜杆BE的A2=200mm2, A l2=220mm，E2=100 l1T GPa，2=16.510-6/C, l 温升30 C。 求： 两杆的轴力。 F
1
E
240
150
2
C
B
l2T l2
N1
FN 2
解： 取AB杆，受力如图。 (1) 平衡方程
M
C
(F ) 0
FN 1 240 FN 2 150 0
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(2) 变形协调方程
D
1
AA l1T l1
E
240
BB l2 l2T
150
温度应力
由于温度变化引起的应力，称为温度应力 或热应力。 温度应力仅存在于静不定结构中。 – 化工管道 – 桥梁 – 裸露的输气管及水管
由温度引起的变形
lT T l
= 12.5 x 10-6 (1/ C)
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其中，为材料的线膨胀系数； T为温度变化值；l为杆的 长度。 碳钢的线膨胀系数:
(3) 物理关系
l1T l1 240 l2 l2T 150
l1T 1T l1 124 106 m 6 l2T 2 T l2 109 10 m
FN 1l1 l1 E1 A1
FN 2 l2 l 2 E2 A2
联立解得:
0.0165 10 N1
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伸缩节
波纹管膨胀节
波纹管膨胀节
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伸缩缝
火车钢轨伸缩缝
梳状伸缩缝
叠合伸缩缝
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例题17 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结.设两 支承的距离（即杆长）为 l，杆的横截面面积为 A，材料 的弹性模量为 E，线膨胀系数为 .试求温度升高 T时杆 内的温度应力。
F
5 P 6
2
1 P 3
1 P 6
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3
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注意：受力图与变形图必 须一致！
FN1 a A P
FN2 a
FN3
L2 Δ L3 Δ
B
L1 Δ
此时，变形协调条件为
L1 L3 2(L2 L3 )
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分析题1 图示结构，AB为刚性梁，1、2两杆刚度相同。 求1、2杆的受力。
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2.7
拉超静定问题
(2)物理方程
FN1l1 Δl1 EA
(3)平衡方程
FN3l Δl3 E3 A3
FN1 FN3 FN2
B' C' A' x
FN1 FN2 FN3 FN1 FN2 0
联立求解,即可得装配内力，进而求出装配应力.
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(a)
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第六章 简单的超静定问题
MA (a)
MB
解: 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一 个独立的静力平衡方程
M
x
0，
M A Me M B 0
故为一次超静定问题。
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第六章 简单的超静定问题
2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多 余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷 载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移
FN1
1 A a
l a
30
o
30
o
FN2
2
FAX
A a FAY a
B
B P
P
平衡方程: m 0 F
L 变形关系: cos30 2L
1 a F
cos30 2a P 2a 0 2
物理关系: L F 1L 1 EA 4P 联立解出: F 1
L F 2 cos30 L2 EA
E3 A3 l 1 3 2 E A cos 1 1
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例题16 两铸件用两根钢杆 1,2 连接，其间距为 l =200mm. 现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间，并保 钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的矩形，钢的弹 性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚，其变 形可略去不计，故可看作刚体.
知力，这种情况称做超静定问题.
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B 1
C
B 3
D
C
A
P 静定
2
1
A
2
P
静不定
静不定次数： 静不定次数 = 未知力数 −静平衡方程数 静不定结构比静定结构的强度和刚度大。
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二、超静定问题的解法
静力平衡方程（1）